压缩映射原理在求极限中的应用

压缩映射原理在求极限中的应用

张烁

摘要：压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决数学极限中的优越性.

关键词：压缩映射原理极限

压缩映射原理是著名的波兰数学家Stefan Banach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用.在前人的基础上，结合自己的学习体会，归纳总结了压缩映射原理在求数列极限中的应用，进一步展示其优越性.

1 压缩映射

定义1 若X是度量空间, T 是x 到x 中的映射, 如果存在一个数α，0< α<1, 使得对所有的x , y∈x ,

d( Tx , Ty ) ≤αd( x , y) ,

则称T 是X 上的一个压缩映射,α称为压缩常数。

定义2设X 为一非空集, T ∶X →X 是一个映射, 如果有x 3 ∈X 使得T x 3= x 3 , 则称x 3为映射T 的一个不动点。

定理1 （压缩映射定理）设X是完备的度量空间T是X上的压缩映射，那

么T只有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x，有且只有一个解）.

证明任取x0∈X , 令x1= Tx 0, x2 = Tx 1, ??, x n+1=

Tx n, ?.我们先证明{ x n } 是基本列.

ρ( x2, x1 ) = ρ( T x 1, Tx 0 ) ≤αρ( x1, x0 ) = αρ( Tx 0 , x0 ) ,

ρ( x3, x2 ) = ρ( T x 2, Tx 1 ) ≤αρ( x2 , x1 ) = α2ρ( Tx 0 , x0 ) .

一般, 由归纳法可得ρ( x n+1, x n ) ≤αnρ( Tx 0, x0 ) ( n = 1 , 2 , ?) , 于是,

对于任意的正整数P , 有

ρ( x n+ p , x n )≤ρ(x n+ p , x n+ p- 1 ) +ρ( x n+ p- 1 , x n+ p - 2 ) + ?,ρ( x n+1 , x n ) ≤

(αn+ p- 1 +αn+ p- 2 +?+αn )ρ( Tx 0 , x0 ) = αn ( 1 - αp ) ρ( Tx 0, x0）/(1 - α) ≤

αn /（1 -α）ρ( Tx 0, x0 )。

因为0 ≤α≤1 , 当n →∞,ρ( x n+ p, x n ) →0 , 即{ x n } 是基本列。由于X 是

完备空间, 存在x n∈X , 使得x n→x n。再由T 的连续性, 在( 1) 中, 令n

→∞, 就得到x n= Tx n .

再证唯一性。如y n也是T的一个不动点, 即y n=Ty n,则有

ρ( x n，y n) = ρ( Tx n, Ty n) ≤αρ( x n，y n).

由于0≤α< 1 , 做ρ( x n, y n) = 0 , 即x n=y n .

推论设X是完备距离空间, TX→X 。如果存在常数α( 0 ≤α< 1)及正整n0 ,使对任何x , y∈X 都有ρ( T n0 x , T n0y) ≤αρ( x , y) , 则T 存在唯一的不动点(其中T no可

以归纳定义如下: T2 x=T（Tx），T3 ( x) = T ( ( T2x) , ?) .

定理1′对数列{ x n},若存在常数h :0

证明n , p ∈N, 有

|x n+p-x n| ≤|x k - x k+1|≤h k- 1·| x1 - x0|=|x1- x0|·（h n-h n+p）/（1-h）

≤| x1-x0| ·h n/(1-h )→0 , 所以{ x n } 为基本列, 从而{ x n } 收敛。

若递推公式由一元可微函数x n= f ( x n- 1 ) 给出, 则可通过f 的导数f ′来考察。

若存在实数h , 使得|f ′(x) |≤r < 1 , 则应用微分中值定理, 可知{ x n } 满足压

缩映射的条件

|x n+1-x n|=|f ( x n ) - f ( x n- 1 )|=|f ′(ζ)|| x n - x n- 1|≤h|x n - x n- 1 | .

2 压缩映射原理在求数列极限中的应用

例设 c > 0 , x n+1=c（1+x n）/（c+x n）( c >1为常数）.

解构造函数f ( x) = x（1+x）/（c+x）

显然，f ( x) 在( 0 , + ∞) 连续可导。因x n> 0 ,

当x > 0 时f ′( x) =[ c（1+x）/(c+x)}’=c(c-1)/(c+x)2

且由c > 1 知f ′( x)c(c -1)/(c+x)2≤c(c-1)/c2=1-1/c< 1 , 故x n+1 = f ( x n ) 为压缩映射。由定理1’知{ x n }收敛.

数学分析中很多问题的解决都得益于把已知条件往解决方法原理的条件上“凑”，这种“凑”是一种技巧、策略，它是解决数学分析中问题的常见策略，数列极限的求解方法多种多样，每种方法都有其条件要求和适用范围，需要灵活运用.压缩映射原理也不例外，在应用是时一定要注意条件的验证，同时要注意其使用范围.

参考文献：

[1]徐新亚，夏海峰.数学分析选讲[M].上海：同济大学出版社，2008（8）：9-17.

[2]陈守信.数学分析选讲[M].北京：机械工业出版社，2009（9）：1-8.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006

（4）：32-60.

[4]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义（上册）[M].北京：北京大学出版社，2006（12）：4-8.

常用图像压缩方法

常用图像压缩方法 概述了常用的图像压缩方法，包括行程长度压缩，霍夫曼编码压缩，LZW压缩方法，算术压缩方法，JPEG压缩等。 一、行程长度压缩 原理是将一扫描行中的颜色值相同的相邻像素用一个计数值和那些像素的颜色值来代替。例如:aaabccccccddeee，则可用3a1b6c2d3e来代替。对于拥有大面积，相同颜色区域的图像，用RLE压缩方法非常有效。由RLE原理派生出许多具体行程压缩方法: 1. PCX行程压缩方法 该算法实际上是位映射格式到压缩格式的转换算法，该算法对于连续出现1次的字节Ch，若Ch>0xc0则压缩时在该字节前加上0xc1，否则直接输出Ch，对于连续出现N次的字节Ch，则压缩成0xc0＋N，Ch这两个字节，因而N最大只能为ff－c0=3fh(十进制为63)，当N大于63时，则需分多次压缩。 2. BI_RLE8压缩方法 在WINDOWS3.0、3.1的位图文件中采用了这种压缩方法。该压缩方法编码也是以两个字节为基本单位。其中第一个字节规定了用第二个字节指定的颜色重复次数。如编码0504表示从当前位置开始连续显示5个颜色值为04的像素。当第二个字节为零时第二个字节有特殊含义:0表示行末;1 表示图末;2转义后面2个字节，这两个字节分别表示下一像素相对于当前位置的水平位移和垂直位移。这种压缩方法所能压缩的图像像素位数最大为8位(256色)图像。 3. BI_RLE压缩方法 该方法也用于WINDOWS3.0/3.1位图文件中，它与BI_RLE8编码类似，唯一不同是:BI_RLE4的一个字节包含了两个像素的颜色，因此，它只能压缩的颜色数不超过16的图像。因而这种压缩应用范围有限。 4. 紧缩位压缩方法(Packbits) 该方法是用于Apple公司的Macintosh机上的位图数据压缩方法，TIFF规范中使用了这种方法，这种压缩方法与BI_RLE8压缩方法相似，如 1c1c1c1c2132325648压缩为:831c2181325648，显而易见，这种压缩方法最好情况是每连续128个字节相同，这128个字节可压缩为一个数值7f。这种方法还是非常有效的。

极限压缩文件方法

极限压缩文件方法 介绍如何使1G的文件压缩到1M的文件。 1.常见文件压缩 首先我们用WinRAR的最高压缩率对常见的文本文件、程序文件和多媒体文件进行压缩，其压缩结果如下(见图1): 压缩后分别还是挺大的 从上图可以看出，多媒体文件压缩比最低，与原文件相差无几，而文本文件和程序文件压缩比要高一些，最高达到3:1，从实际经验来看，我们平时常见的文件压缩比都在10倍以下。 那么，再来看看这个RAR压缩包(见图2)，注意其中的原文件大小和压缩后的包裹大小分别为16777215和18407，这是多大的比例？笔者用计算器算了一下，约等于911:1，接近1000倍的压缩比！这是怎么回事？真的假的？跟我一起继续做下面的试验就明白了。 这个简直是不可思议 2.把大象装进瓶子里 这里笔者从自己的电脑里随便找了个文件“数字图像噪声和去除.htm”，这是笔者在浏览网页时使用另存为功能从网上下载的文章，大小为125KB。 第一步:压缩为ZIP文件。右键单击“数字图像噪声和去除.htm”文件，选择

“WinRAR→添加到档案文件”，在压缩选项对话框中选择“档案文件类型”为“ZIP”，“压缩方式”为“最好”(见图3)，单击“确定”开始压缩。可以看到压缩后的“数字图像噪声和去除.zip”文件只有19KB，压缩率还不错，不过仍离我们的目标相去甚远。 第二步:用WinRAR打开“数字图像噪声和去除.zip”，记下“大小”列中显示的原文件大小数值“127594”，打开计算器程序，单击“查看”菜单选择“科学型”，输入数字“127594”，再点击“十六进制”选项将其转换为16进制值，结果是“1F26A”(见图4)。 用科学型计算器认真算一下 第三步:用UltraEdit编辑器打开“数字图像噪声和去除.zip”文件，我们要在文件中找到“1F26A”的数据，不过由于文件中的十六进制数是高低位倒置表示的，所

压缩映射原理在求极限中的应用

压缩映射原理在求极限中的应用 张烁 摘要：压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决数学极限中的优越性. 关键词：压缩映射原理极限 压缩映射原理是著名的波兰数学家Stefan Banach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用.在前人的基础上，结合自己的学习体会，归纳总结了压缩映射原理在求数列极限中的应用，进一步展示其优越性. 1 压缩映射 定义1 若X是度量空间, T 是x 到x 中的映射, 如果存在一个数α，0< α<1, 使得对所有的x , y∈x , d( Tx , Ty ) ≤αd( x , y) , 则称T 是X 上的一个压缩映射,α称为压缩常数。 定义2设X 为一非空集, T ∶X →X 是一个映射, 如果有x 3 ∈X 使得T x 3= x 3 , 则称x 3为映射T 的一个不动点。 定理1 （压缩映射定理）设X是完备的度量空间T是X上的压缩映射，那 么T只有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x，有且只有一个解）. 证明任取x0∈X , 令x1= Tx 0, x2 = Tx 1, ??, x n+1= Tx n, ?.我们先证明{ x n } 是基本列. ρ( x2, x1 ) = ρ( T x 1, Tx 0 ) ≤αρ( x1, x0 ) = αρ( Tx 0 , x0 ) , ρ( x3, x2 ) = ρ( T x 2, Tx 1 ) ≤αρ( x2 , x1 ) = α2ρ( Tx 0 , x0 ) . 一般, 由归纳法可得ρ( x n+1, x n ) ≤αnρ( Tx 0, x0 ) ( n = 1 , 2 , ?) , 于是, 对于任意的正整数P , 有 ρ( x n+ p , x n )≤ρ(x n+ p , x n+ p- 1 ) +ρ( x n+ p- 1 , x n+ p - 2 ) + ?,ρ( x n+1 , x n ) ≤ (αn+ p- 1 +αn+ p- 2 +?+αn )ρ( Tx 0 , x0 ) = αn ( 1 - αp ) ρ( Tx 0, x0）/(1 - α) ≤ αn /（1 -α）ρ( Tx 0, x0 )。 因为0 ≤α≤1 , 当n →∞,ρ( x n+ p, x n ) →0 , 即{ x n } 是基本列。由于X 是 完备空间, 存在x n∈X , 使得x n→x n。再由T 的连续性, 在( 1) 中, 令n →∞, 就得到x n= Tx n . 再证唯一性。如y n也是T的一个不动点, 即y n=Ty n,则有 ρ( x n，y n) = ρ( Tx n, Ty n) ≤αρ( x n，y n). 由于0≤α< 1 , 做ρ( x n, y n) = 0 , 即x n=y n . 推论设X是完备距离空间, TX→X 。如果存在常数α( 0 ≤α< 1)及正整n0 ,使对任何x , y∈X 都有ρ( T n0 x , T n0y) ≤αρ( x , y) , 则T 存在唯一的不动点(其中T no可 以归纳定义如下: T2 x=T（Tx），T3 ( x) = T ( ( T2x) , ?) . 定理1′对数列{ x n},若存在常数h :0

技巧：将Word表格压缩进行到底(多图)

技巧：将Word表格压缩进行到底(多图) 近日从网上下载一个包含Word表格的文件，此表格内容多、尺寸大，要将它排列到A4纸上，着实费了一番功夫，下面就看看我是如何压缩表格的尺寸的。当然减小表格中文字字号是最有效的办法，但要适可而止，主要还是在其他方面下功夫。 设置表格属性 在表格右键单击，从右键菜单中选择“表格属性”，打开“表格属性”对话框(如图1)。在“表格”选项止中，去掉尺寸中“指定宽度”的勾选，同样也将“行”、“列”及“单元格”选项卡中的此处勾选都去掉。单击[确定]按钮，表格自动缩小至各行、列的最小值，如果表格没有反应，尺寸没有缩小，您需要继续下面的设置。 在“表格属性”对话框的“表格”选项卡中，单击[选项]按钮，又打开了“表格选项”对话框(如图2)。勾选“自动调整尺寸以适应内容”复选框，确定后退出，重复去掉指定宽度的设置，则表格的自动缩小尺寸设置才起作用。 此时您还可以继续减小表格尺寸，在图2中，将表格的“默认单元格”间距都修改为“0厘米”，确认退出，此时表格又变小了。 利用表格控制柄 如果您使用的是Word 2000/2002，在表格的右下角会出现一个正方形控制柄，拖动此控制柄，向左上方压缩，直至最小，则快速减小表格的尺寸。 减小行间距、字间距 经过上面的调整，表格的尺寸已经大为减小了，但并不是到了极限，您还可以缩小表格尺寸，通过减小表格中字符的行间距、字间距，可继续缩小表格的尺寸。调整行间距、字间距，分别利用“段落”对话框、“字体”对话框实现！ “榨干”Word表格的最后空间 作者：网络雨青更新时间：2005-07-29 收藏此页 【IT168 办公应用】Word中制作表格时，往往会因为一两个字或一行（列）的增加使得表格无法按要 求完成，特别是有字号和其他格式限制时，更让许多新手朋友为了找出这点空间而急得抓耳挠腮。 1.让直接“拖拽”更精确 也许本列只需要再增加1、2mm就不至于使表格多出一行，其他列也许能再挤一挤，而这个数目已是 最大限度了，可是用鼠标拖动表格线时，总是无法达到理想的位置……

压缩感知理论综述(原创)

压缩感知理论综述 摘要：信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理，但其产生的大量数据造成了存储空间的浪费。压缩感知（Compressed Sensing）提出一种新的采样理论，它能够以远低于Nyquist采样速率采样信号。本文详述了压缩感知的基本理论，着重介绍了信号稀疏变换、观测矩阵设计和重构算法三个方面的最新进展，并介绍了压缩感知的应用及仿真，举例说明基于压缩感知理论的编解码理论在一维信号、二维图像处理上的应用。 关键词：压缩感知；稀疏表示；观测矩阵；编码；解码 一、引言 Nyquist采样定理指出，采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽越来越宽，以此为基础的信号处理框架要求的采样速率和处理速度也越来越高。解决这些压力常见的方案是信号压缩。但是，信号压缩实际上是一种资源浪费，因为大量的不重要的或者只是冗余信息在压缩过程中被丢弃。从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist采样机制是冗余的或者说是非信息的。 于是很自然地引出一个问题：能否利用其它变换空间描述信号，建立新的信号描述和处理的理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于Nyquist 采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号。与信号带宽相比，稀疏性能够直观地而且相对本质地表达信号的信息。事实上，稀疏性在现代信号处理领域起着至关重要的作用。近年来基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知或压缩采样的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。 简单地说，压缩感知理论指出：只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框架

压缩映射原理的质和应用

压缩映射原理的性质和应用 摘要 本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。主要内容如下： 第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。 第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。 第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。 第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。 第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。 关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程

ABSTRACT In this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows: The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem. The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof. The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect. The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples. The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc. Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation

图片格式及如何压缩图片的字节大小(kb)

如何把jpg格式的图片无损压缩？ 先用photoshop打开jpg格式的图片，然后再点击‘文件’，选择‘存储为Web和设备所用格式’，在‘品质’中可以选择输出文件的品质，在左下角就可以看到对应不同品质文件的大小；在‘图像大小’中可以设置图片输出后最小的大小。 注意：存储为“web”格式的好处是能用最小的文件换来最清楚的图象，但会丢失拍摄的有关信息，不利于今后学习，建议最后直接选“文件→储存为”JPG格式的文件，品质大小保持在60-70左右。 常见的图像文件格式又有哪些呢？ 一、BMP格式 BMP是英文Bitmap（位图）的简写，它是Windows 操作系统中的标准图像文件格式，能够被多种Windows应用程序所支持。随着Windows操作系统的流行与丰富的Windows应用程序的开发，BMP位图格式理所当然地被广泛应用。这种格式的特点是包含的图像信息较丰富，几乎不进行压缩，但由此导致了它与生俱生来的缺点--占用磁盘空间过大。所以，目前BMP在单机上比较流行。 二、GIF格式 GIF是英文Graphics Interchange Format（图形交换格式）的缩写。顾名思义，这种格式是用来交换图片的。事实

上也是如此，上世纪80年代，美国一家著名的在线信息服务机构CompuServe针对当时网络传输带宽的限制，开发出了这种GIF图像格式。 GIF格式的特点是压缩比高，磁盘空间占用较少，所以这种图像格式迅速得到了广泛的应用。最初的GIF只是简单地用来存储单幅静止图像（称为GIF87a），后来随着技术发展，可以同时存储若干幅静止图象进而形成连续的动画，使之成为当时支持2D动画为数不多的格式之一（称为GIF89a），而在GIF89a图像中可指定透明区域，使图像具有非同一般的显示效果，这更使GIF风光十足。目前Internet 上大量采用的彩色动画文件多为这种格式的文件，也称为GIF89a格式文件。 此外，考虑到网络传输中的实际情况，GIF图像格式还增加了渐显方式，也就是说，在图像传输过程中，用户可以先看到图像的大致轮廓，然后随着传输过程的继续而逐步看清图像中的细节部分，从而适应了用户的"从朦胧到清楚"的观赏心理。目前Internet上大量采用的彩色动画文件多为这种格式的文件。 但GIF有个小小的缺点，即不能存储超过256色的图像。尽管如此，这种格式仍在网络上大行其道应用，这和GIF图像文件短小、下载速度快、可用许多具有同样大小的图像文件组成动画等优势是分不开的。

陆吾生-压缩感知方法及其在稀疏信号和图像处理中的应用

陆吾生教授短期课程“压缩感知方法及其在稀疏信号和图像 处理中的应用”资料 1. 课程介绍_压缩感知方法及其在稀疏信号和图像处理中的应 用.doc 2. 陆吾生教授短期课程“压缩感知方法及其在稀疏信号和图像处理中的应用”的讲义 Lecture_Notes_CS_LWS_Final.pdf 3. 各章所涉及到的Matlab程序 Main functions Main functions.zip（内含 ex3_1.m (for Example 3.1) ex3_2.m (for Example 3.2) gp_denoise.m (for Algorithm GP in Sec.3.2) fgp_denoise.m (for Algorithm FGP in Sec.3.2) gp_deblurr.m (for Algorithm GPB in Sec.3.3) ) Auxiliary functions Auxiliary functions.zip（内含gen_dct.m oper_L.m oper_Lt.m proj_bound.m proj_pair.m gp_denoise_w.m） Data Data.zip（内含camera256.mat 及 lena256.mat）

4. 陆吾生“压缩感知方法及其在稀疏信号和图像处理中的应用”课程（1A-6B）上课录像 Lecture_LWS_1A.rmvb 2010.11.09.(220M) Lecture_LWS_1B.rmvb 2010.11.09.(231M) Lecture_LWS_2A.rmvb 2010.11.11.(252M) Lecture_LWS_2B.rmvb 2010.11.11.(193M) Lecture_LWS_3A.rmvb 2010.11.12.(225M) Lecture_LWS_3B.rmvb 2010.11.12.(200M) Lecture_LWS_4A.rmvb 2010.11.16.(239M) Lecture_LWS_4B.rmvb 2010.11.16.(169M) Lecture_LWS_5A.rmvb 2010.11.18.(239M) Lecture_LWS_5B.rmvb 2010.11.18.(226M) Lecture_LWS_6A.rmvb 2010.11.19.(256M) Lecture_LWS_6B.rmvb 2010.11.19.(224M) 5. 陆吾生教授2010.11.17.在上海大学所做的学术报告，题为：

极限的常用求法及技巧.

极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n

压缩感知原理

压缩感知原理(附程序) 1压缩感知引论 传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图2.1。 图2.1 传统的信号压缩过程 在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。 由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了压缩感知理论。该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。 2压缩感知原理 压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。压缩感知跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。CS理论利用到了许多自然信号在特定的基 上具有紧凑的表示。即这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。

压缩感知原理

压缩感知原理 1压缩感知引论 传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量 的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图 2.1。 在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。 由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了压缩感知理论。该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。 2压缩感知原理 压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。压缩感知跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。CS理论利用到了许多自然信号在特定的基上具有紧凑的表示。即这些信号 是“稀疏”的或“可压缩”的。由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。 对于一个实值的有限长一维离散时间信号 X ,可以看作为一个R N空间N X 1的 维的列向量，元素为n, n,=1 , 2,…N。R N空间的任何信号都可以用N X1维

高数-极限求解方法与技巧总结

第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性

(第一节)压缩映射原理

泛函分析题1_1压缩映射原理p9 1.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集． 证明：(1) 设(X, ρ)是完备度量空间，A?X，A是X的闭子集． 若{x n}是A中的Cauchy列，则{x n}也是X中的Cauchy列． 因(X, ρ)完备，故{x n}收敛于X中某点x． 而A是X的闭子集，且{x n}是A中的点列，故其极限x也在A中． 因此，{x n}是子空间A中收敛列． 所以，子空间(A, ρ)是完备的． (2) 设(X, ρ)是度量空间，B?X，B是X的完备子空间． 若{x n}是B中的点列，且在X中收敛于x∈X． 则{x n}是X中的Cauchy列，因此{x n}也是B中的Cauchy列． 由B是X的完备子空间，故{x n}也是B中的收敛列． 若{x n}在B中收敛于y∈B，则{x n}作为X中的点列也收敛于y． 由极限的唯一性，x∈y．故x∈B． 所以B是X中的闭子集． 1.1.2 (Newton法) 设f是定义在[a, b]上的二次连续可微的实值函数，z∈(a, b)使得 f (z) = 0，f’(z) ≠ 0．求证存在z的邻域U(z)，使得?x0∈U(z)，迭代序列 x n +1 = x n-f (x n)/f’(x n)( n = 0, 1, 2, ...) 是收敛的，并且lim n→∞x n= z． 证明：首先，由f’(z) ≠ 0，存在z的邻域V? (a, b)，使得f’在cl(V)上总不为0．设m = min {| f’(x) | x∈cl(V)}，M = max {| f’’(x) | x∈cl(V)}，则m > 0． 由f (z) = 0，存在z的邻域U= ( z -δ , z +δ ) ?V，使得 ?t∈cl(U)，| f (t) | ≤m2/( M + 1)． 设T : cl(U)→ ，T(x) = x-f (x)/f’(x)．则T在cl(U)上是连续可微的． 则?x, y∈cl(U)，存在ξ∈U，使得T(x) -T(y) = T’(ξ)(x-y)． 故| T(x) -T(y) | = | T’(ξ) | · | x-y | = | f(ξ) f’’(ξ)/f’(ξ)2| · | x-y | ≤m2M/(( M + 1)m2) · | x-y | = (M/( M + 1)) · | x-y |． 特别地，?x∈cl(U)，| T(x) -T(z) | ≤ (M/( M + 1)) · | x-z | ≤ | x-z | ≤δ． 而T(z) = z-f (z)/f’(z) = z，故| T(x) -z | ≤δ，即T(x)∈cl(U)． 所以，T是cl(U)上的压缩映射． ?x0∈U，迭代序列x n +1 = x n-f (x n)/f’(x n)( n = 0, 1, 2, ...) 就是cl(U)上的压缩映射T所产生迭代序列x n +1 = T(x n)( n = 0, 1, 2, ...)． 由压缩映射原理，{x n}是收敛的，并且lim n→∞x n= z． 1.1.3 设(X, ρ)是度量空间，映射T : X→X满足ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y) (?x ≠y)，并且已知T有不动点，求证此不动点是唯一的． 证明：若不然，设T有不同的不动点x, y∈X，则ρ(x, y) = ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y)，矛盾．故T的不动点是唯一的． 1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．

图片格式及如何压缩图片的字节大小(kb)

先用打开格式地图片，然后再点击‘文件’，选择‘存储为和设备所用格式’，在‘品质’中可以选择输出文件地品质，在左下角就可以看到对应不同品质文件地大小；在‘图像大小’中可以设置图片输出后最小地大小. 注意：存储为“”格式地好处是能用最小地文件换来最清楚地图象，但会丢失拍摄地有关信息，不利于今后学习，建议最后直接选“文件→储存为”格式地文件，品质大小保持在左右.个人收集整理勿做商业用途 常见地图像文件格式又有哪些呢？ 一、格式 是英文（位图）地简写，它是操作系统中地标准图像文件格式，能够被多种应用程序所支持.随着操作系统地流行与丰富地应用程序地开发，位图格式理所当然地被广泛应用.这种格式地特点是包含地图像信息较丰富，几乎不进行压缩，但由此导致了它与生俱生来地缺点占用磁盘空间过大.所以，目前在单机上比较流行. 个人收集整理勿做商业用途 二、格式 是英文（图形交换格式）地缩写.顾名思义，这种格式是用来交换图片地.事实上也是如此，上世纪年代，美国一家著名地在线信息服务机构针对当时网络传输带宽地限制，开发出了这种图像格式. 个人收集整理勿做商业用途 格式地特点是压缩比高，磁盘空间占用较少，所以这种图像格式迅速得到了广泛地应用. 最初地只是简单地用来存储单幅静止图像（称为），后来随着技术发展，可以同时存储若干幅静止图象进而形成连续地动画，使之成为当时支持动画为数不多地格式之一（称为），而在图像中可指定透明区域，使图像具有非同一般地显示效果，这更使风光十足.目前上大量采用地彩色动画文件多为这种格式地文件，也称为格式文件. 个人收集整理勿做商业用途此外，考虑到网络传输中地实际情况，图像格式还增加了渐显方式，也就是说，在图像传输过程中，用户可以先看到图像地大致轮廓，然后随着传输过程地继续而逐步看清图像中地细节部分，从而适应了用户地"从朦胧到清楚"地观赏心理.目前上大量采用地彩色动画文件多为这种格式地文件. 个人收集整理勿做商业用途 但有个小小地缺点，即不能存储超过色地图像.尽管如此，这种格式仍在网络上大行其道应用，这和图像文件短小、下载速度快、可用许多具有同样大小地图像文件组成动画等优势是分不开地. 个人收集整理勿做商业用途 三、格式 也是常见地一种图像格式，它由联合照片专家组（）开发并以命名为" "，仅仅是一种俗称而已.文件地扩展名为或，其压缩技术十分先进，它用有损压缩方式去除冗余地图像和彩色数据，获取得极高地压缩率地同时能展现十分丰富生动地图像，换句话说，就是可以用最少地磁盘空间得到较好地图像质量.个人收集整理勿做商业用途 同时还是一种很灵活地格式，具有调节图像质量地功能，允许你用不同地压缩比例对这种文件压缩，比如我们最高可以把地位图文件压缩至.当然我们完全可以在图像质量和文件尺寸之间找到平衡点.个人收集整理勿做商业用途 由于优异地品质和杰出地表现，它地应用也非常广泛，特别是在网络和光盘读物上，肯定都能找到它地影子.目前各类浏览器均支持这种图像格式，因为格式地文件尺寸较小，下载速度快，使得页有可能以较短地下载时间提供大量美观地图像，同时也就顺理成章地成为网络上最受欢迎地图像格式. 个人收集整理勿做商业用途 四、格式 同样是由组织负责制定地，它有一个正式名称叫做" "，与相比，它具备更高压缩率以及更多新功能地新一代静态影像压缩技术. 个人收集整理勿做商业用途 作为地升级版，其压缩率比高约左右.与不同地是，同时支持有损和无损压缩，而只

(完整word版)压缩感知原理

压缩感知原理（附程序） 1压缩感知引论 传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量 的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图 2.1 o > 重构信号 图2.1传统的信号压缩过程 在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。 由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Can des和Donoho等人于2004年提出了压缩感知理论。该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。 2压缩感知原理 压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。压缩感知跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。CS理论利用到了许多自然信号在特定的基上具有紧凑的表示。即这些信号 是“稀疏”的或“可压缩”的。由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压

压缩映射原理及其应用

压缩映射原理及其应用 压缩映射原理被普遍应用于处理判别极限存在性和唯一解的问题上。他的定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在01α<<，对,x y X ?∈都有()(),,Tx Ty x y ραρ≤，则称T 是X 上的一个压缩映射。 而如果一个映射是压缩映射，他必有唯一解，称为不动点。定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在x X ∈使得x Tx =，则称x 是T 上的一个不动点。 利用压缩映射的方法可以简便的求解出级数的极限，下面引入一道例题加以说明。 例1 设10a >，131,1,2,34n n n a a n a +=+=+，证明数列{}n a 有极限，并求其值。 在高等数学中我们解决级数极限存在与否的问题时一般用两种方法，一是递推法求出通项公式进而求极限；二是利用单调有界数列收敛定理判别。如例1，递推法要写处递推公式并找到1n a +与n a 之间的关系，这种方法不一定适用于所有题型；而单调有界定理需要写非常多的解析式。利用压缩映射原理可以更快速的证明其存在极限且求出极限值。 首先构造映射x Tx =，将131,1,2,34n n n a a n a +=+=+构建成映射形式即： n a x =，()1n a f x +=，显然()0,x ∈+∞ ()314x f x x =++，()() 21214f x r x '=<<+， 根据拉格朗日中值定理可以得出： ()()()()1111n n n n n n n n a a f a f a f a a r a a ξ+---'-=-≤-≤-， 推广到一般性可以得到： 1212121111n n p n n p k n p n k n r r r a a r a a a a a a r r ++-+-+--≤ -=-≤---∑， 应用柯西准则可以知{}n a 收敛，设lim n n a A →∞=，显然0A >，在()1n n a f a +=两边令 n →∞，得到()314A A f A A ==++，解得2A =±，因为0A >，所以2A =，，从而lim 2n n a →∞ =。 例1中设定了一个距离()()()() ()111,,,,n n n n n n a a f a f a a a r ρραρα+--=≤=，这证明

压缩映射原理1

数学与计算机建模 部分度量空间的广义原理 论文信息 论文历史： 论文出版于2011.5.16 论文修订版出版于2011.11.1 论文发表于2011.11.1 关键字： 定点定理 部分度量空间 一般收缩映射 摘要 在这篇论文中，我们证明了部分度量空间的一般压缩映射的不动点定理,代表定理是归纳由d .Ili?V.Pavlovi?,和Rakocevi?近期提出的固定点定理得出来的。下面一个例子说明了我们的结果是扩展定理。 2011爱思唯尔有限公司保留所有权利 1.介绍与初步了解 部分度量空间的概念是由马修斯引入的(见[1、2])。部分度量空间来源于度量空间，对于所有x,y，通过把定义度量平等的d(x,x)= 0替换成定义度量不平等的d((x,x)≤d(x,y)。这一概念有一个广泛的应用，不仅在数学的许多分支,而且在计算机领域和语义。最近,许多作者都从度量空间的类到部分度量空间的类(见[3-16]和定理引用)集中注意力在局部度量空间和它的拓扑性质,和广义度量空间的不动点定理。这项工作的目的是为了证明一些局部度量空间的广义收缩映射中不动点结果。给出定理中归纳出来的最近的不动点定理由于Ili?et al。(见[7])。给一个例子表明,给出的结果是真实的概括。 我们首先需要回想一些定义： 定义1.1(见例如[7,1])。让X是一个非空的集合。映射p:×××→[0,∞)是X部分度量指标，如果下列条件满足:

(P1)当且仅当p(x,x)= p(y,y)= p(x,y),x = y， (P2)p(x,x)≤p(x,y), (P3)p(x,y)= p(y、x), （P4)p(x,z)≤p(x,y)+ p(y,z)?p(y,y), 对于任何x,y,z∈x。两个(X,p)部分度量空间(总之PMS)。 让(X,p)是部分度量空间，并且函数dp、dm :×××→[0,∞)被给出dp(x,y)= 2 p(x,y)??p(x,x)??p(y,y) 和Dm(x,y)= max { p(x,y)?p(x,x)、p(x,y)?p(y,y)} 是有名的在X上的度量。很容易检查dP 和dm是等价的。注意,每个在X上的部分度量p生成具有家族基地开放p-balls { B p(x,ε):x∈x,ε> 0 }的T0-topologyτP ,即Bp(x,ε)={y∈x:p(x,y)< p(x,x)+ε}。 定义1.2(见例如[5、7])，让(X,p)成为部分度量空间。 (1)序列{ x n }在X∈X X收敛当且仅当p(X,X)=limn→∞p(Xn,x)。 (2)序列{ x n }在X称为柯西序列当且仅当limn→∞p(Xn,x m)存在(有限)。 (3)如果每个柯西序列{ X n }在X X∈X收敛，则(X,p)是完全的。 (4)如果每ε> 0,存在δ> 0, f(B p(x 0,δ)?B p(f(x ε0))，则映射f:X→X 在X 0∈X是连续的。 例1.3。让X =(0,+∞)和定义p(X,y)= max { X,y },X,y∈X。且(X,p)是一个完整的部分度量空间。很明显,p不是(通常)度量指标。 命题1.4(见例如[5、7])。让(X,p)部分度量空间。 （1)当且仅当{ X n }是一个柯西序列(X,d p)，序列{ x n }是一个柯西序列(X,p)。 (2)当且仅当(X,d p)是完全的，则(X,p)也是完全的。此外, limn→∞dp(xn, x) = 0 ? p(x, x) = limn→∞p(xn, x) = limn,m→∞p(xm , xn). 下面的前题在我们的主要结果证明中扮演重要的角色。 引理1.5(见例如[5])。假设在PMS(X,p)，xn →z，n→∞,所有p(z,z)= 0。即 对于每一个y∈X，limn→∞p(x n, y)=p(z,y) 。