一、函数
1、求定义域(使函数有意义) 分母 ≠0 偶次根号≥0
对数log a x x>0,a>0且a ≠1
三角形中 060,最小角<60 2、求值域
判别式法 V ≥0 不等式法 222321111
33y x x x x x x x x =+
=++≥??=
导数法 特殊函数法 换元法 题型: 题型一:
1y x x =+
法一:
111
(,222同号)或y x x x x x x
y y =+
=+≥∴≥≤-
法二:图像法(对(0)
b
y ax ab x =+>有效
2
-2
-1
1
题型二:
()1
(1,9)
y x x x =-∈
()/
2(1)(9)110
1
80,,0,9导数法:函数单调递增
即y x y x x
y f f y =+>∴=-??
∴∈∈ ?
?? 题型三:
2sin 1
1sin 1sin ,1,
2112化简变形又sin 解不等式,求出,就是要求的答案y y
y y
y y θθ
θθ-=
++=≤-+∴
≤-
题型四:
22
2
2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11
4化简变形得即又由知解不等式,求出,就是要求的答案
y y y y
y y x y x y y x y
y θθ
θθθθθθθ-=
+-=+-=++++=++=
+++≤≤+
题型五
222233
3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y
+=
-+=-+-+==--?≥V
反函数
1、反函数的定义域是原函数的值域
2、反函数的值域是原函数的定义域
3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型
1
()(2)32,2322,2已知求解:直接令,解出就是答案
x x
f f x x
x x --=+-=+
周期性
()()()(2)()()(2)0
0(2,函数 -)式相减)
是一个周期是2t 的周期函数
x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+==
对称
()()()(2)()()()),(2,), 函数关于直线x=a 对称
对称的判断方法:写出2个对应点的坐标A(x,求出其中点的坐标C(a,)。因a 是常数,故整个函数关于直线对称
x a a x x a x x x x f f f f f B a x f f x a +--=?=-=
不等式 题型一:
332
(0)
111133332
22x =x x (应用公式a+b+c 时,注意使者的乘积变成常数)x x
x x x x
abc +>++≥??=≥
题型二:
3
3
()1
3
()32x (3-2x)(0 x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时,应注意使3者之和变成常数) a b c +??≤=++≤ 数列:(熟记等差数列,等比数列的基本公式,掌握其通项公式和求和公式的推导过程) 等差数列: 1125697 12 () 2...5...(),,...n 2n 2n n 3n 2n 当是奇数时,应写成n S (不能写上试卷) S S S S S 是等差数列,公差是n d n n m m n m n a a n a n a a a a a a a n m a ++++=??+++=+++=--- 等比数列: 112 1 ()(),,...1) lim (1n n 2n n 3n 2n n (当 是奇数时,应写成S 是等比数列,公比是S S S S S 无穷递缩等比数列( s=也说是等比数列中所有项的和) S n n n n n n a n a a q q a q +→∞=--<=- 通项公式的求法 1、 n a = 11 n=1时 n>1时n n S S S -- 2、 1()11122111(1)12234...1234...1234 (2) 叠加(可参考等差数列通项公式的求法) 例: +) (叠加) n n n n n n n n n a a f a a a n a a n a a n a a n n n n a a -----==-=-=--=-=+++++=+++++=+++++=?L L 3、 1()11112 1 1 (1) 1 2234... 叠乘(可参考等比数列通项公式的求法) 例: =n = = ) (叠乘) n n n n n n n n n n a a f a a a a n a a n a a a a n a ----=?=?=-?????=L L 1234...1234... =! n a a n n n ??????????== 4、 {}1111111 1()32 3(),32,111(1)323n n n n n n n n n n n n n n a k a b a x k a x a a a x a x a a x x a a a (待定系数法) 令 例: 令展开得即 是等比数列,-------=?++=+=?++=+=+=∴++=+?=? 5、 {}11111111111 1()323(),33,222230.512 22212(2)322n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a k a b a xb k a xb a a a x a x a a x x x x x x a a a (待定系数法2) 令 例: 令展开得即 是等比数列,----------=?++=+=?++=+=+--=?=?=∴++?=+?? 6、 1 11 11111 11 31 31113111 1 (倒数法) 例: 取倒数: = 是等差数列, (n-1)3=1(n-1)3=3n-2 3n-2n n n n n n n n n n n n n a a k a b a a a a a a a a a a a a -------= ?+== ?+?+=+ ??∴=+?+????? ∴= 求和: 1、拆项 1111 ()(2()剩余项(前后各k 项)) k n n k k n n k =-++ 111 ...1324(2)11111()21212111111...() 1223(1)1111111111111...() 1425(3)3123123例: =(k=2,前后各2项,前2项全正,后2项全负) = =n n n n n n n n n n n n +++??++--+++++-??+++++++---??++++ 2、叠减 n 1122n n n n S ...(...S ... -)2S ...( -S ... S n n n n a b a b a b a b =++++鬃+?+ =鬃+?+ ?鬃++?×=+++- \=123n 123 n 23n n+1 123n n+1是等差数列,是等比数列)例:求 12+2232n 2解:令12+2232n 2,则 12+22n-1)2n 2相减:2+222n 2(应该不用我求了吧,呵呵) 注意,这几个题型是近几年高考的常见题型,应牢牢掌握) 三角 1、 2 +k θπ 奇变偶不变 (对k 而言) 符号看象限 (看原函数) 2、1的应用 (1) 22221sin cos sin 1cos sin sin (1cos )(1cos ) sin 1cos () 1cos sin cos 1sin 1sin cos 注意此式中的比例变形。同理,我们有k θθθθθθθθθθ θπθθ θθ θθ=+?=-??=-+-?=≠+-= + 例: → 1sin cos sin cos 1 ()1sin cos 1cos sin sin 1cos 1cos sin 1sin cos sin 1sin cos 1cos sin cos 1sin 1cos sin 1cos 1sin cos si 1sin cos b d b d b a c a c a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ θθθθθθθ+-+-=+++--= ++-+∴==?=+++++-= +-++-∴= ++ 证明证 合比定理 Q n cos 11cos sin θθθθ +-+- (2) 已知tanα=2,求sin 2α+sinαcosα-3cos 2α 解: ()()()2 2222 22 2 tan tan 3sin sin cos 3cos sin cos tan 1 1cos 2sin 21cos 2cos 2 2sin cos 21sin (2原式= 降幂公式 周期公式£o 周期为 周期为加""后周期减半) 注意:周期公式是我个人的推导,绝不能写上试卷, 自己知a b a x x x x x x a b x k k αααααααααπ ππ-+-=++-= += ?+?=道怎么做就行了. []sin ()(0) :2::222 图像. y=A 值域-A,A 周期: T= 对称轴: k + 最大值 wx+= 2k + 最小值 2k - 对称点 k 注意:奇函数原点为对称点 (把x=0代入即可) 偶函数y wx A i ii w iii k ?π π ππ ?ππ ππ?π+>=2轴为对称轴 k π ?π=+ [] 3sin(2),333 2,322122326 2232125223212如:对函数它的值域是,对称轴是即对称点是,即当,时,有最大值 当,时,有最小值 y x k x k x k x k x x k x k x k x k π ππππ ππππ ππππ πππππ ππ=+-+=+=+ +==- +=+=++=-=- 解析几何 题型: 1、已知点P (x.y )在圆x 2+y 2=1上, 2 ,(2),2 (,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围 解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d 为圆心到直线的距离,R 为半径) (2)令y-2即也是直线d d 2.求中点轨迹 :y=kx+b 化为Ax2+bx+c=0形式 y x x y k y k x x R d x b y x b R λ+==+-≤=--=≤?11212122 21+2 000c. A,B 为交点横生标分别为x ,x . x x (公式用不完,但后面有用, x x 这里就直接写出来) x x x x 中点轨迹P(x .y),则 x y=kx 消元,得P 的轨迹. B A C A A b +=-?=-? -=- = + 212 212 1(13.求交线长度 AB 若开始时设直线方程为x=ky+b,则 AB k x x k y y =--=+- 12120 11224. OA OB + (x ,y ),(x ,y )为A.B 的坐标 x x y y ⊥?= A B 12 1 25. 求的面积 S = CF ABF ABF y y ???- 解析几何一般就这些题型,做的时候注意体会(有时会考上一些基础性的问题,如第一、第二定义,焦半径公式等等,要求把公式记牢)若实在不会做,也应先代入,化简为Ax 2+Bx+c=0的形式,并写出 12121B x x A C x x A x x A +=- ?= ? -= 二项式定理 主要是公式 2(((01n n n n 024n n n 135n-1n n n 1. C C C 二项式等数和) C C C 奇数项) = C C C 偶数项)=2n +++=++++L L L (1)((1)(1)2 (1)(1) 2 (1) 01n 01n 023********.若()=a a a 则:a a a 各项系数和) a a a a a a a -a +a a n f x x x f f f f f f ++++=+-+++= --+++= -+=-L L L L L 10 64 3 211 1 12(x x x x x x x x 骣÷?+÷?÷?桫 33 610 3.求常数项(特巧)比例法: 求的常数项要3个,要2个,共5个 3 2 5 6 4 10(总共有10次方)对应成比例.常数项为C 系数为1,的系数为2. 12 66211111,1123 612求中的系数 应由得到,需要2次方,3 2 5 6 4+2 12-2( 先除掉2个放到上使其变成 的系数为C x x x x x x x x ??+ ?? ? () lim ()极限 1.x x f x g x →= 0000'' 00()() ()()0lim lim ()() ()() ()0()0,lim ()()() ()0()0,lim 0 ()()0()0,. 时, 时 时 时无意义x x x x x x x x f x f x f x g x g x g x f x f x f x g x g x g x f x f x g x g x f x g x →→→→===≠≠= =≠=≠= lim 342.n n n n x x y x y →∞+=+ 1 ,31,4 x >y 时只看 x x y ≠ 立体几何(难点) 1、证垂直 (1)几何法 线线垂直 线面垂直 面面垂直 2、向量法 线线垂直⊥a b ?? a b=0r r 线面垂直n r 为α的法向量 αλ⊥??=a a n a n r r r r P 法向量求法 求平面ABC 的法向量n r ???n AB=0n= ( ) n AC=0 可能是(y,2y ,-y )之类,注意化简 r uu r r uu r 面面垂直 n, n 2为α,β的法向量 αβ⊥???⊥1212n n =0n n 求角 1、线面夹角 几何法:做射影,找出二面角,直接计算 向量法: 找出直线a 及平面α的法向量n a a θ??n cos = n 2、线线成角 几何法:平移(中点平移,顶点平移) 向量法: a , b 夹角,a b a b θ??cos = (几何法时常用到余弦定理222 2a b c ab θ+-cos =) 3、面面成角(二面角) 方法一:直接作二面角(需要证明) 方法二:面积法(一定有垂直才能用) PC ┴ 面ABC ,记二面角P —AB —C 为θ,则 ABP ABC S S θ??cos = (先写公共边/点,再按垂线依次往后写,垂足放在分子) 附:使用时,可能会正弦定理与余弦定理搭配使用。 正弦定理:1 2V S =absinC 余弦定理:222 2a b c ab +-cosC= 方法三:向量法 求,β所成二面角x ,先求α ,法向量12n , n u r u u r 所成的角θ 则0 000 0<<90x= 180- 90<180θθθθ???≤?? , 求距离 点到平面的距离 方法一:等体积法(注意点的平移,以及体积的等量代换) 例:求点B 到PAC 的距离h (已知PB┴面ABC) ABC PAC PAC U =U 11 PB=h 33h=PB ABC ABC PAC S S S S ???????? (注意余弦定理,正弦定理的综合应用) 方法二:向量法 同上,设面PAC 的法向量为n (可以自行求出),在面PAC 上任取一点,不妨碍取P ,则 PB n n ?=h uu r r r P A B C