三角函数的对称性

三角函数的对称性

一、对称性规律： 1、 对称轴： 若

x a =是

()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ的对

称轴，则

()f a A =±

2、 对称中心： 若

(,0)

a 是

()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ或

()tan()f x A x ω=+Φ的对称中心，则()0f a =

解题思路：解选择题的思路即代入法。

二、基础检测

（会考说明）1、

）（62sin 3π

+=x y 的一条对称轴可以是：

（ ） A ．Y 轴； B ．

6π

=

x .； C ．12π

-=x . D ．.

3π

=x .。 （会考说明）2、）（43sin 3π

-=x y 的一个对称中心可以是：

（ ） A ．），（012π

-； B ．），（0127π-.； C ．. ），（012

7π； D ．），（01211π. 3、已知函数（文）函数y = cos （2x -4π

）的一对称方程是 （ ）

A ．x = 2π

- B ．x = 4π

- C ．x = 8π

- D ．x =

π

4、函数πsin 23y x ?

?=+ ?

?

?的图象（ ） Ａ．关于点π03??

???，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称

Ｃ．关于点π04?? ???，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称

5、22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π

-π-=x x y ，则下列判断正确

的是（ ）

（A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π

（B ）此函数的最小正周期为

π

，其图象的一个对称中心是)

0,12(π

（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π

（D ）此函数的最小正周期为

π

，其图象的一个对称中心是)

0,6(π

6、(4) 给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π

=对称，

则下列函数中同时具有性质①、②的是

（ ）

(A) sin()26x y π=+ (B) sin(2)6y x π

=-

(C) sin y x = (D) sin(2)6y x π

=+

高中数学：三角函数单调性题库

1 三角函数单调性题库 9.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]4 π上出现两次最大值2，则ω的范围 1218ω≤< （1）为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间[0，1]上至少出现50次最大值1，则ω的最小值是 答案：π2 197 （2）已知函数)0(tan >=w wx y 的图像与直线1y =的交点间的最小距离是3π，求w 的值 解析：函数tan y x =的图像与直线1y =的交点间的最小距离是一个周期T ，所以函数wx y tan =最小正周期3T π=，,3ππ==w T .31,0=∴>w w Θw 的值13 。 （3）ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4 ,3[ππ-上是增函数，那么（ ） A ．230≤<ω B ．20≤<ω C ．7240≤<ω D ．2≥ω 解析: 研究特殊的函数y=2sin α,它的一个单调增区间是,22ππ??-??? ?，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上是增函数，则α=,34x πωπωω??∈-???? 。因此，,34πωπω??-?????,22ππ??-???? 。所以，正确答案230≤<ω。 （4）已知函数]4 ,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间 x x f 上的最大值是2，则ω的最小值等于 2

2 （5）已知()2sin (0)f x x ωω=>在[,]34 ππ-上的最小值是2-，最大值不是2，则ω的范围 322 ω≤≤ （6）已知ω是正实数，x x f ωsin 2)(=在]4 ,3[ππ-上是增函数，那么则实数ω的取值范围是 230≤<ω。 （7）（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2π π上单调递减.则ω的取值范围是 ()22πωππω-≤?≤,3()[,][,]424422 x ππππππωωπω+∈++? 得:315,2424224 π π π π πωπωω+≥+≤?≤≤ （8）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ??????=+>= ? ? ???????，，且()f x 在区间63ππ?? ???，有最小值，无最大值，则ω＝__________．143

高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结

三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数图像的对称轴与对称中心

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 三角函数图像的对称轴与对称中心 特级教师 王新敞 对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和 tan()y A x ωφ=+的简图容易画错， 一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心． 1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k π π=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k π ωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2x k π πφω=+- ()k Z ∈，这就是函数 sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1 ()x k πφω=- ()k Z ∈， 这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1 ((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k π π+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω= - ()k Z ∈，这就是函数cos() y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2x k π πφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z π πφω+-∈．

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0)

三角函数的单调性、奇偶性、单调性练习

三角函数的图像性质：奇偶性、单调性、周期性 例题1:判断下列函数的奇偶性 （1）()()sin f x x x π=+ （2）21sin cos ()1sin x x f x x +-=+ 例题2:求下列函数的单调区间 （1）()sin 33f x x π?? =- ??? （2）()cos(2)3f x x π=- [](0,)x π ∈ 例题3：求下列函数的值域 （1）32cos 6y x π? ?=-+ ?? ?，[](0,)x π∈ （2）x x y sin sin += （3）sin sin y x x =+ 例题4：已知函数3cos 216y x π? ?=++ ?? ?，请写出该函数的对称轴、对称中心；用五点作图法作 出该函数的图像. 同步练习： 1、写出下列函数的周期： （1）5sin 23y x π? ?=--+ ?? ?（2）tan(2)y x π=+（3）7cos2y x =+（4）2tan 33y x π??=- ???

2、（1）求函数2sin 25y x x =+-的定义域.（2）解不等式1sin 42x π? ?-≥ ?? ?. 3、比较下列各数的大小：sin1?、sin1、sin π? 4、已知()cos 4 n f n π =，*n N ∈，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++=__________. 5、方程lg sin 3x x π? ?=+ ?? ?实数根的个数为___________. 6、如果4 x π ≤，求2()cos sin f x x x =+的最值，并求出取得最值时x 的值. 7、写出函数1 3tan 2 3y x π??=+ ???的对称中心，并用作出该函数在[]0,x π∈的图像. 8、对于函数()f x 定义域,22ππ?? - ??? 中的任意()1122,x x x x ≠，有如下结论： （1）()()f x f x π+=. （2） ()()f x f x -= （3）(0)1f =. （4） 1212 ()() 0f x f x x x ->- （5） 1212()()22x x f x f x f ++??> ??? 当()tan f x x =时，以上结论正确的序号为________________. 能力提高： 1、()2sin f x wx =(01w <<),在区间0,3π?? ???? 上最大值是2，求w . 2、若2()sin sin 1f x x a x =--+的最小值为-6，求实数a 的值. 3、设定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-.当02x ≤≤时，2()2f x x x =-. (1)当20x -≤≤时，求()f x 的表达式；(2)求(9)f 与(9)f -的值； (3)证明()f x 是奇函数． 三角函数的图象变换 例题1：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换，得到函数π2sin 216y x ? ?=--+ ?? ?的图象．

函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数的图像与性质

第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z)

[探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

三角函数的单调性和最值

三角函数的单调性和最值问题 例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2.

三角函数对称性习题

k (k Z)，则 x - ，所以函数y Acos( )的图象的对称轴方程 习题: 最大负值是 n 8、f (x ) =sin2x+acos2x 关于 x= 对称，求 a 的值 8 、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 y Asin( x )对称轴方程的求法是：令 sin( x ) 1，得 k i (k Z)，则x (2k 2 2 ，所以函数 Asin( x )的图象的 (2k 1) 2 对称轴方程为x 2 y Acos( x )对称轴方程的求法是：令 cos( x ) 1，得 1、 函数 y 3si n(2x R 图象的对称轴方程为 2、 函数 5 y=s in (2x+q n) 图象的对称轴方程为 3、 函数 4、 函数 1 f (x) cos(3x 2 n y=cos(2x-—) 3)的图象的对称轴方程是 的图象的对称轴方程是 5、 n y=sin(2x+ )的一条对称轴为( 4 n n n A.x=- B.x= ■ C.x=- 4 8 8 D.x= 6、 n y=cos(2x-—)的一条对称轴为 n 5 n n x=§ B.x= 了C.x= 12 71 7、 y =sin(2x+ $ )的一条对称轴为 n x=- y ,贝打= ，y 的最小正值是

、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 y Asin( x )的对称中心求法是：令sin( x ) 0,得x k (k Z), nt k k 则x (k Z)，所以函数y Asin( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称； y Acos( x )对称中心的求法是：令cos( x ) 0，得 (2k 1) 2 x k -(k Z) ，则x ---------------------------- 扌------ (k Z)，所以函数y Acos( x )的 图象关于点(__ ,0) (k Z)成中心对称； 2 习题： 1、函数y 4sin(2x -)的图象的一个对称中心是_____________________________ 6 1 2、函数y 2cos(—x —)的图象的对称中心是____________________________ 2 8 n 3、y=sin(2x+ —)的一个对称中心为( ) n 5 n n n A.( — ,0) B.( 石,0) C.( 12 ,0) D.( ,0) n 4、y=2cos(2x- ■—)的一个对称中心为( ) 3 n n n A. (n ,0 ) B. (,0 ) C. ( — ,0 ) D.(乜,0) n 5、y=cos(2x+ $ )的对称中心为(■— ,0) 则$ = ___________ , y的最小正值是___________ , y的最大负值是__________ 。 三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 k k 2 y Atan( x )对称中心的求法是：令x (k Z)，则x ，所 k 2 以函数y Atan( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称；

三角函数的图像与性质专题(含解析)

第讲三角函数的图像与性质 时间：年月日刘老师学生签名： 一、兴趣导入 二、学前测试 1．已知角α的终边上一点的坐标为 22 (sin,cos) 33 ππ ，则角α的最小正角是（） A、 5 6 π B、 2 3 π C、 5 3 π D、 11 6 π 解析．D ［角α在第四象限且 2 cos3 3 tan 23 sin 3 π α π ==-］ 2．若α是第二象限的角，且|cos|cos 22 αα =-，则 2 α 是（） A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 解析C 22,(),,(), 2422 k k k Z k k k Z ππαπ παππππ +<<+∈+<<+∈ 当2,() k n n Z =∈时， 2 α 在第一象限；当21,() k n n Z =+∈时， 2 α 在第三象限； 而cos cos cos0 222 ααα =-?≤， 2 α ∴在第三象限； 3已知角α的终边与函数)0 (,0 12 5≤ = +x y x决定的函数图象重合，求 α α α sin 1 tan 1 cos- += 解析:在角α的终边上取点 1255 (12,5),13,cos,tan,sin 131213 P rααα -==-=-=

故αααsin 1tan 1cos - + =77 13 - 4.（湛江市实验中学2010届高三第四次月考）已知3 5 cos θ= ，且角θ在第一象限，那么2θ在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：B 3222542cos k k ππθπθπ= <∴+<<+，4242 k k ππθππ∴+<<+故2θ在第二象限. 三、方法培养 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ????π2，1 (π，0) ? ?? ??32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ????π2，0，(π，－1)，? ?? ??3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ， k ∈Z } 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：__ x ＝k π＋π 2 (k ∈Z )__ _； 对称中心： _ (k π，0)(k ∈Z )__ _ 对称轴： x ＝k π(k ∈Z )___； 对称中心： _(k π＋π 2，0) (k ∈Z )__ 对称中心：_? ?? ? ?k π2，0 (k ∈Z ) __ 周期 2π_ 2π π 单调性 单调增区间_[2k π－ π2 ， 2k π ＋ 单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ____； 单调增区间_(k π－ π 2 ，k π＋

三角函数的单调性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的单调性（人教A版） 一、单选题(共13道，每道7分) 1.下列四个命题中，正确的个数是( )（1）在定义域内是增函数；（2） 在第一、第四象限是增函数；（3）与在第二象限都是减函数；（4） 在上是增函数． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性 2.的单调递增区间是( ) A. B. C. D.

答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 3.函数的一个单调递增区间为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 4.在上，使为增函数，为减函数的区间为( ) A. B. C. D. 答案：A

解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 5.在上，使为增函数，为减函数的区间为( ) A. B.或 C. D.或 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 6.的单调递增区间是( )

A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性 7.关于函数，下列说法正确的是( ) A.在上递减 B.在上递增 C.在上递减 D.在上递减答案：C

解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 8.函数的最小正周期为，则( ) A.在上单调递减 B.在上单调递减 C.在上单调递增 D.在 上单调递增 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 9.使函数为增函数的区间是( )

A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 10.函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 11.已知函数，则在区间上的最大值与最小值

三角函数的奇偶性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的奇偶性（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 2.下列函数中是奇函数的是( )

A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 4.函数，( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 5.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 6.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的奇偶性 7.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 8.已知函数，，则( )

A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 9.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：C 解题思路：

三角函数的对称性

三角函数的对称性 一、对称性规律： 1、 对称轴： 若 x a =是 ()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ的对 称轴，则 ()f a A =± 2、 对称中心： 若 (,0) a 是 ()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ或 ()tan()f x A x ω=+Φ的对称中心，则()0f a = 解题思路：解选择题的思路即代入法。 二、基础检测 （会考说明）1、 ）（62sin 3π +=x y 的一条对称轴可以是： （ ） A ．Y 轴； B ． 6π = x .； C ．12π -=x . D ．. 3π =x .。 （会考说明）2、）（43sin 3π -=x y 的一个对称中心可以是： （ ） A ．），（012π -； B ．），（0127π-.； C ．. ），（012 7π； D ．），（01211π. 3、已知函数（文）函数y = cos （2x -4π ）的一对称方程是 （ ） A ．x = 2π - B ．x = 4π - C ．x = 8π - D ．x = π 4、函数πsin 23y x ? ?=+ ? ? ?的图象（ ） Ａ．关于点π03?? ???，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称

Ｃ．关于点π04?? ???，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 5、22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π -π-=x x y ，则下列判断正确 的是（ ） （A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π （B ）此函数的最小正周期为 π ，其图象的一个对称中心是) 0,12(π （C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π （D ）此函数的最小正周期为 π ，其图象的一个对称中心是) 0,6(π 6、(4) 给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π =对称， 则下列函数中同时具有性质①、②的是 （ ） (A) sin()26x y π=+ (B) sin(2)6y x π =- (C) sin y x = (D) sin(2)6y x π =+

三角函数常见习题类型及解法

1.高考考点分析 各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 2.方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

三角函数有界性

Tony Maths Tony 状元课堂 专业成就未来 三角函数有界性 1. 函数arcsin(1)arccos(2)y x x =-+的值域是 2. 已知x ∈R 2(1)1x x x x +++的值为 3. 已知22arcsin(1)arcsin(1)2a b π +--≥，则22arccos()a b -= 4. 已知22sin 2sin cos 4ααβ-+=，那么αβ+= 5. 已知2020cot 21sin 1 θθ+=+，那么2(sin 2)(cos 1)θθ++的值为 6.（2019松江一模15）将函数()2sin(3)4f x x π =+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的 图像，若12()()9g x g x ?=，其中12,[0,4]x x π∈，则12 x x 的最大值为 7.（2016闵行二模理18）若函数()2sin 2f x x =的图像向右平移?(0)?π<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12|()()|4f x g x -=的1x 、2x ，有12||x x -的最小值为6π，则?= 8.（2014年虹口区二模理17 文18）已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为 9.若实数,x y 满足()()()2221122cos 1,1x y xy x y x y ++--+-=-+则xy 的最小值为 10. 设12,αα∈R ，且121122sin 2sin(2) αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于 11. 设ω为正实数，若存在a 、b ，2a b ππ≤<≤，使得cos cos 2a b ωω+=，则ω的取 值范围是 12.（2018金山12）若2018100922sin (2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββα βα--≥---+，则sin()2β α+= 13.（2020浦东一模12）如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++???+=?? ++???+=? 有实数解，则正整数n 的最小值是

三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结 一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。 分析：要求1sin 2+= y 的定义域， 只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足2 1 sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin - ≥x ①在一周期??????-23,2ππ上符合①的角为?? ????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为?? ? ?? ? + - 672,6 2πππ πk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>= a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+= x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2） ()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般 函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 （2）函数的最大值与最小值。 例。求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211- = （2）??? ??≤≤-??? ? ? +=6662sin 2πππx x y （3）4sin 5cos 22 -+=x x y （4）?? ? ? ??∈+-=32,31cos 4cos 32 ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数 c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。

三角函数对称性习题

一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+?ωx ，得 )(2Z k k x ∈+=+π π?ω，则ω ?π22)12(-+=k x ，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω ?π22)12(-+=k x ； )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+?ωx ，得 π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω?π-= k x ，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω? π-=k x 。 习题： 1、函数)62sin(3π +=x y 图象的对称轴方程为 2、函数y=sin （2x+52 π）图象的对称轴方程为 3、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 4、函数y=cos(2x- π4 ) 的图象的对称轴方程是 5、y=sin(2x+π4 )的一条对称轴为（ ） =-π4 =π8 =-π8 =π3 6、y=cos(2x-π6 )的一条对称轴为（ ） A ．x=π3 =5π12 =π12 D.π4 7、y=sin(2x+φ)的一条对称轴为x=-π8 ,则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。 8、f （x ）=sin2x+acos2x 关于x=π8 对称，求a 的值

二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+?ωx ，得π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω? π-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象关于点)0,(ω? π-k )(Z k ∈成 中心对称； )cos(?ω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+?ωx ，得 )(2Z k k x ∈+ =+ππ?ω，则ω?π22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象关于点)0,22)12(( ω ?π-+k )(Z k ∈成中心对称； 习题： 1、函数)62sin(4π -=x y 的图象的一个对称中心是 2、函数)8 21 cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 3、y=sin(2x+π6 )的一个对称中心为（ ） A.( π3 ,0) B.(5π12 ,0) C.(π12 ,0) D.(π6 ,0） 4、y=2cos(2x-π3 )的一个对称中心为（ ） A.（π,0）B.（π3 ,0）C. (π6 ,0）D. (π12 ,0) 5、y=cos(2x+φ)的对称中心为(π6 ,0) 则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。 三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 )tan(?ω+=x A y 对称中心的求法是：令)(2Z k k x ∈= +π?ω，则ω?π22-=k x ，所以函数)tan(?ω+=x A y 的图象关于点)0,22(ω ?π-k )(Z k ∈成中心对称；