非线性有限元方法分析
非线性有限元方法分析
一、问题描述
一直径为10mm，长为100mm 的钢棒，将其沿轴向拉伸20mm，求其最后的变形情
况和应力分布。弹性模量EX = 200E3 ，泊松比NUXY = 0.3 。塑性时的应力－应变关系如下表1
表 1 塑性时的应力－应变关
系
由于模型和载荷都是轴对称的，因此建模时可以只取钢棒轴向截面的1/4，用平面轴对称单元来实现。
二、结果分析
经过计算得出以下成果：
1. 应力－应变曲线如图1 所示。
2. 钢棒单轴拉伸等效应力分布如图2。
3. 钢棒X 方向应力分布等值线如图3 所示。
4. 钢棒Y 方向应力分布等值线如图4 所示。
分析钢棒受力后的结果，可以看出：
（1）对于钢棒的单轴拉伸，由于模型和载荷都是轴对称的，因此建模时可以只取钢棒轴向截面的1/4，用平面轴对称单元来实现。而且为了产生颈缩现象，在建模时钢棒端部和中部截面作了5％的误差，使其诱导出颈缩现象。
（2）从钢棒单轴拉伸等效应力图上可以看出，最大主应力出现在受拉一侧的拉伸受力处，其值为603.4Mpa；最小主应力出现在钢棒的中部，其值为38.37Mpa。
对于钢棒X 方向应力分布可以看出，最大和最小应力的位置发生了变化，出现在钢棒中下部，靠近受拉一侧。
图 1 应力－应变曲线
图 2 钢棒单轴拉伸等效应力分布
图3 钢棒X 方向应力分布等值线
图4 钢棒Y 方向应力分布等值线
非线性有限元方法及实例分析
非线性有限元方法及实例分析 梁军 河海大学水利水电工程学院，南京（210098） 摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。 关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析 1引 言 有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。有限元的线性分析已经设计工具被广泛采用。但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题加以考虑更符合实际情况。根据产生非线性的原因，非线性问题主要有3种类型[1]： 1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性） 2．几何非线性问题 3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性） 2 非线性方程组的求解 在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组[2]： ()()()00 021212211=… …==n n n n δδδψδδδψδδδψΛΛΛ （1.1） 其中n δδδ,,,21Λ是未知量，n ψψψ,,,21Λ是n δδδ,,,21Λ的非线性函数，引用矢量记 号 []T n δδδδΛ21＝ （1.2） []T n ψψψψΛ21= （1.3） 上述方程组（1.1）可表示为 ()0=δψ （1.4） 可以将它改写为 ()()()0=?≡?≡R K R F δδδδψ （1.5） 其中()δK 是一个的矩阵，其元素 是矢量的函数，n n ×ij k R 为已知矢量。在位移有限 元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点平衡方程。 在线弹性有限元中，线性方程组
非线性有限元分析
轨道结构的非线性有限元分析 姜建华 练松良 摘 要 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。钢轨垫层刚度、钢轨抗扭刚度和扣件扣压力的大小是影响轨距扩大的主要因素。根据非线性有限元接触理论,建立了能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型;并研究计算了不同扣件压力下,由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触引起的轨距扩大问题。 关键词 轮轨关系,扣件压力,非线性弹性力学,有限元分析 1 引言 实际工程中常见的非线性问题一般可以归纳为三类:材料非线性、几何非线性以及边界条件非线性。材料非线性问题是由于材料的非线性本构关系所引起的,例如材料的弹塑性变形,材料的屈服和硬化等;几何非线性问题是由于结构的位移或变形相当大,以至必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程;边界条件非线性问题是指边界条件随位移变化所引起的非线性问题。通常情况下,我们所遇到的非线性问题多数是上述三类非线性问题的组合[1,2]。 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。比如基于轮轨接触的材料非线性、几何非线性及边界条件非线性问题,以及扣件、钢轨、垫层三者间相互作用时所表现的边界条件非线性行为等。所以,机车车辆在轨道结构上行驶时引起的力学现象是相当复杂的。以往在研究轨道各部分应力应变分布规律时,通常采用连续弹性基础梁理论或连续点支承,偶尔简单考虑扣件的作用和弹性垫层的使用。不管用哪一种支承方式建立模型,都由于这样那样的假设而带有一定程度的近似性。所以,如何利用现代力学理论的最新成果以及日益发展的计算机技术,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的轨道结构计算模型,为轨道设计部门提供更加可靠的设计依据或研究思路,已十分必要。 本文提出了用非线性有限元理论研究轮轨系统和轨道结构的思路。作为算例之一,本文将根据非线性有限元理论,建立能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型。 2 轨道结构的有限元接触模型 对于非线性问题,不管是材料非线性、几何非线性,还是边界条件非线性,总是最终归结为求解一组非线性平衡方程及其控制方程。例如用位移作为未知数进行有限元分析时,最后可得到一组平衡方程及其控制方程为 : 图1 轮轨系统的对称性模型简图 [K(u)]{u}={R}(1) (u)= (u)(2)其中:{u}为节点位移列阵;{R}为节点载荷列阵; [K(u)]为总体刚度矩阵; (u)为边界条件。它们 36 姜建华:同济大学工程力学系,副教授、博士,上海200092
非线性有限元的有关著作和简要历史
下面我们回顾非线性有限元方法的简单历史。本书与其它书的写作思路有些区别，我们不仅关注发表的文章，而且更关注软件的发展。在这个信息—计算机时代，像许多其它方面的进步一样，在非线性有限元分析中，软件常常比文献更好的代表了最新的进展。 已经发表的一些成功的实验和专题文章，完全或者部分地对非线性有限元分析做出了贡献。仅论述非线性有限元的作者包括Oden(1972)，Crisfield(1991)，Kleiber(1998)和Zhong(1993)。特别值得注意的时Oden的书，因为它时固体和结构非线性有限元的先驱作者。最近的作者又Simo和Hughes(1998)、Bonet和Wood(1997)。某些作者还部分的非线性分析做出了贡献，他们是Belytschko和Hunhes(1983)，Zienkiewicz和Taylor(1991)，Bathe(1996)，以及Cook，Malkushe 和Plesha(1989)。对于非线性有限元分析，他们的书提供了有益的入门指南。作为姐妹篇，线性有限元分析的论述也是有用的，内容最全面的是Hughes(1987)、Zienkiewicz和Taylor(1991)的著作。非线性有限元方法有多种溯源。通过波音研究的工作和Turner，Clough，Martin和Yopp(1956)的著名文章，使线性有限元分析得以闻名，不久之后，在许多大学和研究所里，工程师们开始将方法扩展至非线性、小位移的静态问题。但是，它难以燃起早期有限元社会的激情和改变传统研究者们对于这些方法的鄙视。例如，因为考虑到没有科学的是实质，《Journal of Applied Mechanics》许多年都拒绝刊登关于有限元方法的文章。然而。对于许多必须涉及工程问题的工程师们，他们非常清楚有限元方法的前途，因为它提供了一种处理复杂形状真实问题的可能性。在20世纪60年代，由于Ed Wilson发布了他的第一个程序，这种激情终于被点燃了。这些程序的第一代没有名字。在遍布世界的许多实验室里，通过改进和扩展这些早期在Berkeley开发的软件，工程师们扩展了新的用途，这些带来了对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展。在Berkeley开发的第二代线性程序称之为SAP(structural analysis program)。由Berkeley的工作发展起来的第一个非线性程序使NONSAP，它具有隐式积分进行平衡求解和瞬时问题求解的功能。第一批非线性有限元方法文章的主要贡献者由Argyris(1965)，Marcal和King(1967)。不久，大批文章激增，而且软件随之诞生。当时在Brown大学任教的Pedro Marcal，作为第一个非线性商业有限元程序进入市场，与1969年建立了一个公司，程序命名为MARC，目前它仍然是主要软件。大约在同期，John Swanson 为了核能应用在Westinghouse 发展了一个非线性有限元程序。为了使ANSYS程序进入市场，他于1969年离开Westinghouse。尽管ANSYS主要是关注非线性材料而非求解完全的非线性问题，但他多年来仍垄断了商业非线性有限元的舞台在早期的商用软件舞台上，另外两个主要人物使David Hibbitt 和Klaus-Jurgen Bathe。Hibbitt与Pedro Marcal 合作到了1972年，后来与其它人合作建立了HKS公司，使ABAQUS商业软件进入市场。因为该程序是能够引导研究人员增加用户单元和材料模型的早期有限元程序之一，所以它对软件行业带来了实质性的冲击。Jurgen Bathe 是在Ed Wilson的指导下在Berkeley获得博士学位的，不久之后开始在MIT任教，这期间他发表了他的程序。这是NONSAP软件的派生品，称之ADINA。直到大约1990年，商用有限元程序集中在静态解答和隐式方法的动态解答。在20世纪70年代，这些方法取得了非常大的进步，主要贡献来自于Berkeley，起源于Berkeley 的研究人员：Thomas J.R. Hughes，Robert Tayor,Juan Simo,Jurgen Bathe,Carlos Felippa,Pal Bergan,Kaspar Willam,Ekerhard Ramm和Michael Ortiz。他们是Berkeley的杰出研究者中的一部分。不容置疑，他们是早期有限元的主要孵化人
第9章 非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法 9.1 非线性问题概述 前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。 1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变) 材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。 2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化) 几何非线性是有结构变形的大位移引起的。例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。 3. 状态非线性(接触, 单元死活) 状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。 9.2 非线性有限元问题的求解方法 对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。 1.迭代法 迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。 与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。以平面问题 为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。在求解非线性方程组时，一般采用迭代 法。 2. 牛顿—拉斐逊方法 ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。 一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量，即逐步递增载荷和平衡迭代。它可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的
求解温度场的非线性有限元方法
Ξ 求解温度场的非线性有限元方法 刘福来1, 杜瑞燕2 (1.东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳 110004;2.河北青年干部管理学院教务处,河北石家庄 050031) 摘要:从G alerkin 有限元方法出发,对自由表面上的辐射换热的数学表达式不作线性化处理,而是把温 度场的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题,并且用Newton 迭代法计算了温度场. 关键词:温度场;有限元方法;Newton 迭代法 中图分类号:O 242.21 文献标识码:A 文章编号:100025854(2005)0120021204 由文献[1]知,求解二维待轧过程的温度场,就是要求下面微分方程和初值问题的解: 52T 5 x 2+52T 5y 2=1α5T 5t ;(1) -k 5T 5n =0,(x ,y )∈S 2; (2) -k 5T 5n =σεA (T 4-T 4 ∞),(x ,y )∈S 3; (3) T (x ,y ,0)=T 0(x ,y ). (4)其中:α=λ ρc 称为导温系数,λ,ρ和c 分别为热导系数、密度和比热;S 2为给出热流强度Q 的边界面; T ∞为环境温度;S 3为给出热损失的边界面.对轧制问题的温度场,常常考虑的几种边界面[1] 是:对称 面、自由表面和轧件与轧辊的接触面.在辐射面上,边界条件的数学表达式为σεA (T 4-T 4 ∞)(其中:σ为 Stefan 2Boltzmann 常数,ε为物体表面黑度,A 为辐射面积,T ∞为环境温度)是温度T 的4次幂,具有强 烈的非线性.以往在实际计算中有2种处理方法[2],一种是简化问题的物理模型,有时将表达式看成常 数,有时将边界条件转化成h r A (T -T ∞)(其中h r =σ ε(T 2+T 2∞)(T +T ∞)),在轧制问题中求解温度场时文献[1,3]都采用了这一方法;另一种是处理问题的数学方法,即用近似方法求解非线性的偏微分方程问题.例如,用数值分析的方法,文献[4]中利用了差分方法. 本文中,笔者从G alerkin 有限元法出发,对自由表面上辐射换热的数学表达式不作线性处理,而是直接对非线性代数方程组用Newton 迭代法计算温度场,以二维待轧过程温度场的有限元解析进行讨论.1 G alerkin 有限元方法简介 将待求解区域Ω剖分为E 个单元,每个单元4个节点.设N i 是形函数(i =1,2,3,4),用4节点线性等参单元,则单元内的温度为 T e =N 1T 1+N 2T 2+N 3T 3+N 4T 4={N }T {T}e , (5) 其中:{N }=(N 1,N 2,N 3,N 4)T ;{T}e =(T 1,T 2,T 3,T 4)T .设ω1,ω2,…,ωn 是一组基函数,用 G alerkin 方法求方程(1)～(4)的解,实际上是求c 1,c 2,…,c n ,使T n =c 1ω1+c 2ω2+…+c n ωn 满足 κ Ω ρc 5T n 5t -k 52T n 5x 2+ 52T n 5y 2 ωi d x d y =0,i =1,2,…,n. (6) 对式(6)应用Green 公式,有 Ξ收稿日期:2004 0105;修回日期:20040420 作者简介:刘福来(1975),男,河北省唐山市人,东北大学博士研究生. 第29卷第1期2005年 1月河北师范大学学报(自然科学版) Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition )Vol.29No.1Jan.2005
第八章几何非线性问题的有限元法
第八章 几何非线性问题的有限元法 引言 前面各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于1。在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。 实际上，上述假设有时是不成立的。即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确定位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。再如在结构稳定性问题中，当载荷达到一定数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。 几何非线性问题可以分为以下几种类型： （1）大位移小应变问题。一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。例如高层建筑或高耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。 （2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。 （3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。 结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。为了描述结构的变形需要设置一定的参考系统。一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位置，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Ｌagrange ）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。 本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导出经典的线性屈曲问题的公式；然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式；接着还给出了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。在讨论中我们采用总体的拉格朗日列式法，但对杆系结构，为应用方便我们给出了两种列式法的公式。 & 一般性讨论 理论基础 无论是对于何种几何非线性问题，虚功原理总是成立的。由虚功原理，单元的虚功方程可以写成如下的形式 {}{}{}{}0=-???**v e eT e eT F dv δσε （） 其中{}F 为单元节点力向量，{}e *ε为单元的虚应变，{}e *δ为节点虚位移向量。 增量形式的应变一位移关系可表示为 {}[] {}e e d B d δε= （）
非线性有限元分析
非线性有限元分析 1 概述 在科学技术领域，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。 已经发展的数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。 另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。 1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。并且可以利用在每一个单元假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。 在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。有限单元法的应用围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固体
非线性有限元的有关著作和简要历史
非线性有限元的有关著作和简要历史 已经发表的一些成功的实验和专题文章，完全或者部分地对非线性有限元分析做出了贡献。仅论述非线性有限元的作者包括Oden（1972），Crisfield（1991），Kleiber（1998）和Zhong（1993）。特别值得注意的时Oden的书，因为它是固体和结构非线性有限元的先驱作者。最近的作者有Simo和Hughes（1998）、Bonet 和Wood（1997）。某些作者还部分的为非线性分析做出了贡献，他们是Belytschko 和Hunhes（1983），Zienkiewicz和Taylor（1991），Bathe（1996），以及Cook，Malkushe和Plesha（1989）。对于非线性有限元分析，他们的书提供了有益的入门指南。作为姐妹篇，线性有限元分析的论述也是有用的，内容最全面的是Hughes（1987）、Zienkiewicz和Taylor（1991）的著作。 非线性有限元方法有多种溯源。通过波音研究的工作和Turner，Clough，Martin和Yopp（1956）的著名文章，使线性有限元分析得以闻名，不久之后，在许多大学和研究所里，工程师们开始将方法扩展至非线性、小位移的静态问题。但是，它难以燃起早期有限元社会的激情和改变传统研究者们对于这些方法的鄙视。例如，因为考虑到没有科学的是实质，《Journal of Applied Mechanics》许多年都拒绝刊登关于有限元方法的文章。然而。对于许多必须涉及工程问题的工程师们，他们非常清楚有限元方法的前途，因为它提供了一种处理复杂形状真实问题的可能性。 在20世纪60年代，由于Ed Wilson发布了他的第一个程序，这种激情终于被点燃了。这些程序的第一代没有名字。在遍布世界的许多实验室里，通过改进和扩展这些早期在Berkeley开发的软件，工程师们扩展了新的用途，这些带来了对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展。在Berkeley开发的第二代线性程序称之为SAP（structural analysis program）。由Berkeley的工作发展起来的第一个非线性程序使NONSAP，它具有隐式积分进行平衡求解和瞬时问题求解的功能。 第一批非线性有限元方法文章的主要贡献者由Argyris（1965），Marcal 和King（1967）。不久，大批文章激增，而且软件随之诞生。当时在Brown大
钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法
第28卷第1期 V ol.28 No.1 工 程 力 学 2011年 1 月 Jan. 2011 ENGINEERING MECHANICS 82 ——————————————— 收稿日期：2009-06-19；修改日期：2010-03-11 基金项目：国家科技支撑计划项目(2006BA904B03) 作者简介：*周凌远(1968―)，男，四川成都人，副教授，工学博士，从事桥梁结构行为分析研究(E-mail: zhoulingyuan@https://www.sodocs.net/doc/24917568.html,)； 李 乔(1954―)，男，黑龙江铁力人，教授，工学博士，博导，西南交通大学土木工程学院院长，从事桥梁结构行为分析研究 文章编号：1000-4750(2011)01-0082-05 钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法 * 周凌远，李 乔 (西南交通大学土木工程学院，成都 610031) 摘 要：针对钢筋混凝土结构有限元分析中，材料进入非线性阶段后，难以通过梁理论准确描述混凝土截面和钢筋应力状态的问题，提出了基于柔度法和分布式塑性理论的钢筋混凝土梁单元材料非线性方法——网格截面法。这种方法采用平面等参单元将梁单元网格化，由单元轴向积分点位置截面网格积分点的混凝土应力描述单元截面应力分布，同时考虑钢筋对刚度的贡献，并通过对截面网格材料的积分计算积分点位置的截面刚度矩阵，再利用力插值函数和能量原理得到梁单元的柔度矩阵，进而对柔度矩阵求逆计算单元刚度矩阵。通过算例验证该方法在钢筋混凝土承载力分析时的准确性。 关键词：有限元；钢筋混凝土梁；柔度法；网格截面；极限承载力 中图分类号：TU375.1; O241.82 文献标识码：A AN APPROACH OF NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAM * ZHOU Ling-yuan , LI Qiao (School of Civil Eng, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China) Abstract: A beam element with a meshed section based on distributed plasticity and flexibility theory is presented for the material nonlinear finite element analysis of a reinforced-concrete framed structure, the sections of a concrete beam element are discretized into the plane isotropic components in this formulation, the stress distribution on the sections is described with the stresses at quadrature points in the mesh, the stiffness matrices of the sections are calculated by integration of the stress-strain relations of the material on the meshes and the contribution of the stiffness by reinforcing steel is also counted, the flexibility matrix of the element is formed by integration of section flexibility matrices with force-interpolation functions, and then it is inverted to obtain the element stiffness matrix. Finally, a numerical example of the ultimate load capacity analysis of a reinforced concrete beam illustrates the accuracy of the formulation. Key words: finite element; reinforced concrete beam; flexibility method; meshed section; load capacity 钢筋混凝土结构的整体承载力问题一直为工程界所关注，材料非线性有限元方法是研究这类问题的有效手段，其分析模型主要包括集中塑性铰 法[1]和纤维模型法，1977年，Kang 提出了基于纤维模型的二维梁单元[2]，并运用于预应力混凝土框 架的分析，1993年Izzuddin B A 等提出了三次多项式插值的分布式塑性方法分析空间梁单元[3 ―4] ，通 过对沿梁轴方向两个积分点位置的截面划分监控区域，并假定每个监控区域内的法向应力均匀，得到单元的刚度矩阵和节点力，这样在同一个单元内
非线性有限元作业_老骆整理
1. 轴对称问题的弹塑性分析 流程图 ： 节点号，单刚等各项参数 EN1 存储单元节点号， 局部坐标系转 换为全局坐标 N 打印错误 调用子函数 DEMATR 求[D] 调用子函数 BMATR 求 [B] 切线刚度阵 [EK]=[S][Q1]= · JD ·RN ·H(I1)H(J1) 返回各值 Y 读入单元号， B 矩阵位数，单刚位数，单元 开始 JD<0 [C]=[De ] [B] R=1 N [C]=[Dep][B]
解析解。厚壁筒受内压，采用Mises 屈服准则 经计算知，当t=（）时，材料处于弹塑性交界面。 弹性区为: 塑性区： 交界处有：， 最后解得残余应力为： (7a) 有限元网格信息图：(7b) (8a) (8b) (1) (2) (3) (4) (5) (6)
图1 有限元网格 输入数据文件内容（详细信息见附件）: DATA(1) NNODE MELEM IFU IFW IPF IPR NPP NRM HAC MSF NULOAD EXP NM(1-MELEM) NN NN(1-NNODE) R Z NFU(1-IFU) FU NFW(1-IFW) FW MPQ(1-IPF) NPQ*PQ NPRNRZ(1-IPR) PRNRZ E EMU SSS HH UNLOAD 对理想塑性材料厚壁筒，从初始状态开始，历经加载后完全卸载。这一过程中，厚壁筒内会产生残余应力。沿径向R的残余应力如图2-3 所示。
图 2 径向残余应力 -半径曲线 图 2-3 中分别给出了径向残余应力和切向残余应力随半径的变化， 比较。 从图中可以看出， 程序解和解析解在数值上能够很好的吻合， 大的地方 有少许偏差， 这验证了程序计算结果的正确性。 最大误差发生在径向残余应力达到 10 并且和解析解进行了 只是在径向残余应力最 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 12 14 16 Radius R 18 20 -5 -10 -15 图 3 切向残余应力 -半径曲线
通用显式非线性有限元程序：LS-DYNA
通用显式非线性有限元程序：LS-DYNA LS-DYNA 是世界上最著名的通用显式非线性有限元分析程序，能够模拟真实世界的各种复杂问题，特别适合求解各种二维、三维非线性结构的碰撞、金属成型等非线性动力冲击问题，同时可以求解传热、流体及流固耦合问题。在工程应用领域被广泛认可为最佳的分析软件包。与实验的无数次对比证实了其计算的可靠性。 LS-DYNA 是功能齐全的几何非线性（大位移、大转动和大应变）、材料非线性（140多种材料动态模型）和接触非线性（50多种）软件。它以Lagrange 算法为主，兼有ALE 和Euler 算法；以显式求解为主，兼有隐式求解功能；以结构分析为主，兼有热分析、流体-结构耦合功能；以非线性动力分析为主，兼有静力分析功能（如动力分析前的预应力计算和薄板冲压成型后的回弹计算）;是通用的结构分析非线性有限元程序。 特色功能 ? 显式求解为主，兼有隐式算法，适合于求解高度非线性问题； ? 具有多种求解算法，以Lagrange 算法为主，兼有ALE、Euler 算法、SPH （Smoothed Particle Hydrodynamics）光顺质点流体动力算法和边界元法BEM（Boundary Element Method）； ? 具有160多种材料模型，是材料模型非常丰富的有限元软件； ? 具有50多种接触类型，是接触类型非常齐全的有限元软件； ? 极好的并行计算能力，包括分布式并行算法（MPP）和共享内存式并行（SMP）； ? 良好的自适应网格剖分技术，包括自适应网格细分和粗化； ? 行业化的专用功能：如针对汽车行业的安全带单元、滑环、预紧器、牵引器、传感器、加速计、气囊等。 客户价值 ? 拥有显式和隐式算法，各向异性材料模型，使得板成型、回弹、预应力计算等，可以连续求解； ? 多种控制选项和用户子程序使得用户在定义和分析问题时有很大的灵活性； ? MPP 版本大幅度减少计算时间，计算效率随计算机数目增多而显著提高； ? 与大多数的CAD/CAE 软件集成并有接口。 广州有道科技培训中心 h t t p ://w w w .020f e a .c o m
非线性有限元程序迭代模块演示源程序
非线性有限元程序迭代模块演示源程序 ! ******************************************************************** ! 一个牛顿－拉弗逊法求解非线性问题迭代过程的简单程序例子 ! 可以进行荷载步长自动调整 ! 读者可参考该模块加入相应的子程序编制自己的非线性计算程序 ! 作者：陆新征 ! 指导教师：江见鲸 ! 清华大学土木工程系 ! last revised: 2002.12. !********************************************************************* module Main_Iteration use Lxz_Tools ! 通用子程序模块 use TypeDef ! 数据结构定义模块 use Data_Input ! 数据输入模块 use Data_Output ! 数据输出模块 use Elem_Prop ! 单元属性模块 use MatSolve ! 矩阵求解模块 implicit none contains subroutine RC2D_Main() type(typ_GValue) :: GValue !总体控制变量数据结构数组 type(typ_Node),pointer :: Node(:) !节点数据结构数组 type(typ_Elem),pointer :: Elem(:) !混凝土单元数据结构数组 type(typ_Rebar),pointer :: Rebar(:) !钢筋单元数据结构数组 type(typ_Load),pointer :: Load(:) !荷载数据结构数组 type(typ_Load),pointer :: Initial_Load(:) !初始荷载 type(typ_Material),pointer :: Material(:) !材料数据结构数组 type(typ_Support),pointer :: Support(:) !支座数据结构数组 call DataInput(GValue,Node,Elem,Rebar,Material,Load,Support,& Initial_Load) !读入数据 call Iteration(GValue,Node,Elem,Rebar,Load,Support,Initial_Load) !迭代核心程序call DataOutput(GValue,Node,Elem,Rebar,Material,Load,Support) !输出数据 write(*,*) "计算成功结束" read(*,*) deallocate(node) deallocate(Elem) deallocate(Rebar)
有限单元法作业非线性分析+程序
几何非线性大作业荷载增量法 和弧长法程序设计 系（所）：建筑工程系 学号：1432055 姓名：焦联洪 培养层次：专业硕士 指导老师：吴明儿 2015年6月19日
一、几何非线性大作业（ Newton-Raphson法） 用荷载增量法（Newton-Raphson法）编写几何非线性程序： （1）用平面梁单元，可分析平面杆系 （2）算例：悬臂端作用弯矩。悬臂梁最终变形形成周长为悬臂梁长度的圆。 1.1 Newton-Raphson算法基本思想 图1.1 Newton-Raphson算法基本思想 1.2 悬臂梁参数 基本参数：L=2m, D=0.03m, A=7.069E-4m2, I=3.976E-08m4 ,E=2.0E11N/m2
图1.2 悬臂梁单元信息 将悬臂梁分成10个单元，如图1.2所示 2.1 MATLAB输入信息 材料信息单元信息 约束信息（0为约束，1为放松）荷载信息（FX,FY,M）
节点信息 2.2 求解过程 梁弯成圆形：理论弯矩M=EIY"=24981.944N.m ,直径为0.642m 运用ABAQUS和MATLAB进行求解对比： 图1.3 加载图 图1.4 ABAQUS变形图
图1.5 MATLAB变形曲线 ABAQUS和MATLAB变形对比，最终在理论荷载作用下都弯成了一个圆，其直径为0.64716m，与理论值相对比值为：（0.64716-0.642）/0.642=0.00804.非常接近。 2.3 加载点荷载位移曲线 图1.5 加载点Y方向的荷载位移曲线
加载点的最大竖向位移分别为1.4525m和1.45246m，相对比值（1.4525-1.45246）/1.45246=2.75395E-05。完全相同，说明MATLAB的计算结果很好。
第10章(非线性有限元)分解
公式号、图号等 第十章 非线性动力有限元法 当机械结构受到较大的外载荷，或受到持续时间较短的冲击载荷作用时，结构会产生过大的变形, 以至于必须考虑结构几何大变形对结构整体刚度及固有频率的影响，即所谓的几何非线性影响。另外, 对于多数非线性动力学问题，还需要考虑材料非线性、接触非线性等方面的影响。 非线性动力学分析求解的基本方程有如下形式 0=-+P I u M (4.141) 式中，Ku u C I += 为粘性效应项，考虑阻尼、粘塑、粘弹等效应。P 为外部激励。 对于考虑各种非线性效应的动力学问题求解，需要对动力学方程进行直接时间积分。即非线性动力有限元分析具有如下特点：（1）问题分析过程需要考虑时间积分效应，不必做模态分析，不必提取固有频率；（2）采用直接积分方法求解非线性动力学方程，需要对时间作积分计算，因此计算量远远大于线性模态动力学方法；（3）非线性动力学分析中可以施加不同类型的载荷，包括结点力、非零位移、单元载荷；（4）在每个时间步上，进行质量、阻尼、及刚度的集成，采用完整矩阵，不涉及质量矩阵的近似；（5）可以同时考虑几何、材料和接触等多种非线性效应。 非线性动力有限元分析程序常采用隐式Hilber-Hughes-Taylor 法进行时间积分运算。这种方法适于模拟非线性结构的动态问题，对于冲击、地震等激发的结构动态响应以及一些由于塑性或粘性阻尼造成的能量耗散，隐式算法特别有效。隐式积分方法需要对刚度矩阵求逆计算，并通过多次迭代求解增量步平衡方程。隐式Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法为无条件稳定，对时间步长没有特别的限制。 采用子空间法也可以对动力学平衡方程作时间积分运算。子空间法是提取模态分析得到的各阶特征模态，并采用与线性模态动力学分析方法相近的分析方式进行求解。对于带有微小非线性效应的问题，如材料小范围进行入屈服、结点转角不大的情况，子空间法效率比进接积分法要高。 此外，非线性动力有限元分析还可以采用显式动态算法，如中心差分法。显式时间积分算法为有条件稳定，其临界稳定时间步长限制了时间步长的大小，与有限元模型最小单元尺寸、材料应力波速等有关。显式时间积分法适于模拟高速冲击、接触等问题。 上述方法的选择需要综合考虑计算量、分析问题的规模、单元限制等多方面因素，需要丰富的有限元模拟的理论、经验和实践知识。以下以几何非线性问题和材料非线性问题为例介绍非线性有限元法，其中粘弹粘塑性非线性材料问题的分析是典型的非线性动力有限元的求解思想。 9.1 几何非线性问题的有限元法 几何非线性问题一般是指物体经历大的刚体位移和转动，但固连于物体坐标系中的应变分量仍假设为小量, 即大位移小应变情况。
土体非线性有限元程序说明
土体非线性有限元程序说明 一、程序功能和特点: 1.本程序为平面变形问题非线性有限元程序,可用于计算土坝、地基、?挡土墙或地下结构的应力和变形。 2.土的非线性应力--应变关系采用邓肯双曲线模式 另一个弹性常数可有两种选择: (a)切线泊松比: (b)切线体积模量: 3.解题方法为中点增量法,?考虑到每级加荷的两次计算所得的弹性常数对某些单元可能相差较大,而实际可能处于这两者之间,因此取两者的某种加权平均值作为修正的计算弹性常数,其中初始弹性常数取权为1/4,中点弹性常数取权为3/4,?以反映平均结果接近中点弹性常数。 4.网格为任意四边形等参数单元。 5.程序中包含了一维的Goodman接触单元。 6.蓄水引起的湿化,由干、湿两种状态下不同的非线性参数进行计算。 7.可模拟施工过程逐级加荷。 8.坐标方向:y坐标以向上为正,x坐标以向下游为正。 二、输入数据 1.九个控制数据 NNN----结点总数; NEE----非接触单元总数(不包括接触单元数); NJJ----接触单元总数(若无接触单元,填0); NX-----X向位移为0的结点数; NY-----Y向位移为0的结点数; NPP----加荷级数; NMT----材料类型数,接触单元材料类型也计入其中; III----参数(0--弹性常数用E,μ; 1--弹性常数为E,B); IA-----参数(0--不打印输入输出数据中的长数组; 1--打印输入输出数据中的长数组); 2.IX-----X向位移为0的结点号,共NX个数; 3.IY-----Y向位移为0的结点号,共NY个数; 4.x,y----各结点的x,y坐标,每个结点两个数,5个结点的10个数为一行(也可按需要进行修改);结点编号顺序根据网格情况而定,可以横向为序编号,也可以竖向编号,以带宽小为准则; 5.ME和MT ME为各单元的四个结点号,逆时针为序,若为过渡单元,只有三个结点,则第四个点重复第三点号;MT为单元材料类型号,材料各类型排列顺序须按数组CT中的次序。每个单元的ME,MT排在一起,两个单元的10个数为一行,也可按需要进行修改。(单元按施工顺序从下往上编号) 6.MJ和MS
非线性有限元基础
1 §1.2 线性有限元的回顾 线性有限元的理论虽然不是本课程的重点，而线性有限元法是非线性有限元法的基础；非线性有限元法又是线性有限元法的发展。因为非线性问题的求解通常是采用分段线性化的思想，使其成为一系列的线性问题。因此有必要首先回顾线性有限元的一些基本内容。主要是线性有限元的基本理论和方法，以及当前应用最广的等参元理论。 固体力学的理论（材力、弹力、结构力学，无论是线性还是非线性）是建立在本构方程、几何（运动）方程以及平衡方程三方面方程的基础上的，由此导出的控制方程的解是满足上述充分、必要条件的唯一解，而且是反映了结构真实受载后的运动状态（变形）。在结构分析中许多情况下，本构和几何方程可以处理成线性，使控制方程线性化，求解也大大简化，同时可达到工程上的精度要求，这就是线性有限元的基本理论。 §1.2.1 线性本构关系（广义虎克定律） 影响结构材料性能有诸多因素（应力、应变、变形率、温度、湿度、时效等），而通常建立本构方程时仅考虑应力、应变两个物理参数，认为两者成线性关系的经典的弹性理论，即著名的虎克定律。 各向同性材料的Hooke 定律 ij ijkl kl D σε= 或 ij ijkl kl C εσ= ()1其中ijkl D 和ijkl C 分别为弹性阵和柔度阵。 由剪应力互等定理，弹性阵()99ijkl D ?独立材料参数的个数由81个减少为21个。进而对于正交异性的材料参数为9个独立的参数，对于各向同性材料： 01121, 2,322(1) ,e i j i j i j E G G E d dS d i j νν εσδ -+= += = ()2 仅有两个独立的材料常数，即E 和ν，其中E 为弹性模量，ν为泊松比。 §1.2.2线性几何方程（小变形情况） 线性（小变形）关系： ()(){}1 ,,2 ij T U U U i j j i ε+=?= ()3 位移边界条件：u S 边界上 U U = 其中U 为位移向量， U 为边界u S 上的指定位移，()T ?为微分算子。 实际结构可根据它们的几何特点，将三维问题简化为二维问题，这里主要有：平面应力、平面应变和轴对称状态。 1）平面应力（薄壁结构） 外力仅作用在平面内，两表面无外力作用（离心力作用下圆盘）两表面应力分量（且在整个厚度方向上），yz σ=xz σ=zz σ=0，而xx σ、yy σ、xy σ沿厚度均匀分布。 按Hooke 定律，