齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）

一、齐次线性方程组的解法

【定义】 r (A )= r

(1) ,,

,n r -12ξξξ线性无关;

(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,

,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.

称n r n r k k k --=++

+1122X ξξξ为AX = 0的通解 。其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).

齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则

(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ?矩阵）满足()r A n =，则只有零解；

]

(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.

（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）

注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组

AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：

（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数

大于方程的个数就一定有非零解；

（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；

$

若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A 为m n ?矩阵）通解的三步骤

（1）??

→A C 行

（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;

(3) 写出通解n r n r k k k --=++

+1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.

【例题1】 解线性方程组12

341

23412341

2

3

4

2350,320,4360,2470.

x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=??

+-+=??-+-=?

解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵

12

472315071014312143001641367124726000743A --????-??-??

??-????=→→-????-????--????

????

@

显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.

解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠）

，不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：231531

2132704

13

6

1247

A --=

=≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.

注：此法仅对n 较小时方便

【例题2】 解线性方程组12

34512

3452

34512

3

4

5

0,3230,2260,54330.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??

+++=??+++-=?

解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵

1

111

13

2113012265

4331A ??

??-?

?=??

??

-??14

12

(5)(3)r r r r ?-+?-+????→

11111012260122601226????----??????----??

2123242

(1)(1)r r r r r r r ++?-+-?????→

10115012260000000000---????????

??

??

可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

13

4523

4

55,226.

x x x x x x x x =++??

=---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）

令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；

`

令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为

112100ξ????-????=????????，212010ξ????-????=????????，356001ξ????-????=????????

.

所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ?=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关

1112

111222221()00r

n r n rr

rn r r c c c c d c c c d c c d d +????

??

??

??→?

?????

?????

?

A b 行

其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知

1(1)0r d +≠时,原方程组无解.

1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解.

?

1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.

其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。

其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系，0η为AX = b 的特解，

【定理1】 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解，α是其导出组AX=0的一个解，则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解。

【定理2】如果0η是非齐次线性方程组的一个特解，α是其导出组的全部解，则αη+0是非齐次线性方程组的全部解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110

其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解，r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系。 【例题3】判断下列命题是否正确, A 为m

n 矩阵.

(1)若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因r (A )=n , r (A )= n = r (A |b )

@

(2)若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因r (A )

(3)若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, r (A )= r (A |b ) =n. (4)若AX =0有非零解,则A T X=0也有非零解. 答:错,A 为m

n , r (A )=m

(5)若r (A )=r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,r (A )=r =m= r (A |b ) . (6)若r (A )=r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m n ,当m

n 时, 可以r (A |b ) =n +1.

⑴ 唯一解：()()r A r A n == ?线性方程组有唯一解

【例题4】 解线性方程组1231

231

2

3

21,224,44 2.

x x x x x x x x x ++=??

-+=-??++=-? 解：2113(2)(4)1121112

1()2124032641420346r r r r A A B ?-++-+????????==--?????→---????

????----????

)

)33231

1(224(3

r r r r r ?-?+?-+?????→21()3100110010306010200100010r ?---????????--?????→???????????? 《

可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为123

1,

2,0.x x x =-??

=??=?

⑵ 无解：()()r A r A ≠?线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现100r d +=≠，则原方程组无解）

【例题5】解线性方程组1231

231

2

3

21,22,2 4.

x x x x x x x x x -++=??

-+=-??+-=? 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ??+?-+---????????==--?????→--????????--????23r r +????→121203330003--??

??--??

????

，

可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解.

⑶ 无穷多解：()()r A r A n =

【例题6】解线性方程组12341

2

413

4

23,231,2210 4.

x x x x x x x x

x x +-+=??

+-=??--+=?

解：1213(2)2111231112

3()21031012752021040241410r r r r A A B ?-+?+--????????==-??????→---????

????---????

2321221(1)10

1520127500000r r r r r ?+?+?---?????????→-??????

可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

13423

425,527.

x x x x x x =--+??

=+-? （其中3x ,4x 为自由未知量）

/

令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-????

??=??????

.

又原方程组的导出组的同解方程组为13

423

45,27.

x x x x x x =-+??

=-?（其中3x ,4x 为自由未知量）

令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-，

于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-??????=??????，25701ξ????

-??=??????

。

所以，原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++（1k ，2k R ∈）.

【例题7】 求线性方程组：1

2341

2341

2

3

4

21,

22,2 3.

x x x x x x x x x x x x +-+=??

++-=??+++=? 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -????==-??

????

12

12

13(2)(1)r r r r r r ??-+?-+????→ 12

1120333301121-????---????-??

23

r r ????→ 121120112103333-????-????---?? 23

212(3)(2)(1)

r r r r r ?-+?-+?-????→ 10

3340112100636????---????---??

33331()

3123()

2

12

r r r r ?-?

?-?????→310012301002100112??

????

??-??????????

可见()()34r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为

$

1

4243

431,2

3,211.2x x x x x x ?

=-??

?

=

??

?

=-??

（其中4x 为自由未知量） 令40x =，可得原方程组的一个特解1010η??

??

??=??????

.

又原方程组的导出组的同解方程组为1

4243

43,2

3,21.2x x x x x x ?

=-??

?

=??

?

=-??

（其中4x 为自由未知量）

令42x =-（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得1233,3,1x x x ==-=，

于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ??

??

-??=????-??

.

所以，原方程组的通解为 X k ηξ=+ （k R ∈）.

【例题8】求非齐次线性方程组???????=+-++-=---+=-++=+-++5

54931232362323354321543214

32154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。

解：

???????

??----------→???????

??-------=421

5

00

421500421500

31

2331515493111231203162312331A ????

?

?

? ??----→00000000000042150031

2331 因为52)()(<==A r A r ，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为542,,x x x ， 原方程组与方程组??

?-=-+-=+-++4

253

23354354321x x x x x x x x 同解

{

取自由未知量542,,x x x 为?

???

? ??000，得原方程组的一个特解： T ???

??=0,0,54,0,530η

再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组?

?

?=-+-=+-++0250

23354354321x x x x x x x x 同解

对自由未知量542,,x x x 分别取???

?

? ??????? ?????

??

??100,010,

001，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：???????? ??-=???????

? ??=?

?

?

??

?

?? ??-=100,010,0001352513515721ααα 则原方程组的全部解为：0332211ηααα+++=C C C X 三、证明与判断

【例题9】已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，证明,,211ηηη+321ηηη++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系。

证：由已知可得：齐次线性方程组AX ＝0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可

知321211,,ηηηηηη+++都是AX ＝0的解；因此只要证明321211,,ηηηηηη+++线性无关即可。 设存在数321,,k k k 使

0)()(321321211=+++++ηηηηηηk k k 成立。 整理得： 0)()(332321321=+++++ηηηk k k k k k （1）

…

已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，即得321,,ηηη线性无关，则由(1)得

??

?

??==+=++000332321k k k k k k ，解得：0321===k k k 所以321211,,ηηηηηη+++线性无关。 即321211,,ηηηηηη+++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系。 【例题10】已知,,,1234ξξξξ是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，若

,,,t t t =+=+=+112223334ξξξξξξηηη t =+441ξξη。

讨论t 满足什么条件时,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系

解：首先，,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的解，只须证,,,1234ηηηη线性无关.

由已知有：(,,,)(,,,)t t

t t

?? ?=

? ???

123412341

00100010001ξξξξηηηη 因为：,,,1234ηηηη线性无关0t t

t t

?

≠1001000100

01， 即t t t t

=10

0100

0100

01

t -≠041， 所以当t 1时, ,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系

【例题11】已知n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且r (A )=n -1,求线性方程组AX =0的通解. 解 ：由r (A )=n -1知AX =0的基础解系有一个非零解向量.

、

又0,

,,

,i i in a a a i n ++

+==1212， 即0i i in a a a ?+?++?=12111

T (,,

,),k ∴=111X （k 为任意常数）为所求通解.

【例题12】设X 1,X 2,…, X t 是非齐次线性方程组 AX =b 0 的解向量,

证明： 对于X 0=k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t

当k 1 +k 2+…+k t =1时, X 0是AX =b 的解；当k 1 +k 2+…+k t =0时, X 0是AX =0的解. 证 ：AX 0=A (k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t ) =k 1 AX 1+k 2 AX 2+…+k t AX t =k 1 b +k 2 b +…+k t b =(k 1+k 2+…+k t )b

故：当k 1+k 2 +…+k t =1时, AX 0 =b 当k 1 +k 2+…+k t =0时, AX 0=0

由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解!

【例题13】已知,12ηη为=AX β的两个不同解,12,ξξ是0AX =的一个基础解系.12,k k 为任意常数. 则

=AX β的通解为（ ） 答案B

*

(A)().k k -+++

12

112122

ξξξηη (B)().k k ++-+

12

112122

ξξξηη

(C)().k k -+++

12

112122

ξηηηη (D)().k k ++-+

12

112122

ξηηηη

【例题14】设321,,ηηη是四元非齐次线性方程组AX ＝b 的三个解向量，且矩阵A 的秩为3，

()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ηηη，求AX ＝b 的通解。

解：因为A 的秩为3，则AX ＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量。

由线性方程组解的性质得：)()(21312132ηηηηηηη-+-=-+是AX ＝0的解， 则解得AX ＝0的一个非零解为：()T

5,4,3,22132----=-+ηηη。

由此可得AX ＝b 的通解为：()()T

T

c 5,4,3,24,3,2,

1+。

【例题15】设A 是4阶方阵, β(≠0)是4×1矩阵, 1234()2,,,,=r A ηηηη是AX =β的解,

且满足 122334232401,2,3030831????????????

+=+=+=??????????????????

ηηηηηη

试求方程组AX =β的通解.

~

解：先求AX =β的一个特解12112()02

4*

??

??=+=??????

ηηη

再求AX =β的一个基础解系

112230112()(2)123

3????=+-+=??-????ξηηηη，21234272()(3)015??

??=+-+=??????

ξηηηη

因为124()2,

,R -=A ξξ线性无关，所以12,ξξ是0AX =的一个基础解系.

故方程组AX =β的通解是

1122k k *=++=X ξξη121022*********k k ??????

??????

++??????-????????????

， 12,k k 为任意常数.

【例题16】设矩阵A ＝()

()s n ij n

m ij

b B a ??=,。

证明：AB ＝0的充分必要条件是矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。

证：把矩阵B 按列分块：()s B B B B ,,,21 =，其中i B 是矩阵B 的第i 列向量),2,1(s i =，

零矩阵也按列分块()s s m O O O O ,,,21 =? 则()s AB AB AB AB ,,,21 = 必要性：AB ＝0可得： ),,2,1(,

s i O AB i i ==，即i B 是齐次方程组AX=0的解。

充分性：矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，

即有 ),,2,1(,

s i O AB i i ==

得：()s AB AB AB AB ,,,21 =()s O O O ,,,21 =，即证。

齐次和非齐次线性方程组的解法

线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】r(A)= r

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论 摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。 关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换 引言 非其次线性方程组???????=+++=+++=+++n n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222222********* （Ⅰ） 的矩阵形式为B AX =.取0=B ,得到其次线性方程组0=AX 称为非其次线性方程组B AX =的导出组。我们知道非其次线性方程组B AX =的解有以下的一些性质： （1） 若1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，1v 是其导出组0=AX 的一个解，则 11v u +也是0=AX 的一个解。 证明：因为1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，所以有B Au =1，同理有01=Av ，则由()B B Av Au v u A =+=+=+01111.所以11v u +是非其次线性方程组B AX =的解。 （2） 若21,v v 是非其次线性方程组的两个解，则21v v -是其导出组的解 证明：由B Av =1,B Av =2,所以有()02121=-=-=-B B Av Av v v A ,故21v v -为其导出组的解。 2.定理 （非其次线性方程组解的结构定理）若1v 是非其次线性方程组B AX =的一个解，v 是其导出组的通解，则11v v u +=是非其次线性方程组的通解。 证明：由性质（1）可知1u 加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解* v ，一定是1u 与其导出组某一个解1v 的和，取 1*1u v v -= 由性质（2）可知，1v 是导出组的一个解，于是得到11* v u v +=，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。 由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表

齐次和非齐次线性方程组的解法

线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组； 若()r A n >，则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0（A 为m n ?矩阵）通解的三步骤 （1）?? →A C 行 （行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12L ξξξ; (3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122L X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组； $ 若()r A n >，则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0（A 为m n ?矩阵）通解的三步骤 （1）?? →A C 行 （行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ; (3) 写出通解n r n r k k k --=++ +1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组解得结构得进一步讨论摘要:本文通过矩阵得初等变换及非齐次线性方程组得解得有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组得解得结构问题,虽然非齐次线性方程组得解向量得全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组得基础解系得解向量组,这个解向量组线性无关。并且得任意一个解都可以由这个解向量组线性表示、最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解得充要条件,并给出了相应例题。 关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换 引言 非其次线性方程组(Ⅰ) 得矩阵形式为。取,得到其次线性方程组称为非其次线性方程组得导出组。我们知道非其次线性方程组得解有以下得一些性质: （1）若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得一个解,则也就是得一个解。 证明:因为就是非其次线性方程组得一个解,所以有,同理有,则由。所以就是非其次线性方程组得解。 （2）若就是非其次线性方程组得两个解,则就是其导出组得解 证明:由,,所以有,故为其导出组得解。 ２。定理 (非其次线性方程组解得结构定理)若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得通解,则就是非其次线性方程组得通解。 证明:由性质(1)可知加上其导出组得一个解仍就是非其次线性方程组得一个解,所以只需证明,非其次线性方程组得任意一个解,一定就是与其导出组某一个解得与,取 由性质(2)可知,就是导出组得一个解,于就是得到,即非其次线性方程组得任意一个解与其导出组得某一个解得与。 由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组得解得全体可以用基础解系来表示。因此,根据定理我们可以用导出组得基础解系来表示出一般方程组得一般解,如果就是方程组(Ⅰ)得一个特解,就是其导出组得一个基础解系,那么(Ⅰ)得任一个解都可以表示成: 3。由上面2得证明过程,我们可以知道其次线性方程组得全部解可由基础解系线性表示出(其基础解系含有个解向量),即为任意实数。那么,当非其次线性方程组有解时,则至多有多少个线性无关得解向量?得全部解又如何表示? 定理 若其次线性方程组得基础解系为,当非其次线性方程组有解时,则它至多且一定有个线性无关得解向量,得通解可以表示为为满足关系式,得任意实数。 证明:(ⅰ)若就是非其次线性方程组得解,则为非零解向量,那么向量组,线性无关(否则可由线性表示,与就是得解矛盾)。那么,易证都就是得解,并且线性无关。这说明至少有个线性无关得解向量。 下面再证至多有个线性无关得解向量。 反证:若有个线性无关得解向量,那么易证均为得解,并且线性无关。这样具有线性无关得解向量矛盾,所以,至多且一定有个线性无关得解向量。 (ⅱ)对于得任意一个解,一定可以表示成它得一个特解与其导出组得基础解系得线性组合,即为任意常数 那么

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组Ax=b 一、基本理论 线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩. 非齐次线性方程组的解集结构： 若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ). 解非齐次线性方程组的方法： 通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解. 二、Matlab 实现 调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解. 若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b . 三、例子 例1. 求解线性方程组 123452451234512351 2 3 4 5 343226333 434222026231 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=??---=-??-++-=??++-=?-+-++= ?? A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b] A1 = 3 - 4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1 rref(A1) ans = 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

齐次和非齐次线性方程组的解法精编日

齐次和非齐次线性方程组的解法精编日 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组() =，则只有零解； r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() r A n <.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 m n A=.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，() ≤<，此时齐次线性方 r A m n 程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=； （3）当m n A≠，故齐次线=且() =时，此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解；

（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式： 231531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 例 解线性方程组123 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++??=---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知 量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为

非齐次线性方程组同解的判定和同解类

非齐次线性方程组同解的判定和同解类 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题. 预备知识 定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得 B PA =。 定理2设A 、B 为m n ?矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得 CA B = 则存在m m ?可逆矩阵P ，使得 PA B = 证明 设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使 011A P A A ??=????, 01B QB B ??=???? 其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出， 于是矩阵00A B ?? ???? 的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无 关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得 00r B P A = 又设 110A C A =，12020r B C B C P A == 令 221 0r r n r P P C P C I -?? =? ?-?? 则1P 为可逆矩阵，且

齐次和非齐次线性方程组的解法日

齐次和非齐次线性方程组 的解法日 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理 齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时， 齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 0A =； （3）当m n =且()r A n =时，此时系数矩阵的行列式0A ≠，故齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=?

齐次和非齐次线性方程组的解法

线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组() =，则只有零解； r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() <.（注：当 r A n A=.）=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 m n 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，() ≤<，此时齐次线性方程组 r A m n 一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=； （3）当m n A≠，故齐次线=且() =时，此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解；

（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组1 2 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判 断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：2 31531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知 方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 例 解线性方程组12 3 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++?? =---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为