1.1 矢量代数与位置矢量

1 矢量分析

矢量分析是研究电磁场和其它物理场必不可少的数学工具，它包括矢量代数、正交坐标系以及场函数的微积分运算等内容。

1.1 矢量代数与位置矢量

1.1.1 矢量和标量

标量：仅有大小的量，用英文字母或希腊字母表示，如f 、g 、?、ψ等。 矢量：既有大小又有方向的量，用黑体英文字母或加上箭头的英文字母表示，如

A 或A ρ、a 或a ρ

等，印刷中采用A 或a ，在书写中采用A ρ或a ρ。A 的模记作|A |或

A 。

矢量可用带箭头的有向线段形象地表示。矢量的起点、终点、大小，矢量的平移。

在右手直角坐标系中，A 起于坐标原点，它的三个坐标分量（即A 在x 、y 、z 轴上的投影）分别为A x 、A y 、A z

A=e x A x +e y A y +e z A z (1.1.1)

式中：e x 、e y 、e z 分别为沿坐标x 、y 、z 方向的单位矢量。它的模

A = ( A 2x + A 2y + A 2z )1/2 (1.1.2)

1.1.2 矢量运算

1. 矢量A 和B 相加定义为两矢量的和，用新矢量A +B 表示。用的平行四边形法则

或首尾相接法则进行

A 和

B 相减定义为两矢量的差，用新矢量A - B 表示。写为A - B =A +（- B ），

按B 反向再与A 相加。

直角坐标中A 及其各分矢量图

矢量的加（减）运算法则：

交换律 A + B = B + A (1.1.3) 结合律 A +B -C =A +(B -C )=(A +B )-C (1.1.4)

若已知

A = e x A x + e y A y + e z A z

B = e x B x + e y B y + e z B z

则

A ±

B = (A x ± B x )e x + (A y ±B y ) e y + (A z ±B z ) e z （1.1.5） |A ±B | =[ (A x ± B x )2 + (A y ±B y ) 2 + (A z ±B z ) 2 ]1/2 （1.1.6）

2. 标量?与矢量A 的乘积定义为一新矢量?A ，它是A 的?倍。就? >0和? <0的两种情况画出?A ，有

?A =fA x e x + fA y e y + fA z e z （1.1.7）

3. 两矢量A 和B 的标量积定义为标量B A ?，又称为点积。其量值为两矢量的模与两矢量间夹角θ (0≤θ ≤180°)的余弦之积

B A ?=AB cos θ (1.1.8)

特点：

（1）两矢量的点积为一标量，其正、负取决于θ 是锐角还是钝角； （2）点积遵从交换律，即A B B A ?=?；

（3）A 与B 相互垂直，0=?B A ，反之亦然-----两矢量正交的充要条件；

f 与A 相乘图

(? <0)

( 两矢量相加

两矢量相减

（4）A 自身的点积2

A =?A A 。

在直角坐标下A 、B 的点积运算：将两矢量的各分量逐项点乘。考虑单位矢量的点积关系

1=?=?=?=?=?=?x z z y y x z z y y x x e e e e e e e e e e e e

可得

B A ?= A x B x + A y B y + A z B z （1.1.9）

矢量的点积遵循分配率

()C B C A C B A ?+?=?+ （1.1.10）

4. A 和B 的矢量积表示为A ?B ，又称为叉积，定义式

A ?

B = AB sin θ e n （1.1.11）

式中，θ为A 与B 间的夹角，e n 是 A ?B 的单位矢量，它与A 、B 相垂直，e n 的方向由右手定则确定。 特点：

（1） 两矢量的叉积是一个矢量；

（2） 叉积不遵从交换率，应是A ?B = -(B ?A )； （3） A 、B 相平行（θ = 0或180°）时，A ?B =0，

反之亦然------两矢量平行的充要条件；

（4） A 自身的叉积为零，即A ?A =0。

在直角坐标下A 、B 的叉积运算，应将两矢量的各分矢量逐项叉乘。考虑到单位矢量的叉乘关系

e x ?e x = e y ?e y = e z ?e z =0 e x ?e y = e z （e y ?e x = - e z ） e y ?e z = e x （e z ?e y = - e x ） e z ?e x = e y （e x ?e z = - e y ）

推导可得

A ?

B 的右手定则图

B

A ?B

θ 角正方向

e n

θ