全导数和偏导数的区别
全导数和偏导数的区别
适用对象不同。偏导数针对的是多元函数，全导数针对的是一元函数。偏导数关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定，而在全导数中，其他变量是都可以变化的。
偏导数
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中全部变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数讨论它的“变化率”，由于自变量多了一个，状况就要简单的多。
在xOy平面内，当动点由P(x0，y0)沿不同方向变化时，函数f(x，y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要讨论f(x，y)在(x0，y0)点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函数f(x，y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特别方位变动时，f(x，y)的变化率。
偏导数的表示符号为∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
全导数
已知二元函数z=f(u，v)，其中u、v是关于x的一元函数，有u=u(x)、v=v(x)，u、v作为中间变量构成自变量x的复合函数z，它最终是一
个一元函数，它的导数就称为全导数。
全导数的消失可以作为一类导数概念的补充，其中渗透着整合全部变量的思想。
对全导数的计算主要包括：
型锁链法则、二一型锁链法则、三一型锁链法则，其中二一型锁链法则最为重要，并且可以将二一型锁链法则推广到更加一般的状况n一型锁链法则。
连续偏导数存在和可微的关系
连续偏导数存在和可微的关系 在多元函数的学习中，连续偏导数是一个重要的概念。同时，可微性也是多元函数的一个重要性质。本文将探讨连续偏导数存在和可微的关系。 一、连续偏导数的定义 对于函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，如果它的所有偏导数都存在且连续，那么就称 $f$ 是连续偏导数存在的函数。 举个例子，对于函数 $f(x,y) = x^3 + 3xy^2$，它的偏导数为： $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 3y^2$ 可以发现，它的所有偏导数都存在且连续，所以它是连续偏导数存在的函数。 二、可微的定义 对于函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，如果它在点 $(a_1,a_2,...,a_n)$ 处的全微分形式为： $\mathrm{d}f = \dfrac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm{d}x_1 + \dfrac{\partial f}{\partial x_2}\mathrm{d}x_2 + ... + \dfrac{\partial f}{\partial x_n}\mathrm{d}x_n$ 且存在实数 $A_1,A_2,...,A_n$，使得： $\Delta f = A_1\Delta x_1 + A_2\Delta x_2 + ... + A_n\Delta x_n + o(\sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + ... + \Delta x_n^2})$ 那么就称 $f$ 在点 $(a_1,a_2,...,a_n)$ 处可微。 在单变量函数的情况下，如果函数在某一点处可微，那么它在该点处一定连续。但在多元函数的情况下，情况会有所不同。 接下来，我们来证明一下。 对于任意一个趋于 0 的向量 $\Delta \mathbf{x} = (\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n)$，我们有： 我们采用归纳法来证明。 首先，在一个变量的情况下，如果函数在点 $a$ 处有连续的导数，那么就可以得 到：
大气运动基本特征
大气运动基本特征（复习） 重点： 一、影响大气运动的作用力主要有哪些？ 气压梯度力（G）、地心引力（g﹡）、摩擦力（F）、地砖偏向力（A）、惯性离心力（C）、重力（g） 1.气压梯度力——当气压分布不均匀时，作用于单位质量气块上的净压力。 方向：垂直等压线高→低 大小：与气压梯度成正比，与空气密度成反比。即等压线越密集，气压梯度力越大。 2.地心引力——地球对单位质量空气的引力 3.摩擦力（850hpa以下考虑）——单位质量空气块所受到的净粘滞力称为摩擦力。 4.惯性离心力:在转动坐标系中引进的一个视示力，其大小与向心力相等而方向相反。 5.地转偏向力的定义——由于地球自转而使空气运动方向发生偏离的力。 方向与空气运动方向始终是垂直的，只改变空气运动的方向，不改变运动的速度大小，在北半球，背风而立，偏向运动的右方，南半球则偏向左方。（南左北右） 6.重力——地心引力与惯性离心力的合力，称为重力。（极大赤小） 二、大气运动遵循那些定律? 答：质量守恒、动量守恒、能量守恒定律。 连续方程（质量守恒定律） 质量散度，即单位体积内流体的净流出量。净流出时散度为正，净流入时散度为负。 速度散度→流体在单位时间内单位体积的变化率。 当速度散度﹥0时，体积增大，辐散；当速度散度﹤0时，体积减小，辐合。 连续方程的意义：空气块在运动过程中体积增大则密度减小；体积缩小则密度增大。热力学能量方程的意义：系统内能的变化等于加入系统的热量与系统对环境作功之差。三、个别变化（全导数）和局地变化（偏导数）有何区别和联系？ 区别个别变化：是气块在运动中温度随时间的变化率，称为温度的个别变化（率）。 局地变化：是固定位置上温度随时间的变化率，称为温度的局地变化（率）。 联系温度的局地变化等于温度的个别变化、平流变化和对流变化的代数和。 四、大气运动系统的分类——根据系统的水平尺度的大小来分 地转平衡——是指水平地转偏向力与水平气压梯度力相平衡。 静力平衡——是指垂直方向气压梯度力和重力相平衡。 大尺度运动系统的基本特征(中高纬) 1.准水平性： w << u, v 2.准静力性 3.准地转性 4.准定常性：速度场随时间变化缓慢 P坐标系 在上升运动时 w>0 而ω<0；下沉运动时 w<0 而ω>0 位势
多元函数求导的方法
多元函数求导的方法 多元函数的求导是指对于包含多个自变量的函数，求对其中一个或多 个自变量的导数。求导的方法可以分为偏导数和全导数两种。偏导数是保 持其他自变量不变，只对一个自变量进行求导；全导数则是对所有自变量 同时求导。 一、偏导数 偏导数的定义和求法与一元函数的导数类似。对于多元函数 f(x1,x2,...,xn)，我们要对其中一个自变量求导，其余自变量视作常数。求解偏导数时，可以使用以下两种方法：几何法和代数法。 1.几何法 几何法是通过几何意义直观地理解偏导数。对于二元函数f(x,y)， 我们可以将其表示在坐标系中，特别地，我们查看函数f(x,y)在一些点 (x0,y0)的切线斜率，该斜率即为偏导数。 对于二元函数f(x,y)，其偏导数可以用以下记号表示： ∂f/∂x表示对x求偏导数 ∂f/∂y表示对y求偏导数 2.代数法 代数法则是通过对多元函数的方程进行求导来求解偏导数。对于二元 函数f(x,y)来说，偏导数的求解步骤如下： (1)将y视作常数，将f(x,y)表示为关于x的一元函数，即得到 f(x)=f(x,y0)。
(2)对f(x)求导得到f'(x)，这是f(x,y)对x的偏导数。 对于多元函数，我们可以对其中每个自变量进行同样的处理，从而求 解各个偏导数。 特别地，对于三元函数f(x,y,z)，我们可以采用类似的方法，得到 三个偏导数： ∂f/∂x ∂f/∂y ∂f/∂z 二、全导数 全导数是对多元函数对所有自变量求导。求全导数的方法有两种：直 接法和间接法。 1.直接法 直接法即直接按照求一元函数导数的方式对多元函数的每个自变量分 别求导。 2.间接法 间接法是通过利用复合函数求导的链式法则来求解全导数。对于一个 多元函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以视其为由另一个函数 g(u1,u2,...,um)和一个由u1,u2,...,um构成的向量函数 h(v1,v2,...,vr)复合而成的。则f(x1,x2,...,xn)=g(h(v1,v2,...,vr))。 根据链式法则，全导数可以表示为：
第四节多元函数的求导法则
第四节多元函数的求导法则 多元函数的求导法则是研究多元函数的导数性质和计算方法的重要内容，具有广泛应用的价值。在数学和应用数学的研究中，多元函数的求导 法则是解决最优化问题、微分方程、数值计算和物理问题等领域中的基础 工具。 一、多元函数的偏导数和全导数 1. 偏导数：偏导数是多元函数中的一种导数形式，它表示多元函数 在其中一变量上的变化率。对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它关于 第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi，也可以记作fi(x1, x2, ..., xn) 或fxi。偏导数的计算方法与一元函数的导数计算相似，只需将其他自变 量视为常数进行求导即可。 2. 全导数：全导数是多元函数的另一种导数形式，它表示多元函数 沿着其中一方向的变化率。对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它沿着 向量v=(v1, v2, ..., vn)的全导数表示为df/dv，也可以记作Dvf(x1, x2, ..., xn)或(fv1, fv2, ..., fvn)。全导数可以通过偏导数来计算， 具体方法为df/dv = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)·(v1, v2, ..., vn)。 二、多元函数的导数法则 多元函数的导数法则是基于偏导数的性质和基本运算规则进行推导和 证明的，其中包括常数法则、和法则、积法则、商法则和复合函数法则等。 1. 常数法则：对于常数c，有∂c/∂xi = 0和d(c)/dxi = 0，因为常 数的偏导数和全导数都等于零。
2. 和法则：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)和g(x1, x2, ..., xn)，有以下推导式： - 对于偏导数，有∂(f + g)/∂xi = ∂f/∂xi + ∂g/∂xi，即偏导数的和等于两个函数偏导数的和。 - 对于全导数，有d(f + g)/dxi = df/dxi + dg/dxi，即全导数的和等于两个函数全导数的和。 3. 积法则：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)和g(x1, x2, ..., xn)，有以下推导式： - 对于偏导数，有∂(f·g)/∂xi = g·∂f/∂xi + f·∂g/∂xi，即偏导数的积等于一个函数乘以另一个函数的偏导数再相加。 - 对于全导数，有d(f·g)/dxi = g·df/dxi + f·dg/dxi，即全导数的积等于一个函数乘以另一个函数的全导数再相加。 4. 商法则：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)和g(x1, x2, ..., xn) - 对于偏导数，有∂(f/g)/∂xi = (g·∂f/∂xi - f·∂g/∂xi)/g^2，即偏导数的商等于分子部分减去分母部分再除以分母的平方。 - 对于全导数，有d(f/g)/dxi = (g·df/dxi - f·dg/dxi)/g^2，即全导数的商等于分子部分减去分母部分再除以分母的平方。 5. 复合函数法则：对于多元函数f(g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn))，有以下推导式：
偏导数与全导数
Io偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导，另一个变量当做数 对X求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分 偏增量： x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分： 在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx (x,y) detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在(x, y)点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分 全增量： x,y都增加时f(x’y)的增量 全微分:
根号(detax方+detay方)趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3 •全导数 全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt二(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1 •中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2•中间变量有多元，只能求偏导3•中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f(x A2,2A x)只有这种情况下dz/dx才是全导数！ 偏导数就是 在一个范围里导数，如在(xO,yO)处导数。 全导数就是定义域为R的导数，如在实数内都是可导的 在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定(相对于全导数，在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
全导数与偏导数
全导数与偏导数 1. 导数的定义 在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。对于函数f(x)，在某一点x处的导数可以通过极限来定义。具体而言，函数f(x)在点x处的导数表示为f’(x)，其定义如下： 其中，h表示自变量x的增量。 2. 全导数 全导数是指多元函数对所有自变量求偏导得到的向量。对于一个多元函数f(x₁, x₂, …, xn)，其全导数表示为向量∇f(x₁, x₂, …, xn)，其中∇表示向量微分算子。全导数可以看作是偏导数组成的向量。 举个例子来说明全导数的概念。考虑一个二元函数f(x, y) = x² + y³，我们可以分别对x和y求偏导得到： ∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 3y² 将两个偏导数组合起来就得到了全导数： ∇f(x, y) = (2x, 3y²) 全导数组成的向量可以用来描述函数在某一点上各个方向上的变化率。 3. 偏导数 偏导数是多元函数在某一点上对某个自变量的导数。在计算偏导数时，将其他自变量视为常数进行求导。举个例子来说明偏导数的概念。 考虑一个二元函数f(x, y) = x² + y³，我们可以分别对x和y求偏导得到： ∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 3y² 这里的∂表示偏导符号，表示对某个自变量的偏导。 4. 全微分与偏微分 全微分是指多元函数在某一点上的微小增量与各个自变量的增量之间的关系。全微分可以通过链式法则来计算。 考虑一个二元函数z = f(x, y)，其全微分表示为dz： dz = ∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy
其中，dx和dy表示自变量x和y的增量。这个公式告诉我们，在给定点上，函数 值的微小变化可以由各个自变量对函数值的贡献来表示。 类似地，对于多元函数而言，其全微分可以通过偏导数来计算。 5. 全导数与链式法则 全导数与链式法则密切相关。链式法则是微积分中的一个重要定理，用于计算复合函数的导数。 设函数z = f(u, v)，u = g(x, y)，v = h(x, y)，其中f、g和h都是可微函数。根据链式法则，可以得到复合函数z关于自变量x和y的偏导数： ∂z/∂x = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x) ∂z/∂y = (∂z/∂u)(∂u/∂y) + (∂z/∂v)(∂v/∂y) 这个公式告诉我们，对于复合函数，其偏导数可以通过各个部分函数的偏导数以及它们对自变量的偏导数来计算。 6. 总结 全导数与偏导数是微积分中重要的概念，用于描述函数在某一点上的变化率。全导数是多元函数对所有自变量求偏导得到的向量，可以用来表示函数在某一点上各个方向上的变化率。偏导数是多元函数在某一点上对某个自变量的导数，可以看作全导数组成的向量中的一个分量。 全微分与偏微分则是描述函数值微小变化与自变量增量之间关系的概念。全微分可以通过链式法则和偏导数来计算。 全导数与偏导数在物理、经济学等领域中有广泛的应用，可以用来描述函数在各个方向上的变化率，帮助我们理解和解决实际问题。 希望通过本文对全导数与偏导数的概念有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用。
多元复合函数求导法则
§4 多元复合函数的求导法则 【目的要求】 1、掌握多元复合函数及几种特殊复合函数的求导法则； 2、理解全导数的概念； 3、会利用多元函数的一阶全微分形式不变性求偏导数． 【重点难点】 各类型复合函数求导公式及计算；各变量之间的复合关系． 【教学内容】 在第二章中，我们学习了一元函数的复合函数求导，现将一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，按照多元函数的不同复合情形，分三种情形讨论. 一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形. 定理4.1 如果函数()u t ϕ=及()v t ψ=都在点t 可导， 且 函数 (,z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数 [](),()z f t t ϕψ=在点t 可导，且其导数为 d d d d d d z z u z v t u t v t ∂∂=+ ∂∂。 证 设t 取得增量t ∆,这时()u t ϕ=，()v t ψ=的对应增量为v u ∆∆,,函数[(),()]z f t t ϕψ=相应地获得增量z ∆.由于函数),(v u f z =可微,所以有z ∆可以表示为 其中22)()(v u ∆∆ρ+=. 将上式两端同除以t ∆,得 由于(),()u t v t ϕψ==在点t 可导,所以当0→t ∆时,0,0→→v u ∆∆，从而0→ρ,并且有 d d ,d d u u v v t t t t ∆∆→→∆∆ . 于是 00()()lim lim lim 0t t t o o t t ρρρρ∆→∆→∆→=⋅==∆∆, 所以 图4-25 t v u Z
0d d lim d d t z z u z v t u t v t ∆→∆∂∂=+ ∆∂∂。 这就证明了复合函数 [(),()]z f t t ϕψ= 在点t 可导,且公式成立. 导数 d d z t 称为全导数． 同理，我们可以把定理推广到对于中间变量多于两个的复合函数情形。例如，若),,(w v u f z =， ()u t ϕ=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 满足定理条件，则有全导数公式 d d d d d d d d z z u z v z w t u t v t w t ∂∂∂=++ ∂∂∂。 例1 设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数d d u t ． 解 d d d d d d u u x u y t x t y t ∂∂=+ ∂∂1sin ln cos (sin cos )y t y t t yx e x x t e t t t -=+=+． 例2 设arctan()z xy =，t x t y e ==，，求0 t dz dt =。 解 由 ()() 22 d d d 1d d d 11t y y z z x z x e t x t y t xy xy ∂∂=+=⋅+⋅∂∂++， 以及当0t =时，01x y ==，，可得0 1t dz dt ==。 二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形． 定理4.2 若(,)u x y ϕ=及(,)v x y ψ=在点),(y x 具有对x 、y 的偏导数，而函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=在点),(y x 两个偏导数存在，且有 z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+ ∂∂∂∂∂； z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂。 例3 设函数v u z =，而u xy =，v x y =+，求z x ∂∂ 和z y ∂∂． 解 1ln v v z z u z v vu y u u x u x v x -∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂ 1()()()ln()x y x y x x y xy xy xy +-+=++． 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复 合关系图如 y x u v 图4-26 Z
完整约束保守系的拉格朗日方程
四、完整约束保守系的拉格朗日方程： 上次课我们导出了在完整约束下的第二类拉格朗日方程： ),2,1(s Q q T q T dt d ⋯==∂∂-∂∂αααα ,并用它解了一些题目。考虑到如果我们要研究的系统所在的内外力场均是保守力场，或者其它作用于系统的力均不作虚功。在这种情况下，上面这 条完整约束下的第二类拉格朗日方程还可以进一步简化。这次课准备要讲的内容就是，先由 这条拉格朗日方程推出完整约束下保守系的拉格朗日方程，并举例应用，然后再讨论完整约 束保守系的拉氏方程的一次积分。我们由前面学过的知识可以知道，如果系统处在保守力场 中，保守力系必有与其对应的势能V ，此势能是系统中各个质点的位置函数，即： V=V(n r r r ⋯⋯21)，且有V F i -∇=1 它的三个分量表达式为：i iz i iy i ix z V F y V F x V F ∂∂-=∂∂-=∂∂-=，，。如果将i r 用广义坐标表示：),(t q r r i i = 则势能也就是广义坐标及时间t 的函数：V=V(q ，t)，由此我们很容易求得在保守力场中广义力αQ 的 表达式。由广义力的定义得： ←⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∂∂⋅∇-=∂∂⋅=∑∑∑i i i i i i i i i i i i q z z V y y y V q x x V q r V q r F Q ααααααα [根据复合函数的微分规则可知其结果为α q V ∂∂-=]将此结果代入第二类拉格朗日方程就可将它写成为：0)(=∂-∂-∂∂→∂∂-=∂∂-∂∂αααααq V T q T dt d q V q T q T dt d ∵0=∂∂α q V ∴左边的式子又可写成为：()()0=∂-∂-∂-∂α αq V T q V T dt d 在这里就定义：V T L -=，L 称作为拉格朗日函数，简称为拉氏函数，它就等于系统的动能与势能之差。那么上式就可写成为： ()s q L q L dt d ⋯==∂∂-∂∂,2,10ααα 这个方程就是完整约束保守系的拉格朗日方程。有时也叫它为拉格朗日方程或拉氏方程。由前面的推导可知这个方程适用的条件是：完整约束，保守力 系或者除了保守力系之外的其它力均不作虚功，T 和V 即L 都是相对惯性系的量。下面我 们就举个例子用它来求解。应用保守系拉氏方程解题的步骤基本上和用第二类拉氏方程解题 的步骤相同，只是将上次课中的求广义力这一步改成为求势能V 及拉氏函数L 就可。在这 里要注意，势能必须包含系统内力的势能和外力的势能。还有由于保守系的拉氏方程中包含
多元函数的微分学(第九讲).docx
第九讲多元函数的微分 主要知识点 1.主要概念(以二元函数为主) (1)函数的极限与连续定义 极限定义(E-S定义)lim /(x,y) = A：如果对于任意给定£〉0,总存在/>0,使得 XT% y->>o 对于适合不等式 0 <|pp o| = J(X-Xo)2+(y-)b)2 < j 的一切点p(x, y),都有 \f(x.y)-A\
若函数z = f(x, y)在点p{x. y)可微，则在该点处亍，亍存在，且ox dy dz , dz f — dx + — dy ・ ox dy dz (3)定理3 (偏导连续与可微的关系定理) 若函数z二f(x, y)偏导数半,半在点p(x,y)的某邻域内存在且连续，则/(x, >?)在点ox dy p(x, y)可微. 3.主要公式 (1)全导数公式 设函数Z = f(u,v)偏导数连续，而比=0⑴,V =屮⑴导数连续,则Z = /⑷⑴,妙⑴］的全导公式为竺二亜色+亜冬. dt du dt 3v dt (2)显函数u = /(x, y, z)的偏导数 a” 求U对X的偏导数络时，将视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之• OX 求比对y的偏导数尖时，将无,z视作常数，利用一元函数求导公式及法则求Z. dy 求况对Z的偏导数尖时，将视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之. dz (3)复合函数的偏导数 1)设么=/(w,v),w =(p(x,y),v = y/(x,y)的偏导数连续,则z = f[(p(x,y)]偏导数为 dz dz du dx3v --- = --------------- 1 ---------- , dx du dx dv dx dz dz du dz dv I I •I • I I dy du dy3v dy 2)设乙=f(x,y,u,v), u =(p(x.y).v = y/(x,y)的偏导数连续,则函数 z = f[x, y,(p{x, y),0(x,y)]的偏导数为 dz _ df df du df dv dz _df df du df dv --- I I 9 --- I I dx dx du dx dv dx dy dy du dy dv dy
微积分下册主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法 分 积元换一第换元公式 积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++= +⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμ μμμμμ
考研数学微积分复习精要
1、函数 ①定义：已知两个集合A,B；从A到B的一个函数是一个规则，它对集合A中每个元素指定了集合B中一个唯一的元素，记作：F:A→B；若x∈A,F(x)∈B则可表示为：x⟼F(x)； ②复合：f(g(x))=f∘g； ③函数代数的单位元：f∘f−1=I；其中f−1表示反函数，即某函数的逆； ⑴并非所有函数都存在逆函数的；只有定义了F:A→B是一对一的映射； ⑵只有定义了F:A→B的才是一对一的映射关系，才存在函数的逆元； ④函数极限性质：lim x→a [f(x)±g(x)]=lim x→a f(x)±lim x→a g(x)； lim x→a [f(x)∙g(x)]=[lim x→a f(x)]∙[lim x→a g(x)] ; lim x→a [ f(x) g(x) ]= lim x→a f(x) lim x→a g(x) ,lim x→a g(x)≠0 ⑤渐近线方程： ⑴lim x→x0 f(x)=∞，其中x0为一个奇点，此时存在垂直渐近线：x=x0； ⑵lim x→∞ f(x)=c，则存在水平渐近线：y=c； ⑶lim x→∞f(x) x =a ; lim x→∞ [f(x)−ax]=b ⇒ y=ax+b；此为一般渐近线； ⑥f(x)+f(−x)一定为偶函数；而f(x)−f(−x)则一定为奇函数； ⑦奇函数证明：⑴定义域关于0对称；⑵f(x)+f(−x)=0； 2、连续性、可导性问题 ①函数连续性，在几何上呈现为不间断的连续曲线，包括角点；满足以下条件： ⑴x0必须在函数定义域内，即f(x0)必须有定义； ⑵lim x→x0 f(x)必须存在； ⑶lim x→x0 f(x)=f(x0)； ②性质： ⑴任何多项式函数在其定义域内都是连续的； ⑵在定义域内连续的任意有限个函数的和差积商，在定义域内也分别是连续的； ⑶函数连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件；即可导必连续，反之未必； ⑷可导性要求函数在几何上不存在角点，即原函数的平滑性，即导函数的连续性； ⑸导数的几何意义为曲线的斜率； ③间断点的定义： ⑴第一类间断点：左右极限都存在； 可去间断点：左右极限相等； 跳跃间断点：左右极限不相等； ⑵第二类间断点：左右极限至少有一个不存在； 无穷间断点：该极限趋于无穷大； ④尖点问题： ⑴如果一个函数在一点x=c的一个邻域中除去点x=c自身以外均可微，而 lim x→c f′(x)=±∞，并且f′(x)在x通过c时改变符号，则我们称点x=c是个尖点；
《非线性电力系统分析讲义》_甘德强
非线性电力系统分析与控制讲义 甘德强 从本质上讲，电力系统是一个大规模的动态系统。给北美经济带来数百亿美元损失的2003夏季美加大停电就是一个复杂的动态过程。因此，无论是在上个世纪的管制时代，还是在现在的市场运行时代，电力系统稳定都是电力系统工程师们最关心的主题之一。例如，小干扰稳定，暂态稳定性，电压稳定性，中长期稳定性和频率稳定等等动态问题都是电力系统运行和规划必需考虑的。这些问题的数学模型和分析方法也是电力系统自动化专业研究生应当适当了解或者掌握的。除小干扰稳定外，上述稳定性问题都具有非线性的动力学特征。 电力系统稳定性分析的传统课程和教材重视稳定性分析的建模和数值分析方法，而较少涉及稳定性问题的非线性动力学基本特征。本课程旨在向学生介绍这方面的知识，为研究生进一步深入研究电力系统稳定性问题奠定基础。经过本课程学习，学生应当能够理解相关电力系统稳定性分析文献，并运用基本的非线性系统理论分析电力系统稳定性问题。 讲义为大学电力系统专业研究生使用。课程要求学生完成课外练习，阅读相关文献，编写期末综述报告，并通过期末考试。预修课程包括线性代数，高等数学，电力系统稳定性分析的基础课程（如马大强著，或者王锡凡－方万良－杜正春著）和现代控制理论（如豹著）。 课程还根据研究课题的需要，灵活的修订教学容比如补充介绍广义系统分析，奇异摄动理论或者混杂系统等容，以便保持与学科发展同步，为科研创造有利条件。 在编选讲义的过程中，我们主要使用了下列参考文献： 1.H. K. Khalil, Nonlinear Systems, second edition, 1996 2.S. Sastry, Nonlinear Systems, Springer-Verlag, New York, 1999 3.M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Second Edition, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, USA, 1993