随机过程的统计特性—数字特征

第1章随机信号概论特征函数随机过程统计特性

1.4 随机变量的特征函数 引言：分布函数：反映随机变量的统计规律性。 数字特征：反映、掌握分布函数的某些特征。矩是最主要的特征，但随着矩的阶数的 增高，计算机较麻烦，寻求一种有效的方法来计算。 特征函数：一种计算各阶矩的有效工具。特别是计算、处理多个随机变量，特征函数 显示其优越性一。 1．4．1 特征函数的定义 (1) 设X 是定义在概率空间),,(P F S 上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称juX e 的 数学期望)(juX e E 为X 的特征函数，记为)(u C X 。 当X 为离散型随机变量时，其特征函数为： ∑∞ ====1 )()()(i i jux juX X x X P e e E u C i 当X 为连续型随机变量时，其特征函数为： ?+∞ ∞ -==dx x p e e E u C jux juX X )()()( (2) 利用特征函数求概率密度函数 ? +∞ ∞ --= du u C e x p X jux )(21 )(π 证明：利用傅里叶变换与反变换关系可证明。 举例： 例1：求标准正态分布)1,0(N 的特征函数。 2 2 2221)()(u jux x juX X e dx e e e E u C - ∞ +∞ -- ===? π 1．4．2 特征函数的性质 (1) 1)(≤u C X 1)0(=X C (2) 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即： 若∑== n k k X Y 1 ，式中n X X X Λ,,21为n 个两两相互独立的随机变量，则 ∏==n k X Y u C u C k 1 )()(

随机信号分析实验

实验一 随机序列的产生及数字特征估计 一、实验目的 1、学习和掌握随机数的产生方法； 2、实现随机序列的数字特征估计。 二、实验原理 1. 随机数的产生 随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。 在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。 (0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下： N y x N ky Mod y y n n n n /))((110===-， （1.1） 序列{}n x 为产生的(0，1)均匀分布随机数。 下面给出了上式的3组常用参数： (1) 7101057k 10?≈==，周期，N ； (2) （IBM 随机数发生器）8163110532k 2?≈+==，周期，N ； (3) （ran0）95311027k 12?≈=-=，周期，N ； 由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。 定理1.1 若随机变量X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0，1)均匀分布随机变量，则有

)(1R F X x -= （1.2） 由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0，1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。 2. MATLAB 中产生随机序列的函数 (1) (0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand 用法：x = rand(m,n) 功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。 (2) 正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从2N(,)μσ分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。 (3) 其他分布的随机序列 MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。 MATLAB 中产生随机数的一些函数 表1.1 MATLAB 中产生随机数的一些函数 3、随机序列的数字特征估计 对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列X (n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n=0,1,2，…，N-1。那么，X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

随机信号通过线性和非线性系统后地特性分析报告 实验报告材料

实验三 随机信号通过线性和非线性系统后的特性分析 一、实验目的 1、了解随机信号的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱特性。 2、研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱有何变化，分析随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性 二、实验仪器与软件平台 1、 微计算机 2、 Matlab 软件平台 三、实验步骤 1、 根据本实验内容和要求查阅有关资料，设计并撰写相关程序流程。 2、 选择matlab 仿真软件平台。 3、 测试程序是否达到设计要求。 4、 分析实验结果是否与理论概念相符 四、实验内容 1、 随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析 （1）实验原理 ①随机信号的分析方法 在信号系统中，可以把信号分成两大类：确定信号和随机信号。确定信号具有一定的变化规律，二随机信号无一定的变化规律，需要用统计特性进行分析。在这里引入了一个随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个采样序列。随机过程可以分为平稳的和非平稳的，遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化。则随机过程是平稳的。如果一个平稳的随机过程的任意一个样本都具有相同的统计特性。则随机过程是遍历的。下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，可以随机取随机过程的一个样本值来描述随机过程中的统计特性。 随机过程的统计特性一般采用主要的几个平均统计特性函数来描述，包括、均方值、方差、自相关系数、互相关系数、概率密度、频谱及功率谱密度等。 a.随机过程的均值 均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。基于过程的各态历经行，可用时间间隔T 内的幅值平均值表示，即 ∑-==1 /)()]([N t N t x t x E 均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。

第四章 随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）

A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-

随机变量的数字特征教案

§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分

100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：

凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；

随机信号统计特性分析

实验一、随机信号统计特性分析 学生姓名刘冰 学院名称精密仪器与光电子工程 专业生物医学工程 学号3010202286

一、实验目的 随机信号是生物医学信号处理软件调试所必须的信号。通过本实验，了解一种伪随机信号产生的方法，及伪随机信号的数字特征。 二、实验要求 1．用同余法编制产生伪随机信号的程序。 2．检验所产生的伪随机信号是高斯分布的。 3．检验伪随机信号的自相关函数。 三、实验方法 1．伪随机信号的产生 用下式产生一组在[-0.5,0.5]内均匀分布的伪随机信号： ()()() k i C k i M =?-1% (1) ()()n i k i M =-/.05 (2) 其中(1)表示k(i)为(())/C k i M ?-1的余数，n(i)为一组在[-0.5,0.5]区间的均值为0的伪随机信号。令C =+239,M =212，i=0，1，2，…499。通过任意给定k(0),用上式可以产生一组伪随机信号。 2．用中心极限定理产生一组服从正态分布的伪随机信号 中心极限定理：设被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的和，其中每个随机变量对总和只起微小作用，则这个随机变量是服从正态分布的。 产生一个长度为500的伪随机信号，其中每一项为L 个伪随机变量和。检验落在 []σσ+-,内概率68%，[]-+22σσ,内概率95.4%，[]-+33σσ,内概率99.7%。 () σ2 20 1 1= =-∑N n i i N 3．用自相关函数检验上述信号 对于产生的伪随机信号，其自相关函数是δ函数，k=0时函数值取得最大。 ()()() R k N n i n i k n i N k = *+=-∑1 四．实验流程框图 按照实验方法用matlab 实现

随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）

实验一平稳随机过程的数字特征

实验一 平稳随机过程的数字特征 一、实验目的 1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念 2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解 3、分析平稳随机过程数字特征的特点 二、实验设备 计算机、Matlab 软件 三、实验内容和步骤 设随机电报信号X(n)(-∞m 时， m k k e k m I m n X n X P λλ-∞ =∑==+022 )!2()(})()({

m k k e k m I m n X n X P λλ-∞ =+∑+==+0122 )!12()(})()({ m e I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+= 五、实验要求 1、写出求期望和自相关序列的步骤； 2、分析自相关序列的特点； 3、打印相关序列和相关系数的图形； 4、附上程序和必要的注解。 六、实验过程 input('王斌欢迎您') I=input('输入I 的值'); a=0.5; %a 的值为P{X(n)=+I} b=0.5; %b 的值为P{X(n)=-I} EX=I*a+(-I)*b %EX 为期望的输出值 xuehao=21; %学号为21 k=1/xuehao; Ex=I*0.5+(-I)*0.5; m=-64:1:64; Rx=I*I*exp(-2*k*abs(m)); Cx=Rx-Ex*Ex; Cx0=I*I*exp(-2*k*abs(0))-Ex*Ex; rx=Cx/Cx0; figure(1); subplot(211);stem(EX);title('期望') %输出图像 subplot(212);stem(m,Rx);title('自相关序列'); figure(2); stem(m,rx);title('相关系数'); 七、实验结果及分析

第三章 随机信号分析 总结

第三章 总结 对随机的东西只能作统计描述。 1).统计特性（ 概率密度与概率分布）； 2).数字特征（ 均值、方差、相关函数等）。 节1 随机过程概念 一、随机过程定义 二、随机过程统计特性的描述 1.随机过程的概率分布函数 2.随机过程的概率密度函数 三、随机过程数字特征的描述 1、数学期望： 性质：① E[k] = k ② E[ξ(t) + k] = E[ξ(t)] + k ③ E[ kξ(t)] = k E[ξ(t)] ④ E[ξ 1(t) + …+ξ n (t)] = E[ξ 1 (t)] + …+E[ ξ n (t)] ⑤ ξ 1(t)与ξ 2 (t)统计独立时，E[ξ 1 (t)ξ 2 (t)] = E[ξ 1 (t)] E[ξ 2 (t)] 2、方差： 性质：① D[k] = 0 ② D[ξ(t) + k] = D[ξ(t)] ③ D[kξ(t)] = K2 D[ξ(t)] ④ξ 1(t)ξ 2 (t)统计独立时， D[ξ 1 (t)+ξ 2 (t)] = D[ξ 1 (t)] + D[ξ 2 (t)] 3、相关函数和协方差函数 节2 平稳随机过程概念 一、定义：狭义平稳、广义平稳 广义平稳条件：

① 数学期望与方差是与时间无关的常数； ② 相关函数仅与时间间隔有关。 二、性能讨论 1、各态历经性（遍历性）：其价值在于可从一次试验所获得的样本函数 x(t) 取时间平均来得到它的数字特征（统计特性） 2、相关函数R(τ)性质 ① 对偶性（偶函数） R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=E[ξ(t 1-τ)ξ(t 1 )]= R(-τ) ② 递减性 E{[ξ(t) ±ξ(t+τ)]2} = E[ξ2(t)±2 ξ(t) ξ(t+τ) + ξ2(t+τ) ] = R(0)±2R(τ) + R(0) ≥ 0 ∴R(0)≥±R(τ) R(0)≥|R(τ)| 即τ=0 处相关性最大 ③ R（0）为 ξ ( t ) 的总平均功率。 ④ R(∞)=E2{ξ(t)}为直流功率。 ⑤ R(0) - R(∞)= E[ξ 2(t)]- E2[ξ(t)]=σ2为交流功率 3、功率谱密度Pξ(ω) 节3 几种常用的随机过程 一、高斯过程 定义: 任意n维分布服从正态分布的随机过程ξ(t)称为高斯过程（或正态随机过程）。 ① 高斯过程统计特性是由一、二维数字特征[a k, δ k 2, b jk ]决定的 ②若高斯过程满足广义平稳条件，也将满足狭义平稳条件。 ③若随机变量两两间互不相关，则各随机变量统计独立。二、零均值窄带高斯过程 定义、零均值平稳高斯窄带过程 同相随机分量 ξ c (t), 正交随机分量 ξ s (t) 结论：零均值窄带高斯平稳过程 ξ( t ) ，其同相分量 ξ c ( t ) 和正交分量 ξ s ( t )

随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

平稳随机过程及其数字特征

平稳随机过程及其数字特征

平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1

因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫

∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。

实验二 系统对随机信号响应的统计特性分析、功率谱分析及应用实验

大连理工大学实验预习报告 学院（系）：信息与通信工程学院 专业： 电子信息工程 班级： 电子1401 姓 名： ****** 学号： ****** 实验时间： 2016.11.4 实验室： c221 指导教师： 郭 成 安 实验II ：系统对随机信号响应的统计特性分析、功率谱分 析及应用实验 一、 实验目的和要求 掌握直接法估计随机信号功率谱的原理和实现方法；掌握间接法估计随机信号功率谱的原理和实现方法；掌握系统对随机信号响应的统计特性分析及仿真实现方法。熟悉MATLAB 信号处理软件包的使用。 二、 实验原理和内容 （一）实验原理： 1. 直接法估计随机信号功率谱原理 直接法又称为周期图法，它是把随机信号 x(n)的N 点观察数据xN(n)视为一能 量有限信号， 直接取 xN(n)的傅里叶变换，得到 XN(ej ω)，然后取其模值的平方，并除以 N ，作为对 x(n)真实 的功率谱 P(ej ω)的估计。工程上，常使用离散 Fourier 变换（DFT ，编程上使用其快速算法 FFT ），即 PX(k)=2|)k (|1N X N 进行计算。 2. 间接法估计随机信号功率谱 间接法的理论基础是 Wiener-Khintchine 定理，具体的实现方法是先由 xN(n) 估计出自相关函数(m)r ?，然后对(m)r ?求傅里叶变换得到 xN(n)的功率谱，记之为 XN(ej ω)，并以此作为对真实功率谱 P(ej ω)的估计。工程上，常使用离散 Fourier 变换（DFT ，编程上使用其快速算法FFT ），即122)(?)(+--=∑= M km j M M m X e m r k P π，1||-≤N M ，进 行计算。因为由这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以又称为间接法或 Blackman-Tuckey(BT)法，该方法是 FFT 出现之前 常用的谱估计方法。 3. 时域中系统对随机信号响应的统计特性分析及仿真 根据系统卷积性质，计算系统输出信号的统计特性。有如下性质：

随机变量数字特征习题课

第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数

随机变量的数字特征归纳

第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布

设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a0，- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数) , (Y X g Z=，有类似的公式： (){} ? ? ? ? ?= = = ? ∑ ∞ ∞ ． ； （连续型） 离散型 － d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E

随机过程的模拟与数字特征

实验二随机过程的模拟与数字特征 一、实验目的 1. 学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。 2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 二、实验原理 1.正态分布白噪声序列的产生 MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从N (,) 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果X ~ N(0,1)，则N (,)。 2.相关函数估计 MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。 函数：xcorr 用法：c= xcorr (x,y) c= xcorr (x)

c= xcorr (x,y ,'opition') c= xcorr (x, ,'opition') 功能：xcorr(x,y) 计算X (n ) 与Y (n)的互相关，xcorr(x)计算X (n )的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。 'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。 3.功率谱估计 对于平稳随机序列X(n)，如果它的相关函数满足 (2.1) 那么它的功率谱定义为自相关函数R X(m)的傅里叶变换： (2.2) 功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。 （1）自相关法 先求自相关函数的估计X(m)，然后对自相关函数做傅里叶变换 (2.3) 其中N 表示用于估计样本序列的样本个数。 （2）周期图法

第四章随机变量的数字特征试题答案

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （ C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. 0.04 C. 0.4 D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（ D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1 B. D （X ）=3 C. P （X=1）=0 D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D

随机变量与数字特征练习题及答案

1 第8章 随机变量与数字特征 一、填空题 ⒈ 设随机变量X 的概率分布为 则a = . ⒉ 设X 服从区间[1，5]上的均匀分布，当5121<<

随机信号分析报告实验：随机过程的模拟与数字特征

实验二 随机过程的模拟与数字特征 实验目的 1. 学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法。 2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 实验原理 1.正态分布白噪声序列的产生 MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn 。 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从),(2 σμN 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果 )1,0(~N X ，则),(~σμσμN X +。 2.相关函数估计 MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计。 函数：xcorr 用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x) c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition') 功能：xcorr(x,y)计算)(n X 与)(n Y 的互相关，xcorr(x)计算)(n X 的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。 'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。 3.功率谱估计 对于平稳随机序列)(n X ，如果它的相关函数满足

∞<∑+∞ -∞ =m X m R )( （2.1） 那么它的功率谱定义为自相关函数)(m R X 的傅里叶变换： ∑+∞ -∞ =-= m jm X X e m R S ωω)()( （2.2） 功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。 （1）自相关法 先求自相关函数的估计)(?m R X ，然后对自相关函数做傅里叶变换 ∑---=-=1 ) 1()(?)(?N N m jm X X e m R S ωω （2.3） 其中N 表示用于估计样本序列的样本个数。 （2）周期图法 先对样本序列)(n x 做傅里叶变换 ∑-=-=1 )()(N n n j e n x X ωω （2.4） 其中10-≤≤N n ，则功率谱估计为 2)(1)(?ωωX N S = （2.5） MATLAB 函数periodogram 实现了周期图法的功率谱估计。 函数：periodogram 用法：[Pxx,w] = periodogram(x) [Pxx,w] = periodogram(x,window) [Pxx,w] = periodogram(x,window,nfft) [Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(...) 功能：实现周期图法的功率谱估计。其中： Pxx 为输出的功率谱估计值； f 为频率向量； w 为归一化的频率向量；