直线与方程知识点及典型例题.docx

第三章直线与方程知识点及典型例题

1. 直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

2. 直线的斜率

① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。即 k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;°

当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 .

当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。

例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 .

y

解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l

1

3

∴ k2 =—32x

1

例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()o

l2

°°°°

②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y

1 ( x1x

2 )

x2x1

注意下面四点：

(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与 P1、 P2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，

当 (1) l / / l

2(2) l⊥l时分别求出 m 的值

111

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。

3. 直线方程

① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1

注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都

等于

x 1，所以它的方程是

x x

1。

=

② 斜截式： y=kx+b ，直线斜率为

k ，直线在 y 轴上的截距为 b

③

y y 1 x x

1

（

x 1

x 2 , y 1

1 1

1 1 1 1

两点式：

y 1 x 2 x 1

y 2 ）直线两点 P (x ， y )、 P (x ， y )

y 2

④ x y 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a ， 0)，与 y 轴交于点 (0， b),即 l 与 x 轴、 y 轴的

截矩式：

b

a

截距分别为 a 、 b 。

注意： 一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况

①两个截距都不为 0 ②或都为 0 ；

但不可能一个为

0，另一个不为 0.

x y 或 y=kx.

其方程可设为：

1

a

b

⑤ 一般式： Ax+By+C=0（ A ， B 不全为 0）

注意： (1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：

平行于 x 轴的直线：

y b （ b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： x

a （ a 为常数）；

例题： 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是

1

，经过点 A(8， —2)；

.

2

(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴；

. (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是

3

.

, 3 ；

2

(4)经过两点 P 1 (3， —2)、 P 2(5， —4)；

.

例 1：直线 l 的方程为 Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（

）

A ． C=0， B>0

B ． C=0， B>0， A>0

C ． C=0， AB<0

D ． C=0， AB>0

例 2：直线 l 的方程为

Ax —By — C=0，若 A 、B 、C 满足 AB.>0 且 BC<0，则 l 直线不经的象限是 （ ）

A ．第一

B ．第二

C ．第三

D ．第四

4. 两直线平行与垂直

当 l 1 : y k 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2 时，

l 1 // l 2

k 1 k 2 , b 1 b 2 ； l 1 l 2

k 1k 21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

5. 已知两条直线 l 1： A 1x+B 1y+C 1=0，l 2： A 2 x+B 2y+C 2 =0，

(A 1 与 B 1 及 A 2 与 B 2 都不同时为零 )

A 1 x

B 1 y

C 1

0 若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组

的一组解。

A 2 x

B 2 y

C 2

两条直线的交角：

两条相交直线l 1与 l 2的夹角：两条相交直线l 1与 l 2的夹角，是指由 l 1与 l 2相交所成的四个角中最小的正角，又称为 l 1和 l 2所成的角，它的取值范围是0,，当90 ，则有tan k 2k1.

1 k1 k 2

2

若方程组无解l1 // l 2；若方程组有无数解l1与l2重合

6.点的坐标与直线方程的关系

几何元素代数表示

点 P坐标 P(x o， y o)

直线 l方程 Ax+By+C=0

点 P(x o， y o)在直线 l 上坐标 ( x0 , y0 ) 满足方程：Ax+By+C=0

点 P(x o，y o)是 l1、 l 2的交点

A 1 x

B 1 y

C 10坐标 (x o， y o)满足方程组

B 2 y

C 20

A 2 x

7.两条直线的位置关系的判定公式

A1B2— A2B1≠ 0方程组有唯一解两直线相交

A 1

B 2 A 2 B 10

B 1

C 2 B 2C 10,无解两直线平行

或A1C2— A2 C1≠ 0

A 1

B 2 A 2 B 10

B 1

C 2 B 2 C 10有无数个解两直线重合

或A1C2— A2C1 = 0

两条直线垂直的判定条件：当 A1 B1

、A2B2

满足时

l1

⊥

l2。

、、

答： A1A2+B1B2=0

经典例题；

例 1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m 和 l2：2mx+4y+16=0， m 为何值时 l1与 l2①相交②平行解：

例 2. 已知两直线l1： (3a+2) x+(1— 4a) y +8=0 和 l 2： (5a— 2)x+(a+4)y—7=0 垂直，求 a 值解：

例3.求两条垂直直线 l 1： 2x+ y +2=0 和 l2： mx +4y— 2=0 的交点坐标

解：

例 4. 已知直线l 的方程为y

1 x 1，

2

(1)求过点（ 2， 3）且垂直于l 的直线方程； (2)求过点（ 2， 3）且平行于l 的直线方程。

8.两点间距离公式：设 A(x1， y1)、 B(x2， y2)是平面直角坐标系中的两个点，

则 |AB|= ( x2x1)2( y2y1 )2

9.点到直线距离公式：o o| A x o By o C |

一点 P(x， y到直线 l： Ax+By+C= d

B 2

A 2

10.两平行直线距离公式

例：已知两条平行线直线l1和 l2的一般式方程为l1： Ax+By+C1=0，l2： Ax+By+C2=0，

C1 C 2

则 l 1与 l 2的距离为d

B 2

A 2

例1：求平行线 l1： 3x+ 4y —12 =0 与 l 2： ax+8y+11=0 之间的距离。

例2：已知平行线 l1： 3x+2y — 6=0 与 l2： 6x+4y— 3=0 ，求与它们距离相等的平行线方程。

11.直线系方程

已知两条直线 l111122221122

都不同时为零 )：A x+B y+C =0， l：A x+B y+C =0， (A与 B及 A与 B 若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：

l： A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2) =0 或者(A1x+B1y+C1 )+ A2x+B2y+C2 =0 都可以

例 1：直线 l： (2m+1)x+(m+1)y— 7m—4=0 所经过的定点为。(m∈ R)

例 2：求满足下列条件的直线方程

(1)经过点 P(2， 3)及两条直线 l1： x+3y—4=0 和 l2： 5x+2y+1=0 的交点 Q；

(2) 经过两条直线l1： 2x+y—8=0 和 l2： x—2y+1=0 的交点且与直线4x— 3y—7=0 平行；

(3)经过两条直线 l1： 2x— 3y+10=0 和 l2： 3x+4y—2=0 的交点且与直线 3x—2y+4=0 垂直；解：

12. 中点坐标公式：已知两点1111 11x 1 x2，y

1y2)

(x， y、 P (， y，则线段的中点M 坐标为

2

2例 .已知点 A(7，— 4)、 B(— 5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。

13、对称问题：

①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线

距离相等 .

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.

③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线 y x b 对称的解法： y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0.

②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a –x, 2b –y)=0.

例1：已知直线 l： 2x— 3y+1=0 和点 P(— 1，— 2).

(1)分别求：点 P(—1，— 2)关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标

(2)分别求：直线 l： 2x— 3y+1=0 关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程 .

(3)求直线 l 关于点 P(— 1，— 2)对称的直线方程。

(4)求 P(—1，— 2)关于直线 l 轴对称的直线方程。

例 2：点 P(— 1，— 2)关于直线l： x+y—2=0 的对称点的坐标为。

例 3：已知圆 C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线 x— y— 1=0 对称，则圆 C2的方程为：。

A. (x+2)2+(y—2)2=1

B. (x—2)2+(y+2)2=1

C. (x+2)2+(y+2)2=1

D. (x—2)2+(y—2)2=1

[ 基础训练 A 组 ]

一、选择题

1 ．设直线ax by c 0的倾斜角为，且 sin cos0 ，

则 a, b满足（）

A．a b1B．a b1

C．a b0D．a b0

2 ．过点P(1,3) 且垂直于直线 x 2 y

3 0 的直线方程为（）A．2x y 1 0B．2x y 5 0

C．x 2 y 5 0D．x 2 y 7 0

3 ．已知过点A(2, m) 和 B(m,4) 的直线与直线 2x y 1 0 平行，

则 m 的值为（）

A．0B．8C．2D．10

4 ．已知ab0, bc0 ，则直线 ax by c 通过（）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

5．直线 x 1 的倾斜角和斜率分别是（）

A．450,1B．1350,1

C．900，不存在D．1800，不存在

6．若方程(2

m

3)

x

(

m2

)4 1 0

表示一条直线，则实数m 满足（）m2m y m

A．m 0B．m 3

2

3

C．m 1D．m 1，m， m 0

2

二、填空题

1．点 P(1,1) 到直线 x y10 的距离是________________.

2．已知直线 l1 : y2x3, 若 l 2与 l1关于y轴对称，则 l 2的方程为__________;若l 3与 l1关于 x 轴对称，则 l 3的方程为_________;

若l 4与 l1关于y x对称，则 l 4的方程为___________;

3．若原点在直线 l 上的射影为(2, 1) ，则l的方程为____________________。4．点 P( x, y) 在直线 x y 40 上，则 x2y2的最小值是________________.

5 ．直线l过原点且平分Y ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为

B(1,4), D (5,0) ，则直线l的方程为________________。

三、解答题

1 ．已知直线Ax By C0 ，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；

（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；

（ 3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；

（ 4）系数满足什么条件时是x 轴；

（ 5）设P x0，y0为直线Ax By C0上一点，

证明：这条直线的方程可以写成 A x x0 B y y0 0 ．

2 ．求经过直线l1: 2x

3 y 50, l 2 : 3x 2 y 30 的交点且平行于直线 2x y 3 0的直线方程。

3 ．经过点A(1,2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条

请求出这些直线的方程。

4 ．过点A( 5, 4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为

5 ．

（数学 2 必修）第三章直线与方程

[ 综合训练 B 组]

一、选择题

1 ．已知点A(1,2), B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（）

A．4x 2 y 5B．4x 2 y 5

C．x 2 y 5D．x 2 y 5

2 ．若A( 2,3), B(3,

1

则 m 的值为（）2), C ( , m) 三点共线

Ａ．1

1

2

Ｂ．Ｃ． 2Ｄ． 2 22

x y

1 在y轴上的截距是（）

3 ．直线

b2

a2

A．b B．b2 C．b2D．b

4 ．直线kx y13k ，当k变动时，所有直线都通过定点（）

A．(0,0)B．(0,1)

C．(3,1)D．(2,1)

5 ．直线x cos y sin a 0 与 x sin ycos b 0 的位置关系是（）A．平行B．垂直

C．斜交D．与a,b,的值有关

6 ．两直线3x y 3 0 与 6x my 1 0 平行，则它们之间的距离为（）

A ． 4

B ． 2

13

C ．

5

13

D ．

7

10

13

26 20

7 ．已知点 A(2,3), B( 3, 2) ，若直线 l 过点 P(1,1)与线段 AB 相交，则直线 l 的

斜率 k 的取值范围是（

）

3

3 k 2

3

D ． k 2

A ． k

B ．

C ． k 2或 k

4

4

4

二、填空题

1 ．方程 x

y 1 所表示的图形的面积为 _________。

2 ．与直线 7x

24 y 5 平行，并且距离等于 3 的直线方程是 ____________。

3 ．已知点 M ( a, b) 在直线 3x

4 y 1

5 上，则 a 2

b 2 的最小值为

4 ．将一张坐标纸折叠一次，使点

(0, 2) 与点 (4,0) 重合，且点 (7,3) 与点 (m, n) 重合，则 m n

的值是 ___________________ 。

５．设 a b

k (k

0, k 为常数 ) ，则直线

ax

by 1 恒过定点

．

三、解答题

1 ．求经过点 A( 2, 2)

并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是

1 的直线方程。

2 ．一直线被两直线 l 1 : 4 x y 6 0, l 2 : 3x 5y 6 0 截得线段的中点是

P 点，当 P 点分

别为 (0,0) ， (0,1) 时，求此直线方程。

3 、把函数 y f x 在 x a 及 x b 之间的一段图象近似地看作直线，设 a c b ，

证明： f c 的近似值是：

f a

c a f b f a ．

b a

4 ．直线 y

3

x 1和 x 轴， y 轴分别交于点 A, B ，在线段 AB 为边在第一象限内作等边△

3

ABC ，如果在第一象限内有一点

P( m, 1

) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等，

2

求 m 的值。

（数学 2 必修）第三章直线与方程

[ 提高训练 C组 ]

一、选择题

1．如果直线 l 沿x轴负方向平移 3 个单位再沿y 轴正方向平移 1个单位后，又回到原来的位置，那么直线 l的斜率是（）

A．1

B．3

1

D．3 3

C．

3

2．若

P a， b、Q c，d 都在直线 y mx k 上，则PQ用、、

m

表示为（）

a c

A．a c 1 m2B．m a c C． a c D．a c 1 m2

1m2

3．直线 l 与两直线y1和 x y7 0分别交于 A, B 两点，若线段AB 的中点为M (1, 1) ，则直线l的斜率为（）

A．32

C．

3

D．

2 2

B．

23

3

4．△ ABC 中，点A(4,1) ,AB的中点为 M (3,2),重心为P(4, 2)，则边 BC 的长为（）A．5B．4C．10D．8

5．下列说法的正确的是（）

A．经过定点P0x0，y0的直线都可以用方程y y0 k x x0表示

B．经过定点A 0，b的直线都可以用方程y kx b 表示

C．不经过原点的直线都可以用方程x y

1 表示

a b

D．经过任意两个不同的点P1 x1， y1、 P2 x2， y2的直线都可以用方程

y y1 x2x1x x1 y2y1表示

6．若动点 P 到点F (1,1)和直线3x y40的距离相等，则点P 的轨迹方程为（）A．3x y 6 0B．x 3 y 2 0

C．x 3 y 2 0D．3x y 2 0

二、填空题

1．已知直线 l1 : y2x 3, l 2与 l1关于直线y x 对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率是______. 2．直线 x y 1 0 上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转900得直线l，

则直线 l 的方程是．

3．一直线过点 M (3,4) ，并且在两坐标轴上截距之和为12 ，这条直线方程是__________．4．若方程 x 2my 2 2 x 2 y0 表示两条直线，则m 的取值是．

5．当 0 k 1

y k 1、 ky x2k 的交点在象限．时，两条直线 kx

2

三、解答题

1 ．经过点M (3,5)的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么

2 ．求经过点P(1,2) 的直线，且使A(2,3) ， B(0,5) 到它的距离相等的直线方程

3 ．已知点A(1,1)，B(2, 2)，点P在直线y22

1 x 上，求 PA PB 取得

2

最小值时 P 点的坐标。

4 ．求函数 f (x)x22x 2x24x8 的最小值。

第三章直线和方程答案[基础训练 A 组 ]

一、选择题

tan1,k1,a1,a b,a b0

b

设 2 x y c0, 又过点 P(1,3) ，则2 3 c0, c1，即 2x y 1 0

k4m2,m8y a x c

,k a0,

c

m2b b b b x1垂直于x轴，倾斜角为900，而斜率不存在

2m 2 m 3,m 2 m 不能同时为 0

二、填空题

1.

3 2 d

1

( 1) 1

3 2

2

2

2

2. l 2 : y 2x 3,l 3 : y 2x 3, l 4 : x 2y 3,

3. 2x

y 5 0

k '

1 0 1

, k 2, y ( 1)

2(x 2)

2 0

2

4. 8

x

2

y

2

d

4 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：

2 2

2

5.

y

2 x 平分平行四边形

ABCD 的面积，则直线过

BD 的中点 (3, 2)

3

三、解答题

1. 解：（ 1）把原点 (0,0) 代入 Ax By C

0 ，得 C 0 ；（2）此时斜率存在且不为零

即 A

0 且 B 0 ；（ 3）此时斜率不存在，且不与

y 轴重合，即 B

0 且 C

0 ；

（ 4） A C 0, 且 B

（ 5）证明： Q P x 0， y 0 在直线 Ax

By C 0 上

Ax 0 By 0 C 0, C Ax 0

By 0

A x

x 0 B y y 0

0 。

19

2x 3y

5

x

47 2. 解：由

13 ，再设 2x y

c

0 ，则 c

3x 2 y 3

，得

13

9

y

13

47 2x y

0为所求。

13

3. 解：当截距为 0 时，设 y kx ，过点 A(1,2) ，则得 k 2 ，即 y

2x ；

当截距不为

0 时，设

x

y 1,或 x

y 1,过点 A(1,2) ，

a

a a a

则得 a 3 ，或 a 1 ，即 x y 3 0 ，或 x y 1 0

这样的直线有 3 条： y 2x ， x y 3

0 ，或 x

y 1 0 。

4. 解：设直线为 y

4 k( x 5), 交 x 轴于点 (

4

5,0) ，交 y 轴于点 (0,5 k 4) ，

k

1 4 5 5k

4 5, 40

16 25k

10

S

k

k

2

得 25k 2 30k 16 0 ，或 25k 2 50k 16

解得 k

2

, 或 k 8

5 5

2x 5 y 10 0 ，或 8x 5 y 20

0 为所求。

第三章 直线和方程 [综合训练 B 组 ]

一、选择题

线段 AB 的中点为 (2,

3

), 垂直平分线的 k 2 ， y

3 2(x 2),

4 x 2y

5 0

2

2

k

AB

k

BC

, 2 3 m 2 , m

1

3

2

1 3

2

2

令 x

0, 则 y

b 2

由 kx

y

1 3k 得 k( x 3)

y 1 对于任何 k R 都成立，则

x 3 0

y 1 0

cos sin

sin ( cos ) 0

把 3x

y

3 0 变化为 6x 2 y

6 0 ，则 d 1 (

6) 7 10

6

2

2

2

20

k

PA

2,k PB

3

, k l k PA , 或k l

k

PB

4

二、填空题

1. 2

方程 x

y

1

2

所表示的图形是一个正方形，其边长为

2. 7x 24 y 70 0 ，或 7 x 24 y

80 0

设直线为

c 5

或

7x

24y c 0, d

242 72

3,c 70, 80

3. 3

a 2

b 2 的最小值为原点到直线 3x

4 y 1

5 的距离： d 15

44

5

点 (0, 2) 与点 (4,0)

关于 y 1 2( x

2) 对称，则点 (7,3) 与点 ( m, n)

4 ．

5

n 3 1 m 7

m

23

2

2(

2)

5 也关于 y 1

2( x

2) 对称，则

2

，得

n 3

1

21

n

m 7

2

5

5. ( 1 , 1

) ax

by 1 变化为 ax ( k a) y 1,a( x

y)

ky 1 0,

k k

对于任何 a R 都成立，则

x y 0

ky 1

三、解答题

1.解：设直线为 y 2

k(x 2), 交 x 轴于点 (

2 2,0) ，交 y 轴于点 (0, 2k 2) ，

k

1

2 2

2k 2

2 2k

1

S

k

1, 4

2

k

得 2k 2 3k 2 0，或 2k 2 5k 2 0

解得 k

1

, 或 k

2

x 3y 2 0 ，或 2x

y 2 0 为所求。

2

4x y 6 0

得两直线交于 24 18

24 18

2.解：由

5 y

6 0

(

,

) ，记为 A(

,

) ，则直线 AP

3x

23 23 23 23

l ，即 k l

4

24 垂直于所求直线

，或 k l

5

4

24 3

1

x ，

即 4x 3y 0 ，或 24x 5y

5 0 为所求。

yx ，或 y 5 3

1. 证明： Q A, B, C 三点共线，

k

AC

k

AB

y c f (a) f (b) f (a)

y c

f (a)

即

a

b a

c

即 y c

f (a)

c a

[ f (b) f ( a)]

f c

b a

2. 解：由已知可得直线 CP // AB ，设 CP 的方程为

c

a

[ f (b) f ( a)]

b a

c

a

f b f a 的近似值是： f a

b a

y

3 x c,( c 1)

3

则 c 1

AB

3 3, c 3 ， y

3

x 3 过 P( m, 1

)

1 1

2

3

2

3

1 3 m 3, m

5

3

得

32

2

第三章 直线和方程 [提高训练 C 组 ]

一、选择题

tan

1

3

PQ

( a c) 2 (b d) 2

(a c) 2 m 2 (a c)2 a c 1 m 2

A( 2,1), B(4, 3)

B(2,5), C(6,2), BC

5

斜率有可能不存在，截距也有可能为 0

点 F (1,1)在直线 3x y 4 0 上，则过点 F (1,1)且垂直于已知直线的直线为所求

二、填空题

1. 2

l 1 : y 2x 3,l 2 :

x

2 y 3, y

1 3 1 2

x

, k 2

, k 3

2

2

2

2. x y 7 0

P(3, 4) l 的倾斜角为 450

900 1350 , tan135 0

1

3. 4x y 16 0 ，或 x

3y 9 0

设 y

4 k( x 3), y

0, x

4 3;x 0, y

3k 4; 4

3 3k

4 12

4

k

1k

3k 11 0,3k 2 11k

4 0, k 4,或k

k

3

4.1

5.二

三、解答题

k

ky x 2k

x

,

k 1

kx y

k 1

2k

1

y 0

k 1

1. 解：过点 M (3,5) 且垂直于 OM 的直线为所求的直线，即

k

3

, y 5

3

( x 3),3 x 5y 52 0

5

5

2. 解： x 1 显然符合条件；当 A(2,3) ， B(0, 5) 在所求直线同侧时， k AB 4

y 2

4( x 1),4 x y 2

4x y

2 0，或 x 1

3. 解：设 P(2t, t) ，

2

2

(2t 1)2 (t 1)2 (2t 2)2

(t 2)2

10t 2 14t 10

则 PA PB

当 t

7 时， PA 2

2

P(7

, 7 )

PB 取得最小值，即

10

5 10

4. 解： f (x)

(x 1)2

(0 1)2 ( x 2) 2

(0 2)2 可看作点 ( x,0)

到点 (1,1)和点 (2, 2) 的距离之和，作点 (1,1)关于 x 轴对称的点 (1, 1)

f (x)min

12 32

10

直线与方程测试题含答案

第三章 直线与方程测试题 一．选择题1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．y ＝3x －6 B. y ＝ 33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝3 3x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 3. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2 5.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关 *6．到直线2x +y +1=0的距离为55 的点的集合是( ) A.直线2x+y －2=0 B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 7直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ） Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-,

*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（） A．－2 3 B． 2 3 C．－ 3 2 D． 3 2 9．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为213 13 ，则 c＋2 a的 值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（） A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 **11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距 离等于 2 2 ，这样的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 *12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0） 有两个不同交点，则a的取值范围是（） A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a＞0且a≠1 D．a＝1 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是；或。

数学必修2 直线与方程典型 例题

第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2

拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.

拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4

直线与方程(经典例题)

直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0

数学必修2---直线与方程典型例题(精)

第三章 直线与方程 ３.1 直线的倾斜角与斜率 3.１．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 １.直线的倾斜角: ２.直线的斜率: 3.直线的斜率公式: 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线的倾斜角为（ ). Ａ. 6０° B ． ３０° Ｃ. 60°或120° D. ３0°或１50° 变式训练： 设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转4５°,得到直线1l ,则 1l 的倾斜角为( ）。 A. 45α+? B ． 135α-? C. 135α?- Ｄ. 当0°≤α＜1３5°时为45α+?,当１3５°≤α＜1８0°时,为135α-? 题型 二 求直线的斜率 例 ２如图所示菱形ＡBCD 中∠BAD =6０°，求菱形A ＢＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°,求实数m 的值. 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例３右图中的直线l １、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ）. A .k 1＜k 2<ｋ3? Ｂ． ｋ3

变式训练: 若三点P (2，3)，Q （3,a ),R (4，b )共线,那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B.1b a -= C.23a b -= D.23a b -= 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- ３) , B (3, 0) ,过点Ｐ （-1， ２）的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练: 已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段ＡＢ相交,求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。 变式训练： 利用斜率公式证明不等式:(0a m a a b b m b +><<+且0)m > 3.1.２ 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】

最新直线与方程单元测试题

江苏省赣榆高级中学 直线与方程单元测试题 一、填空题(5分×18=90分) 1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ； 3.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ； 4.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ； 6．已知直线0323=-+y x 和0 16=++my x 互相平行，则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是: 9．已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是: 10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为: 11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条. 12．直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ． 13．当10k 2 <<时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ； 15.直线y=2 1x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ; 16.已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 17.光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B , 则反射光线所在直线的方程 18．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为:

《直线与方程》教案+例题精析

考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB

高二数学直线与方程典型习题教师版

【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0 ③倾斜角α的范围0 0180α≤< （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠ ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（ ）的直线的斜率公式是21 21 y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式21 2121 ()y y k x x x x -= ≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】 （1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =? 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行 （2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=??⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确； 由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点

完整高中数学直线与方程习题及解析

点的P反射后通过点B(3,1)，求射向(－1,3)x轴，经过x轴上的点P1．一条光线从点A坐标．0013－－13 k＝－＝，，依题意，＝，则k＝0)设解P(x,PBAP x－－1x3x－＋3－1x由光的反射定律得k＝－k，PBAP31即＝，解得x＝2，即P(2,0)．x＋13－x2．△ABC为正三角形，顶点A在x 轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜 率． 解如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°， ∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°， 3，＝－tan 150°∴k＝AB33. ＝＝tan 30°k AC3f?a?f?b?f?c?3．已知函数f(x)＝log(x＋1)，a>b>c>0，试比较，，的大小．2abcf?x? 可视为过原点直线的斜率．画出函数的草图如图，解xf?c?f?b?f?a?由图象可知：>>. cba 4．(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD. 32＋1)且l，a⊥l，求实数(3，直线l经过点Aa，－2)，B(0k(2)已知直线l的斜率＝211124a的值．(1)证明由斜率公式得： 6－33 ＝，＝k AB55－1011－?－4?5＝－，＝k CD3－6－3则k·k＝－1，∴AB⊥CD. CDAB(2)解∵l ⊥l，∴k·k＝－1，2121＋1－?－2?2a3即＝－1，解得a＝1或a＝3. ×40－3a 5. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、的形状．OPQR试判断四边形>0.t，其中2)t,2－(R、)t＋2t,2－(1Q、)t，(1P． 0t－，t＝＝由斜率公式得k解OP01－t－0－2－?2＋t?21＝＝t，k＝－，＝＝k ORQR t－2t－?1－2t?－1－2t－02＋t－t12＝－＝. ＝k PQ tt－212t－1－. PQ，OR∥OP∴k＝k，k＝k，从而∥QR PQQROPOR为平行四边形．∴四边形

数学必修2---直线与方程典型例题

第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1

3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状.

最新直线与方程知识点及典型例题

第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180 ,90∈α时，0

(完整word版)高中直线与方程练习题--有答案.doc

一、选择题： 1．直线 x- 3 y+6=0 的倾斜角是（ ） A 60 B 120 C 30 0 D 150 2. 经过点 A(-1,4), 且在 x 轴上的截距为 3 的直线方程是（ ） A x+y+3=0 B x-y+3=0 C x+y-3=0 D x+y-5=0 3．直线 (2m 2+m-3)x+(m 2 -m)y=4m-1 与直线 2x-3y=5 平行，则的值为（ ） A- 3 或1 B1 C- 9 D - 9 或 1 2 8 8 4．直线 ax+(1-a)y=3 与直线 (a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直，则 a 的值为（ ） A -3 B 1 C 0 3 D 1 或-3 或- 2 5．圆（ x-3 ） 2+(y+4) 2 =2 关于直线 x+y=0 对称的圆的方程是（ ） A. (x+3) 2 +(y-4) 2 =2 B. (x-4) 2 +(y+3) 2=2 C .(x+4) 2 +(y-3) 2=2 D. (x-3) 2 +(y-4) 2=2 6、若实数 x 、y 满足 ( x 2) 2 y 2 3，则 y 的最大值为（ ） x A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3 7．圆 (x 1) 2 ( y 3) 2 1 的切线方程中有一个是 A ． x －y ＝0 B ．x ＋ y ＝0 C ．x ＝0 D ． y ＝0 8．若直线 ax 2 y 1 0 与直线 x y 2 0 互相垂直，那么 a 的值等于 A ． 1 B ． 1 C 2 D ． 2 3 ． 3 9．设直线过点 (0, a), 其斜率为 1，且与圆 x 2 y 2 2 相切，则 a 的值为 （ ） Ａ． 4 Ｂ． 2 2 Ｃ． 2 Ｄ． 2 10． 如果直线 l 1 ,l 2 的斜率分别为二次方程 x 2 4x 1 0 的两个根，那么 l 1 与 l 2 的夹角为（ A ． B ． 4 C ． D ． 3 6 8 11．已知 M {( x, y) | y 9 x 2 , y 0}， N {( x, y) | y x b} ，若 M I N b A ．[ 3 2,3 2] B ． ( 3 2,3 2) （ ） （ ） ） ，则 （ ） C ． ( 3,3 2] D ． [ 3,3 2]

人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率习题(3)

直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为

直线与方程知识点及典型例题.docx

第三章直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即 k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;° 当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 . 当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。 例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 . y 解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l 1 3 ∴ k2 =—32x 1 例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()o l2 °°°° ②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y 1 ( x1x 2 ) x2x1 注意下面四点： (1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与 P1、 P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当 (1) l / / l 2(2) l⊥l时分别求出 m 的值 111 ※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 3. 直线方程 ① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1 注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都

人教版高中数学必修 知识点考点及典型例题解析全

必修二 第一章 空间几何体 知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：33 4 　R V π= ，球的表面积公式：24　R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：22 2 1 21h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积： l r S ??=π侧面 典型例题： ★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形 Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21 倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱 Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱

★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A ．28cm π B 2 12cm π. C 216cm π． D ．220cm π 二、填空题 ★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________． ★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点： 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简 称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简 称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称 面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和 这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （简称线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，

直线与方程经典例题-

直线与方程经典例题 【考点指要】 关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求。解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。

【综合例题分析】 例1. 已知圆2 2 440x x y --+=的圆心是P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 __________。 答案： 22 解析：由题意圆的方程22 440x x y --+=可化为() 2 228x y -+=∴圆心()2,0P ，代入点到直线距离公式得2 2)1(1| 1-(-1)012|d 2 2=-+?+?= 例2.若曲线2 1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k b 、分别应满足的条件是____________。 答案：k=0且-1-+>=+y x y B. )0,0(12 332 2 >>=-y x y x Ｃ. )0,0(132322 >>=-y x y x Ｄ. )0,0(132 322 >>=+y x y x 答案：Ｄ 解析：设过点()P x y ，的直线方程为)0,0(><+=b k b kx y ，则(),0,0,b A B b k ?? - ??? ， 由题意知点Q 与点P 关于y 轴对称，得(),Q x y -，又()0,0O

直线与方程习题(带答案)

直线与方程习题（带答案） 一、选择题 1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )． A ．等于0 B ．等于π C ．等于 2 π D ．不存在 2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 4．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ． 3 π B ． 3 2π C ． 4 π D ． 4 3π 5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第 四象限 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )． A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0 7．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝ 0 D ．3x ＋19y ＝0 8．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )． (第2题)

直线与方程典型基础练习题

直线与方程练习题 一、选择题1. 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且s i n c o s 0αα+=，则,a b 满足（ ） A. 1=+b a B. 1=-b a C. 0=+b a D. 0=-b a 2. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y x B. 052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A. 0 B. 8- C. 2 D. 10 4. 已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 5.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 2 1 C 1 D 2 7 6. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 7. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 不能确定 8.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ） A x+5y-15=0 B x=3 C x-y+1=0 D y-3=0 9.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1］ C.(1,+∞) D.［1,+∞) 10．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足 A. 0≠m B. 23-≠m C. 1≠m D. 1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 11．将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为 A.y=3131+-x B.y=13 1 +-x C.y=3x-3 D.y=13 1 +x

直线与方程练习题(精选)

直线与方程练习题 一、选择题 1.若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3-≠m ，0≠m 2.下列说法的正确的是 （ ） A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程x a y b +=1表示 D ．经过任意两个不同的点() ()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程 ()()()()y y x x x x y y --=--121121表示 3.若()()P a b Q c d ，、，都在直线y mx k =+上，则PQ 用a c m 、、表示为（ ） A ．()a c m ++12 B ．()m a c - C ．a c m -+12 D ． a c m -+12 4.△ABC 中，点(4,1)A -,AB 的中点为(3,2)M ,重心为(4,2)P ，则边BC 的长为（ ） A ．5 B ．4 C ．10 D ．8 5.若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+= 6.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 （ ）Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-, 7.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 8.若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0）有两个不同交点，则a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ＞0且a ≠1 D ．a ＝1 9.直线xcos θ＋y ＋m =0的倾斜角范围是（ ） A. 3,44ππ?????? B. 30,,44πππ???????????? C. 0,4π?????? D. 3,,4224ππππ????? ?????? 10已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是( )