《振动力学》——习题
第二章 单自由度系统的自由振动
2-1 如图2-1 所示,重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置,另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解:
2
22221v g
W h W =
,gh v 22=
动量守恒:
122
122v g
W W v g W +=,gh W W W v 221212+=
平衡位置:
11kx W =,k
W x 1
1=
1221kx W W =+,k
W W x 2
112+=
故:
k
W x x x 2
1120=
-= ()2
121W W kg
g W W k n +=+=
ω
故:
t
v t x t
x
t x x n n
n n n
n ωωωωωωsin cos sin cos 12
000+
-=+-=
x
x 0
x 1
x 12
平衡位置
2-2 一均质等直杆,长为l ,重量为w ,用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。
解:给杆一个微转角θ
2a
θ=h α
2F =mg
由动量矩定理:
a
h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12
1
2
2-=-≈?-===
=αθ
αθ
其中
1
2c o s s i n ≈≈θ
αα
h l ga p h
a mg ml n 2
22
22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22
2=
==
2-3 一半圆薄壁筒,平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动,如图2-3所示。试求
其摆动的固有频率。
图2-3 图2-4
2-4 如图2-4 所示,一质量m连接在一刚性杆上,杆的质量忽略不计,试求下列情况
系统作垂直振动的固有频率:
(1)振动过程中杆被约束保持水平位置;
(2)杆可以在铅垂平面内微幅转动;
(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高,并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9
解:
(1)保持水平位置:
m k
k n 2
1+
=
ω(2)微幅转动:
mg
l
l
l
F
2
1
1
2+
=
mg
l1l2
x1
x2
x
x'
mg
l
l
l
F
2
1
2
1+
=
k2
k1
m
l1l2
()()()()()()()()()mg
k k l l k l k l mg
k k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mg
k l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2
12212
2
21212
122122112121222121221121112121212221121112122
11
12111 ++=+-++=+-?+++=??????+-++++=
+-+='+=
故:
()2
2
21212
12
21k l k l k k l l k e
++=
m
k e
n =
ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。已知杆的质量为m ,A
端弹簧的刚度为k 。并问铰链支座C 放在何处时使系统的固有频率最高?
图2-5 图2-6
2-6 在图2-6所示的系统中,四个弹簧均未受力。已知m =50kg ,19800N m k =,
234900N m k k ==,419600N m k =。试问:
(1)若将支撑缓慢撤去,质量块将下落多少距离? (2)若将支撑突然撤去,质量块又将下落多少距离?
{2.17} 图T 2-17所示的系统中,四个弹簧均未受力,k 1= k 2= k 3= k 4= k ,试问: (1)若将支承缓慢撤去,质量块将下落多少距离? (2)若将支承突然撤去,质量块又将下落多少距离?
图 T 2-17
解:
k
k k k k k k k k k k k k k k k 2
1
32
24123412312342312311233223=+=
=+==+=
(1)01234x k mg =,k
mg
x 20=
(2)()t x t x n ωcos 0=,k
mg
x x 420max =
= 2-7 图2-7所示系统,质量为m 2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的转动惯量为I ,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。
图2-7
解:
系统动能为:
k 1
k 2
k 3
k 4
m
22
22212
2
2222
2212
1
2321 2121212121x m x m R I m r x r m x m R x I x m T e =???
? ??++=???
???????? ????? ??++???? ??+=
系统动能为:
22
2221122
21
1222
1 21 2121x k x R R k k x R R k x k V e =
???? ??+=???
?
??+=
根据:
max max V T =,max max x x
n ω= 2
2212
221122
2
3m R I m R R k k n +++=
ω 2-8 如图2-8所示的系统中,钢杆质量不计,建立系统的运动微分方程,并求临界阻尼
系数及阻尼固有频率。
图2-8
解:
0=?+?+?b b k a a c l l m θθθ 0222=++θθθ
kb ca ml m
k
l b ml kb n ==2
2ω n ml ca ξω222=,k
m
mlb ca ml ca n 2222
2==ωξ 4
2222
222422
421411a c b kml ml
k m b l m a c m k l b n d -=?-=-=ξωω 由mk a
bl
c 2
21=
?=γξ 2-9 图2-9所示的系统中,m =1kg ,k =224N/m ,c =48N.s/m ,l 1=l =0.49m ,l 2=l /2,l 3=l /4,不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率n ω及阻尼ζ。
图2-9
{2.26} 图T 2-26所示的系统中,m = 1 kg ,k = 144 N / m ,c = 48 N ?s / m ,l 1 = l = 0.49 m ,l 2 = 0.5 l , l 3 = 0.25 l ,不计刚杆质量,求无阻尼固有频率n ω及阻尼ζ。
a
b
l
b k θ
a c θ
l m θ
图 T 2-26
答案图 T 2-25
解:
受力如答案图T 2-26。对O 点取力矩平衡,有:
02
23311=?+?+?l l k l l c l l m θθθ 022
2321=++θθθkl cl ml 04
1
161=++θθθ
k c m 36412
=?=
?m
k
n ω s rad n / 6=?ω
n
m
c
ζω2161=
25.02116=?=
?n
m c ωζ
第三章 单自由度系统的强迫振动
3-1 如图3-1所示弹簧质量系统中,两个弹簧的连接处有一激振力0()sin P t P t ω=。试求质量块的振幅。
图3-1
解:设弹簧1,2的伸长分别为x 1和x 2,则有,
21x x x += (A ) 由图(1)和图(2)的受力分析,得到
t P x k x k ωsin 02211+= (B )
m
O
θ
2
l k θ?1l m θ ?
3l c θ ?
l 1
m k
c
l 2
l 3
22x k x
m -= (C ) 联立解得,
t P k k k x k k k k x m ωsin 02
12
2121+++-=
t
P m k k k x m k k k k x
ωsin )()(0212
2121+=++ 所以
)(212
1k k m k k p n =
,n = 0,得, 2
1
02
222
222)(
11)2()1(1)2()(n
n p k P k
H
n p h
B ω
?λλωω-=
+-=
+-=
图3-2
3-2 图3-2所示系统中,刚性杆AB 的质量忽略不计,B 端作用有激振力
0()sin P t P t ω=,写出系统运动微分方程,并求下列情况中质量m 作上下振动的
振幅值:(1)系统发生共振;(2)ω等于固有频率n ω的一半。
解:图(1)为系统的静平衡位置,以θ为系统的广义坐标,画受力如图(2)
t lP l k l l c l I ωθθθsin 3)3(3)2(20+??-???-=
又 I =ml 2
t P ml m k m c ωθθθsin 340
=9++∴
则
???
???
?=
==ml p h m c n m k p n 0
23,429
mg
θ
B
P 0sin ωt
A
X A
Y A
F C
F K
2222
2
222)2()()2()(ωωωωθθn p hl
lB B n p h
B n n +-=
=+-=
1)系统共振,即ω=n p
k
m c
p m k
m c l ml p np hl B n 494)/3(20
0=
??==
∴
2)
n P 21=
ω
3-3 建立图3-3所示系统的运动微分方程,并求出系统的固有频率n ω,阻尼比ζ以及稳态响应振幅。
图3-3
解:以刚杆转角?为广义坐标,由系统的动量矩定理
???
22)(4cl l x l k m l s ---= 即
t l ka m k m c ω???
sin 44=++
mk
c k
p m k m c m k l ml p np p hl B n n 81641194944273)(4320
222
22
2+
=
+??
?
???=
+??
? ??=
∴
令,
m k p n 4=
,m c n 42=
,
n n mp c p n 8==?,ml ka h 4=,n p ωλ=得到 2222)2()(ωω?n p h
B n +-=
2
222
2
22
2)2()1(2)
2()1(242?λλωω?+-=
+-?=
=a p p n p p
l ml
ka l B B n n n
n
3-4 一机器质量为450kg ,支撑在弹簧隔振器上,弹簧静变形为0.5cm ,机器有一偏心重,产生偏心激振力20 2.254P g ω=,其中ω是激振频率,g 是重力加速度。试求:
(1)在机器转速为1200r/min 时传入地基的力;(2)机器的振幅。
解:设系统在平衡位置有位移x ,
则0mx kx F +=
即
0F k
x x m m +
=
又有st mg k δ= 则
st mg
k δ=
(1)
所以机器的振幅为
2
021F B k λλ=-(2)且n p ωλ=,40rad s ωπ=(3) 又有
2
n st k g p m δ==
(4) 将(1)(2)(4)代入(2)得机器的振幅B =0.584 mm
则传入地基的力为514.7T p kB N ==
2-9一个粘性阻尼系统在激振力t F t F ωsin )(0=作用下的强迫振动力为
?
?? ?
?
+=6πsin )(t B t x ω,已知6.190=F N ,B =5 cm ,π20=ωrad/s ,求最初1秒及1/4秒内,激振力作的功1W 及2W 。
01
101
011
0014020
1400:
()sin 19.6sin 20()cos()cos(20)
66W =P(t)x(t)19.6sin 20cos(20)6
cos 404.93| 4.9(1cos80)40
15.39()()19.6sin 20c P t P wt t
x t Bw wt t dt
t t dt
t t dt
J
W P t x t dt
t πππ
πππ
ππππππππ===+=+=?+=---=-===??????由已知可得同理可得:
os(20)6
0.0395t dt
J
π
π+=
3-5 证明:粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为
2
02222(1)(2)
P E k π?λλ?λ?=
-+ 证明
()()
()()
222
02
222
22
2
002
2
2
222
2cos()/14/21412T
E c B t dt c B
F k
B F k F E c k
ωω?πωλζλπζλ
πωλξλλζλ?=--=-=
-+?=-=
-+-+?
3-6 单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用,已知(0)(0)0x x ==。试求系统的响应。
图3-6
解:由图得激振力方程为
???
???≤≤-?≤=22
1111
00)(t t t t t P t t P t F
当 0 < t < t 1时,1)(P F =τ,则有
]cos 1[)(sin )(2101t p mp P
d t p mp P t x n n t
n n -=-=?
ττ
由于
m k
p n =
2,所以有
]cos 1[)(1
t p k P t x n -=
当t 1 < t < t 2时,1)(P F -=τ,则有
?-=1
1)(sin )(t n n
d t p mp P t x ττ?--+t t
n n d t p mp P 1)(sin 1
ττ
)](cos 1[]cos )([cos 1111t t p k P
t p t t p k P n n n -----=
当 t < t 2时,0)(=τF ,则有
?-=1
1)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ?--+t t
n n d t p mp P 1)(sin 1
ττ+ 0
)](cos )([cos ]cos )([cos 12111t t p t t p k P
t p t t p k P n n n n ------=
图3-7
3-7 试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。
解:由图得激振力方程为
????
?
??≤-=1
11000)
1()(t t t t t t P t F
当 0 < t < t 1时,
)
1()(10t P F τ
τ-
=,则有
]sin 1
cos 1[)(sin )1(1)(110010t p t p t p t t k P d t p t P mp t x n n n t
n n +--=--=?
τττ
当t < t 1时,0)(=τF ,则有
)]}(sin [sin 1cos {0)(sin )1(1)(11
00
1
01t t p t p t p t p k P d t p t P mp t x n n n n t n n --+-=
+--=?τττ
3-8 图3-8为一车辆的力学模型,已知车辆的质量m 、悬挂弹簧的刚度k 以及车辆的水
平行驶速度v 。道路前方有一隆起的曲形地面:
2cos
s y a x l π?
?= ??
?
1- (1)试求车辆通过曲形地面时的振动;
(2)试求车辆通过曲形地面以后的振动。
图3-8
解:由牛顿定律,可得系统的微分方程为,)(s y y k y m --= 由曲形地面∶
?
?? ??
-=x l a y s π2cos 1,得到 s ky ky y m =+ 得到系统的激振力为,
)2cos
1()(x l ka F πτ-=。
2()(1cos
)x vt
F ka vt l π
τ=∴=-
(1)车通过曲形地面时10t t ≤≤的振动为
=-=?
t
n n
d t p mp F t y 0)(sin )
()(τττ]
)(sin cos )(sin [00
??---t n t
n n d t p d t p mp ka τττωττ--=)cos 1(t p a n ]
)(2)cos()(2)cos([cos ])(2)sin()(2)sin([
{sin 22ω
ωωωωωωωω----++++--+++n n n n n n n n n n n n n p p
p t p p t p t p p t p p t p t p ap )
cos 1(t p a n -=])(cos )(cos [
2
222ωωω----n n n n n n p t p p p t p ap )cos cos (2
222t p t p p a a n n n ωωω--+=
(2)车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后1t t ≥以初位移)(1t y 和初速度)(1t y
作自由振动,即 )cos cos ()(1212221t p t p p a a t y n n n ωωω--+
=,)sin sin ()(12122
21t p t p p p a t y n n n n ωωωω+--=
由公式)(sin )()(cos )()(1111t t p p t y
t t p t y t y n n
n -+
-= ,得到车通过曲形地面后的振
动响应为
)(cos [cos )(12
22t t p t p p a
t y n n n ---=ωω
其中,
m k p n =
2,v l π
ω2=。
或积分为
1
()
()sin ()t n n
F y t p t d mp τττ=
-=?
1
10
0[sin ()cos sin ()]
t t n n n ka p t d p t d mp ττωτττ---??2122
[cos cos ()n n n a
p t p t t p ωω
=---
3-9 图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。
3-10 图3-10所示的箱子从高h 处自由下落,箱体内有足够的间隙允许质量m 运动,并且箱体质量远大于m 。若箱子触地后不再跳起,试求:(1)箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动;(2)箱子落地后传到质量块上的最大作用力。
图3-9 图3-10
第四章 多单自由度系统的振动
4-1 图4-1所示系统中,各个质量只能沿铅垂方向运动,假设123m m m m ===,
123456k k k k k k k ======。试求系统的固有频率及振型矩阵
图4-1
解:如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
??????????=m m m 000000M ,?????
??
???------=k k
k
k k k k k k
333K
由频率方程
2=-M K p ,得
3332
2
2
=---------mp k k
k
k mp k k k k
mp k
解出频率为
m k p =
1,m k p 22=,m k
p 23=
由特征矩阵M K B 2
p -=的伴随矩阵的第一列,
????
?
?????-+-+--=)3()3()3(2222222)
1(mp k k k mp k k k k mp k adj B
将
m k
p =
1代入得系统的第一阶主振型为
()T
111)1(=A
)2(A 满足如下关系:
0)()()1(=2M A A T ,0)()2(2
2=-A M K p 展开以上二式得,0)2(3)2(2)2(1=++A A A 。取0)2(2=A ,1)
2(1-=A ,可得到1)2(3=A
。
即有
()T
101)2(-=A
)3(A 满足如下关系:
0)()3()1(=M A A T ,0)()3()2(=M A A T 0)()
3(23=-A M K p
展开以上二式得,0)3(3)3(2)3(1=++A A A ,0)3(3)3(1=+-A A ,联立得)3(3)3(1A A =。取
1)3(1=A ,1)3(3=A ,可得到2)
3(2-=A 。即得
()T
121)3(-=A
主振型矩阵为
??
???
?????--=111201111A
图4-2
4-2 试计算图4-2所示系统对初始条件[]00000T x =和[]000T
x v v =的响应。
解:在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
主质量振型为
()
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2341
1
1
1
1 121 1211
(12)(12)1
1 1
1p A A A A A --??
??
--+??==??----+??
????
????
?
????
???----+----=11112111212112111111
A ????
?
????
???=m m m m 000000000000M ????????????-==657.130000000.40000414.00000000
.4m T P MA A M
正则振型的第i 列为
)
()(1i i
i N M A A =
,由此得到正则振型振型为
?
?
?????
???
??------=
2706.05000.06533.05000
.06533.05000.02706.05000.06533.05000.02706.05000
.02706.05000.06573.05000.01m N A
正则坐标初始条件为
00.50000.5000
0.50000.50001
000000.6533
0.27060.27060.65330
10000(0)0.50000.50000.50000.50000
010000.2706
0.65330.65330.27060
00100T
N N x A Mx m ????????
????????--?
???????
===????????
--?
??
?????--????????
00.5000
0.50000.50000.50001
00010.65330.27060.2706
0.65330
10000(0)0.50000.50000.50000.50000
010010.27060.65330.65330.27060
0010T
N N v x A Mx m mv v ????????
????????--?
?????
??
===??????
??--?
???????
--????????
0)0(M x A x T N N == 0,0)0(x M A x T N N ==
()T
v v m 00
正则坐标的响应为vt m x N =1,02=N x ,t p p m
v x N 33
3sin =
,04=N x 其中频率
为
m k
p 23=
。
最终得到响应,由
+=1)1(N N x A x +2)2(N N x A +3)3(N N x A 4)
4(N N x A ,展开得到 t p p v vt x x x x 334321cos 1111211112????
??
??????--+????????????=??
???????????? ()()()()33331234123433331(sin )21(sin )21(sin )21(sin )2N N N N N N N N v t p t p v t p t p x A x A x A x A x v t p t p v t p t p ??+????
??-????=+++=??-??????+????
解:从6—6中可得主频率和主振型矩阵为
()m
k
p p 22 , 021-=
=,
m k p m k p )22( , 243+==
由质量矩阵
000000000000m m m m ?? ?
?= ? ???M ,可求出主质量矩阵 10000220
04001000022T p m ?? ?
- ?==
? ? ?+??P P M A MA
则正则振刑矩阵为
(22)2211222211122222112222221122m ??
-+- ?
?
?-- ? ?=
?
-- ?
?
?
+- ?
??N A
11111(22)2
2222222111122222222222m -?? ?
-+-+ ? ?= ?
-- ? ?--- ???N A
于是 ()()1
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机械振动测验 一、填空题 1、所谓振动,广义地讲,指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大值 和③极小值而往复变化。 2、一般来说,任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、XXXX在机械振动中,把外界对振动系统的激励或作用,①激励或输入:而系 统对外界影响的反应,称为振动系统的⑦响应或输出。 4、常见的振动问题可以分成下而几种基本课题:1、振动设计2、系统识别3、环 境预测 5、按激励情况分类,振动分为:①自由振动和②强迫振动;按响应情况分类,振 动分为:③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能,弹性元件储存和释放②势能, 阻尼元件③耗散振动能量。 8、如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数,称此振动为①简谐振 动。 9、常用的度量振动幅值的参数有:1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关,与系统受到的激励无关。 二、试证明:对数衰减率也可以用下式表示,式中%是经过〃个循环后的振幅。
利用前面给出的解 x =而一m sin皿」+ 0)可得到衰减率为 对数衰减率为 8 = 1叫=叫克=-: 气 ”=&星.…JC L=2^O今 K 知X” X” 〃1叫=/浴=1』书]/=_LiJ邑 m 口顷〃
吉轿大拳龙年工犊拳院.玉魔平 3. 有阻尼自山振动 ?对数衰减率 ?测定阻尼白山振动的 振幅衰减率是计算系 统阻尼比的一个常用 的易行方法。 ?在振动试验中,可以 测 出系统阻尼白山振 动 时的响应,求出对 数 衰减率,进而得到 系统的阻尼比。 例 2.5-2 证明对数衰减率也可用下式表示; 式中%是经过〃个循环后的振阳。并画出不同£值下振幅减小 到50%的循坏数常。 触g 任意两相邻振幅比是 客0 孙 的 一?一——J .?.?.??,—. 勒一的一 *3 比值札/粉可以写成; 求图示振动系统的固有频率和振型。已知以=必=川,k 】=y=kq=k 。In DAE 29 札一 从此可得到要求证明的公式】 Q 2 C 4 Q. 5 。8 1. 更厄比5>£ x I X —= ;iJ=> H = —In —1 S ' 8羽 气骨 ?*? 有
1-1一个物体放在水平台面上,当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时,要使物体不跳离平台,对台面的振幅应有何限制? 解:物体与桌面保持相同的运动,知桌面的运动为 , x=A sin10πt; 由物体的受力分析,N = 0(极限状态) 物体不跳离平台的条件为:; 既有, , 由题意可知Hz,得到,mm。 1-2有一作简谐振动的物体,它通过距离平衡位置为cm及cm 时的速度分别为20 cm/s及cm/s,求其振动周期、振幅和最大速度。解: 设该简谐振动的方程为;二式平方和为 将数据代入上式: ; 联立求解得 A=10.69cm;1/s;T=s 当时,取最大,即:
得: 答:振动周期为2.964s;振幅为10.69cm;最大速度为22.63m/s。 1-3 一个机器内某零件的振动规律为 ,x的单位是cm,1/s 。这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度,并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解: 振幅A=0.583 最大速度 最大加速度 1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。 解:因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω,所以,合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动,当频率比为有理数时,可合称为周期振动,合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和,试求它们的合成的复数表示式,并写出其实部与虚部。 解:两简谐振动分别为,, 则:=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5t+) 或; 其合成振幅为:= 其合成振动频率为5t,初相位为:=arctan 则他们的合成振动为:实部:cos(5t+ arctan) 虚部:sin(5t+ arctan) 1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为 , 由式得
高等教育出版社,金尚年,马永利编著的理论力学课后习题答案 第一章 1.2 afG — sin0) ;殳上运动的质点的微 afl - COS0) 分方程,并证明该质点在平衡位置附近作振动时,振动周期与振幅无关. 解: 设s为质点沿摆线运动时的路程,取0=0时,s=0 H ( x = a(0-sine) * ly = —a(l — COS0) ds - J (dx)2 + (dy)2 二 J((i9 — COS0 亠de)2+(sirL9 de)2 = 2asin| 2a sin舟dO = 4 a (L co马 写出约束在铅直平面内的光滑摆线
ee A s=2acos^59 + 2asin?9 = acos| 9^ + 2a sin? 9 x轴的夹角,取逆时针为正,tan (p即切线斜率设(P为质点所在摆线位置处切线方向 与 dy cos 0 -1 tan
《振动力学》——习题 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示,重物 W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置,另一重物2W 1 从高度为h处自由下落到 W上且无弹跳。试求2W下降的最大距离和两物体碰撞后 1 的运动规律。 图2-1 图2-2 2-2 一均质等直杆,长为l,重量为w,用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。 2-3 一半圆薄壁筒,平均半径为R, 置于粗糙平面上做微幅摆动,如图2-3所示。试求其摆动的固有频率。 图2-3 图2-4 2-4 如图2-4 所示,一质量m连接在一刚性杆上,杆的质量忽略不计,试求下列情况系统作垂直振动的固有频率: (1)振动过程中杆被约束保持水平位置; (2)杆可以在铅垂平面内微幅转动; (3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高,并说明理由。 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m,A 端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高?
图2-5 图2-6 2-6 在图2-6所示的系统中,四个弹簧均未受力。已知m =50kg ,19800N m k =, 234900N m k k ==,419600N m k =。试问: (1)若将支撑缓慢撤去,质量块将下落多少距离? (2)若将支撑突然撤去,质量块又将下落多少距离? 2-7 图2-7所示系统,质量为m 2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的 转动惯量为I ,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频 率。 图2-7 2-8 如图2-8所示的系统中,钢杆质量不计,建立系统的运动微分方程,并求临界阻尼 系数及阻尼固有频率。 图2-8 图2-9 2-9 图2-9所示的系统中,m =1kg ,k =224N/m ,c =48N.s/m ,l 1=l =0.49m ,l 2=l /2,l 3=l /4,不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率n ω及阻尼ζ。 单自由度系统的强迫振动 3-1 如图3-1所示弹簧质量系统中,两个弹簧的连接处有一激振力0()sin P t P t ω=。试
第9章《振动》习题解答 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为m ,其重心C 和轴O 间的距离为h ,刚体对转动轴线的转动惯量为I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动?如果是,求固有频率,不计一切阻力. 【解】 刚体受力如图所示,规定逆时针为转动正方向,φ为与OC 铅垂线(为平衡位置)的夹角,由对O 的转动定理; 因φ很小故sin φφ= 9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示,物体质量为m ,轻弹簧的劲度系 数为1k 和2k ,支承面是理想光滑面,求系统振动的固有频率. 【解】 以物体m 为隔离体,水平方向受12,k k 的 弹性力12,,F F 以平衡位置为原点建立坐标系O x -,水平向右为x 轴正方向。设m 处于O 点对两弹簧的伸长量为0,即两个弹簧都处于原长状态。m 发生一小位移x 之后,弹簧1k 的伸长量为x ,弹簧2k 被压缩长也为x 。 故物体受力为:1212---()x F k x k x k k x ==+ (线性恢复力) m 相当于受到刚度系数为12k k k =+的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律: 9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子,振子质量为m ,弹簧的劲度系数为1k .若在振子和弹簧1k 之间串联另一弹簧,使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数2k 应是1k 的多少倍? 【解】 未串时:平衡位置 1 mg k = 串联另一刚度系数为2k 的弹簧: 此时弹簧组的劲度系数为?k = 已知: 2ωω=' 解得:211 3 k k =
9.2.4 单摆周期的研究.(1)单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内.(2)单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内.(3)单摆悬挂于以加速度a ( 机械振动测验 一、 填空题 1、 所谓振动,广义地讲,指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大 值和③极小值而往复变化。 2、 一般来说,任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、 XXXX 在机械振动中,把外界对振动系统的激励或作用,①激励或输入;而 系统对外界影响的反应,称为振动系统的⑦响应或输出。 4、 常见的振动问题可以分成下面几种基本课题:1、振动设计2、系统识别3、 环境预测 5、 按激励情况分类,振动分为:①自由振动和②强迫振动;按响应情况分类, 振动分为:③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、 在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能,弹性元件储存和释放②势 能,阻尼元件③耗散振动能量。 8、 如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数,称此振动为①简谐振动。 9、 常用的度量振动幅值的参数有:1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、 系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关,与系统受到的激励无 关。 二、 试证明:对数衰减率也可以用下式表示,式中n x 是经过n 个循环后的振幅。 1 ln n x x n δ= 三、 求图示振动系统的固有频率和振型。已知12m m m ==,123k k k k ===。 北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学(含振动理论基础)试题 自己去查双(二)自由度振动 J,在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动,如图所示,四、圆筒质量m。质量惯性矩 o 求其固有频率。 五、物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等,可看作质量均为m2、半径均 为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β,弹簧的刚度系数为k。 又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。试用能量法求:(1)系统的微分方程;(2)系统的振动周期。 精心整理 1-1???一个物体放在水平台面上,当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时,要使物体不跳离平台,对台面的振幅应有何限制? 解:物体与桌面保持相同的运动,知桌面的运动为 , x=A sin10πt????; ???????? 既有 , ,得到,mm 有一作简谐振动的物体,它通过距离平衡位置为cm 解: 设该简谐振动的方程为; ; A=10.69cm;1/s;T=s 当时,取最大,即: 得: 答:振动周期为2.964s;振幅为10.69cm;最大速度为22.63m/s。 1-3?一个机器内某零件的振动规律为,x的单位是cm,1/s?。 这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度,并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解: ????????振幅A=0.583 ??????最大速度??? 已知以复数表示的两个简谐振动分别为和,试求它们的合成的复数表示式, 解:两简谐振动分别为,, 则:=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5) 或; 其合成振幅为:= 其合成振动频率为5t,初相位为:=arctan 则他们的合成振动为:?实部:cos(5t+?arctan) ????????????????????????????????????虚部:sin(5t+?arctan) 1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解∶三角波一个周期内函数x?(t)可表示为 ?, 由式得??????????????????????????????????????????????????????????n=1,2,3…… 1-7 , ,???? ?????; ?????P(t)平均值为0 机械振动 一、选择题 1. 下列4种运动(忽略阻力)中哪一种是简谐运动 ( C ) ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块,把它部分按入水中,然后松开,使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块,把它部分按入水中,然后松开,使木块上下浮动 解析:A 小球不是做往复运动,故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体,故D 错误。 2.如图1所示,以向右为正方向,用向左的力压缩一弹簧,然后松手任其振动。若从松手时开始计时,则该弹簧振子的初相位应为 图 一 ( D ) ()0A ()2 πB ()2 π-C ()πD 解析: 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面,其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份,将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上,则此弹簧振子的周期为 ( B ) ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析:有题可知:分割后的弹簧的劲度系数变为k 3,且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=,可得此弹簧振子的周期为3 6T 4.两相同的轻质弹簧各系一物体(质量分别为21,m m )做简谐运动(振 幅分别为21,A A ),问下列哪一种情况两振动周期不同 ( B ) ()21m m A =,21A A =,一个在光滑水平面上振动,另一个在竖直方向上 振动 ()B 212m m =,212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =,212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =,21A A =,一个在地球上作竖直振动,另一个在月球上作 竖直振动 一、 选择题 1、一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线如图所示,若质点的振动按余弦函数描述,则其初相为 [ D ] (A ) 6π (B) 56π (C) 56π- (D) 6π- (E) 23 π- 2、已知一质点沿y 轴作简谐振动,如图所示。其振动方程为3cos()4 y A t π ω=+,与之对应的振动曲线为 [ B ] 3、一质点作简谐振动,振幅为A ,周期为T ,则质点从平衡位置运动到离最大 振幅 2A 处需最短时间为 [ B ] (A );4T (B) ;6T (C) ;8 T (D) .12T 4、如图所示,在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体,再用此弹簧改系一质量为m 4的物体,最后将此弹簧截断为两个弹簧后并联悬挂质量为m 的物体, 此三个系统振动周期之比为 (A);2 1 : 2:1 (B) ;2:21:1 [ C ] (C) ;21:2:1 (D) .4 1 :2:1 5、一质点在x 轴上作简谐振动,振幅cm A 4=,周期s T 2=,其平衡位置取坐标原点。若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处,且向x 轴负方向运动,则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为 (A);1s (B) ;32s (C) ;34 s (D) .2s [ B ] 6、一长度为l ,劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为21,l l 的两部分, 且21nl l =,则相应的劲度系数1k ,2k 为 [ C ] (A );)1(,121k n k k n n k +=+= (B );11,121k n k k n n k +=+= (C) ;)1(,121k n k k n n k +=+= (D) .1 1 ,121k n k k n n k +=+= 7、对一个作简谐振动的物体,下面哪种说法是正确的 [ C ] (A ) 物体处在运动正方向的端点时,速度和加速度都达到最大值; (B ) 物体位于平衡位置且向负方向运动时,速度和加速度都为零; (C ) 物体位于平衡位置且向正方向运动时,速度最大,加速度为零; (D ) 物体处于负方向的端点时,速度最大,加速度为零。 8、 一个质点作简谐振动,振幅为A ,在起始时刻质点的位移为 A 2 1 ,且向x 轴的正方向运动,代表此简谐振动的旋转矢量图为 [ B ] 2008年振动力学期末考试试题 第一题(20分) 1、在图示振动系统中,已知:重物C 的质量m 1,匀质杆AB 的质量m 2,长为L ,匀质轮O 的质量m 3,弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解: 系统可以简化成单自由度振动系统,以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标,在静平衡位置时 y =0,此时系统的势能为零。 AB 转角:L y /=? 系统动能: m 1动能:2112 1 y m T = m 2动能:2222222 22222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能:2322 32333)2 1(21))(21(2121y m R y R m J T ===ω 系统势能: 221)2 1 (21)21(y k y g m gy m V ++-= 在理想约束的情况下,系统的主动力为有势力,则系统的机械能守恒,因而有: E y k gy m gy m y m m m V T =++-++= +2212321)2 1 (2121)2131(21 上式求导,得系统的微分方程为: E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为: ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上,轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上;轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连;不计滑轮A ,绳及弹簧的质量,系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解:系统可以简化成单自由度振动系统,以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标,在静平衡位置时 x =0,此时系统的势能为零。 物体B 动能:2212 1 x m T = 第一章 概述 1.一简谐振动,振幅为0、20cm,周期为0、15s,求最大速度与加速度。 解: max max max 1*2***2***8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1*(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2.一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g,求振动的振幅。(g=10m/s2) 解:.. 22max max max *(2**)*x w x f x π== ..22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3.一简谐振动,频率为10Hz,最大速度为4、57m/s,求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解: .max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 110.110T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4、 机械振动按激励输入类型分为哪几类?按自由度分为哪几类? 答:按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动 5、 什么就是线性振动?什么就是非 线性振动?其中哪种振动满足叠加原理? 答:描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统,如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6、 请画出同一方向的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7、请画出互相垂直的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果就是1()2sin(4/2)x t t ππ=+,2()2sin(4)x t t π= 《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示,重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置,另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解: 2 22221v g W h W = ,gh v 22= 动量守恒: 122 122v g W W v g W +=,gh W W W v 221212+= 平衡位置: 11kx W =,k W x 1 1= 1221kx W W =+,k W W x 2 112+= 故: k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故: t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置 2-2 一均质等直杆,长为l ,重量为w ,用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。 解:给杆一个微转角θ 2a θ=h α 2F =mg 由动量矩定理: a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒,平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动,如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 振动理论练习题 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 第1章练习题 题已知一弹簧质量系统的振动规律为x(t)=?t+?t (cm), 式中,?=10? (1/s)。 (1)求其振幅、最大速度、最大加速度和初相位;(2)以旋转矢量表示出它们之间的关系。 题如题图所示,一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动,求其振动微分方程及固有频率。 题图题图 题一均质直杆,长为l,重力W,用2根长为h的铅直线挂成水平位置,见题图。试求此杆绕铅直轴oo1微幅振动的微分方程和它的固有周期。 题如题图,质量m1自高度l下落碰撞原在弹簧k下平衡的质量m2,为完全塑性碰撞,求碰撞后两质量的振动运动。 题图题图 题如题图,惯性矩为J的轮和轴,轴中心线与铅垂线有夹角?,盘上半径r处有一附加质量m,求轮和盘系统的固有振动周期。 题利用等效质量与刚度的概念求解题图示系统的固有频率。AB杆为刚性,本身质量不计。 题图题图 题两缸发动机的曲轴臂及飞轮如题图所示,曲轴相当于在半径r处有偏心质量m e,为平衡这一质量将平衡配重放在飞轮上,设所在位置同样距轴心r,求平衡配重所需质量。 题 用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时,测得在40周内振幅由减少到。求此系统的相对阻尼系数?。 题 某洗衣机滚筒部分重14kN ,用四个弹簧对称支承,每个弹簧的刚度为k =80N /mm 。 (1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ;(2)这个系统装有四个阻尼缓冲器,每个阻尼系数c =·s /mm 。试问此系统自由振动时经过多少时间后,振幅衰减到10%(3)衰减振动的周期是多少与不安装缓冲器时的振动周期作比较。 题 如题图,展开周期半正弦函数F (t )成傅里叶级数,求出所示弹簧质量系统在该F (t ) 作用下的响应。 题图 题图 题 求题图所示初始时静止的弹簧质量系统在力F (t )=F o e -bt 作用下的瞬态响应。 题 试求在t =0时,有冲量F 作用下,有阻尼弹簧质量系统的瞬态响应峰值x m 及其出现时间t m 。 题 弹簧质量系统30o 光滑斜面降落,如题图所示。自弹簧开始接触底面到离开为止,求所需的时间为多少 题图 题图 题 无阻尼单自由度质量弹簧m-k 系统,受题图所示力的作用, 记x s =F 0/k ,m k n /2 =ω, 求证,在t < t 0 内,有 )sin (1 )(0 t t t x t x n n n s ωωω-= 在t > t 0内, 有 )(cos ]sin )([sin 1)(000 t t t t t t x t x n n n n s -+--=ωωωω。 题 如题图,为车辆行驶通过曲线路面模型,设道路曲面方程为:)2cos 1(x l a y s π -=,求: 1)车辆通过曲线路面时的振动;2)车辆通过曲线路面后的振动。 题图 题图 1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去,在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下,画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图,并指出在这种化简情况下,汽车振动有几个自由度? 1.3 设有两个刚度分别为1k ,2k 的线性弹簧如图T —1.3所示,试证明: 1)它们并联时的总刚度eq k 为:21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足: 2 1111k k k eq += 解:1)对系统施加力P ,则两个弹簧的变形相同为x ,但受力不同,分 别为: 1122 P k x P k x =??=? 由力的平衡有:1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为:12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ,则两个弹簧的变形为: 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ,弹簧的总变形为:1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为:122112 111 eq k k P k x k k k k ===++ 1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ,2t k 。 解:对系统施加扭矩T ,则两轴的转角为: 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为: 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+, 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为: 12 111 eq t t k k k =+ 1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ,2c ,试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时, 2)在两只减振器串联时。 解:1)对系统施加力P ,则两个减振器的速度同为x &,受力分别为: 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有:1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为:12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ,则两个减振器的速度为: 11 22P x c P x c ? =????=?? &&,系统的总速度为:12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为:12 11 eq P c x c c = =+& 第1章练习题 题1.1 已知一弹簧质量系统的振动规律为x(t)=1.0sinωt+0.6cosωt (cm), 式中,ω=10π (1/s)。(1)求其振幅、最大速度、最大加速度和初相位;(2)以旋转矢量表示出它们之间的关系。 题1.2 如题1.2图所示,一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动,求其振动微分方程及固有频率。 题1.2图题1.3图 题1.3 一均质直杆,长为l,重力W,用2根长为h的铅直线挂成水平位置,见题1.3图。试求此杆绕铅直轴oo1微幅振动的微分方程和它的固有周期。 题1.4 如题1.4图,质量m1自高度l下落碰撞原在弹簧k下平衡的质量m2,为完全塑性碰撞,求碰撞后两质量的振动运动。 题1.4图题1.5图 题1.5 如题1.5图,惯性矩为J的轮和轴,轴中心线与铅垂线有夹角α,盘上半径r处有一附加质量m,求轮和盘系统的固有振动周期。 题1.6 利用等效质量与刚度的概念求解题1.6图示系统的固有频率。AB杆为刚性,本身质量不计。 题1.6图题1.7图 题1.7 两缸发动机的曲轴臂及飞轮如题1.7图所示,曲轴相当于在半径r 处有偏心质量m e ,为平衡这一质量将平衡配重放在飞轮上,设所在位置同样距轴心r ,求平衡配重所需质量。 题1.8 用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时,测得在40周内振幅由0.268mm 减少到0.14mm 。求此系统的相对阻尼系数ζ。 题1.9 某洗衣机滚筒部分重14kN ,用四个弹簧对称支承,每个弹簧的刚度为k =80N /mm 。 (1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ;(2)这个系统装有四个阻尼缓冲器,每个阻尼系数c =1.8N ·s /mm 。试问此系统自由振动时经过多少时间后,振幅衰减到10%?(3)衰减振动的周期是多少?与不安装缓冲器时的振动周期作比较。 题1.10 如题1.10图,展开周期半正弦函数F (t )成傅里叶级数,求出所示弹簧质量系统在该F (t ) 作用下的响应。 题1.10图 题1.11图 题1.11 求题1.11图所示初始时静止的弹簧质量系统在力F (t )=F o e -bt 作用下的瞬态响应。 题1.12 试求在t =0时,有冲量F 作用下,有阻尼弹簧质量系统的瞬态响应峰值x m 及其出现时间t m 。 题1.13 弹簧质量系统30o 光滑斜面降落,如题1.13图所示。自弹簧开始接触底面到离开为止,求所需的时间为多少? 题1.13图 题1.14图 题1.14 无阻尼单自由度质量弹簧m-k 系统,受题1.14图所示力的作用, 记x s =F 0/k ,m k n /2 =ω, 求证,在t < t 0 内,有 )sin (1 )(0 t t t x t x n n n s ωωω-= 在t > t 0内, 有 )(cos ]sin )([sin 1 )(000 t t t t t t x t x n n n n s -+--=ωωωω。 汽车理论习题集 一、填空题 1. 汽车动力性评价指标是: 汽车的最高时速 ﹑ 汽车的加速时间 和 汽车的最大爬坡速度 。 2. 传动系功率损失可分为 机械损失 和 液力损失 两大类。 3. 汽车的行驶阻力主要有 滚动阻力 、 空气阻力 、 坡度阻力 和 加速阻力 _。 4. 汽车的空气阻力分为 压力阻力 和 摩擦阻力 两种。 5. 汽车所受的压力阻力分为 形状阻力 ﹑ 干扰阻力 ﹑ 内循环阻力 和 诱导阻力 。 6. 轿车以较高速度匀速行驶时,其行驶阻力主要是由_ 空气阻力 _引起,而_ 滚动阻力 相对来说较小。 7. 常用 原地起步加速时间 加速时间和 超车加速时间 加速时间来表明汽车的加速能力。 8. 车轮半径可分为 自由半径 、 静力半径 和 滚动半径 。 9. 汽车的最大爬坡度是指 I 档的最大爬坡度。 10.汽车的行驶方程式是_ j i w f t F F F F F +++= 。 11.汽车旋转质量换算系数δ主要与 飞轮的转动惯量 、__ 车轮的转动惯量 以及传动系统的转动比有关。 12.汽车的质量分为平移质量和 旋转 质量两部分。 13.汽车重力沿坡道的分力成为 汽车坡度阻力 _。 14.汽车轮静止时,车轮中心至轮胎与道路接触面之间的距离称为 静力半径 。 15.车轮处于无载时的半径称为 自由半径 。 16.汽车加速行驶时,需要克服本身质量加速运动的惯性力,该力称为 加速阻力 。 17.坡度阻力与滚动阻力均与道路有关,故把两种阻力和在一起称为 道路阻力 。 18.地面对轮胎切向反作用力的极限值称为 附着力 。 19.发动机功率克服常见阻力功率后的剩余功率称为 汽车的后备功率 。 20.汽车后备功率越大,汽车的动力性越 好 。 21.汽车在水平道路上等速行驶时须克服来自地面的__ 滚动_阻力和来自空气的_ 空气 _阻力。 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去,在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下,画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图,并指出在这种化简情况下,汽车振动有几个自由度 设有两个刚度分别为1k ,2k 的线性弹簧如图T —所示,试证明: 1)它们并联时的总刚度eq k 为:21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足: 2 1111k k k eq += 解:1)对系统施加力P ,则两个弹簧的变形相同为x , 但受力不同,分别为: 1122 P k x P k x =??=? 由力的平衡有:1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为:12eq P k k k x ==+ 2)对系统施加力P ,则两个弹簧的变形为: 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ,弹簧的总变形为:1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为: 122112 111 eq k k P k x k k k k ===++ 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k , 2t k 。 解:对系统施加扭矩T ,则两轴的转角为: 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为: 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+, 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为: 12 111eq t t k k k =+ 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ,2c ,试计算总粘性阻尼系数 eq c 1)在两只减振器并联时, 2)在两只减振器串联时。 解:1)对系统施加力P ,则两个减振器的速度同为x ,受力分别为: 1122P c x P c x =?? =? 由力的平衡有:1212()P P P c c x =+=+ 故等效刚度为:12eq P c c c x ==+ 2)对系统施加力P ,则两个减振器的速度为: 11 22P x c P x c ?=????=?? ,系统的总速度为:12 1211()x x x P c c =+=+ 故等效刚度为:12 11 eq P c x c c = =+ 一、选择题: 1.3001:把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开,使摆线与竖直方向成一微小角度θ ,然后由静止放手任其振动,从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程,则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ [ ] 2.3002:两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时,第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为: (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π2 1cos(2- +=αωt A x (C) ) π23cos(2- +=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x [ ] 3.3007:一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面,振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份,将物体m 挂在分割后的一根弹簧上,则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 [ ] 4.3396:一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律 用余弦函数描述,则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 [ ] 5.3552:一个弹簧振子和一个单摆(只考虑小幅度摆动),在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去,相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' [ ] 6.5178:一质点沿x 轴作简谐振动,振动方程为 ) 31 2cos(10 42 π+ π?=-t x (SI)。 从t = 0时刻起,到质点位置在x = -2 cm 处,且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 8 1 (B) s 6 1 (C) s 4 1 (D) s 3 1 (E) s 2 1 [ ] 7.5179:一弹簧振子,重物的质量为m ,弹簧的劲度系数为k ,该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时,开始计时。则其振动方程为: (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21 /cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos + =t k m A x (D) )21/cos(π- =t k m A x (E) t m /k A x cos = [ ] 8.5312:一质点在x 轴上作简谐振动,振辐A = 4 cm ,周期T = 2 s ,其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处,且向x 轴负方向运动,则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为 v v 2 1 第一章 概述 1.一简谐振动,振幅为0.20cm ,周期为0.15s ,求最大速度和加速度。 解: max max max 1 *2***2** *8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1 *(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2.一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g ,求振动的振幅。(g=10m/s2) 解:.. 22 max max max *(2**)*x w x f x π== .. 22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3.一简谐振动,频率为10Hz ,最大速度为4.57m/s ,求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解: . max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 11 0.110 T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4. 机械振动按激励输入类型分为哪几类?按自由度分为哪几类? 答:按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动 5. 什么是线性振动?什么是非 线性振动?其中哪种振动满足叠加原理? 答:描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统,如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6. 请画出同一方向的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7.请画出互相垂直的两个运动: 1()2sin(4)x t t π=,2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果是1()2sin(4/2)x t t ππ=+,2()2sin(4)x t t π=(完整版)机械振动习题答案
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