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数值分析作业答案(第5章)part2

.证明：

(1).如果A 是对称正定矩阵，则1-A 也是对称正定矩阵

(2).如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成L L A T =，其中L 是具有正对角元的下三角矩阵。

证明：

(1).因A 是对称正定矩阵，故其特征值i λ皆大于0，因此1-A 的特征值1

-i λ也皆大于0。因此

1-i λ也皆大于0，故A 是可逆的。又

111)()(---==A A A T T

则1-A 也是对称正定矩阵。

(2).由A 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解

U L A ~

=。又

022211111

1222

11111DU u u u u u

u u u u U n n nn =?

????

????????

?=?????????

?=M O ΛΛO 其中D 为对角矩阵，0U 为上三角矩阵，于是

~DU L U L A ==

由A 的对称性，得

T T

L D U A A ==

由分解的唯一性得

L U T =

从而

L D L A =

由A 的对称正定性，如果设),,2,1(n i D i Λ=表示A 的各阶顺序主子式，则有

011>=D d ，01

-i i

i D D d ，n i ,,3,2Λ=

故

121D

D d d d d d d d d d D n n n =??????

??????

??????????????

?=????????????=O

O 因此

T T

LL D L D L L D D L A ===)(21~

121~

，

其中2

D L L =为对角元素为正的下三角矩阵。

.用列主元消去法解线性方程组

???

??=++-=-+-=+-6

1531815331232

1321321x x x x x x x x x 并求出系数矩阵A 的行列式(即A det )的值。

解

??????----?→?-=????

??????----?→???

???

?????----??→?-

=-=?113/110053/7101513

186

76/3118/176/7053/7101513

186111153312151318)(323

21312

1m b A m m r r

所以解为33=x ，22=x ，11=x ，66det -=A 。

.用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中

????????????????--------=2100012100012100012100012A ，???????

?????????=00001b 。

解设A 有分解

???????

?????????????????

???----=????????????????--------11

111111211211

211211243

154321

ββββααααα，由公式

???

??===+===-4

,3,2,,5,4,3,2,,

,111111i c i b c b i i i

i i i i βααβαβαα 其中)5,,2,1(Λ=i b i ，)4,,2,1(Λ=i c i 分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素。

具体计算，可得

21=α，232=α，343=α，454=α，5

5=α，

211-=β，322-=β，433-=β，5

44-=β。

由

??????

????????=?????????????????????????????????????

?----00001561

451341231254321y y y y y ，

得211=

y ，312=y ，413=y ，514=y ，6

5=y ；再由

???

???????

?????????????=??

????????????????????????

?????????

?--

-61514131211541

2121154321x x x x x ，得615=

x ，314=x ，213=x ，322=x ，6

1=x 。

.下述矩阵能否分解为LU (其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵)若能分解，那么分解是否唯一

??????????=764142321A ，??????????=133122111B ，??

?????=461561552621C 。

解 A 中02=?，故不能分解。但由于010det ≠-=A ，所以若交换A 的第1行与第3行，则可以分解且分解是唯一的。

在B 中，032=?=?，故不能分解。但B 可以分解为

?????-??????????=33320010011113121u l B ，

其中32l ，33u 为任意常数，且U 奇异，故分解不唯一。

对于C ，)3,2,1(0=≠?i i ，故C 可以分解且分解唯一。

???????????????=131621136121C 。

.求证：(1).∞∞

≤≤x n x x

1；(2).F F A A A n

≤≤21

。证明 (1).由定义知

∞=∞

=≤≤=≤≤∞

==≤=≤=∑∑∑x n x

x x x x x

i n i i n

i n i i i n

i 1

11max max

故∞∞

≤≤x n x x

1。

(2).由范数定义，有

∑∑∑∑∑=======+++==+++≤=n

i F

j ij n

i in

i i n

i i T

T n T T T A a a a a A A tr A A A A A A A A A 1212

21max 2

2)()

()()()(ΛΛλλλλ

又

221max 2

21)]()()([1)(F T n T T T A n

A A A A A A n A A A =+++≥=λλλλΛ

所以F F A A A n

≤≤21

。 .设n

n R

P ?∈且非奇异，又x 设为n

R 上一向量范数，定义

Px x P =

试证明P x 是n

R 上向量的一种范数。

证明只需证明P x 满足向量范数的三个条件。

(1).因P 非奇异，故对任意0≠x ，有0≠Px ，故0≥=Px x

，当且仅当0=x 时，

有0==Px x

。

(2).对任意R ∈α，有

P P x Px x P x αααα===。

(3).对任意n

R y x ∈,，有

P P P y x Py Px Py Px y x P y x +=+≤+=+=+)(，故P x 是n R 上的向量

范数。

.设A 为对称正定矩阵，定义()2

1,x Ax x A

=，试证明P x 是n R 上向量的一种范数。

证明只需证明A x 满足向量范数的三个条件。

(1).因A 正定对称，故当0=x ， ()0,2

1==x Ax x

；而当0≠x 时，

()0,2

1>=x Ax x

。

(2).对任意R ∈α，有

()A T T A x Ax x x A x x x A x ααααααα====()()(,2

1。

(3).因A 正定，故有分解T

LL A =，因而

))()(()()(x L x L x L x LL x Ax x x

T T T T T

T T A

====

对任意n

R y x ∈,，由2?的三角不等式有

)(T T

T T T T T A

L L y L x L y L x L y x L y

x +=+≤+=+=+，

故A x 是n

R 上的向量范数。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析课后题答案

数值分析第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证：（1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明（1）令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析试卷及其答案

1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ；解设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析试题答案

数值分析试题答案 1、构造拉格朗日插值多项式(X)p 逼近3 (x)f x =，要求（1）取节点011,1x x =-=作线性插值（2）取节点0121,0,1x x x ===作抛物插值答案：（1）代入方程得 0110 10010 1,1(x)y (x x )x y y y y p x x =-=-=+ -=- （2）代入方程得 1202011220120102101220210.1(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x)y x (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )y y p y y ==------= ++=------ 2、给出数据点：01234 39 61215 i i x y =?? =? 用1234,,,x x x x 构造三次牛顿插值多项式3 () N x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。 33333133.15()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250, ()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54 (1.5)(1.5)((1.5)(1.5)) 1.17194 N x x x x x x x N N x x x x x x x N R f N N N =+-+------==+--+--=-=-≈ -=四（分） 3、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。答案： )53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L

数值分析第三版课本习题及答案

第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y . (五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 . 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

第五章习题解答_数值分析

第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用 134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表： 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 ()()()02222 03-x 150 x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈= -≈- ()()()3222203-154 x x -=1175135-1.0938-04 .()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈- 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑ ②00110001211()()(,,,)()()n k i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+? ∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。证明： ①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10 1()()()()()!n n i i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

数值分析第五版全答案chap1

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分）解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ

1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分

数值分析试题及答案.

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ． ()00l x ＝0， ()110 l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ． () 00l x ＝1， ()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组12312312 20223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ．232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案

二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C === ，那么() 3 3C = 4. 因为方程 ()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足，所以 ()0 f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D．单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解，，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

《数值分析》第五章答案

习题5 1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式：?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式：?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈，??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??，),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ ，法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+，)2 ()2(b a f b a H +'=+'，则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ， ),(b a ∈ξ 于是 2．考察下列求积公式具有几次代数精度：（1） ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ；（2） )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。解：（1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右；当x x f =)(时，左21= ，右=2 1 210=+，左=右；当2 )(x x f =时，左=3 1 ，右=1，左≠右，代数精度为1。

《数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；

12、为了使计算 32)1(6)1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-改写为 199920012 + 。 13、用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 14、计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 15、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 16、求积公式?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有 ( 12+n )次代数精度。 17、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?5 1 d )(x x f ≈( 12 )。 18、设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。 19、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。 20、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( 3 )，b =（ 3 ），c =（ 1 ）。 21、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( 1 )，∑== n k k j k x l x 0 )(( j x )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( 32 4++x x )。 22、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。

数值分析试题1

数值分析试卷1 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________； 3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________； =]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知??? ? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ； 5. 求解线性方程组?????=+=+045 11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知 ?????? ? ??------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66?矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。三、给定数据表如下 x 0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124 （1）用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值；（2）用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值：（3）用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有

数值分析第五章学习小结【计算方法】

第五章最小二乘法与曲线拟合小结一、本章知识梳理 1、从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即

(3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 3、曲线拟合：曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。

数值分析第四版习题和答案解析

第四版数值分析习题第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

数值分析第五章习题

第五章习题 1. 用高斯消去法解方程组 123234011921261x x x ????????????=??????????????????? 2. 用LU 分解，将第1题中的系数矩阵分解为L 和U 的乘积，L 是对角线元素为1的下三角矩阵，U 是上三角矩阵. 3. 用平方根法和T LDL 分解为求解方程组 123121332522334x x x x x x x ++=??+=??+=? 4. 证明（1）两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵. （2）下三角矩阵之逆仍为下三角矩阵. 5. 用列主元素消去法解方程组 1231231 233472212320x x x x x x x x x ?+=???+?=?????=? 取4位数字计算. 6. 对四阶Hilbert 矩阵为系数的方程组 12341234 1234 12341111 234111102345111103456111104 567x x x x x x x x x x x x x x x x ?+++=???+++=???+++=???+++=? 试求其系数方程组A 的条件数()cond A ∞并分析方程组的性态。 7. 如果A 是一个对称正定矩阵，且带宽为21m +，证明在A 的三角分解T A LL =中出现的矩阵L 也是带状矩阵. 8. 设有三对角方程组

11121 2122232 b x c x d a x b x c x d +=+++= (121111) 1n n n n n n n n n n n n a x b x c x d a x b x d ???????++=+= 其系数矩阵有严格对角优势. 试写出用LU 分解求其解的计算公式. 9. 画出2R 中满足下列不等式的集合. （1）11x ≤ （2）21x ≤ （3）1x ∞≤ 10. 求证1I ≥，11A A ?≥. 11. 试证明2 21A A A ∞≤ 12. 对矩阵 2100121001210012A ????????=???????? 求A ∞，2A ，1A 和2()Cond A . 13. 比较下面两个方程组的解. 123123123111 2311102341110345x x x x x x x x x ?++=???++=???++=?? ，1231231231.000.500.3310.500.330.2500.330.250.200x x x x x x x x x ++=??++=??++=?

数值分析作业答案(第5章)part2

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