复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解

1． 利用导数定义推出： 1)

()

1

-=n n

nz

z '

（n 为正整数）

解： ()()()()()z

z

z z z

n n z nz z z

z

z z z n

n n n n

z n

n

z n ????????-??

???

?++-+

+=

-+=

--→→ 2

2

1

12

1lim

lim

'

()()

1

1

2

1

12

1----→=??

?

??

?++-+

=

n n n n z nz z z z

n n nz ??? lim

2) 211z z -=??

?

??'

解： ()

()2

11

111

1z

z z z z z z z z

z

z z

z z z z z -

=+-=

+-=

-

+=

??

?

??→→→?????????lim lim

lim

'

2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1)

()iy x z f -=2

解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -=

x x

u 2=??，

0=??y

u ，

0=??x

v ，1-=??y

v 都是连续函数。

只有12-=x ，即2

1-

=x 时才满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2

在直线2

1-

=x 上可导，在复平面内处处不解析。

2)

()3

3

32y i x z f +=

解：设()iv u z f +=，则3

2x u =，3

3y v =

2

6x x

u =??，

0=??y

u ，

0=??x

v ，

2

9y y

v =??都是连续函数。

只有2

2

96y x =，即032=±

y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()3

3

32y i x z f +=∴在直线

032=±

y x 上可导，在复平面内处处不解析。

3)

()y ix xy

z f 2

2

+=

解：设()iv u z f +=，则2

xy u =，y x v 2

=

2

y x

u =??，

xy y

u 2=??，

xy x

v 2=??，

2

x y

v =??都是连续函数。

只有22x y =且xy xy 22-=，即0==y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2

在点()00,处可导，在复平面内处处不解析。

4)

()xshy i xchy z f cos sin +=

解：设()iv u z f +=，则xchy u sin =，xshy v cos =

x c h y x

u c o s =??，

xshy y

u sin =??，

xshy x

v sin -=??，

xchy y

v cos =??都是连续函数。

完全满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2

在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。

3． 指出下列函数()z f 的解析性区域，并求出其导数。 1)

()5

1-z

解：()()415-=z z f

'

，()z f 在复平面内处处解析。

2) z i z 23+ 解：()i z z f

232

+=

'

，()z f 在复平面内处处解析。

3)

1

12

-z

解：()()

2

2

12--

=

z

z

z f

'

，1±≠z ，()z f 在复平面内除点1±≠z 外处处解析。

4)

d

cz b az ++（c ，d 中至少有一个不为0）

解：()()

()

2

2

d cz bc

ad d cz

b

az c

d

cz a z f

+-=

++-+=

'

当0≠c ，则当c

d z -≠时，()()

2

d cz bc

ad z f

+-=

'

，()z f 在复平面内除点c

d z -

≠外处处解析。

当0=c 时，则0≠d ，()d

a z f ='

，()z f 在复平面内处处解析。

4． 求下列函数的奇点：

1)

()

112

++z z z

解：令()012=+z z ，解得0=z ，i z ±=。故()()

112

++=

z z z z f 有0、i 、i -三个奇点。

2)

()

()

112

2

2

++-z

z z

解：令()()01122

=++z z ，解得1-=z ，i z ±=。故()()

()

112

2

2

++-=

z

z z z f 有1-、i 、i -三个奇点。

5． 复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？

解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数

的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在其定义域D 内解析?()y x u ,和()y x v ,在D 内点iy x z +=可微，并且满

足柯西—黎曼方程。

6． 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。 1) 如果()z f 在0z 连续，那末()0z f

'

存在；

解：假命题。例如，()yi x z f 2+=在复平面内任意一点0z 都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故()

z f '

不存在。 2) 如果()z f

'

存在，那末()z f 在0z 解析；

解：假命题。例如，()y ix xy z f 22+=，()z f 在点00=z 可导，但()yi x z f 2+=在0z 点不解析。 3) 如果0z 是()z f 的奇点，那末()z f 在0z 不可导；

解：假命题。例如，()i y x z f 3

3

+=在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但()z f 在0=±y x 上

的点均可导。

4) 如果0z 是()z f 和()z g 的一个奇点，那末0z 也是()()z g z f +和

()

()

z g z f 的奇点；

解：假命题。例如，()z z f =与()z z g -=在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点0z 都是()z f 与()z g 的奇点。但()()()

0=-+=+z z z g z f 在复平面内处处解析，即()()z g z f +在复平面内没有奇点。

5) 如果()y x u ,和()y x v ,可导（指偏导数存在），那末()iv u z f +=亦可导；

解：假命题。例如，设()yi x z f 2+=，则()x y x u =,，()y z v 2=均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此()z f 不可导。

6) 设()iv u z f +=在区域D 内是解析的。如果u 是实常数，那末()z f 在整个D 内是常数；如果v 是实

常数，那末()z f 在D 内也是常数。 解：真命题。下面证明：

因为()iv u z f +=在区域D 内解析，即满足柯西—黎曼方程：

y

v x

u ??=??，

x

v y

u ??-

=??

如果u 是实常数，则

0=??=

??y v x u ，

0=??-

=??x v y u ，即v 为实常数，故()z f 在D 内为常数。

如果v 是实常数，则0=??=??y

v x

u ，0=??-

=??x

v y

u ，即u 为实常数，故()z f 在D 内为常数。

7． 如果()iv u z f +=是z 的解析函数，证明：()()()

2

2

2

z f

z f y z f x '

=???

? ????+???

?

?

??。

证明：()iv u z f += ()2

2v

u z f +=

∴

()2

2

22

2

22

1

222??? ????+??+=??????

???

???

+??+??=??

?

????x v v x

u

u v u v u x v v x u u z f x ()2

222

222

1

222???

?

????+??+=?????

????

??

?+??+??=?

??

?

????y v v y u u v u v u y v v y u u z f y ()iv u z f += 在点z 处解析，y

v x

u ??=

??∴

，

x

v y

u ??-

=??

()()2

222

222

2

11???

? ????+??++??? ????+??+=???? ????+??? ????y v v y u u v u x v v x u

u v u z f y z f x ???

???????? ??

??+??-+??? ????+??+=???

????????? ????+??+??? ????+??+=

2

22222

2

21

1x u v x v u x v v x u u v u y v v y u u x v v x u u v u ??????????? ????+??? ??????-??? ????+??? ????+??? ??????+???

????+=

2

22222222

2

221x u v x v x u uv x v u x v v x v x u uv x u u v

u 2

22

22222222

2

1??? ????+??

? ????=??????????? ????+??? ????+??? ????+???

????+=

x v x u x u v x v u x v v x u u v

u ()x

v i

x

u z f

??+??=

'

()

222

???

????+??? ????=∴x v x u z f

'

? ()()()

2

2

2

z f

z f y z f x '

=???

? ????+??? ????

8． 设()2

3

2

3

lxy

x

i y nx my

+++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值。

解：设()y nx my y x u 23

+=,，()2

3lxy x y x v +=,，则

n x y x

u 2=??，

2

2

3nx my

y

u +=??，

2

2

3ly x

x

v +=??，

lxy y

v 2=??

y

v x u ??=

??

l x y n x y 22=∴ ? l n =

x

v y

u ??-

=?? ()2

2

2

2

33ly x nx

my

+-=+∴ ? ?

?

?-=-=l m n 33

3-==∴l n ，1=m ，()2

3

2

3

lxy

x

i y nx my

+++为解析函数

9． 证明柯西—黎曼方程的极坐标形式是：

?

??=

??v r r

u 1，?

??=??v r r

u 1

证明：直角坐标与极坐标的转换公式为??

?==?

?sin cos r y r x ，于是由复合函数求导得：

??s i n c o s y

u x

u r y y u r x x u r u ??+

??=????+????=??

()()?θ???c o s s i n r y

u r x

u y y u x x u u ??+

-??=

????+????=??

??s i n c o s y

v x

v r

y y v r x x v r v ??+??=

????+????=??

()???

??

cos sin r y

v r x

v y y v x x v v ??+

-??=

????+

????=??

y

v x

u ??=??

，

x

v y

u ??-

=??

????s i n c o s s i n c o s x

u y

u y

v x

v r

v ??+

??-

=??+

??=

??

()????

????+??=??+

-??=

???????

c o s s i n c o s s i n x u

y u r r y v

r x

v v ()

()?

????=

-??+

??=??-u r x

u r y

u r

v r sin cos

r

u x u y

u v r ??=

??+

??=

?????

c o s s i n 1

即：

?

??=

??v r r

u 1，?

??=

??v r r

u 1

10． 证明：如果函数()iv u z f +=在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那末()z f 是常数。 1)

()z f 恒取实值；

证明：()z f 恒取实值，即()0=y x v ,。

()iv u z f += 是解析函数，所以

0=??=??y

v x

u ，0=??-=??x

v y

u

0=??=

???

y

u x

u 即()y x u ,为常数，故()z f 是常数。

2)

()z f 在D 内解析；

证明：因为()iv u z f +=在区域D 内解析，所以

y

v x u ??=

??，

x

v y

u ??-

=?? 又为()iv u z f -=在区域D 内解析，所以

()y

v x

u ?-?=

??，

()x

v y

u ?-?-=??

0=??=

??=

??=

??∴

y

v x

v y

u x

u ，故()z f 是常数。

3)

()z f 在D 内是一个常数；

证明：设c v u =+2

2 ? ???

?

??

?

=??+??=??+??0

220

22y v

v y u u x v v

x u

u ? ???

?

??

?

=??+??=??+??0

y

v v

y

u u x v v x u u 0=????????∴

y

v y u

x

v

x

u

同时 y v x u ??=??，x v y u ??-=?? 成立。所以02

2=??

? ????+??? ????x v x u

0=??=??∴x

v x

u ?

0=??=

??=

??=

??y

v x

v y

u x

u 即u ，v 均为常数，故()z f 是常数。

4) ()z f arg 在D 内是一个常数；

证明：设()z f arg =?，则π?π≤≤-。 ○1如果2

π

?±

=，则0=u ，从而

0=??=

??y u

x

u ，又()z f 在D 内解析，0=??=??=??=??y

v

x v y u x u ，

所以v 为常数，故()z f 是常数。

○2如果22π?π≤

<-，则u v arctg =?，于是有???

?

???=??+??-=??+??-00y v u y u v x v u x u v 0=????????∴y

v y u

x

v

x

u

同时 y v x u ??=??，x v

y u ??-=?? 成立。所以02

2=??

? ????+??? ????x v x u

0=??=??∴x

v x

u ?

0=??=

??=

??=

??y

v x

v y

u x

u 即u ，v 均为常数，故()z f 是常数。

○3如果

π?π

≤<2

，则u

v arctg +=π?；

如果2

π

?π-

≤≤-，则u

v arctg

+-=π?，与○2的讨论一样，可得到()z f 是常数。

5) c bv au =+，其中a ，b 与c 为不全为零的实常数。

证明：因为c bv au =+，且b a ,与c 为不全为零，所以a 和b 不能同时为零。

假设0≠a ，则有()bv c a

u -=

1，于是

x

v a b x

u ??-

=??，

y

v a b y

u ??-

=??

()iv u z f +=在区域D 内解析，

y

v x

u ??=

??，

x

v y

u ??-

=??，0=??=

??=

??=

???

y

v x

v y

u x

u ，

所以v 为常数，故()z f 是常数。

11． 下列关系是否正确？ 1) z

z e e =

解：设iy x z +=，则z

iy

x iy

x iy

x iy

x z

e e

e

e e

e e e =====--+

2) z z cos cos =

解：()()()z e

e e

e

e

e

z iz

iz

iz

iz

iz

iz

cos cos =+=+=

+=

---2

12

1

2

1

3) z z sin sin =

解：()()()z e

e

i e

e i

e

e

i

z iz

iz

iz

iz

iz

iz

sin

sin =--=--

=-=

---2121

21

12． 找出下列方程的全部解： 1) 0=z sin

解：0=z sin ，0=-∴-iz iz e

e ? 12=iz

e ，即πn z =() 3210±±±=,,,n

2) 0=z cos

解：0=z cos ，0=+∴-iz iz e e ? 12-=iz e ，即π

π

n z +=2

() 3210±±±=,,,n

3) 01=+z e

解：01=+z e ，1-=∴z e ，即()i n z π12+=() 3210±±±=,,,n 4) 0=+z z cos sin 解：0=+z z cos sin ，()()02

121=++-∴

--iz

iz

iz

iz

e

e

e

e

i

? i e

iz

-=2，

即π

π

n z +=

2() 3210±±±=,,,n

13． 证明：

1) ()212121z z z z z z sin sin cos cos cos -=+，()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+ 证明：()()()()2

2

1

1

2

2

1

1

21212

12

12121iz iz iz iz iz iz iz iz e

e

i

e

e

i

e

e

e

e

z z z z ------+

++=

-sin sin cos cos

()

()

()

()

[]()

()

()

()

[]2

12

12

12

12

12

12

12

14

141z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i e

e

e

e

e

e

e e +----++----++--++++=

()

()

[]()21

2

12

12

1z z

e

e

z z i z z i +=+=+-+cos

()()()()2

2

1

1

2

2

1

1

212

12

1212121iz iz iz iz iz iz iz iz e

e

i

e

e

e

e

e

e

i

z z z z -----+++-=-sin cos cos sin

()

()

()

()

[]()

()

()

()

[]2

12

12

12

12

12

12

12

14141z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i e

e

e

e

i

e

e

e e i +----++----+-+-+

--+=

()

()

[]()21

2

12

121z z

e

e

i

z z i z z i +=-=+-+sin

2) 12

2

=+z z cos

sin

证明：()()2

22

2

2121??

?

???++??????-=+--iz iz iz iz e e e e i z z cos

sin

()()124

124

12222=++++--

=--z

i z

i z

i z

i e

e

e

e

3) z z z cos sin sin 22=

证明：()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+ 令21z z z ==，则z z z cos sin sin 22= 4) z

tg tgz z tg 2

122-=

证明：()212121z z z z z z sin sin cos cos cos -=+ ，()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+ 令21z z z ==，则z z z 2

2

2sin

cos cos -=，z z z cos sin sin 22=

z

tg tgz z

z z z

z z z z z

z z tg 2

2

2

2

2

12122222-=-=-=

=

∴cos

sin

cos sin sin

cos

cos sin cos sin

5) z z cos sin =??

?

??-2π

，()z z cos cos -=+π 证明：[]

z e e e e e e i e e i z iz iz iz i iz i z i z i cos sin =+=?

?????-=???

?????-=??? ??----??? ??--??? ??-21212122

222π

ππππ ()z z z z cos sin sin cos cos cos -=-=+πππ

6) y sh x z

2

2

2

+=cos

cos ，y sh x z

2

2

2

+=sin

sin

证明：()()()()

z

i z i iz iz iz iz iz iz e

e e e e e e e z z z z z

----++=??

????+??????+===4121212

cos cos cos cos cos 令iy x z +=，则iy x z -= ()()z i z i

z i z i

z

i iz z

i iz z

i iz z

i iz

z

i iz z

i iz

e

e

e

e

e

e e

e e

e e

e

+++=+++=--------4

14

1

()()()24

124

14

1

22222222-++

++=+++=

----y

y

x

i x i x

i y y

x

i e

e

e

e

e

e

e e

()()y sh x e e e e y y ix ix 2

2

2

2

2121+=??

?

???++??????+=--cos

同理可证：y sh x z

2

2

2

+=sin

sin

()()

??

?

???-??????-===--z i z i iz iz e e i e e i z z z z z

21212

sin sin sin sin sin ()()z

i iz z

i iz z

i iz z

i iz z

i iz

z

i iz z

i iz

z

i iz

e

e

e

e

e

e

e e e

e

e

e ---+-+----+---=+---=4

14

1

()()()y

y

x

i x

i x

i y y

x

i e

e

e

e

i

e

e

e

e

22222

222224

12414

1

----++++-=

+---

=

()()y sh x e e e e i y y ix ix 2

2

22

2121+=??

????++??????-=--sin

14． 说明：

1) 当∞→y 时，()iy x +sin 和()iy x +cos 趋于无穷大； 解：()y sh x iy x 2

2

+=

+sin

sin ，而+∞=∞→y sh y 2

lim ，()+∞=+∴∞

→iy x y sin lim

同理：()+∞=+∴∞

→iy x y cos lim

2) 当t 为复数时，1≤t sin 和1≤t cos 不成立。

解：由于t 为复数，可设()0≠=y iy t ，则112

>+=

=y sh iy t cos cos

()+∞→+∞→-=

==-y e e

s h y iy t y

y

2

sin sin

故当t 为复数时，1≤t sin 和1≤t cos 不成立。 15． 求()i Ln -，()i Ln 43+-和它们的主值。

解：()()()[]??

?

??

+-

=+-+=-+-=-ππ

πn i n i i i iArg i i Ln 2221arg ln ln ,,,210±±=n 主值为()i i 2

π

-

=-ln

()()??

?

?

?+-+=+-++-=+-ππn a r c t g i i i A r g i i Ln 23

45434343ln ln ,,,210±±=n

主值为()??

?

?

?

-+=+-34543arctg

i i πln ln 16． 证明对数的下列性质： 1) ()2121Lnz Lnz z z Ln +=

证明：()()()()()21212121212121z iArg z iArg z z z z iArg z z z z iArg z z z z Ln +++=+=+=ln ln ln ln 221121i A r g z z i A r g z z L n z L n z +++=+ln ln 所以：()2121Lnz Lnz z z Ln += 2) 21

21Lnz Lnz z z Ln -=???

?

??

证明：()()212121212

121Lnz Lnz z iArg z iArg z z z z iArg z z

z z Ln -=-+-=???

? ??+=???? ??ln ln ln 所以：2121Lnz Lnz z z Ln -=???

?

?? 17． 说明下列等式是否正确： 1) Lnz Lnz

22

=

解：设?

i re

z =

()

()()()π?π??

?

n i r n i r

e

r Ln re Ln Lnz

i i 222222

22

2

2

++=++===ln ln ,,,210±±=n

()()()π?π??

m i r m i r re Ln Lnz i 42222222++=++==ln ln ,,,210±±=m

所以 2L n z 和Lnz 2的实部相同，但虚部不尽相同，故Lnz Lnz 22

=不正确。

2) Lnz z Ln

2

1=

解：设?

i re

z =

??

?

??++=??? ??++=???

?

?

?

=π?π??

n i r n i r e

r Ln z Ln

i

2221222

ln ln ,,,210±±=n

()()??

?

??++=

++

=

=

π?π??

m i r m i r re

Ln Lnz i 221

22

12

12

12

1ln ln ,,,210±±=m 所以 z Ln

和

Lnz 2

1的实部相同，但虚部不尽相同，故Lnz Lnz

22

=不正确。

18． 求2

1π

i

e -，4

1π

i e

+，i 3和()i

i +1的值。 解：ie i e e

e e

i

i

-=??? ??

-==--222

1

2

1πππ

π

sin cos

()i e i e e

e e

i i +=

??? ?

?

+==+12

24441

41

4

414

1ππππs i n c o s

()

()()[]33323

2233ln sin ln cos ln ln

i e

e

e

e e n i n n i i iLn i +====+π

π

π

()()

()(

)[]

221242421ln

sin ln

cos ln

i e

e

e

i n n i i iLn i

+===+??

?

??+-??

? ??+-+ππππ ,,,210±±=n

19． 证明()1-=a a az z '

，其中a 为实数。

证明：如果a 是整数，则()()

()1

1-====a a

aLnz

aLnz

a

az

z

a

z aLnz e

e

z

'

'

'

如果a 不是整数，则()()

()1

1-====a a

z

a z

a a

az

z

a

z z a e

e

z '

ln '

ln '

ln

20． 证明：

1) 12

2

=-z sh z ch ；

证明：()()()()124

124

1212122222

222=-+-

++=

?

?

?

???--??????+=-----z

z

z

z

z z z z e

e

e

e

e e e e z sh z ch

2) z ch z ch z sh 22

2=+；

证明：()()()()24

124

1212122222

2

2

2

+++

-+=

?

?

?

???++??????-=+----z

z

z

z

z z z z e

e

e

e

e e e e z ch z sh

()()z ch e

e

e

e

z

z

z

z

22

1224

12222=+=+=

--

3) ()212

121shz chz chz shz z z sh +=+，()212

121shz shz chz

chz z z ch +=+。

证明：()()()()2

2

1

1

2

2

1

1

2

12

1212

12

12

1z z z z z z z z e e

e e

e

e

e e

shz

chz chz shz -----+++-=+

()()2

1

212

1

2

1

2

1

212

1

2

1

4

141z z z z

z z z z z z z z

z z z z e

e

e e e

e

e e

e

e

e e e

e e e ----------++-+-=

()()()212

1212

12

12

12

12

1214

14

1z z sh e

e

e

e

e

e

e

e

z z z z z z z z z z z z z z z z +=

--++-+-=

---+-+---+-+

()()()()2

2

1

1

2

2

1

1

2

121212

12121z z z z z z z z e e

e e

e

e

e e

s h z s h z c h z c h z ------+++=

+

()()2

1

212

1

2

1

2

1

212

1

2

1

4

141z z z z

z z z z z z z z

z z z z e

e

e e e

e

e

e

e

e

e e e

e e

e --------+--++++=

()()()21

2

1212

12

12

12

12

1214

14

1z z

ch e

e

e

e

e

e

e

e

z z z z z z z z z z z z z z z z +=+--++++=

---+-+---+-+

21． 解下列方程： 1) 0=shz ；

解：0=shz 0=-∴-z z e e 即02=z e ? πin z = ,,,210±±=n 2) 0=chz ；

解：0=chz 0=+∴-z z e e 即12-=z e ? π??

?

??

+

=21n i z ,,,210±±=n 3) i shz =。

解：i shz = i e e z z 2=-∴- 即0122=--z z ie e ? ()02

=-i e z

i e z = ? ??

?

?

?

+

=22ππn i z ,,,210±±=n 22． 证明()1932..与()2032..

()1932..

y c h i y c o s =，y i shiy sin = 证明：()()()[]y i y y i y e

e

chiy iy

iy

-+-++=+=-sin cos sin cos

2

12

1

[]y y i y y i y c o s s i n c o s s i n c o s =

-++=

2

1

()()()[]y i y y i y e

e

s h i y iy

iy

----+=-=-sin cos sin cos

2

12

1

()y i y i y y i y sin sin cos sin cos =+-+=

2

1

()2032..

()()??

?+=++=+y i c h x

y s h x iy x sh y

ishx y chx iy x ch sin cos sin cos 证明：()()()iy

x

iy

x

iy

x iy

x e

e

e

e

e

e

iy x ch ----++=+=

+2

12

1

()()[]

()()[]y e

e

i y e

e

y i y e

y i y e

x

x

x

x

x

x

s i n c o s s i n c o s s i n c o s ----++=

-++=

2

12

1

y i s h x y c h x s i n c o s +=

()()()iy

x

iy

x

iy

x iy

x e

e

e

e

e

e

iy x sh ----+-=-=+2

12

1

()()[]

()()[]y e

e

i y e

e

y i y e

y i y e

x

x

x

x

x

x

sin cos sin cos sin cos ---++-=

--+=2

12

1

y ichx y shx sin cos +=

23． 证明：shz 的反函数(

)

12

++=z z Ln Acshz 。

证明：设shw z =，则Arcshz w =。 ()w

w

e

e

s h w z -+==2

1 ? w

w

e

e

z -+=2 ? 0122=--w w ze e

? 12

++=z z e

w

? (

)12

++

=z z Ln w 即(

)

12

++

=z z Ln Acshz

24． 已知平面流速的复势()z f 为： 1)

()2i z +；

2) 3z ；

3) 1

12

+z ；

求流动的速度以及流线和等势线的方程。

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（ ） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数论第三版课后习题答案 2

第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

复变函数课后习题答案(全)69272

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1-+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤

解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+-

复变函数第二章标准答案

复变函数第二章答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零

复变函数经典习题及答案

练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x

【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

最新复变函数第二章答案

第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零

复变函数试题及标准答案样本

二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<<

复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1<

复变函数的积分习题二答案

复变函数的积分习题二答案 ----------------------- Page 1----------------------- 习题二解答1．利用导数定义推出： 1 1 n n?1 ?? 1)( )' ,( ) 2 ' z nz n是正整数；）??? 2 。 z z ?? n (z +?z)n ?zn n?1 2 n?2 n?1 n?1 证 1 ）(z )' lim lim(nz +C z ?z +?z ) nz n z z ?→0 ?z ?→0

1 1 ? 1 1 1 ??z +?z z 2 ）??' lim ?lim =? 2 z ?→z 0 ?z ?→z 0 z(z +?z) z ?? 2．下列函数何处可导？何处解析？ 2 3 3 （1）f (z ) x ?i y （2 ）f (z) 2x =+3y i () 2 2 （3）f z xy +ix y （4 ）f (z) sin xchy +i cosxshy ?u ?u ?v ?v 解（1）由于2x, 0, 0, ?1 ?x ?y ?x ?y

1 ( ) 在z 平面上处处连续，且当且仅当x ? 时，u,v 才满足C-R 条件，故f z u +i v x ?i y 仅在 2 1 直线x ? 上可导，在z 平面上处处不解析。 2 ?u 2 ?u ?v ?v 2 （2 ）由于6x ，0 ，0 ， 9y ?x ?y ?x ?y 在z 平面上处处连续，且当且仅当2 2 2x 3y ,即2x ± 3y 0 时，u,v 才满足C-R 条件，故

3 3 f z u =+iv 2x =+3y i 仅在直线2x ±3y 0 上可导，在z 平面上处处不解析。 ( ) ?u 2 ?u ?v ?v 2 （3）由于y ，2xy ，2xy ，x ?x ?y ?x ?y 在z 平面上处处连续，且当且仅当z=0 时，u,v 才满足C-R 条件，故() 2 2 f z xy +i x y 仅在点z 0 处可导，在z 平面处处不解析。 ?u ?u ?v ?v （4 ）由于cosxchy ，sin xshy ， =?sin xshy ，cosxchy ?x ?y ?x

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i （ ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i

复变函数测试题及答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =

复变函数第二章习题答案精编版.doc

第二章解析函数 1-6 题中： （1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。 （1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).

证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 ， ， 解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．

复变函数测试题及答案

第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z