高中数学直线与平面的夹角题库

3.2.3直线与平面的夹角

3.2.4二面角及其度量

学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．

知识点一直线与平面所成的角

1．直线与平面所成的角

2．最小角定理

知识点二二面角及理解

1．二面角的概念

(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.

(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l .

(3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关．

(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]．

2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法

(1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角．

(2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补．

1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是???

?0，π

2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × )

题型一 求直线与平面的夹角

例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．

解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1?

??

?－

32a ，a 2，2a ， 方法一 取A 1B 1的中点M ， 则M ???

?0，a

2，2a ，连接AM ，MC 1， 则MC 1→＝????－32a ，0，0，AB →＝(0，a,0)，AA 1→

＝(0,0，2a )．

∴MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→

＝0， ∴MC 1→⊥AB →，MC 1→⊥AA 1→， 则MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1. 又AB ∩AA 1＝A ， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.

∴∠C 1AM 是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 由于AC 1→＝???

?－32a ，a 2，2a ，AM →

＝????0，a 2，2a ， ∴AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 2

4

， |AC 1→

|＝3a 24＋a 2

4＋2a 2＝3a ， |AM →|＝

a 24＋2a 2＝32

a ， ∴cos 〈AC 1→，AM →

〉＝

9a 2

43a ×

3a 2

＝

32

. ∵〈AC 1→，AM →〉∈[0°，180°]，∴〈AC 1→，AM →

〉＝30°， 又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.

方法二 AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )，AC 1→

＝????－32a ，a 2，2a .

设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，y ，z )， ∴n ·AB →＝0且n ·AA 1→

＝0.∴ay ＝0且2az ＝0. ∴y ＝z ＝0.故n ＝(λ，0,0)．

∴cos 〈AC 1→

，n 〉＝n ·AC 1→

|n ||AC 1→

|＝－λ2|λ|，

∴|cos 〈AC 1→

，n 〉|＝12

.

又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.

反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．

跟踪训练1 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点，求BD 与平面ADMN 所成的角θ.

解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，设BC ＝1，

则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2) 则N (1,0,1)， ∴BD →

＝(－2,2,0)，

AD →

＝(0,2,0)， AN →

＝(1,0,1)，

设平面ADMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则由?????

n ·AD →＝0，n ·

AN →＝0得?????

y ＝0，

x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1，

∴n ＝(1,0，－1)，

∵cos 〈BD →

，n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28·2＝－12，

∴sin θ＝|cos 〈BD →

，n 〉|＝12.

又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 题型二 求二面角

例2 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 是PD 的中点，求平面EAC 与平面ABCD 的夹角．

解 方法一 如图，以A 为原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .

设P A ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连接BD 与AC ，交于点O ，取AD 中点F ，连接EF ，EO ，FO ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)．∵BA →＝CD →， ∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )， ∴E ????b 2，－a 2，a 2，O ????b

2，0，0， OE →＝????0，－a 2，a 2，AC →

＝(b,0,0)． ∵OE →·AC →＝0，

∴OE →⊥AC →，OF →＝12BA →＝????0，－a 2，0，OF →·AC →＝0. ∴OF →⊥AC →

.

∴∠EOF 等于平面EAC 与平面ABCD 的夹角． cos 〈OE →，OF →

〉＝OE →·OF →|OE →||OF →

|＝22.

∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 方法二 建系如方法一， ∵P A ⊥平面ABCD ，

∴AP →

＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝????b 2，－a 2，a 2，AC →

＝(b,0,0)． 设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 由?????

m ·

AE →＝0，m ·AC →＝0，

得?????

b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，bx ＝0. ∴x ＝0，y ＝z .∴取m ＝(0,1,1)， cos 〈m ，AP →

〉＝m ·AP →

|m ||AP →|

＝a 2·a ＝22.

又平面EAC 与平面ABCD 所成角的平面角为锐角， ∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°.

反思感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．

跟踪训练2 若P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，求锐二面角A-PB-C 的余弦值．

解 如图所示建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，

故AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)，CB →＝(2，0,0)，CP →

＝(0，－1,1)， 设平面P AB 的法向量为 m ＝(x ，y ，z )， 则?????

m ·AP →＝0，m ·

AB →＝0，

即?

????

z ＝0，2x ＋y ＝0， 令x ＝1，则y ＝－2，故m ＝(1，－2，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)， 则?????

n ·CB →＝0，n ·

CP →＝0，

即?

????

2x ′＝0，－y ′＋z ′＝0. 令y ′＝－1，则z ′＝－1，故n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.

∴锐二面角A －PB －C 的余弦值为33

. 题型三 空间角中的探索性问题

例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD .

(1)求证：AB ⊥PD ；

(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P －ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值． (1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD ； 又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，

平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ?平面ABCD ， 所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD . (2)解 过点P 作PO ⊥AD 于点O .

则PO ⊥平面ABCD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ， 连接PM .则PM ⊥BC ，

因为∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2， 所以BC ＝6，PM ＝233，

设AB ＝t ，则在Rt △POM 中， PO ＝

43

－t 2， 所以V P －ABCD ＝13·t ·6·4

3－t 2

＝1

3

－6????t 2－232＋83

， 所以当t 2＝23，即t ＝6

3时，

V P －ABCD 最大为26

9

.如图，

此时PO ＝AB ＝

6

3

，且PO ，OA ，OM 两两垂直， 以OA ，OM ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则P ?

???0，0，

63，D ???

?－263，0，0， C ????－263，63，0，B ????63，63，0. 所以PD →

＝????－263

，0，－

63， PC →

＝????－263，63，－63，PB →＝????63，63，－

63. 设平面PCD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则?????

m ·

PC →＝0，m ·

PD →＝0，

即?????

－2x 1＋y 1－z 1＝0，－2x 1－z 1＝0，

令x 1＝1，则m ＝(1,0，－2)，|m |＝5； 同理设平面PBC 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， ?????

n ·PC →＝0，n ·

PB →＝0，

即?????

－2x 2＋y 2－z 2＝0，x 2＋y 2－z 2＝0，

令y 2＝1，则n ＝(0,1,1)，|n |＝2，

设平面PBC 与平面DPC 的夹角为θ，显然θ为锐角， 所以cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝25×2＝105.

即平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值为

10

5

. 反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在

问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．

跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，且AB ⊥AC ，点M 是CC 1的中点，点N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足A 1P →＝λA 1B 1→

.

(1)证明：PN ⊥AM ；

(2)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．

(1)证明 以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，

则P (λ，0,1)，N ????12，12，0，M ????0，1，12， 从而PN →

＝????12－λ，12，－1， AM →

＝?

???0，1，12， PN →·AM →＝????12－λ×0＋12×1－1×12＝0，

所以PN ⊥AM .

(2)解 过点P 作PE ⊥AB 于E ，连接EN ， 则PE ⊥平面ABC ， 则∠PNE 为所求角θ， 所以tan θ＝PE EN ＝1

EN

，

因为当点E 是AB 的中点时，EN min ＝1

2

.

所以(tan θ)max ＝2，此时，λ＝1

2

.

利用向量求二面角

典例 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.

(1)证明：平面ABEF ⊥EFDC ； (2)求二面角E-BC-A 的余弦值． 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角

(1)证明 由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ，又AF ?平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .

(2)解 过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →

的方向为x 轴正方向，|GF →

|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz .由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，

可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)． 由已知AB ∥EF ，AB ?平面EFDC ，EF ?平面EFDC ，

所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ， 由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，

所以∠CEF 为二面角C-BE-F 的平面角，∠CEF ＝60°， 从而可得C (－2,0，3)．

所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →

＝(－4,0,0)．

设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则?????

n ·

EC →＝0，n ·

EB →＝0，

即?

????

x ＋3z ＝0，

4y ＝0.所以可取n ＝(3,0，－3)． 设m 是平面ABCD 的法向量，则?????

m ·AC →＝0，m ·

AB →＝0.

同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－219

19.故二面角E-BC-A 的余弦值为－

219

19

. [素养评析] 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台．第(1)问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单．求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题．

1．已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1

2，则l

与α所成的角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150° 答案 A

解析 设l 与α所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.

∴θ＝30°.

2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为( ) A.

24 B.23 C.63 D.3

2

答案 C

解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，

∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →

＝(－1,0，－1)． ∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0， AC 1→·A 1D →＝1－1＝0.

∴AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D ，又A 1B ∩A 1D ＝A 1， ∴AC 1⊥平面A 1BD .∴AC 1→

是平面A 1BD 的法向量． ∴cos 〈BC 1→，AC 1→

〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63.

∴直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为

6

3

. 3．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为__________． 答案 45°或135°

解析 设二面角的平面角为θ，

∵cos 〈m ，n 〉＝11×2＝22

，∴θ＝45°或135°.

4．正四面体ABCD 中棱AB 与底面BCD 所成角的余弦值为________． 答案

33

解析 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，O 为△BCD 的中心，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝

33a ，∠ABO 为所求角，cos ∠ABO ＝33

.

5．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．

答案 27

解析 AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·AB →＝0，n ·AC

→

＝0知?????

－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.

令x ＝2，则y ＝1，z ＝23

.

∴平面ABC 的法向量为n ＝????2，1，23.平面xOy 的法向量为OC →

＝(0,0,3)．所以所求锐二面角的余弦值cos θ＝|n ·OC →

||n ||OC →

|＝23×

73

＝2

7.

1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．

2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n |

|a||n |

.

3．二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系．

一、选择题

1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.π6 B.π3 C.5π

6 D ．以上均错 答案 B

解析 直线l 与平面α所成的角范围是???

?0，π

2. 2．直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1，v 2，若v 1与v 2所成的角为θ，直线l 1，l 2所成的角为α，则( ) A ．α＝θ B ．α＝π－θ C ．cos θ＝|cos α| D ．cos α＝|cos θ|

答案 D

解析 α＝θ或α＝π－θ，且α∈????0，π

2， 因而cos α＝|cos θ|.

3．已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值是( )

A.23

B.33

C.23

D.13 答案 A

解析 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .

设AA 1＝2AB ＝2，

则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)， 故DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)，DC →

＝(0,1,0)， 设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????

n ·DB →＝0，n ·

DC 1→＝0，即?????

x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，

令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2， 所以n ＝(2，－2,1)．

设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →

〉|＝|n ·DC →

||n ||DC →|

＝23.

4.已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则AB 1与ED 1所成角的余弦值为( )

A.10

10

B.

105 C ．－1010 D ．－

105

答案 A

解析 ∵A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)， ∴AB 1→＝(0，－2,2)，ED 1→

＝(0,1,2)， ∴|AB 1→|＝22，|ED 1→

|＝5， AB 1→·ED 1→＝0－2＋4＝2，

∴cos 〈AB 1→，ED 1→

〉＝AB 1→·ED 1→

|AB 1→||ED 1→|＝222×5＝1010，

∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为

10

10

. 5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为( ) A.13 B.12 C.233 D.32 答案 A

解析 设菱形对角线AC 与BD 交于O 点，则∠BOD 为二面角B —AC —D 的平面角，由余弦定理可得cos ∠BOD ＝13

.

6．A ，B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是平面β上一点，PB ⊥l 于B ，P A 与l 成45°角，P A 与平面α成30°角，则二面角α—l —β的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 答案 C

解析 如图，作PO ⊥α于O ，连接AO ，BO ，则∠P AO 为P A 与平面α所成角，∠PBO 为二面角α—l —β的平面角，由∠P AO ＝30°，∠P AB ＝45°，取P A ＝2a ，则PO ＝a ，PB ＝2a ，∴sin ∠PBO ＝PO PB ＝2

2

，∴∠PBO ＝45°.

二、填空题

7．平面α的一个法向量n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n 2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________． 答案 90°

解析 由于n 1·n 2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0， 所以n 1⊥n 2，故α⊥β，α与β所成的角是90°.

8．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________． 答案 60°或120°

解析 设二面角大小为θ，由题意可知 |cos θ|＝|82＋52－72|2×8×5＝64＋25－4980＝12，

所以cos θ＝±1

2，

所以θ＝60°或120°.

9．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________． 答案 30°

解析 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →

＝(1，2，－1)，平面ABCD 的法向量为n ＝(0,0,1)，

所以cos 〈PC →

，n 〉 ＝PC →·n |PC →

||n |

＝－12，

所以〈PC →

·n 〉＝120°，

所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成的角为30°.

10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是________. 答案 π6

解析 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，取AC 的中点O ，连接OB ，OB ⊥AC ，

则OB ⊥平面ACC 1A 1，

∴∠BC 1O 就是BC 1与平面AC 1所成的角．∵OB ＝3

2

，BC 1＝3， ∴sin ∠BC 1O ＝

OB BC 1＝12

， ∴∠BC 1O ＝π

6.

三、解答题

11．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，求该二面角的大小． 解 由题意知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →

＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →，

∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →

〉＝(217)2. ∴cos 〈CA →，BD →

〉＝－12，

又〈CA →，BD →

〉∈[0°，180°]， ∴〈CA →，BD →

〉＝120°，

∴二面角的大小为60°.

12.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD .PD ＝DC ，E 是PC 的中点．求EB 与平面ABCD 夹角的余弦值．

解 取CD 的中点M ，则EM ∥PD ， 又∵PD ⊥平面ABCD ， ∴EM ⊥平面ABCD ，

∴BE 在平面ABCD 上的射影为BM ， ∴∠MBE 为BE 与平面ABCD 的夹角． 如图建立空间直角坐标系Dyxz ， 设PD ＝DC ＝1，

则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)， ∴M ????0，12，0，E ???

?0，12，1

2， ∴BE →＝????－1，－12，12，BM →

＝????－1，－12，0， cos 〈BM →，BE →

〉＝BE →·BM →

|BE →||BM →|

＝

1＋1432× 5

2

＝30

6，

∴EB 与平面ABCD 夹角的余弦值为

30

6

. 13.如图，在直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝

22

AB .

(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值．

(1)证明 连接AC 1，交A 1C 于点F ，连接DF ，则F 为AC 1的中点，因为D 为AB 的中点， 所以DF ∥BC 1，

又因为DF ?平面A 1CD ，BC 1?平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)解 由AA 1＝AC ＝CB ＝2

2

AB ， 可设AB ＝2a ，

则AA 1＝AC ＝CB ＝2a ，

所以AC ⊥BC ，又由直棱柱知CC 1⊥平面ABC ，所以以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz 如图．

则C (0,0,0)，A 1(2a ，0, 2a )，D ???

?22a ，22a ，0，

E ?

??

?0， 2a ，

22a ，CA 1→

＝( 2a,0, 2a )， CD →＝????22a ，22a ，0，CE →

＝????0， 2a ，22a ，

A 1E →

＝?

???－2a ，2a ，－22a .

设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·CD →＝0且n ·CA 1→

＝0，

高中数学题库

迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

高中数学专题讲义-直线与平面所成的角

【例1】 （全国2文7） 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．3 B ．3 C ．22 D ．3 【例2】 （全国2理7） 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．3 【例3】 （福建卷6） 如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ． 63 B ． 26 5 C ． 155 D ． 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 （浙江） 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角

E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 （四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且 OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示） 【例6】 （全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B C D ． 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积． 【例8】 （四川卷15） 且对角线与底面所成角的余弦值 ，则该正四棱柱的体积等于________________． 【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值． A B C D B 1 C 1 D 1 A 1

高中数学《平面的基本性质》教案

§1.2.1平面的基本性质 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）借助生活中的实物，学生对平面产生感性的认识； （2）掌握平面的表示法，认识水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 通过师生的共同讨论，学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：（1）平面的概念及表示； （2）平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 （1）学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 （2）教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、授课类型：新授课 五、教学过程 （一）创设引入情景 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗？ 平面的含义是什么呢？ （二）建立模型 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中，怎样画直线？一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平 放置的平面画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长”。（如图）： 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D C B A α β β

高一数学立体几何练习题及部分标准答案汇编

立体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（） A 030 B 030 C 0 150 D 以上结论都不对 2.在空间，下列命题正确的个数为（） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（） A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）

8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题 15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形ABCD A B C D -的棱AA 和棱CC 上的点，且

经典高中数学最全数列总结及题型精选

高中数学：数列及最全总结和题型精选 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始 依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1n n -或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”） (三)、等差中项的概念：

高中数学直线与平面的夹角题库

3.2.3直线与平面的夹角 3.2.4二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤． 知识点一直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 2．最小角定理 知识点二二面角及理解 1．二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.

(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l . (3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关． (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角． (2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补． 1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是??? ?0，π 2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × ) 题型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

高中数学-直线与平面的夹角练习

高中数学-直线与平面的夹角练习 课后导练 基础达标 1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ，a是平面α的斜线，b是平面α内与a 异面的任意直线，则a与b所成的角（） π A.最小值为θ,最大值为π-θ B.最小值为θ,最大值为 2 π C.最小值为θ,无最大值 D.无最小值，最大值为 2 答案：B 2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角 （） A.30° B.60° C.45° D.90° 答案：A 3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（） A.15° B.45° C.60° D.30° 答案：D 4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________. 15 答案： 5 5.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________. 答案：锐角三角形 6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成角的正弦值. 解析：(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,

∴SC⊥面SAB. ∴∠CBS 是BC 与平面SAB 所成的角. ∵∠CBS=60°, ∴BC 与平面SAB 所成的角为60°. (2)连结MC,在Rt△ASB 中,∠SBA=45°,则SM⊥AB. 又SC⊥面SAB, ∴SC⊥AB, ∴AB⊥面SMC.过S 作SO⊥MC 于点O,则SO⊥AB, ∴SO⊥面ABC, ∴∠ SCM 是SC 与平面ABC 所成的角. 设SB=a,则SC=3a,SM= 2 2a, 在Rt△CSM 中,CM= 2 14a, ∴sin∠SCM= 7 7 =MC SM . 7.在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，PA 是平面ABC 的斜线，∠PAB=∠PAC=60°， （1）求PA 与平面ABC 所成角的大小； （2）PA 的长等于多少时，点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上？ 解：(1)如右图,过P 作PO⊥平面ABC 于O,则∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角, 易证AO 为∠BAC 的平分线,则∠OAB=45°. 由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得 cos∠PAO= OAB PAB ∠∠cos cos =22 45 cos 60cos =ο ο, ∴∠PAO=45°. ∴PA 与平面ABC 所成的角为45°.

高中数学课时作业：直线、平面平行的判定及其性质

课时作业44直线、平面平行的判定及其性质 一、选择题 1．已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的关系为(D) A．平行B．相交 C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内 解析:依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内． 2．已知α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(D) A．垂直B．相交 C．异面D．平行 解析:对于选项A,当m⊥α时,因为n?α,所以m⊥n,可能； 对于选项B,当A∈n时,m∩n＝A,可能； 对于选项C,若A?n,由异面直线的定义知m,n异面,可能； 对于选项D,若m∥n,因为m?α,n?α,所以m∥α,这与m∩α＝A矛盾,不可能平行,故选D. 3．(四川乐山四校联考)平面α∥平面β的一个充分条件是(D) A．存在一条直线a,a∥α,a∥β B．存在一条直线a,a?α,a∥β C．存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β D．存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析:存在一条直线a,a∥α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故A错；存在一条直线a,a?α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故B错；存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故C错；存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,据此可得平面α∥平面β,该条件是平面α∥平面β的一个充分条件．故选D.

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平

面平行。

符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

高中数学 平面

§2.1.1平面（1） 一、设问导读（预习教材P 40~ P 43，找出疑惑之处） 问题1：观察长方体，你能发现构成空间几何体的基本要素有哪些？这些点、线、面有怎样的位置关系？本节我们将讨论这个问题. 2.平面的概念： 问题2：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？ 问题3：什么是平面呢? 如何画平面？平面如何表示呢? 问题4：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点与直线、点与平面的位置关系怎么表示？直线与平面？ A a A a A α A α 用符号语言表示： 3.平面的基本性质： 问题5：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢? 问题6：公理1的文字语言如何叙述，符号语言如何符号语言如何表示？表示？ 问题7：公理1有何作用？ 问题8：两点确定一条直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？ 问题9：公理2的文字语言如何叙述，符号语言如何表示？ 问题10：你从公理2出发还能得出哪些推论？它们的作用是什么？ 问题11：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么? 问题12：公理3的文字语言如何叙述，符号语言如何表示？ 问题13：公理3有何作用？ 二、自学检测 例1：如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 例2：如图在正方体ABCD A B C D ''''-中，判断下列命题是否正确，并说明理由： ⑴直线AC 在平面ABCD 内； ⑵设上下底面中心为,O O '，则平面AA C C ''与平面BB 'D D ' 的交线为OO '； ⑶点,,A O C '可以确定一个平面； ⑷平面AB C ''与平面AC D '重合； ⑸由,,A C B ''确定的平面是ADC B ''； 练 一练 ：用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外； ⑵直线a 经过平面α外的一点M ； ⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内. 4.课堂练习：43页 1,2,3,4. 5.课外作业：51页 习题2.1 A 组 1,2 三、巩固训练： 1. 下面说法正确的是（ ）. ①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示. A.① B.② C.③ D.④ 2. 下列说法正确的是（ ）. ①空间任意三点可以确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形 ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一条直线的两条直线平行； ⑦一条直线与两条平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 3.直线12,l l 相交于点P ，并且分别与平面γ相交于点,A B 两点，用符号表示为____________________. 4..平面α?平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，且AB l R ?=,过A 、B 、C 三点确定平面γ，则βγ?= （ ） A ． 直线AC B ．直线BC C ．直线CR D ．以上都不对. 5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个 ※ 学习小结 1. 平面的特征、画法、表示； 2. 平面的基本性质(三个公理)； 3. 用符号表示点、线、面的关系. ※ 知识拓展 平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题. 四、拓展延伸 1.①两个平面α，β可将空间分成几部分？ ② 已知a αβ?=，b βγ?=，c αγ?=，则平面α，β，γ可将空间分成几部分？ O ' O B ' C ' D 'A ' D C B A

最全的高中数学数列练习题-附答案与解析

数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题 11．设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋ f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 . 12．已知等比数列{a n }中，

高中数学直线平面平行的性质及判定

一、空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= 二、空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 3 34R V π= 三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ?α，b ?α，且a ∥b ?a ∥α。 (1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行． (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想． (3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理. 【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心． 求证：PQ ∥平面BCC 1B 1. 证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE 1 2 A 1 B 1.同理QF 1 2 AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF . ∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF . 又PQ ?平面BCC 1B 1，EF ?平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1. 2 22r rl S ππ+=

全国高中数学联赛平面几何题

全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N

5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0

高中数学-直线与平面平行判定和性质

高中数学-立体几何典型例题一 例1简述下列问题的结论，并画图说明： (1) 直线a 平面 ，直线b a A ，则b 和 的位置关系如何? ，直线b//a ，则直线b 和 的位置关系如何? (1) 由图(1)可知：b 或b A ； (2) 由图(2)可知：b//或b . 典型例题二 例2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， Q 是PA 的中点，求证： PC//平面BDQ . 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以 了. 证明：如图所示，连结 AC ，交BD 于点0 , ???四边形 ABCD 是平行四边形 ??? AO CO ，连结0Q ，则0Q 在平面BDQ 内， APC 的中位线， ? PC // 0Q . ??? PC 在平面BDQ 外, ? PC//平面 BDQ . 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样 找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知 直线和交线平行，那么就能够马上得到结论?这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行. 典型例题三 (2)直线a 分析： 且 OQ 说明:

例3经过两条异面直线a, b之外的一点P，可以作几个平面都与a , b平行？并证明你的结论. 分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论. 解：（1）当P点所在位置使得a , P （或b , P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P点再作不出与a , b都平行的平面； （2）当P点所在位置a , P （或b , P）本身确定的平面与b （或a）不平行时，可过点P作a//a , b 〃b.由于a , b异面，则a , b不重合且相交于P .由于a b P , a , b确定的平面，则由线面平行判定定理知：a// , b〃?可作一个平面都与a , b平行. 故应作“ 0个或1个”平面. 说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论?可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论. 典型例题四 例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另 已知：直线a//b, a//平面，b . 求证：b// . 证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面 . 设c, ??? a// ??? a//c. 又??? a//b, ? b//c. ??? b , c , ? b// . 说明：根据判定定理，只要在内找一条直线c//b，根据条件a// ，为了利用直线和平面平行的性 质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化. 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的. 典型例题五 例5已知四面体S ABC的所有棱长均为a .求: （1 ）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长;

高中数学平面

平面 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力． 平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础．平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．“平面”是空间图形的基本元素，很多空间图形的面都是平面图形，平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容，因此，要建立起“空间问题平面化”的观点． 2．虽然日常生活中的平面物体有一定的局限，但作为立体几何中的“平面”无大小之分，是无限延展的． 3．平面可用图形表示，也可用符号表示，应理清与其它图形表示法的联系与区别． （二）能力训练点 1．通过“平面”概念的教学，初步培养空间想象能力，如平面的无限延展性． 2．由叙述语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力． （三）德育渗透点 通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象，特殊与一般的辩证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点． 二、教学重点、难点及解决办法 1．教学重点 （1）从客观存在的平面物体抽象出“平面”概念．

（2）掌握点、直线、平面间的相互关系，并会用文字、图形、符号语言正确表示． （3）理解平面的无限延展性． 2．教学难点 （1）理解平面的无限延展性． （2）集合概念的符号语言的正确使用． 3．解决办法 （1）借助实物操作，抽象出“平面”概念． （2）运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性． 三、课时安排 1课时． 四、学生活动设计 准备好纸板三块，纸盒一个，小竹签四根．纸板作为平面的模型，纸盒用于观察平面的位置，以便同画出的图形比较，小竹签用于表示直线． 五、教学步骤 （一）明确目标 1．能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”． 2．理解平面的无限延展性． 3．正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系． （二）整体感知 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力． 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等．而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点．在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相

《高中最全数学解题的思维策略》

一、 《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图， 昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们 下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程， 去年高考难，很多学生数学考得也很不错， ，很多人可能会问补课 有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留 学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了， 补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高 考中分数的重要性， ，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了， 家长就说， ，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主 体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生 反映最后对我们 3 个教的还不错， 我先讲一下我补课大概基本要讲的内容， 把大家数学必修的知识点 基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多 好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家 讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下 一些英语，语文和其他科目的技巧。 导 读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效 的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻 牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分 钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填空 题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道大 题都快做完了，这下就慌了，心想肯定完了，最后整个卷子全部慌了，后面计算正确率 也不高了，整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀，先做会的，把整个卷子会做的做 完了，再去做会做的，即使有些题不会做也没关系，大题都是按步骤给分，步骤对了，

高中数学：直线、平面平行的判定与性质练习

高中数学:直线、平面平行的判定与性质练习 (时间:30分钟) 1.已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是( C ) (A)存在一条直线b,a∥b且b?α (B)存在一条直线b,a⊥b且b⊥α (C)存在一个平面β,a?β且α∥β (D)存在一个平面β,a∥β且α∥β 解析:在A,B,D中,均有可能a?α,错误;在C中,两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,故C正确. 2.(全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A ) 解析:如图,O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A. 3.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( C ) (A)a∥b,b?α,则a∥α (B)a,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β (C)a⊥α,b∥α,则a⊥b (D)当a?α,且b?α时,若b∥α,则a∥b 解析:由a∥b,b?α,也可能a?α,A错;B中的直线a,b不一定相交,平面α,β也可能相交,B 错;C正确;D中的直线a,b也可能异面,D错.故选C.

4.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( D ) (A)不存在(B)只能作出1个 (C)能作出无数个(D)以上都有可能 解析:设直线l外两点确定直线AB,①当AB与l相交时,满足题意的平面不存在;②当AB与l 异面时,满足题意的平面只能作一个;③当AB∥l时,满足题意的平面有无数多个. 5.(咸宁模拟)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 中,点D为AC的中点,点D 1 是A 1 C 1 上的一点,若DC 1 ∥平 面AB 1D 1 ,则等于( B ) (A)(B)1 (C)2 (D)3 解析:因为DC 1∥平面AB 1 D 1 ,DC 1 ?平面ACC 1 A 1 ,平面ACC 1 A 1 ∩平面AB 1 D 1 =AD 1 ,所以DC 1 ∥AD 1 ,又AD ∥C 1D 1 ,所以四边形ADC 1 D 1 是平行四边形,所以AD=C 1 D 1 .又D为AC的中点,所以D 1 为A 1 C 1 的中点, 所以=1. 6.(丽江模拟)若正n边形的两条对角线分别与平面α平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α,那么n的取值可能是( A ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)12 解析:因为正五边形的对角线都相交,所以正五边形所在的平面一定与平面α平行. 7.(益阳模拟)设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若a?α,b?α,a,b是异面直线,那么b∥α; ②若a∥α且b∥α,则a∥b; ③若a?α,b∥α,a,b共面,那么a∥b; ④若α∥β,a?α,则a∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是. 解析:①中的直线b与平面α也可能相交,故不正确;②中的直线a,b可能平行、相交或异面,故不正确;由线面平行的性质得③正确;由面面平行的性质可得④正确. 答案:③④