非线性有限元分析
非线性有限元分析
1 概述
在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。并且可以利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。
在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。有限单元法的应用范围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学，传热学等连续介质力学领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展
到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合。各种各样商业化的大型通用有限元软件层出不穷，不断推陈出新。可以预见，随着现代力学，计算数学，计算机技术等学科的发展，有限单元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用范围的数值分析工具，必将得到进一步的完善和发展。
2 非线性问题的类型和求解特点
.
2．1 非线性问题的类型
2. 1. 1 线性分析的含义
在有限元分析中的线性假设包含下列含义：即结点位移为无限小量，材料为线弹性，加载时边界条件的性质保持不变。于是，静力平衡方程可以表示为：
[]{}{}R U K =
其中，[]K 为刚度矩阵，{}R 为荷载矢量。由于[]K 和{}R 的元素为常数，故位移响应{
}U 是荷载矢量{}R 的线性函数。也就是说，如果{}R 变为{}R α，则{
}U 变为{}U α，其中，α为常数。这就是所谓的线性有限元分析。如果上述假设中的任何一条不能得到满足，那么就属于非线性有限元分析。
2. 1. 2 非线性分析的必要性
结构力学问题，从本质上讲都是非线性的，线性假设只是实际工程问题的一种简化。当然，任何实际工程问题的求解都避免不了适当地简化，简化是否合理主要应根据求解效果和实际经验来判断。对于目前工程实际中的很多问题，如地震作用下结构的弹塑性动力响应，高层建筑抗风，大跨度网壳结构动力稳定性，索膜结构找形荷载与裁减分析，大型桥梁风致振动等问题的研究，仅仅假设为线性问题是很不够的，常常需要进一步考虑为非线性问题。因此，对各种工程结构的非线性分析就是必不可少且日趋重要了。对于结构力学的非线性问题来说，有限单元法是最为有效的数值分析方法。 2. 1. 3 非线性问题的类型
通常，把非线性问题分为两大类，即分为几何非线性和材料非线性。但从建立基本方程和程序设计的方便出发，又可分为三种类型：
1．材料非线性：非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限小量，故仍可采用工程应力和工程应变来描述，即仅材料为非线性。非线性的应力应变关系是结构非线性的常见原因，许多因素都可以影响材料的应力应变性质，包括加载历史（如在弹塑性响应状况下），环境状况（如温度），加载的时间总量（如在蠕变响应状况下）等。
}
2．几何非线性：如果结构经受大变形，则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性响应，这又可以分为两种情形：
第一种情形，大位移小应变。只是物体经历了大的刚体平动和转动，固连于物体坐标系中的应变分量仍假设为无限小。此时的应力应变关系则根据实际材料和实际问题可以是线性的也可以是非线性的。
第二种情形，大位移大应变。也即最一般的的情况，此时结构的平动位移，转动位移和应变都不再是无限小量，本构关系也是非线性的。
3．状态非线性：除以上两种非线性问题之外，还有一种非线性问题，即由于系统刚度和边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。例如，一根只能拉伸的钢索可能是松散
的,也可能是绷紧的；轴承套可能是接触的,也可能是不接触的； 冻土可能是冻结的,也可能是融化的。这些系统的刚度和边界条件由于系统状态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载荷直接有关，也可能由某种外部原因引起。最为典型的就是接触问题，接触是状态非线性类型中一个特殊而重要的子集。通常情况下，状态非线性问题可以在上述材料非线性和几何非线性类型中的每一种同时出现，从而使得问题的分析变得更为复杂。
2．2 非线性问题的求解特点
2. 2. 1 非线性分析的基本问题
非线性分析的基本问题是求出在当前荷载作用下的平衡状态。如果作用的荷载被描述成时间的函数，则物体有限元离散系统的平衡方程可以表示为：
{}{}0=-F R t t
其中，矢量{}R t
由t 时刻外荷载的结点力分量所构成，而矢量{}F t
则表示t 时刻的单元应力所引
起的结点力分量。平衡方程应针对t 时刻的几何位形建立，并应计入所有的非线性效应。如果是动力分析，矢量{}R t
中还应当包括惯性力和阻尼力。
在求解非线性问题时，式应在全部加载历史中成立。变量t 的引入并不意味着一定是动力问题。在静力分析中，t 不具有真实“时间”的含义，它的不同取值只是表示相应于不同位形的不同的荷载水平。但是，在动力分析或具有时间效应的静力分析中，变量t 就有了它本来的“时间”的含义。 [
2. 2. 2 非线性方程组的增量逐步解法
对于许多工程结构，我们所关心的常常是在特定的荷载水平下，或相应的时间物体中的应力和变形。实际问题根据其解法可以分为两大类型。第一类问题无需计算中间变形过程，可直接求解在给定荷载下的平衡位形。但是，如果问题的几何性质或材料性质与路径相关或与时间相关，即该问题依赖于变形历史，则中间变形过程的计算是不可缺少的，这就是第二类问题。从本质上来说，非线性问题是第二类问题。此时，往往采用增量分析的方法。
增量逐步解法的基本思想是：假定t 时刻的解为已知，要求t ＋Δt 时刻的解，其中，Δt 是适当选择的时间增量。在t ＋Δt 时刻，式写成为：
{}{}0=-?+?+F R t t t
t 这里，左上标表示为t ＋Δt 时刻的量。由于t 时刻的解为已知，因此，可以写为：
{}{}{}F F F t t
t +=?+
式中，{}F 表示t 到t ＋Δt 时间间隔内，由于单元内应力增量所引起的结点力增量矢量。这一矢量可以近似表示为：
{}[]{}U K F t ≈
式中，[]K t
为相应于t 时刻材料和几何条件的切线刚度矩阵。{
}U 为Δt 时间间隔中的结点位移增
量，现在它还是未知的。将式和代入式中，得到：
[]{}{}{}F R U K t t t t
-=?+
(
上式中只有位移增量{
}U 为未知，一旦解出，即可算得t ＋Δt 时刻的位移： {}{}{}U U U t t
t +=?+
根据
{}U t
t ?+，就容易算出t ＋Δt 时刻的应力及{}F t t ?+，{}K t t ?+，于是马上可以着手下一步的计
算。但要指出的是，式是一个近似表达式，因此t ＋Δt 时刻的解也是近似的，如果急于求成的作下去，最终结果可能出现不可忽视的重大误差以致于达到荒谬的地步。解决这一困难的办法是以花费计算时间为代价，即在t 到t ＋Δt 时步中进行足够次数的迭代，以保证最终的解获得足够的精度。
2. 2. 3 引入修正Newton －Raphson 迭代格式的增量逐步解法
现在更多采用的方法是在每一个荷载增量步中，使用Newton －Raphson 迭代法或修正的Newton －Raphson 迭代法。由于后者不需要每次迭代时都计算切线刚度矩阵，因此在实际中具有更广泛的应用。现对该方法做简单的介绍。
在t 时刻到t ＋Δt 时刻的时步中，修正Newton －Raphson 法的迭代公式可以表示为：
[]{}(){}{}()1-?+?+-=?i t t t t i t
F R U K
{}(){}(){}()i i t t i t
t U U U ?+=-?+?+1
其中，i 表示迭代步数，依次取1，2，3，…，其迭代所用的初始值正是t 时刻的解，即：
{}(){}{}(){}F F U U t t
t t t
t ==?+?+00,
|
式的右端项：
{}{}()1-?+?+-i t t t
t F R 称为第i 步迭代前的不平衡荷载。在迭代过程中，{}()1-?+i t t F 随
i 的增加而逐步接近
{}R t
t ?+。因此，我们可事先对不平衡荷载的模给定一个精度指标，每次迭代
后检查不平衡荷载是否小于该指标。若满足精度，则在求出{}U t
t ?+之后转入下一时步的计算，否
则继续迭代，直到满足精度要求为止。
3 材料非线性问题的有限单元法
3．1 材料非线性问题概述
在所有的非线性分析问题中，材料非线性问题的处理相对简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。一般来说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得
满足材料的非线性本构关系，则最终可得到问题的解答。
材料非线性问题可以分为两种类型。一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特点是当荷载作用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间而变化。另一类是依赖于时间的粘（弹，塑）性问题，其特点是荷载作用以后，材料不仅立即发生变形，而且变形随时间继续变化。在荷载保持不变的条件下，由于材料粘性而继续增长的变形称之为蠕变；另一方面，在变形保持不变的条件下，由于材料粘性而使应力衰减称之为松弛。显然，后一类材料非线性问题在求解时更为困难一些。3．2 材料非线性本构关系
限于篇幅，本文仅讨论最为常见的弹塑性非线性本构关系。弹塑性材料进入塑性的特征是当荷载卸去以后存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情况下，应力应变之间不再存在惟一的对应关系，这是区别于非线弹性材料的基本属性。以材料的单向受力情况为例，只是在加载时应力应变呈现非线性关系，还不足以判定材料是非线性弹性还是弹塑性。但是一经卸载立即发生两者的区别，非线性弹性材料将沿原路径返回，而弹塑性材料将依据不同的加载历史卸载后产生不同的永久变形。
任何一种弹塑性材料都应当满足塑性力学的四条基本准则，这里对此作简单的介绍：
1．初始屈服条件：规定了材料开始塑性变形的应力状态。在有限元分析中，通常采用准则。
2．@
3．流动准则：规定塑性应变增量的分量和应力分量以及应力增量分量之间的关系。
4．硬化准则：规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数。对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，后继屈服函数和初始屈服函数一致；对于硬化材料，通常又有各向同性硬化准则，随动硬化准则和混合硬化准则三种不同的准则。
5．加载，卸载准则：用以判别从一塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，这是计算中判定是否继续塑性变形以及决定是采用弹塑性本构关系还是弹性本构关系所必须的。
各种类型的弹塑性材料可以从对各自的后继屈服函数进行微分出发，进而推导出各自相应的应力应变的增量关系，这里不一一列举。
需要进一步说明的是，对于处于高温条件下工作的结构，必须考虑温度对本构关系的影响。比如随着温度的升高，屈曲极限有所降低，材料硬化特性也有所减少，并逐渐接近理想塑性材料，同时材料常数E，μ，α等也随温度变化而有所变化。至于长期工作在高温条件下的结构还必须考虑蠕变的效应。
3．3 材料非线性问题的有限元表达格式
对于弹塑性材料，由于材料和结构的弹塑性行为与加载以及变形的历史有关。因此，在进行结构的弹塑性分析时，通常将荷载分成若干个增量，然后对于每一荷载增量，将弹塑性方程线性化，从而使弹塑性分析这一非线性问题分解为一系列的线性问题。
按照这种思想，首先建立增量形式的荷载条件和位移条件，进而建立增量形式的虚位移原理，即增量形式的最小势能原理，最终即可得到基于增量形式的有限元表达格式。系统平衡方程形式
同前式，其中切线刚度矩阵[]K t在这里是系统的弹塑性刚度矩阵。
弹塑性增量有限元分析在将加载过程划分为若干增量步以后，对于每一个增量步应包含下列三个算法步骤：
1．线性化弹塑性本构关系，并形成增量有限元方程。
2．，
3．求解有限元方程。注意在求解过程中每个增量步或每次迭代时弹塑性刚度矩阵都可能发生局部的变化。
4．积分本构方程，决定新的应力状态，检查平衡条件，并决定是否进行新的迭代。
上述每一步骤的算法方案和数值方法，以及荷载增量步长的选择都关系到整个求解过程的稳定性，精度和效率。这里尤其需要注意的是非线性方程组求解方案的选择。
通常可以采用以下几种求解方案：无迭代的增量解法，具有变刚度迭代(N-R迭代)的增量解法和具有常刚度迭代(mN-R迭代)的增量解法。变刚度迭代具有良好的收敛性，允许采用较大的时间步长，但每次迭代都要重新形成和分解新的刚度矩阵。而采用常刚度迭代可以节省上述计算费用，缺点是收敛速度较慢，特别在接近荷载的极限状况时，因此经常需要同时采用加速迭代的措施。具体采用何种求解方案，应根据具体问题的特点，综合考虑精度和效率两方面因素。
对于除弹塑性以外的材料非线性问题，例如热弹塑性—蠕变问题，粘弹塑性问题等，由于同时涉及独立于时间和依赖于时间的两类非弹性变形以及本构方程的高度非线性，无论是其本构方程的建立和它的积分方法，还是非线性方程组的求解方法都远比通常的弹塑性分析困难得多。但还是有很多共性的方面，这里不再展开详述。
4 几何非线性问题的有限单元法
4．1 几何非线性问题概述
在某一固体力学问题中，如果假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺度，应变远小于1，那么此问题就称作满足“小变形假定”。在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化。因此分析中不必区分变形前和变形后的位形。同时在加载和变形过程中的应变可用一阶无穷小的线性应变进行度量。
但是在实际中，我们往往会遇到很多不符合小变形假定的问题，例如板壳等薄壁结构的屈曲问题。此时必须考虑变形对平衡的影响，即平衡条件应建立在变形后的位形上，同时应变表达式也应包括位移的二次项。这样一来，平衡方程和几何关系都将是非线性的。这种由于大平动和大转动引起的非线性问题称为几何非线性问题。几何非线性问题还有另外一种类型，例如金属的成型，橡皮型材料受荷载作用，都可能会出现很大的应变，这时除了采用非线性的平衡方程和几何关系以外，还需要引入相应的应力应变关系，尽管对于后一问题材料通常还处于弹性状态。当然大多数大应变问题是和材料的非弹性性质联系在一起的。这类几何非线性问题即通常所说的大平动，大转动，大应变问题。
!
4．2 几何非线性问题的有限元表达格式
早期几何非线性有限元分析基本上是线性分析的扩展，针对各个具体问题分别进行分析。而近年来，基于非线性连续介质力学原理的有限元分析取得很大发展，得到了统一的一般非线性分析的表达格式。
基于非线性连续介质力学，首先应当对大变形情况下的应变和应力进行度量。这是因为在非线性问题中，由于存在的大位移，大应变而导致有限变形，使得原来传统的小变形下的Cauchy方程不再适用。此时，根据连续体在不同的位形下坐标的变换，对变形前后物体上某一线段变形的度量可以采用两种不同的应变度量方式。即用变形前坐标表示的Green应变张量和用变形后坐标表示的Almansi应变张量。在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取出的微元体来建立平衡
方程和与之等效的虚功原理的。因此，在从变形后物体内截取出的微元体上面定义的应力张量称为Euler应力张量。如果用于变形前的位形，可以具体定义另外两种应力张量：Lagrange应力张量和Kirchhoff应力张量。此外，在连续介质力学中还定义了一种其分量不随材料刚体转动而变化的速率型应力张量，Jaumann应力速率张量。
在涉及几何非线性问题的有限单元法中，通常都采用增量分析的方法。为了得到方程的解答，所有的变量都应参考某一已经求得的平衡位形。在实际分析中，通常有以下两种选择：1．全Lagrange格式（Total Lagrange Formulation，简称.格式），这种格式中所有变量以时间0的位形作为参考位形。
2．更新Lagrange格式（Updated Lagrange Formulation，简称.格式），这种格式中所有变量以时间t的位形作为参考位形。因为在求解过程中参考位形是不断改变的，所以称之为更新的Lagrange格式。
由以上两种格式导出的求解方程在理论上是等效的，如若采用数学上相一致的本构关系，它们将产生相同的结果。但在求解的有限元矩阵方程本身和求解步骤上仍有一定的差别。在通用的有限元程序中，通常同时包括这两种格式，使用时可以根据所分析问题及材料本构关系的具体特点和形式选择最有效的格式。
为进一步说明非线性分析的特点，下表列出按非线性问题的不同分类所采用的不同描述方法和应力应变。
表1 非线性问题分类
4．3 几何非线性问题有限元方程的求解
对于几何非线性有限元的求解，一般采用等参元对求解域进行离散。两种表达格式.和.都可应用，关键在于对求解方程的线性化处理。因为无论是.格式还是.格式，都是基于线性化处理后的虚位移原理建立的有限元矩阵方程，该矩阵方程仅是对于每一时间步长所应求解的非线性方程
的近似。由于系统的非线性性质，线性化处理带来的误差将可能导致解的漂移或不稳定。因此，仍需采用基于Newton-Raphson 迭代格式或修正Newton-Raphson 迭代格式的增量逐步解法求解方程组。
在实际分析中，两种格式用于求解的时间一般情况下相差不多，究竟选择哪种格式通常取决于所采用的本构关系的具体形式。也就应当在求解之初便首先区分是大应变还是小应变，选择格式已在表1中列出，此处不再详述。
和材料非线性问题相比，几何非线性问题有着更为复杂多样的荷载—位移路径，如在荷载控制下的疾速通过和位移控制下的疾速通过。因此，荷载增量步长的自动选择就显得格外重要。近些年来，广泛应用的一类荷载增量步长的自动选择方法是“广义弧长法”。在广义弧长法中，用于调节荷载增量和位移增量在弧长ΔL 中作用的比例因子α对弧长法的总体性能有很大的影响。一般采用的比例因子有：α＝1的球面弧长法，α＝0的柱面弧长法，α＝S p 的椭圆弧长法。对于不同的结构和荷载情况，很难说以上α不同取值的三种情况中哪一种具有绝对的优势，但是α＝0的柱面弧长法具有较好的普遍适应性。
5 杆索非线性有限元理论
在结构非线性有限元分析中，最为重要也最为基本的是建立精度适合的各种有限单元列式，并在基于某些假定的基础上推导出其单元刚度矩阵和有限元求解方程。下由于目前的研究和应用中已经出现了相当多的上述单元的理论和模型，限于篇幅并基于应用角度，每种单元仅选择一种最为常用，精度也较高的单元加以介绍。 】
5．1 非线性有限杆单元理论
5. 1. 1 基本假定
1. 杆单元只能承受轴向力；
2. 杆单元的应力应变关系符合虎克定律；
3. 杆单元位移变形为大位移小应变。 5. 1. 2 刚度矩阵及有限元方程
假定单元位移函数线性插值：2
11i i i u L
u L u ?+????
?
?-
=ξ
ξ []L X X u u L X u u j
t j t i i j t i j
i t
1
221,111-??
?????-?=?????=ξξ 在局部坐标系ξ中，应力应变关系为：ξ
ξεσ'='
ep E 在局部和整体坐标系关系中，转轴时应力增量和应变增量的变换矩阵T 为：
~
{}{}
t
mn
lm n m l T ln 2
22
=
式中：l ,m ,n 是方向余弦。
由此可得：
{}{}εεξ
T T ='
{}{}'=ξσσT
{}{}{}{}[]{}εεσD T E T T ep ==
式中：'ξε，'ξσ表示局部坐标系下单元的应变和应力；
{}ε，{}σ表示整体坐标系下单元的应力和应变。
应变增量和位移增量的关系可用[B]矩阵表示，则有限元矩阵可表示为：
[]?=V
t
L
t
T
L
t
t t
t
dV B D B K ]][[][0
[]?=V
t
NL
t E T NL t u t t
t
dV B S B K ]][[][
'
[]dV B F V
E
T
L
t
t t
t
?=][][σ
式中：S E ，σE 分别为Kirchhoff 应力矩阵和向量。
将积分式展开，得到线性刚度矩阵，非线性刚度矩阵和内力项的矩阵表达式：
[]
???
????
???
????????
??------------------=22
2222
222
2220ln ln ln ln ln ln ln ln n mn n
mn mn m lm mn m lm lm l lm l
n mn n mn mn m lm mn m lm lm l lm l K t
t
[]
???????
??
????????
???------'=10
0100010010001
001100100010010001001/L A K E
u
t t σ [][]t
E
t
t
n m l n m A F ---'=1
σ
按虚位移原理的矩阵列式为：[][](){}[]
F Q u K K t t t
t u
t t
t t
-=
?+?+0
上式即为有限元基本方程。
5．2 非线性有限索单元理论
索结构在大跨结构中已得到广泛的应用。随着连续长索的不断应用，对于索力学模型的精度要求也越来越高。初期的研究以解析法为基础，对较为简单理想的外荷载和边界条件作了分析。随着计算技术的提高，提出并采用了考虑大变形的各种离散模型，主要有：两节点直线杆单元模型，以等效弹性模量来考虑垂度影响；两节点抛物线索单元模型，以及为了提高分析精度采用内插节点的多节点索单元(三节点，四节点，五节点索单元)模型和采用B 样条基构建的索单元模型。
下面简要介绍悬链线索单元模型。 ~
5. 2. 1 基本假定
1. 索为理想柔索，不受压且无弯曲刚度；
2. 满足大变形，小应变要求；
3. 索中外荷载沿索长均匀分布。 5. 2. 2 刚度矩阵及有限元方程
作几何非线性分析时，索单元的切线刚度可按下述方法计算。如图1中为一个索单元，其中i 点的位移是 ⊿1，⊿2，⊿3；j 点的位移是⊿4，⊿5，⊿6；节点力由原来的 F 01， F 02， F 03， F 04，F 05， F 06 增加到F 1， F 2， F 3， F 4， F 5， F 6。此时，节点力及节点位移间的平衡方程式如下：
14F F -=2
5F F -=
6300F F L =--ω(假设
ω
=ω0)
)F ,F ,F (f l l 321410x x =?+?-=
y y025123l l g(F,F ,F )
=-?+?=
—
z z036123l l h(F,F ,F )
=-?+?=
图1 弹性悬链线索单元切线刚度矩阵概念图
在全局坐标系里，悬索上的每一点沿坐标长度方向的微分值如下。如果把这些值整理成荷载和变形的关系，就可已得到柔度矩阵 ([F])，而柔度矩阵的倒数就是刚度矩阵([K])。悬索结构的刚度并不是一次性计算就可得到的，它是通过多次重复计算后，使方程式达到平衡状态时才能得到精确的刚度值。
x 123123
y 123123z 123123
f f f
dl =dF +dF
+dF F F F g g g dl dF dF dF F F F h h h dl dF dF dF F F F ?????????=++??????=
++???
[]x 1y 2z 3dl dF dl dF dl dF ????????
=????
????
????F , []1
231112
132122231233132
33123f f
f F F F f f f
g g g f f f F F F f f f h
h h F F F ??
????? ?????? ?
??
?? ???????
? ?==???
???? ??????? ?
????? ??? ?????????
?
F []1x 2y 3z dF dl dF dl dF dl ????????=????????????
K , (1
K F -=) 柔度矩阵的每个元素可按下式计算：
{}{}()201113032210303f L 1F 11
f ln F wL B ln F A F EA w w B F wL B A F A ???=
=--?++-+?--?????+++????
()1212222303f FF 11f F w B F wL B A F A ???=
=--???+++????
()130313223303f F F wL B F A f F w B F wL B A F A ???+++==--???+++????
21121
g
f f F ?=
=? {}{}()202223032220303g L 1F 11
f ln F wL B ln F A F EA w w B F wL B A F A ???==--?++-+?--?????+++????
2
231331
g F f f F F ?=
=? 1311h F 11f F w B A ???==--????? 2
323121
h F f f F F ?=
=? 03033330h L 1F wL F f F EA w B A ?+??=
=---?????
()
()
(
)
1/2
1/2
2222221231230A F F F ,
B F F F wL =++=+++)
则有限元基本方程如下： {}{}T d d =?F K
(其中, 1
1
11111234562222221234563333331
23456T 1111111234561222221234561F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
F F F F F F F F F F F F ????????
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5
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F F F F )
6 结语
本文简要叙述了非线性有限元分析的若干基本概念和基本原理，掌握这些基本概念和原理对于正确求解工程实际中大量存在的各种形式的非线性问题是至关重要的。同时，随着计算技术的快速发展和计算机硬件性能的不断飞跃，各种大型有限元商业软件不断推陈出新，解决非线性问题的能力越来越强。可以这样认为，工程分析和设计的计算机时代已经来临。也可以这样预言，传统的线弹性分析设计方法在不远的将来必将被非线性的分析设计方法所替代。
结构力学(二) ( 复习资料汇总 )
第1次作业（结构力学二） 一、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分） 1. 位移法的基本结构是( ) A. 静定刚架； B. 单跨静定梁的组合体； C. 单跨超静定梁的组合体 D. 铰结体系 2. ：以下关于影响线的说法不正确的一项为( ) A. 影响线指的是单位力在结构上移动时所引起的结构的某一内力(或反力)变化规律的图形 B. 利用影响线可以求结构在固定荷载作用下某个截面的内力 C. 利用影响线可以求结构某个截面内力的最不利荷载位置 D. 影响线的横坐标是截面位置，纵坐标为此截面位置处的截面内力值 3. A. B. C. D. 仅由平衡条件不能确定 4. 不计杆的分布质量，图示体系的动力自由度为( ) A. 1； B. 2； C. 3； D. 4 5. 用力法计算超静定结构时，其基本未知量为 A. 杆端弯矩； B. 结构角位移； C. 结点线位移； D. 多余未知力 6. 单元坐标转换矩阵是（） A. 奇异矩阵 B. 对称三对角矩阵 C. 对称非奇异矩阵 D. 正交矩阵 7. 位移法的基本未知量包括（） A. 独立的角位移 B. 独立的线位移 C. 独立未知的结点角位移和线位移 D. 结点位移 8. 图乘法计算位移的公式中( ) A. A和y C 可取自任何图形B. A和y C 必须取自直线图形 C. 仅要求A必须取自直线图形 D. 仅要求y C 必须取自直线图形 9. 已知材料屈服极限 =300MPa,结构截面形状如图所示，则极限弯矩Mu=（）
10. 整体坐标系下单元刚度矩阵与下面的哪一个因素无关 A. 局部坐标与整体坐标的选取 B. 结构的约束信息 C. 单元的几何参数 D. 杆端位移与杆端力之间的变换关系 11. 欲减小图示结构的自振频率，可采取的措施有（） A. 减小质量m B. 增大刚度EI C. 将B支座改为固定端 D. 去掉B支座 12. 图（b）为图（a）所示结构MK影响线，利用该影响线求得图（a）所示固定荷载作用下的MK值为（） A. 4kN?m B. 2kN?m C. -2kN?m D. -4kN?m 13. 图示为三自由度体系的振型，其相应的频率是ω a 、ω b 、ω c ，它们之间的大小关系应是( ) A. B. C. D. 14. 图（a）所示一组移动荷载作用在图（b）所示的梁上，则C截面弯矩的最不利位置为（） A. P 1作用在C点上 B. P 2 作用在C点上 C. P 3 作用在C点上 D. P 3 作用在B点上 15. 平面杆件自由单元(一般单元)的单元刚(劲)度矩阵是( ) A. 非对称、奇异矩阵 B. 对称、奇异矩阵 C. 对称、非奇异矩阵 D. 非对称、非奇异矩阵 16. 对称结构在反对称荷载作用下，内力图中为正对称的是( ) A. 弯矩图 B. 剪力图 C. 轴力图 D. 弯矩图、剪力图和轴力图 17. 由于温度改变，静定结构（） A. 会产生内力，也会产生位移； B. 不产生内力，会产生位
有限元非线性计算特点
有限元非线性计算特点 文章通过几个典型的工程计算模型，分析比较有限元线性与非线性计算结果，阐释了有限元非线性计算的特点及优点。 标签：工程计算；线性；非线性 1 引言 有限元单元法已成为强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题，有限元的线性分析已被广泛采用。但对于许多航空工程中遇到的问题，如进气道等，仅仅采用线性求解是不真实的，而采用非线性计算将更符号实际情况。本文借助MSC/NASTRAN有限元分析程序，对于典型的工程计算模型分析比较线性与非线性计算结果，从而给出非线性计算相对于线性计算的优点及特点。 2 有限元非线性计算的特点及优点 为了明确有限元非线性计算结果与线性计算结果的差异，更好的展现有限元非线性计算的特点，本节将借助于有限元分析软件MSC/NASTRAN，对一受外载的矩形薄板根据不同的边界条件，进行非线性及线性静力分析，通过分析比较计算结果，说明有限元非线性静力计算中的一些特点。 2.1 非线性与线性计算结果随载荷的变化 首先，给出薄板尺寸、载荷。 模型尺寸：薄板尺寸为500×500×1.5mm。 载荷：受法向气动压力（pressure），气动压力由小到大变化依次为0.01MPa、0.02MPa、0.04MPa、0.08MPa、0.16MPa。 取薄板中央节点位移、应力及薄板边缘中部节点位移，比较线性计算结果和非线性计算结果。在分别进行有限元线性及非线性分析后，给出位移、应力及支反力结果随载荷的变化曲线。图1、图3、图5分别为采用限元线性计算得到的参考点的位移、应力及支反力变化曲线；图2、图4、图6分别为采用有限元非线性计算得到的参考点的位移、应力及支反力变化曲线。 由圖1、3、5可见，采用线性静力分析后，参考点位移、应力、支反力均随载荷增加而线性增大，位移、应力、支反力与载荷呈明显的线性关系，这是线性静力分析的特点。对于本例，可以预言，在其它条件不变的情况下，计算出一套载荷下的结果，就可以按照线性关系求出压力载荷下的位移、应力及支反力结果。
第18章 接触问题有限元分析技术
第18章接触问题的有限元分析技术 第1节基本知识 接触问题是一种高度非线性行为，需要较大的计算资源，为了进行准确而有效的计算，理解问题的特性和建立合理的模型是很重要的。 接触问题存在两个较大的难点：其一，在求解问题之前，不知道接触区域，表面之间是接触或分开是未知的、突然变化的，这些随载荷、材料、边界条件和其它因素而定；其二，大多数的接触问题需要计算摩擦，有几种摩擦和模型可供挑选，它们都是非线性的，摩擦使问题的收敛性变得困难。 一、接触问题分类 接触问题分为两种基本类型：刚体─柔体的接触和半柔体─柔体的接触。在刚体─柔体的接触问题中，接触面的一个或多个被当作刚体，（与它接触的变形体相比，有大得多的刚度），一般情况下，一种软材料和一种硬材料接触时，问题可以被假定为刚体─柔体的接触，许多金属成形问题归为此类接触；另一类，柔体─柔体的接触，是一种更普遍的类型，在这种情况下，两个接触体都是变形体（有近似的刚度）。 ANSYS支持三种接触方式：点─点、点─面和平面─面。每种接触方式使用的接触单元适用于某类问题。 二、接触单元 为了给接触问题建模，首先必须认识到模型中的哪些部分可能会相互接触，如果相互作用的其中之一是一点，模型的对立应组元是一个节点。如果相互作用的其中之一是一个面，模型的对应组元是单元，例如梁单元，壳单元或实体单元。有限元模型通过指定的接触单元来识别可能的接触匹对，接触单元是覆盖在分析模型接触面之上的一层单元。下面分类详述ANSYS使用的接触单元和使用它们的过程。 1．点─点接触单元 点─点接触单元主要用于模拟点─点的接触行为，为了使用点─点的接触单元，需要预先知道接触位置，这类接触问题只能适用于接触面之间有较小相对滑动的情况（即使在几何非线性情况下）。 如果两个面上的节点一一对应，相对滑动又以忽略不计，两个面挠度（转动）保持小量，那么可以用点─点的接触单元来求解面─面的接触问题，过盈装配问题是一个用点─点的接触单元来模拟面─与的接触问题的典型例子。 2．点─面接触单元 点─面接触单元主要用于给点─面的接触行为建模，例如两根梁的相互接触。 如果通过一组节点来定义接触面，生成多个单元，那么可以通过点─面的接触单元来模拟面─面的接触问题，面即可以是刚性体也可以是柔性体，这类接触问题的一个典型例子是
结构力学思考题答案
1、结构的动力特性一般指什么？ 答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 2、什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？ 答：振动过程的能量耗散称为阻尼。 产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。 阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。 粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 3、采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？ 答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。 广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。 有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。一般的广义坐标中，广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标中，形状函数是针对整个结构定义的。而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域的。在有限元分析中，形函数被称为插值函数。 综上所述，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点： (l) 与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念。但不同于广义坐标法在整体结构上插值（即定义形函数），而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式（形状）可以相对简单。 (2) 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。 4、直接动力平衡法中常用的有哪些具体方法？它们所建立的方程各代表什么条件？ 答：常用方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法方程代表的是体系在满足变形协调条件下所应满足的动平衡条件；而柔度法方程则代表体系在满足动平衡条件下所应满足的变形协调条件。 5、刚度法与柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？ 答：刚度法与柔度法建立的运动方程在所反映的各量值之间的关系上是完全一致的。由于刚度矩阵与柔度矩阵互逆，刚度法建立的运动方程可转化为柔度法建立的方程。一般来，对于单自由度体系，求[δ]和求[k]的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可以用同一方法求得，不同的是一个已知力求位移，一个已知位移求力。对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对于超静定结构就要根据具体情况而定。若仅从建立运动方程来看，当刚度系数容易求时用刚度法，柔度系数容易求时用柔度法。 6、计重力与不计重力所得到的运动方程是一样的吗？ 答：如果计与不计重力时都相对于无位移的位置来建立运动方程，则两者是不一样的。但如果计重力时相对静力平衡位置来建立运动方程，不计重力仍相对于无位移位置来建立，
第10章(非线性有限元) (1)分解
第10章 非线性动力有限元法 (1) 10.1 几何非线性问题的有限元法 (2) 10.1.1 几何非线性问题的牛顿迭代法 ........................................................................... 2 10.1.2 典型单元的切线刚度矩阵 ................................................................................. 4 10.2 材料非线性问题的有限元法 (8) 10.2.1 弹/粘塑性问题的基本表达式 .............................................................................. 8 10.2.2 粘塑性应变增量和应力增量 ............................................................................... 9 10.2.3 弹/粘塑性平衡方程 ............................................................................................ 10 10.3 材料非线性问题的动力有限元法 ................................................................................ 11 10.4 应用举例 (14) 10.4.1 粘弹粘塑性动力有限元分析举例 ................................................................... 14 习题.. (15) 第10章 非线性动力有限元法 当机械结构受到较大的外载荷，或受到持续时间较短的冲击载荷作用时，结构会产生过大的变形, 以至于必须考虑结构几何大变形对结构整体刚度及固有频率的影响，即所谓的几何非线性影响。另外, 对于多数非线性动力学问题，还需要考虑材料非线性、接触非线性等方面的影响。 非线性动力学分析求解的基本方程有如下形式 0=-+P I u M (4.141) 式中，Ku u C I += 为粘性效应项，考虑阻尼、粘塑、粘弹等效应。P 为外部激励。 对于考虑各种非线性效应的动力学问题求解，需要对动力学方程进行直接时间积分。即非线性动力有限元分析具有如下特点：（1）问题分析过程需要考虑时间积分效应，不必做模态分析，不必提取固有频率；（2）采用直接积分方法求解非线性动力学方程，需要对时间作积分计算，因此计算量远远大于线性模态动力学方法；（3）非线性动力学分析中可以施加不同类型的载荷，包括结点力、非零位移、单元载荷；（4）在每个时间步上，进行质量、阻尼、及刚度的集成，采用完整矩阵，不涉及质量矩阵的近似；（5）可以同时考虑几何、材料和接触等多种非线性效应。 非线性动力有限元分析程序常采用隐式Hilber-Hughes-Taylor 法进行时间积分运算。这种方法适于模拟非线性结构的动态问题，对于冲击、地震等激发的结构动态响应以及一些由于塑性或粘性阻尼造成的能量耗散，隐式算法特别有效。隐式积分方法需要对刚度矩阵求逆计算，并通过多次迭代求解增量步平衡方程。隐式Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法为无条件稳定，对时间步长没有特别的限制。 采用子空间法也可以对动力学平衡方程作时间积分运算。子空间法是提取模态分析得到的各阶特征模态，并采用与线性模态动力学分析方法相近的分析方式进行求解。对于带有微小非线性效应的问题，如材料小范围进行入屈服、结点转角不大的情况，子空间法效率比进接积分法要高。
非线性有限元分析
非线性有限元分析 1 概述 在科学技术领域，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。 已经发展的数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。 另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。 1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。并且可以利用在每一个单元假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。 在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。有限单元法的应用围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固体
第9章 非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法 9.1 非线性问题概述 前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。 1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变) 材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。 2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化) 几何非线性是有结构变形的大位移引起的。例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。 3. 状态非线性(接触, 单元死活) 状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。 9.2 非线性有限元问题的求解方法 对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。 1.迭代法 迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。 与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。以平面问题 为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。在求解非线性方程组时，一般采用迭代 法。 2. 牛顿—拉斐逊方法 ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。 一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量，即逐步递增载荷和平衡迭代。它可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的
(完整版)结构力学问答题总结
概念题 1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？ 答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？ 答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。 1.4 结构的动力特性一般指什么？ 答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）
所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？ 答：振动过程的能量耗散称为阻尼。 产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 1.6 采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？ 答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。 广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，
结构力学题库答案
1 ： 图 a 桁 架, 力 法 基 本 结 构 如 图 b ，力 法 典 型 方 程 中 的 系 数 为 ：( ) 3. 2：图示结构用力矩分配法计算时，结点A 的约束力矩（不平衡 力矩）为（以顺时针转为正） ( ) 4.3Pl/16 3：图示桁架1,2杆内力为： 4. 4：连续梁和 M 图如图所示，则支座B 的竖向反力 F By 是：
4.17.07(↑) 5：用常应变三角形单元分析平面问题时，单元之间（）。 3.应变、位移均不连续； 6：图示体系的几何组成为 1.几何不变,无多余联系； 7：超静定结构在荷载作用下的内力和位移计算中，各杆的刚度为（） 4.内力计算可用相对值，位移计算须用绝对值 8：图示结构用力矩分配法计算时，结点A之杆AB的分配系数
μAB 为（各杆 EI= 常数）( ) 4.1/7 9：有限元分析中的应力矩阵是两组量之间的变换矩阵，这两组量是（ ）。 4.单元结点位移与单元应力 10：图示结构用位移法计算时，其基本未知量数目为( ) 4.角位移=3，线位移=2 11：图示结构，各柱EI=常数，用位移法计算时，基本未知量数 目是（ ） 3.6 12：图示结构两杆长均为d,EI=常数。则A 点的垂直位移为（ ） 4.qd 4/6EI （↓） 13：图示桁架,各杆EA 为常数,除支座链杆外,零杆数为：
1.四 根 ； 14：图示结构，各杆线刚度均为i,用力矩分配法计算时，分配 系数μAB 为（ ） 2. 15：在位移法中，将铰接端的角位移，滑动支撑端的线位移作为基本未知量： 3.可以，但不必； 1：用图乘法求位移的必要条件之一是：( ) 2.结构可分为等截面直杆段； 2：由于静定结构内力仅由平衡条件决定,故在温度改变作用下静定结构将（ ） 2.不产生内力 3：图示结构，各杆EI=常数，欲使结点B 的转角为零，比值P1/P2应 为（ ） 2.1
过盈配合应力的接触非线性有限元分析
过盈配合应力的接触非线性有限元分析 作者：许小强赵洪伦 摘要基于非线性有限元软件MARC，提出过盈配合应力的动态和静态两种有限元分析方法，并以铁道车辆某高速轮对组装的过盈装配为例进行了有限元仿真计算，比较了两种方法的计算结果，分析了过盈量、摩擦系数、形状误差对装配应力的影响，结果对于确定合理过盈量和改进加工工艺具有参考意义。 关键词过盈配合接触非线性接触应力 0引言 在机械工程实际中普遍采用过盈配合来传递扭矩和轴向力，例如轴承配合、轴瓦配合、铁道车辆的轮轴、制动盘等。它是利用过盈量产生半径方向的接触面压力，并依靠由该面压力产生的摩擦力来传递扭矩和轴向力。由于过盈配合两个相配合的接触面上不能粘贴应变片，因此难以对其应力状态进行测定，对整个组装过程的应力状态更难以进行跟踪研究，而且这种配合方式往往承受着交变载荷的作用，配合面间可能发生相对滑动，这一滑动是随着应力变化而变化的，因而配合面边缘的接触状态和应力状态也随着应力的交变而变化，表现出复杂的状态，因此一般只能凭经验确定采用的过盈量。从力学角度看，这类问题属于接触非线性问题，传统的弹性接触解法已难以处理，可采用光弹性模拟实验进行研究，但只能反映应力分布趋势。近年来，随着非线性理论的不断完善和计算机技术的飞速发展，利用非线性有限元法来分析这类问题已日趋成熟。 铁道车辆随着向高速、重载不断发展，对轮轴的安全性要求也越来越高。研究表明，轮轴配合部位的应力状态对车轴的疲劳强度具有重要的影响，因此对轮对配合部位的宏观接触应力状态进行研究将有助于指导轮对制造标准的制定、高速重载轮对的设计和加工工艺的改进，以提高轮对的抗疲劳性能。 本文利用著名非线性有限元软件MARC，针对过盈配合的压力压装法和温差组装法对这类问题提出动态和静态两种仿真计算方法，并以铁道车辆某高速轮对的配合为例进行了计算，对比了两种计算方法的结果，分析了过盈量、摩擦系数、形状误差等因素对装配应力的影响。
独塔斜拉桥非线性动力特性有限元分析
– 12 – 现代物业?新建设 2012年第11卷第5期 （1） 式中：[M]、[C]、[K]分别为桥梁结构的质量、阻尼、刚度矩阵； 、 和δ分别为桥梁结构的加速度、速度和位移向量；F为作用于桥梁空间梁单元的力向量。 求桥梁自振特性时，阻尼影响不大，一般不考虑其影响。令[C]=0、{F}=0,则得到其无阻尼自振方程， 即 （2）式(2)具有非零解的条件为: （3） 式中：[M]、[K]含义同式子（1），ω2为振型的特征值(自振频率)。式（2）的特征方程(频率方程)为: （4） 式中：[M]、[K]含义同式子（1），ωn 2为第n 阶振型的特征值（自振频率）；δn 为第n 阶振型向量，即主振型（模态）。对于式（3）求解广义特征值问题求解方法比较多，常用的有Lanczos向量迭代法、逆迭代法、Rayleigh- Ritz 法、Jacobi（雅可比）法、Ritz向量迭代法、子空间迭代法等。 ０ 前言 斜拉桥发展至今已有四十多年的历史，斜拉桥的主跨跨径也不断增大。目前，世界著名海峡正准备建造主跨1,300～3,000m的斜拉桥。斜拉桥具有外观轻巧、跨度大、结构性能好、施工简便等优点，在国内外得到迅速发展。斜拉桥的动力特性是其结构动力分析及设计的前提,结构的动力特性取决于结构的组成体系、刚度、质量和支承条件等。因此建立一种理想的大跨度斜拉桥动力分析模型，并进行动力分析，掌握其特性，具有十分重要的意义。 1 分析方法及原理 桥梁结构的振动特性主要取决于其各阶自振频率和主振型等。自振频率首先是表征结构刚性的指标，同时也是判断结构在动力作用下是否会发生车桥共振的依据。桥梁的动力方程可写为： 现代建设 Modern Construction 独塔斜拉桥非线性动力特性有限元分析 何军拥 （广东工贸职业技术学院，广州 广东 510510） 摘 要：自振频率是评价桥梁动力性能的重要依据。结合某斜拉桥工程设计实例，考虑结构的非线性，采用大型有限元分析程序ANSYS建立三维有限元模型。以等效弹性模量法模拟拉索，利用主从约束模拟塔梁的连接及边墩、辅助墩与主梁的连接；主塔与主梁之间设纵向阻尼器，模拟纵向漂浮体系，对模型进行动力分析，其分析结果为桥梁维修和养护提供参考意见。 关键词：独塔斜拉桥；ANSYS；动力特性 中图分类号：U448.41 文献标识码：A 文章编号：1671-8089（2012）05-0012-03 Finite Element Analysis of Nonlinear Dynamic Characteristics of Single Pylon Cable-Stayed Bridge HE Jun-yong (Guangdong College of Industry and Commerce, Guangzhou 510510) Abstract: Natural frequencies are critical bases to evaluate the dynamic performance of bridges. This paper takes a large cable-stayed bridge as an example and a ? nite element computing model is set up for this bridge based on software ANSYS, which is to carry out modal analysis and get relevant modal parameters. The equivalent elastic modulus method is applied to analog cable modulus. The master-slave constraint is used to analog tower and beam connections, the side piers, auxiliary pier and beam connection, and longitudinal damper located between the main beam and the main tower, to simulate vertical ? oat system. The results may be used as reference in bridge inspection etc. Keywords: Single pylon cable-stayed bridges; ANSYS; Dynamic behavior [作者简介] 何军拥（1971- ），男，湖南邵阳人，硕士，广东工 贸职业技术学院，副教授，高工，主要研究方向：工程力学、材料工程。
浅谈结构力学在结构设计中的体现
浅谈结构力学在结构设计中的体现 摘要： 随着计算在工程上应用的日益广泛，结构设计是把数学上最优化理论结合计算机技术应用于结构设计。结构计算简图的选择经历一个复杂的过程，需要各种力学知识并结合工程实践经验，经过科学抽象、实验论证，根据实际受力、变形规律等主要因素，对结构进行合理简化。 关键词： 结构力学结构设计应用 1前言 结构力学是固体力学的一个分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科。所谓工程结构是指能够承受和传递外载荷的系统，包括杆、板、壳以及它们的组合体，如桥梁、屋架和承重墙等。 随着现代经济的发展，高层建筑及各种地下复杂结构也逐步增多，结构力学的在工程上应用也越来越广泛，当然这也促进了结构理论的发展。特别是20世纪中叶，随着电子计算机和有限元法的问世使得大型结构的复杂计算成为可能，从而将结构力学的研究和应用水平提到了一个新的高度。结构力学是一门古老的学科，又是一门迅速发展的学科。随着新型工程材料和新型工程结构的大量出现，向结构力学提供了新的研究内容并提出新的要求。计算机的发展，为结构力学提供了有力的计算工具，另一方面，结构力学对数学及其他学科的发展也起了推动作用。有限元法这一数学方法的出现和发展就与结构力学的研究有密切关系。 2结构力学的重要性 实际结构是很复杂的，在对实际结构（如高层建筑、大跨度桥梁、大型水工结构）进行力学分析和计算之前必须加以简化，用一个简化图形（结构计算简图）来代替实际结构，略其次要细节，显示其基本特点，作为力学计算的基础，这一过程通常称为力学建模，用于结构计算的称为计算简图。
计算简图由实际结构简化抽象而成，取杆件轴线，或板壳中面，或块体轮廓加上结构内部的结点、结线联系，或外部的支杆、支座等边界约束，并考虑简化或分配的荷载，构成力学计算模型。 结构计算简图的选择经历一个复杂的过程，需要力学知识、结构知识、工程实践经验和洞察力，经过科学抽象、实验论证，根据实际受力、变形规律等主要因素，对结构进行合理简化。它不仅与结构的种类、功能有关，而且与作用在结构上的荷载、计算精度要求、结构构件的刚度比、安装顺序、实际运营状态及其它指标有关。计算简图的选择可能因计算状态（是考虑强度或刚度，计算稳定或振动，还是钢筋混凝土抗裂验算）而异，也依赖于所要采用的计算理论和计算方法，方能完成结构构件线性或非线性的应力和应变状态分析。实用上可以参考同类工程实例。 结构设计是先有“设想”后有“计算”，“设想”是建立在定性分析的基础上。力学始于定性分析，终于定性分析；定性分析在先，定量分析在后；定性失准，定量准偏。在进行工程设计和处理工程实际问题时，需要设计人员对结构的合理形式以及相应的结构变形和内力等具有总体概念和定性分析能力，还需要具有对工程中计算的数据、发生的现象和出现的问题能够做出迅速科学判断的能力，这就是所谓概念设计和概念分析理念。 结构力学是一切工程进行设计的基础。实际工程中都是将工程实践中的实际问题抽象为相应的力学计算公式进行求解；作为工程技术设计人员应该掌握工程结构的基本理论和实用设计方法，具备根据建筑工程项目的特点、性质、功能和业主的要求正确、合理地进行工程结构设计的基本能力。 2在xx中的应用 中国以木结构为主体的古建筑，在世界建筑之林中独树一帜。木结构它以木构为骨、砖石为体、结瓦为盖、油饰彩绘为衣，经历代能工巧匠精心设计，巧妙施工，潜心装饰，付诸心血和智慧建造而成，体现出东方古典建筑独有的艺术魅力和中国古建筑木结构的历史性、艺术性和科学性。 巧妙而科学的框架式结构是中国古代建筑在建筑结构上最重要的一个特征。因为中国古代建筑主要是木构架结构，即采用木柱、木梁构成房屋的框
主流CAE有限元分析软件的比较
随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式，这些问题的解析计算往往是不现实的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。在工程实践中，有限元分析软件与CAD系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA 在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。 以下对一些常用的软件进行一些比较分析： 1. LSTC公司的LS-DYNA系列软件 LS-DYNA是一个通用显式非线性动力分析有限元程序，最初是1976年在美国劳伦斯利弗莫尔国家实验室(Lawrence Livermore National Lab.)由J.O.Hallquist 主持开发完成的，主要目的是为核武器的弹头设计提供分析工具，后经多次扩充和改进，计算功能更为强大。此软件受到美国能源部的大力资助以及世界十余家著名数值模拟软件公司（如ANSYS、MSC.software、ETA等）的加盟，极大地加强了其的前后处理能力和通用性，在全世界范围内得到了广泛的使用。在软件的广告中声称可以求解各种三维非线性结构的高速碰撞、爆炸和金属成型等接触非线性、冲击载荷非线性和材料非线性问题。即使是这样一个被人们所称道的数值模拟软件，实际上仍在诸多不足，特别是在爆炸冲击方面，功能相对较弱，其欧拉混合单元中目前最多只能容许三种物质，边界处理很粗糙，在拉格朗日——欧拉结合方面不如DYTRAN灵活。虽然提供了十余种岩土介质模型，但每种模型都有不足，缺少基本材料数据和依据，让用户难于选择和使用。2. MSC.software公司的DYTRAN软件 当前另一个可以计算侵彻与爆炸的商业通用软件是MSC.Software Corporation ( MSC公司) 的MSC.DYTR AN程序。该程序在是在LS-DYNA3D的框架下，在程序中增加荷兰PISCES INTERNATIONAL公司开发的PICSES的高级流体动力学和流体——结构相互作用功能，还在PISCES的欧拉模式算法基础上，开发了物质流动算法和流固耦合算法。在同类软件中，其高度非线性、流—固耦合方面有独特之处。MSC.DYTR AN的算法基本上可以概况为：MSC.DYTRAN采用基于Lagrange格式的有限单元方法（FEM）模拟结构的变形和应力，用基于纯Euler格式的有限体积方法（FVM）描述材料（包括气体和液体）流动，对通过流体与固体界面传递相互作用的流体—结构耦合分析，采用基于混合的Lagrange格式和纯Euler 格式的有限单元与有限体积技术，完成全耦合的流体-结构相互作用模拟。MSC.DYTRAN用有限体积法跟踪
ABAQUS有限元接触分析的基本概念
ABAQUS有限元接触分析的基本概念2009-11-24 00:06:28 作者：jiangnanxue 来源：智造网—助力中国制造业创新—https://www.sodocs.net/doc/7d8163109.html, CAE(计算机辅助工程)是一门复杂的工程科学，涉及仿真技术、软件、产品设计和力学等众多领域。世界上几大CAE公司各自以其独到的技术占领着相应的市场。ABAQUS有限元分析软件拥有世界上最大的非线性力学用户群，是国际上公认的最先进的大型通用非线性有限元分析软件之一。它广泛应用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、国防军工、水利水电、生物医学、电子工程、能源、地矿、造船以及日用家电等工业和科学研究领域。ABAQUS在技术、品质和可靠性等方面具有卓越的声誉，可以对工程中各种复杂的线性和非线性问题进行分析计算。 《ABAQUS有限元分析常见问题解答》以问答的形式，详细介绍了使用ABAQUS建模分析过程中的各种常见问题，并以实例的形式教给读者如何分析问题、查找错误原因和尝试解决办法，帮助读者提高解决问题的能力。 《ABAQUS有限元分析常见问题解答》一书由机械工业出版社出版。 16.1.1 点对面离散与面对面离散 【常见问题16-1】 在ABAQUS/Standard分析中定义接触时，可以选择点对面离散方法(node-to-surface-dis - cre-tization)和面对面离散方法(surface-to-surface discretization)，二者有何差别? 『解答』 在点对面离散方法中，从面(slave surface)上的每个节点与该节点在主面(master surface)上的投影点建立接触关系，每个接触条件都包含一个从面节点和它的投影点附近的一组主面节点。 使用点对面离散方法时，从面节点不会穿透(penetrate)主面，但是主面节点可以穿透从面。 面对面离散方法会为整个从面(而不是单个节点)建立接触条件，在接触分析过程中同时考虑主面和从面的形状变化。可能在某些节点上出现穿透现象，但是穿透的程度不会很严重。 在如图16-l和图16-2所示的实例中，比较了两种情况。
结构非线性动力分析方法综述_周文峰
·自然科学研究· 结构非线性动力分析方法综述 周文峰 郭 剑 (攀枝花学院土木工程学院,四川攀枝花 617000) 摘 要 时程分析法是一种计算机模拟分析方法,其优势在于能模拟出结构进入非弹性阶段的受力性能。该 方法主要包括结构分析模型、单元模型和恢复力模型三个重要方面。本文从这三个方面简单介绍了结构非线 性动力反应分析方法。 关键词 非线性;动力分析;模型 结构抗震设计方法经历了静力阶段、反应谱阶段和动力阶段。从本质上说,前二者所采用的方法均为静力法,且只能进行弹性分析。动力阶段的形成建立在计算机的普及和数值分析方法的出现基础之上,其分析方法称为时程分析法。时程分析法本质上是一种计算机模拟分析方法,能够计算出结构地震反应的全过程,该方法的突出优势在于能模拟出结构进入非弹性阶段的受力性能。 时程分析法的出现促进了结构非线性地震反应分析的发展。它主要包括结构分析模型、单元模型和恢复力模型三个重要方面,下面从这三个方面进行简单介绍。 1 结构分析模型 结构的模型化是非线性动力反应分析的第一步,结构模型的模拟应着重于其动力特性的模拟。因此体系恢复力、质量、阻尼模型的准确性是模拟精度的前提。目前的结构分析模型可分为以下几类: 1.1 层间模型 考虑到框架结构质量的分布规律,很容易形成以楼层为单元的多质点体系的思路,故将这种模型称之为层间模型。在研究框架结构动力反应时,层间模型中采用得最多的是层间剪切型模型。该模型假定框架结构层间变形以剪切变形为主,忽略其它形式变形的影响,故而比较适用于高跨比不大、层数不多的框架。为了进一步拓宽此模型的适用范围,在此模型基础上又发展了层间剪弯型模型,使之能适用于层数较多和高跨比较大的框架。 但是层间模型在实际使用中却存在比较大的困难,这主要反映在如何具体确定层间的剪切刚度及弯曲刚度的问题上,而且这二者之间又是耦合在一起的。这一问题层间模型自身是无法解决的。目前,层间模型只是对于常见的层数不多且平面布置十分简单、规则、对称并且能简化为平面结构的框架有一定的实用性,也就是说对于这类框架通常能根据经验进行适当的假设后进行简单推导得到层间单元刚度。 1.2 杆系模型 杆系模型是将整体结构离散为梁、柱单元进行分析。杆系分析模型的出现不仅解决了层间模型所面临的层间刚度无法确定的困难,而且它还解决了层间模型所固有的另外两个缺陷。其一,如果说层间模型从宏观(层单元)角度展示了结构总体动力反应规律,那么由于框架各杆进入非弹性阶段的先后次序不同所造成的整个框架动力反应规律的不同,则是层间模型所不能解释、反映的。其二,无论从抗震研究还是设计角度来看,框架结构的梁、柱构件在地震作用下的反应规律到底如何也是人们所关心的,因为结构的设计最终要落实到构件的设计。如柱端弯矩增大系数应如何取值等,这些问题采用层间模型是无法回答的,从这个角度看也必须将框架结构细化到至少是构件层次才有可能解决这些问题。 杆系分析模型分为两大类,平面杆系分析模型与空间杆系分析模型。目前,平面杆系分析模型的研究相对较为成熟,国内外已开始将注意力转向空间杆系分析模型的研究上。 2 单元模型 对于杆系分析模型,目前用于模拟单元滞回性能的模型已有很多,这些单元分析模型可采取分类的方式加以比较考察。这些模型大致可分为两大类若干小类。 2.1 集中塑性铰模型 单分量模型是集中塑性铰模型中最简单的一类,该模型将杆单元的非弹性性能用非线性弹簧反映,而不对非弹性变· 109·第23卷第4期 攀枝花学院学报 2006年8月V o l .23.N o .4 J o u r n a l o f P a n z h i h u a U n i v e r s i t y A u g .2006