最优控制应用概述

最优控制的应用概述

1.引言

最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。

2.最优控制问题

所谓最优控制问题，就是指

在给定条件下，对给定系统确定

一种控制规律，使该系统能在规

定的性能指标下具有最优值。也

就是说最优控制就是要寻找容

许的控制作用（规律）使动态系

统（受控系统）从初始状态转移

到某种要求的终端状态，且保证

所规定的性能指标（目标函数）图1 最优控制问题示意图

达到最大（小）值。

最优控制问题的示意图如图1所示。其本质乃是一变分学问题。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。为满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论。最常用的方法就是极大值原理和动态规划。最优控制在被控对象参数已知的情况下，已成为设计复杂系统的有效方法之一。

2.1 最优控制问题的描述

控制系统的最优控制问题一般提法为：对于某个由动态方程描述的系统，在某初始和终端状态条件下，从系统所允许的某控制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统的性能目标函数达到最优。

2.1.1 系统的动态方程（状态方程）

()()[]t t u t X f t x

,,)(= 系统状态方程给出了系统内部状态随系统控制输入的变化关系，或者说是内部状态的一种约束关系。

2.1.2 系统状态的始端条件和终端条件

始端和终端条件却给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约束条件。端点条件一般有三种类型：固定端、自由端和可变端。

固定端就是时间和状态值都是固定的端点。例如初始时间t0及其初始状态X(t0)都固定就称始端固定条件，而终端时间tf 及其终端状态X(tf)都固定就称终端固定条件。一般来说，两端固定是最简单的情况。

自由端是指端点时间固定，但端点状态值不受任何限制的端点。有始端自由和终端自由两种。

可变端就是端点时间及其状态值都可变的端点。但一般它满足一定条件，如满足：初始状态为： x(t 0)=x 0 终端状态x(tf)可用如下约束条件表示N 1[x(tf)，tf]=0 或N 2[x(tf)，tf]≤0。

2.1.3 系统控制域

在实际控制系统中，控制输入u(t)往往是不能不受限制地任意取值的，例如作为驱动电机，其输出力矩就有最大力矩的限制。所以在许多最优控制问题中，需要规定一个允许的控制域。

2.1.4 系统目标泛函（性能指标）

即系统的性能指标，一般都是一个函数的函数，即泛函。在状态空间中要使系统的状态由初始状态)()(0f t x t x →，可以用不同的控制规律来实现。为了衡量控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。

性能指标的内容、形式取决于最优控制所完成的任务。不同最优控制问题就应有不同的性能指标。同一最优控制问题，其性能指标也可能因设计者着眼点而异。

对连续时间系统，目标泛函的一般形式为：

[]()()[]?+Φ=f

t t f dt t t u t x L t x J 0,,)( 式中 J —标量函数，对每一个控制函数()t u 都有一个对应值；

L —标量函数：动态性能指标；

Φ—标量函数：终端性能指标；

)(t u —控制函数整体

上式的目标泛函称为综合性或波尔扎（Bolza ）型性能指标，其第一部分表示对系统的终端状态的要求，而第二部分表示对系统的整个控制过程的要求 。

若系统目标泛函只取上式的第一项，即()[]f

t x J Φ=，则称为终端型或麦耶尔（Mager ）型性能指标。

若系统目标泛函只取上式的第二项，即()()[]?=

f t t dt t t u t x L J 0,,，则称为积分变量或拉格朗日（Lagrange ）型性能指标。

以上三种性能指标，通过一些简单的数学处理，可以相互转化。在特殊情况下，可采用如下的二次型性能指标

()()()()()()()()[]

?++=f t t T T f f T dt t u t R t u t x t Q t x t Fx t x J 02121 式中 F —n n ?维半正定终端加权矩阵；Q(t)—n n ?维半正定状态加权矩阵；

R(t)—r r ?维正定控制加权矩阵

2.2 最优控制问题的分类

① 按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统。

② 按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环最优控制系统。

③ 按性能指标分类：最小时间控制问题、最少燃料控制问题、线性二次型性能 指标最优控制问题、非线性性能指标最优控制问题。

④ 按终端条件分类：固定终端最优控制问题、自由终端（可变）最优控制问题、 终端时间固定最优控制问题、终端时间可变最优控制问题。 ⑤ 按应用领域来分：终端控制问题、调节器问题、跟踪问题、伺服机构问题、 效

果研究问题、最小时间问题、最少燃料问题。

2.3 最优控制问题的解决方法

2.3.1 古典变分法

研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。

2.3.2 极大值原理(庞特里亚金)

极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可

用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。

2.3.3 动态规划(贝尔曼)

动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。

3 最优控制理论应用领域

最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。

[例1] 快速控制问题

设初始时刻 0t t =，M 离地面高度为)(0t x ；

垂直运动的速度为)(0t x

。什么样的)(t u ，使M 能 最快地到达地面，并使到达地面时的速度等于零？

设物体M 的质量为1，)(t x 表示物体离地面的高度。

M 的运动微分方程式为 g t u dt

x d -=)(22 图2 快速控制 选择)()()(),()(121t x t x

t x t x t x ===为状态变量，可写出M 的状态方程 ???????-==g t u dt

t dx t x dt t dx )()()()(221 其初始条件为???==20021001)()(x t x x t x 可把研究的问题变为：寻找一个满足约束条件K t u <)(的控制作用力，使物体在最短的时间内从初态{}T x x t X 20100,)(=到终态{}{}T T f f f t x t x t X 0,0)(),()(21==使00t t dt J f t t f

-==?为最小，这样的控制)(t u 的方式，称为最优控制)(t u 。

[例2]最少能量消耗问题（飞船月球软着落问题）

飞船离地面的高度)(t x ，向上为正，垂向速度

可以表示为：)()(t x

t v = 设发动机推力为)(t u ， 飞船的质量为)(t m ，F M m +=)0(,M 为飞船自身

重量，F 为所带燃料质量。飞船的初始高度为

)(00t x h =，初始速度为)(00t x

v =。 选择)()(),()(),()(321t m t x t x

t x t x t x === 为状态 图3 飞船月球软着落 变量，可以列出飞船的状态方程：

???????-==-==)()()()()()()()(3221t ku t m t x

g t m t u t x t x t x 其中k 表示控制力与燃料消耗率成正比的比例常数 初始条件：0t t =时 F M m v t x

t x h t x +====)0(,)()(,)(00102001 端点条件：f t t =时 0)()(,0)(121===f f f t x

t x t x 约束条件 α≤≤)(0t u 其中，α是发动机的最大推力

要使燃料消耗最少，也就是要使飞船在着陆时的质量为最大，即要求使目标函数：)(f t m J =达到最大值。所要完成的任务是寻求发动机推力的最优控制规律)(t u ，在满足约束条件下，使飞船由初始状态转移到最终状态时，能使性能指标J 为最大。

[例3]拦截问题

设)(t x 、

)(t v 分别表示拦截器L 和目标M 的相对位置和相对速度向量。)(t α是包括空气动力与地心引力所产生的加速度在内的相对加速度向量，它是)(t x 、

)(t v 的函数，也可以看成是时间的函数。设m （t ）是拦截器的质量，f （t ）是其推力的大小。用u 表示拦截器推力方向的单位矢量。C 是有效喷气速度，可看做常数。则拦截器与目标的相对运动方程式可写成：

????

?????-=+==C t f m u t m t f t v v x )()()()( α 初始条件为：000000)(,)(,)(m t m v t v x t x === 为实现拦截，既要控制推力f(t)的大小，又要改变推力的方向。拦截器的最大推力f(t)是一有限值max f ，瞬时推力f(t)应满足：max )(0f t f ≤≤。要求控制拦截器从相对目标的初始状态出发，于某终点时刻f t 与目标相遇（拦截），即0)(=f t x 且应满足e f m t m ≥)(。其中，e m 为燃料耗尽后拦截器的质量。为实现快速拦截，并且消耗燃料最少，综合考虑这两种要求，取性能指标

?+=f

t t dt t f C J 0)]([1 问题归结为：选择f(t),u(t)和f t ，除实现拦截外还要使规定的性能指标最小，即在性能指标J 下的最优拦截问题。

[例4]线性调节器问题

设系统可控，其状态方程为：),,(t U X f BU AX X

=+= ，系统的性能指标为如下形式的二次型函数??=+=f f

t t t t T T dt t U X F dt RU U QX x J 00),,()(2

1，试确定系统

的最优控制使性能指标具有最小值，这个问题称为线性调节器问题。可以用黎卡提方程求解。

[例5]线性二次最优控制（LQR)

二次型性能指标一般形式如下：

()()()()()()()()[]

?++=f t t T T f f T dt t u t R t u t x t Q t x t Fx t x J 02121 式中 F —n n ?维半正定终端加权矩阵；Q(t)—n n ?维半正定状态加权矩阵；

R(t)—r r ?维正定控制加权矩阵

一般情况下：R 增加时，控制力减少，角度变化减少，跟随速度变慢。矩阵Q 中某元素相对增加，其相对的状态变量的响应速度增加，其他变量的响应速度相对减慢，如：若Q 对应于角度的元素增加，使得角度变化速度减小，而位移的响应速度减慢；若Q 对应于位移的元素增加，使得位移的跟踪速度变快，而角度的变化幅度增大。应用便携式直线一级倒立摆可以进行验证。

4 最优控制理论新的进展

4.1 在线优化方法

基于对象数学模型的静态优化方法，是理想化的方法。因为尽管工业过程被设计得按一定的正常工况连续运行，但由于存在外部环境变动等各种干扰因素，原来的设计就未必是最优的。鉴于这种情况在线优化方法得到了发展，其中常见的方法有：局部参数最优化和整体最优化设计方法、预测控制中的滚动优化算法、稳态阶梯控制、系统优化和参数估计的集成研究方法。

4.1.1 局部参数最优化和整体最优化设计方法

局部参数最优化方法的基本思想是 按照参考模型和被控过程输出之差来调整控制器可调参数，使输出误差平方的积分达到最小。这样可使被控过程和参考模型尽快保持精确一致。此外，静态最优与动态最优相结合可将局部最优变为整体最优。

4.1.2 预测控制中的滚动优化算法

预测控制，又称基于模型的控制（Model-basedControl ），是70年代后期兴起的一种新型优化控制算法。但它与通常的离散最优控制算法不同，不是采用一个不变的全局优化目标，而是采用滚动式的有限时域优化策略。这意味着优化过程不是一次离线进行，而是反复在线进行的。这种有限化目标的局部性使其在理想情况下只能得到全局的次优解，但其滚动实施，却能顾及由于模型失配、时变、干扰等引起的不确定性，及时进行弥补，始终把新的优化建立在实际的基础之上，使控制保持实际上的最优。这种启发式的滚动优化策略，兼顾了对未来充分长时间内的理想优化和实际存在的不确定性的影响。在复杂的工业环境中，这比建立在理想条件下的最优控制更加实际有效。

预测控制的优化模式具有鲜明的特点：它的离散形式的有限优化目标及滚动推进的实施过程，使得在控制的全过程中实现动态优化，而在控制的每一步实现静态参数优化。用这种思路，可以处理更复杂的情况，例如有约束、多目标、非线性乃至非参数等。吸取规划中的分层思想，还可把目标按其重要性及类型分层，实施不同层次的优化。可把大系统控制中分层决策的思想和人工智能方法引入预测控制，形成多层智能预测控制的模式。这种多层智能预测控制方法的，将克服单一模型的预测控制算法的不足，是当前研究的重要方向之一。

4.1.3 稳态阶梯控制

由于工业过程较精确的数学模型不易求得，而且工业过程往往呈非线性及慢时变性。因此，优化算法中采用数学模型求得的解是开环优化解。在大工业过程在线稳态控制的设计阶段，开环优化解可以用来决定最有工作点。但在实际使用上，这个解未必能使工业过程处于最优工况，相反还会违反约束。他们提出的全新思想是:从实际过程提取关联变量的稳态信息，并反馈至协调决策单元，并用它修正基于模型求出的最优解，使之接近真实最优解。这就是我们实际应用中经常遇到的开环控制和闭环控制。

4.1.4 系统优化和参数估计的集成研究方法

稳态递阶控制的难点是，实际过程的输入输出特性是未知的。波兰学者提出的反馈校正机制，得到的只能是一个次优解。但其主要缺点在于一般很难准确估计次优解偏离最优解的程度，而且次优解的次优程度往往依赖于初始点的选取。一个自然的想法是将优化和参数估计分开处理并交替进行，直到迭代收敛到一个解。这样计算机的在线优化控制就包括两部分任务：在粗模型（粗模型通常是能够得到的）基础上的优化和设定点下的修正模型。这种方法称为系统优化和参数估计的集成研究方法。

4.2 智能优化方法

对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。

智能式的优化方法得到了重视和发展。

4.2.1神经网络优化方法

人工神经网络的研究起源于1943年和McCulloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模

型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。

根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。

与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。

由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。

图4 遗传过程

4.2.2 遗传算法

遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。

4.2.3 模糊优化方法

最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。

自从Bellman和Zadeh在20世纪70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。

模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzy solution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzy linear programming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzy nonlinear programming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。

5.小结

在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数。最优控制理论的应用领域十分广泛，如时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题和伺服机构问题等。但它在理论上还有不完善的地方，其中两个重要的问题就是优化算法中的鲁棒性问题和最优化算法的简化和实用性问题。大体上说，在最优化理论研究和应用方面应加强的课题主要有：①适合于解决工程上普遍问题的稳定性最优化方法的研究；②智能最优化方法、最优模糊控制器设计的研究；③简单实用的优化集成芯片及最优化控制器的开发和推广利用；④复杂系统、模糊动态模型的辩识与优化方法的研；⑤最优化算法的改进。相信随着对这些问题的研究和探索的不断深入，最优控制技术将越来越成熟和实用。

参考文献

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[10]曾进，任庆生.基于改进遗传算法的时间最优控制问题求解.控制与决

策.2002,17（1）：41-44.

最优控制综述

最优控制综述 摘要：本文主要阐述了关于最优控制问题的基本概念。最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划，同时本文也介绍了最优控制理论在几个研究领域中的应用，并对最优控制理论做了一定的总结。 关键字：最优控制；最优化；最优控制理论 Abstract: This article mainly elaborated on the basic concept of optimal control problems. Optimal control theory is studied and solved from all possible solutions to find the optimal solution of a discipline, to solve optimal control problems of the main methods are classical variational method, with the maximum principle and dynamic programming principle. At the same time, this paper also introduces the application of optimal control theory in several research fields, and a summary of optimal control theory. Key Words: Optimal control; optimization; optimal control theory 1.引言 最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。最优化技术就

线性二次型最优控制应用举例与仿真

线性二次型最优控制 一、最优控制概述 最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。 一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。 二、线性二次型最优控制 2.1 线性二次型问题概述 线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。它能兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。 2.2 线性二次型问题的提法 给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下： ()()()()()()()() X t A t X t B t U t Y t C t X t ?=+? =? （2.1）

最优控制应用概述

最优控制的应用概述 1.引言 最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。 2.最优控制问题 所谓最优控制问题，就是指 在给定条件下，对给定系统确定 一种控制规律，使该系统能在规 定的性能指标下具有最优值。也 就是说最优控制就是要寻找容 许的控制作用（规律）使动态系 统（受控系统）从初始状态转移 到某种要求的终端状态，且保证 所规定的性能指标（目标函数）图1 最优控制问题示意图 达到最大（小）值。 最优控制问题的示意图如图1所示。其本质乃是一变分学问题。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。为满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论。最常用的方法就是极大值原理和动态规划。最优控制在被控对象参数已知的情况下，已成为设计复杂系统的有效方法之一。

最优控制及应用

最优控制及应用 摘要：最优控制是最优化方法的一个应用。最优控制，又称动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。 最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。同时本文也介绍了最优控制理论的新进展，即在线优化方法（局部参数最优化和整体最优化设计方法、预测控制中的滚动优化算法、稳态阶梯控制、系统优化和参数估计的集成研究方法）和智能优化方法（神经网络优化方法、遗传算法、模糊优化方法）。 关键词：最优化；最优控制；遗传算法 Optimum Control and Applications Abstract: The optimum control is an application of optimization methods and is also called dynamic optimization, being the most fundamental and the most central part of the modern control theory. Its studied central problem is how to decide the control law on the basis of dynamic characteristics of the controlled system so that the system operates according to technical requirements and a certain indicator, which describes the system performance or quality, is optimized in a certain sense. The four key points of optimum control are the dynamic systems as the controlled plant, initial condition and terminal condition (time and state) and performance index and admissible control. The optimization consists of optimal design, optimal plan, optimal management and optimal control. The optimal control theory is a subject of studying and finding the optimal solution from all possible control plans. The main solutions of solving optimal control problems include the classical variation methods, maximum principles as well as dynamic planning. The optimal control theory has been applied to comprehensive and designed time optimal control systems, minimum fuel control systems, minimum energy-control systems, linear regulators and so on. Besides, the paper also introduces the new development of optimal control theory, that is, on-line optimization methods, (which includes optimal design methods of local parameters and the overall parameters, rolling optimizing methods of predictive control, steady stair-like control and integration methods of system optimization and parameter estimation) and intelligent optimization methods, which covers neural network optimization methods, genetic algorithm and fuzzy optimal methods. Key Words: Optimization, Optimum control, Genetic algorithm

最优控制理论在汽车控制系统中运用

最优控制理论在汽车控制系统中运用 董凤鸿1，张皓2 （1 北京科技大学2010级信计2班 41040317） （2 北京科技大学2012级信计2班 41064044） 摘要： 随着人们生活水平的提高，汽车已经开始走进百姓的生活中。随着人们对汽车消费的增加，越来越多的人开始更多的关注的不仅仅是汽车本身，更多的开始关注汽车的安全性及舒适性。由此，各大汽车厂商更具消费者的需求开始着重研究带有主动控制能力的汽车控制系统。本文引入最优控制理论对当今比较流行的汽车悬挂系统、汽车防抱制动系统（简称ABS 系统）和无级变速器控制系统进行优化。由此达到优化汽车安全性、经济性和舒适性。 关键词： 最优控制理论、悬挂系统、防抱制动系统、无级变速器控制系统 一、引言 汽车防抱制动系统(简称ABS系统) ，实质上是一种制动力的自动调节装置。这种装置使汽车制动系统的结构发生了质的变化,它不仅能充分发挥制动器的制动性能,提高制动减速度和缩短制动距离,而且能有效地提高汽车制动时的方向稳定性,大大改善汽车的行驶安全性。悬挂系统是指车身与车轴之间连接的所有组合体零件的总称，悬挂系统直接影响着汽车的安全性、稳定性和舒适性，是汽车的重要组成部分之一。目前，降低汽车能源消耗和减少废气排放已成为汽车行业最关注的问题，大量试验表明，装有无级变速器(CVT)的汽车比装有传统有级变速器的汽车在改善汽车燃油经济性和排放等方面具有更大的潜力，这是因为CVT连续变化的传动比可以使发动机转速独立于负载和车速的变化，最大限度地发挥发动机的经济性和动力性。 二、正文 （一）、汽车防抱制动系统最优控制 1、方法介绍 最优控制是基于状态空间法的现代控制理论方法。它可以根据车辆一地面系统的数学模型,用状态空间的概念,在时间域内研究汽车防抱制动系统。是一种基于模型分析型的控制系统,它根据防抱系统的各项控制要求,按最优化原理求得控制系统的最优控制指标。我们知道:现代控制理论应用得成功与否,关键在于数学模型是否准确。为此必须首先研究用状态变量表示的防抱系统的数学模型。 2、模型建立 为了便于分析首先作如下假设： (1)车轮承受的载荷为常数; (2)不计迎风阻力和滚动阻力;

非线性系统最优控制理论综述

非线性系统最优控制理论综述 时间：2015-06-17 作者：马玲珑 摘要：非线性系统，其最优控制求解相当困难，寻求近似的最优控求解方法是当下解决这一问题的主要途径。目前，比较成熟的最优控制求解方法主要有七类，本文对这七种方法进行了详细的阐述，并对其优缺点进行了客观的对比。 论文关键词：非线性,最优控制 近年来，最优控制理论[1,2]的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一，取得了许多研究成果。同时，也在与其他控制理论相互渗透，出现了许多新的最优控制方式，形成了更为实用的学科分支。例如鲁棒最优控制[3]、随机最优控制[4]、分布参数系统的最优控制[5]、大系统的次优控制[6]、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制[7,8]等。而对于非线性系统，其最优控制求解相当困难，需要求解非线性HJB方程或非线性两点边值问题，除简单情况外[9]，这两个问题都无法得到解析解。因此，许多学者都致力于寻求近似的求解方法[10~13]，通过近似解得到近似的最优控，即次优控制。 1、非线性最优控制理论研究成果分类 目前，较为流行的近似最优控制求解方法主要有以下几类[6][13]。 1）幂级数展开法：幂级数展开方法通过一个幂级数来构造控制律，得到序列形式的近似最优解，或者将系统中的非线性项以幂级数形式分解，或者通过引进一个临时变量并围绕它展开。 将上式代入HJB方程求得级数近似解，也可利用Adomian分解将非线性项进行分解，由此寻求非线性HJB方程级数的近似解。 2）Galerkin逐次逼近方法：由动态规划得到的一般性偏微分HJB方程，引入一个迭代过程来求解一般非线性HJB方程的一个近似解序列。 3）广义正交多项式级数展开法：其主要思想是将最优控制问题中的状态变量，控制输入，性能指标和各个参数分别用广义正交多项式展开，利用广义正交多项式的积分、乘积运算阵 将描述系统的微分方程转化为一系列的代数方程。然后，得到 ，T非奇异时由得到的控制律是一个多项式级数解。该方法将最优控制问题转化为代数极值问题，从而避免了求解时变非线性Riccati方程。 4）有限差分和有限元方法：经典的有限差分和有限元方法可以用来近似求解非线性

最优控制

最优控制 学院 专业 班级 姓名 学号

1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森1954年所着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。 最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。 从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。 例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。 最优控制理论-主要方法 解决最优控制问题的主要方法 解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程 为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。

最优控制理论及应用

最优控制理论及应用作业 线性二次型最优控制器 院（系）自动化学院 专业班级自硕1602 学生姓名郭正一 学生学号S2016**** 2016年11月2日

线性二次型最优控制器 ****1) 1)北京*****，北京 100083 摘要课后题进行仿真(>﹏<。)。 关键词最优控制器；线性二次型 Linear Quadratic Optimal Controller …… *****1 1) *******g, Beijing 100083, China ABSTRACT I am so sorry for not good at modeling, so I can only use an after-school exercises for simulation. KEY WORDS Optimal Controller; Linear Quadratic 1 问题提出 构造的的系统方程如下： . x =010001023?? ? ? ?--??X+011?? ? ? ???U Y=(1 0 0)X 性能指标为J=T 0[+U RU]T X QX dt ∞ ?，其中Q ，R 为 Q=123000 000a a a ?? ? ? ??? R=[0.01] 要设计状态反馈控制器，使J 最小 Q 矩阵参数选择如下： 1a =100 2a =3a =1 2问题分析 由于代数李卡蒂方程求解过程中仅涉及矩阵运算，所以很适合用MATLAB 软件处理，在MATLAB 的控制系统分析与设计工具箱中提供了求解代数李卡蒂方程的函数lpr()，其具体调用方式如下：

2 [K,P,E]=lpr(A,B,Q,R) 2程序仿真 在MATLAB 环境中，执行下面的M 文件 A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3]; B=[0;0;1]; C=[1 0 0]; D=[0]; Q=[100 0 0;0 1 0;0 0 1]; R=[0.01]; [k,p,e]=lqr(A,B,Q,R); disp('卡尔曼增益'); k %阶跃响应 k1=k(1); Ac=A-B*k; Bc=B*k1; Cc=C; Dc=D; figure(1) step(Ac,Bc,Cc,Dc) title(‘最优控制后的阶跃响应’); 运行后结果如下 卡尔曼增益 k = 100. 0000 53.1200 11. 6711 即状态反馈控制器k = [100. 0000 53. 1200 11. 6711] ,系统输出响应的仿真。 图1最优控制后的阶跃响应 Fig.1Step response after optimal control 为了研究Q 矩阵参数变化对最优控制器设计的影响,现改变Q 矩阵参数如下: 1a =1，2a =1，3a =1 在运行上述M 文件后得到下面的结果 改变Q 矩阵后卡尔曼增益 K=10.0000 16.5022 8.9166

泛函分析在最优控制中的应用

泛函分析在最优控制中的应用 炉子热过程的优化包括最优设计和最优控制两个方面,都属泛函的范畴,在最优控制研究中,目标函数表达式的确定是一大难点。因为目标函数表达式往往不能等价于真实目标。对此很有必要进行深入的研究。 1. 简化模型优化研究的现状与误区 炉内换热由炉膛辐射换热和被加热金属内部导热两部分组成。在求解时,这两部分是相互藕合,互为边界条件的。如果描述这两部分的模型都以能量平衡为基,则称为完全模型,如段法,流法等【1、2】都属于这类模型。如果对炉膛换热进行充分简化,而只保留金属内部导热以能量平衡为基础来描述,则称为不完全模型,在线控制模型【3.4】即属此类。为满足在线实时的要求,控制模型的简化是必要的。但简化也为控制的最优化带来困难。这主要是因为目标函数表达式中的参量和目标本身可能已完全脱藕。而这一点并没有引起足够的重视。例如,为实现燃耗最小化,取炉温的加权和作为目标函数【5】 ∑= 2 i i t w J （1） 式中的权重i w 对优化结果有重大影响,但i w 的选取又有很大的任意性。又如, 以炉内金属的焙对时间的积分【6】,或表面温度对时间的积分【7】为目标函数： ? = 1 11 ττ τd t J t （2） 定性看来,这与强化炉头供热的原则 【8】 是一致的,从直观概念上看也是可行 的。然而,以上的真实目标都是燃耗最小,那么式（1）、（2）实质上都只是替代目标。替代目标与真实目标是否等价,尚有待于进一步论证。 燃耗最小化的真实目标是： ? = 1 )(ττ τd B J (3) 求解J min 是实现最小燃耗的关键。因为控制模型充分简化了炉膛换热,使得模型函数式里的参量,如炉温f t 金属温度),,(τy x t s 等,已同燃料供给量)(τB 完全脱耦,也就是说无法构成函数关系。这正是确定目标函数式困难的本质原因。 综上所述,要解决确定替代目标的困难,必须从被简化的部分入手,寻找真实目标和简化模型中的保留参量之间的内在联系,进而导出与真实目标等价或近似

最优控制的应用概述精编版

最优控制的应用概述 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

最优控制的应用概述1.引言 最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系

统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。

最优控制理论在ABS中的应用

最优控制理论在ABS中的应用 高海洲 （上海大学机电工程与自动化学院，上海200072） 摘要：随着我国经济的快速发展，汽车已经开始走进我们的生活中。随着人们对汽车消费的增加，越来越多的人开始更多的关注的不仅仅是汽车本身，更多的开始关注汽车的安全性及舒适性。人们开始着重研究带有主动控制能力的汽车防抱制动控制系统，最优控制便是其中的一种研究方法。最优控制根据车辆—路面系统的数学模型，用状态空间的概念，在时间域内研究汽车防抱制动系统。它根据系统的各项要求，按最优化原理求得控制系统的最优控制指标而达到很好的防抱制动效果。 关键词：最优控制防抱制动系统状态空间数学模型 Application of optimization control in ABS GAO hai-zhou, (School of Mechanical Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China) Abstract: With the rapid development of our economy, the car is coming into our life. Along with the increase of automobile consumption, more and more people begin to pay more attention to is not only the car itself, more attention on safety and comfort. People began to study initiative control capability of automobile anti-lock braking control system, the optimization control is a kind of research method.With the concept of status space,it can be used to study ABS in time domain on a basic mathematic model for vehicle-road surface system.We can get optimal control qualities out of the optimization theory and meeting the control system based on model. Key words: optimization control;anti-lock braking system;status space;mathematic model 引言 汽车防抱死制动系统（Anti-lock Braking System简称ABS）的出现从根本上解决了汽车在制动过程中的车轮抱死问题。它的基本功能就是通过传感器感知车轮每一瞬时的运动状态，并根据其运动状态相应地调节制动器制动力矩的大小以避免出现车轮的抱死现象[1]。ABS技术的一个核心问题就是控制算法的研究。由于ABS系统是非线性系统，因此探索一种有效的控制方法是ABS系统发展的关键[2]。最优控制方法是基于状态空间法的现代控制理论方法[3]，它是一种基于模型分析的控制方法。其思路是根据防抱死制动系统的各项控制要求，按照最优化的原理来求得制动防抱死系统的最优控制目标。这种控制方法的优点是考虑了控制过程中状态变化的历程而使控制过程平稳。本文通过对刹车时数学模型的建立[4]，通过直接引用现代控制理论中最优控制的结论来设计刹车系统。 1研究汽车防抱制动系统的意义

最优控制

①最优控制理论的应用领域与实例 最优控制理论现在广泛应用于生产领域，军事领域以及经济领域等人类有目的的活动中。最优控制问题可以用于解决最少时间控制问题，最少燃料控制问题，导弹跟踪问题，线性调节器等。 ②最优控制理论的最新发展 1.在线优化方法 基于对象数学模型的静态优化方法，是理想化的方法。因为尽管工业过程被设计得按一定的正常工况连续运行，但由于存在外部环境变动等各种干扰因素，原来的设计就未必是最优的。鉴于这种情况在线优化方法得到了发展，其中常见的方法有： ⑴局部参数最优化和整体最优化设计方法 局部参数最优化方法的基本思想是按照参考模型和被控过程输出之差来调整控制器可调参数，使输出误差平方的积分达到最小。这样可使被控过程和参考模型尽快保持精确一致。此外，静态最优与动态最优相结合可将局部最优变为整体最优。 ⑵预测控制中的滚动优化算法 预测控制，又称基于模型的控制（Model-basedControl），是70年代后期兴起的一种新型优化控制算法。但它与通常的离散最优控制算法不同，不是采用一个不变的全局优化目标，而是采用滚动式的有限时域优化策略。这意味着优化过程不是一次离线进行，而是反复在线进行的。这种有限化目标的局部性使其在理想情况下只能得到全局的次优解，但其滚动实施，却能顾及由于模型失配、时变、干扰等引起的不确定性，及时进行弥补，始终把新的优化建立在实际的基础之上，使控制保持实际上的最优。这种启发式的滚动优化策略，兼顾了对未来充分长时间内的理想优化和实际存在的不确定性的影响。在复杂的工业环境中，这比建立在理想条件下的最优控制更加实际有效。 预测控制的优化模式具有鲜明的特点：它的离散形式的有限优化目标及滚动推进的实施过程，使得在控制的全过程中实现动态优化，而在控制的每一步实现静态参数优化。用这种思路，可以处理更复杂的情况，例如有约束、多目标、非线性乃至非参数等。吸取规划中的分层思想，还可把目标按其重要性及类型分层，

综述非线性系统最优控制理论.docx

综述非线性系统最优控制理论 近年来，最优控制理论[1,2]的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一，取得了许多研究成果。同时，也在与其他控制理论相互渗透，出现了许多新的最优控制方式，形成了更为实用的学科分支。例如鲁棒最优控制[3]、随机最优控制[4]、分布参数系统的最优控制[5]、大系统的次优控制[6]、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制[7,8]等。而对于非线性系统，其最优控制求解相当困难，需要求解非线性HJB方程或非线性两点边值问题，除简单情况外[9]，这两个问题都无法得到解析解。因此，许多学者都致力于寻求近似的求解方法[10~13]，通过近似解得到近似的最优控，即次优控制。 1、非线性最优控制理论研究成果分类 目前，较为流行的近似最优控制求解方法主要有以下几类[6][13]。 1）幂级数展开法：幂级数展开方法通过一个幂级数来构造控制律，得到序列形式的近似最优解，或者将系统中的非线性项以幂级数形式分解，或者通过引进一个临时变量并围绕它展开。 将上式代入HJB方程求得级数近似解，也可利用Adomian分解将非线性项进行分解，由此寻求非线性HJB方程级数的近似解。 2）Galerkin逐次逼近方法：由动态规划得到的一般性偏微分HJB方程，引入一个迭代过程来求解一般非线性HJB方程的一个近似解序列。 3）广义正交多项式级数展开法：其主要思想是将最优控制问题中的状态变量，控制输入，性能指标和各个参数分别用广义正交多项式展开，利用广义正交多项式的积分、乘积运算阵 将描述系统的微分方程转化为一系列的代数方程。然后，得到，T非奇异时由得到的控制律是一个多项式级数解。该方法将最优控制问题转化为代数极值问题，从而避免了求解时变非线性Riccati方程。 4）有限差分和有限元方法：经典的有限差分和有限元方法可以用来近似求解非线性HJB方程。近年来，这类方法用来近似求取非线性HJB方程的粘性解。 5）状态相关Riccati方程方法：这种方法适用的模型是仿射非线性系统，