非线性有限元分析报告

非线性有限元分析

1 概述

在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。

已经发展的数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。

另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。

1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。并且可以利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。

在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。有限单元法的应用范围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固

体力学扩展到流体力学，传热学等连续介质力学领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合。各种各样商业化的大型通用有限元软件层出不穷，不断推陈出新。可以预见，随着现代力学，计算数学，计算机技术等学科的发展，有限单元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用范围的数值分析工具，必将得到进一步的完善和发展。 2 非线性问题的类型和求解特点

2．1 非线性问题的类型

2. 1. 1 线性分析的含义

在有限元分析中的线性假设包含下列含义：即结点位移为无限小量，材料为线弹性，加载时边界条件的性质保持不变。于是，静力平衡方程可以表示为：

[]{}{}R U K = (2.1)

其中，[]K 为刚度矩阵，{}R 为荷载矢量。由于[]K 和{}R 的元素为常数，故位移响应{

}U 是荷载矢量{}R 的线性函数。也就是说，如果{}R 变为{}R α，则{

}U 变为{}U α，其中，α为常数。这就是所谓的线性有限元分析。如果上述假设中的任何一条不能得到满足，那么就属于非线性有限元分析。

2. 1. 2 非线性分析的必要性

结构力学问题，从本质上讲都是非线性的，线性假设只是实际工程问题的一种简化。当然，任何实际工程问题的求解都避免不了适当地简化，简化是否合理主要应根据求解效果和实际经验来判断。对于目前工程实际中的很多问题，如地震作用下结构的弹塑性动力响应，高层建筑抗风，大跨度网壳结构动力稳定性，索膜结构找形荷载与裁减分析，大型桥梁风致振动等问题的研究，仅仅假设为线性问题是很不够的，常常需要进一步考虑为非线性问题。因此，对各种工程结构的非线性分析就是必不可少且日趋重要了。对于结构力学的非线性问题来说，有限单元法是最为有效的数值分析方法。

2. 1. 3 非线性问题的类型

通常，把非线性问题分为两大类，即分为几何非线性和材料非线性。但从建立基本方程和程序设计的方便出发，又可分为三种类型：

1．材料非线性：非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限小量，故仍可采用工程应力和工程应变来描述，即仅材料为非线性。非线性的应力应变关系是结构非线性的常见原因，许多因素都可以影响材料的应力应变性质，包括加载历史（如在弹塑性响应状况下），环境状况（如温度），加载的时间总量（如在蠕变响应状况下）等。

2．几何非线性：如果结构经受大变形，则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性响应，这又可以分为两种情形：

第一种情形，大位移小应变。只是物体经历了大的刚体平动和转动，固连于物体坐标系中的应变分量仍假设为无限小。此时的应力应变关系则根据实际材料和实际问题可以是线性的也可以是非线性的。

第二种情形，大位移大应变。也即最一般的的情况，此时结构的平动位移，转动位移和应变都不再是无限小量，本构关系也是非线性的。

3．状态非线性：除以上两种非线性问题之外，还有一种非线性问题，即由于系统刚度和边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。例如，一根只能拉伸的钢索可能是松散的,也可能是绷紧的；轴承套可能是接触的,也可能是不接触的； 冻土可能是冻结的,也可能是融

化的。这些系统的刚度和边界条件由于系统状态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载荷直接有关，也可能由某种外部原因引起。最为典型的就是接触问题，接触是状态非线性类型中一个特殊而重要的子集。通常情况下，状态非线性问题可以在上述材料非线性和几何非线性类型中的每一种同时出现，从而使得问题的分析变得更为复杂。

2．2 非线性问题的求解特点

2. 2. 1 非线性分析的基本问题

非线性分析的基本问题是求出在当前荷载作用下的平衡状态。如果作用的荷载被描述成时间的函数，则物体有限元离散系统的平衡方程可以表示为：

{}{}0=-F R t t (2.2)

其中，矢量{}R t

由t 时刻外荷载的结点力分量所构成，而矢量{}F t 则表示t 时刻的单元应力所引起的结点力分量。平衡方程(2.2)应针对t 时刻的几何位形建立，并应计入所有的非线性效应。如果是动力分析，矢量{}R t

中还应当包括惯性力和阻尼力。 在求解非线性问题时，(2.2)式应在全部加载历史中成立。变量t 的引入并不意味着一定是动力问题。在静力分析中，t 不具有真实“时间”的含义，它的不同取值只是表示相应于不同位形的不同的荷载水平。但是，在动力分析或具有时间效应的静力分析中，变量t 就有了它本来的“时间”的含义。

2. 2. 2 非线性方程组的增量逐步解法

对于许多工程结构，我们所关心的常常是在特定的荷载水平下，或相应的时间物体中的应力和变形。实际问题根据其解法可以分为两大类型。第一类问题无需计算中间变形过程，可直接求解在给定荷载下的平衡位形。但是，如果问题的几何性质或材料性质与路径相关或与时间相关，即该问题依赖于变形历史，则中间变形过程的计算是不可缺少的，这就是第二类问题。从本质上来说，非线性问题是第二类问题。此时，往往采用增量分析的方法。

增量逐步解法的基本思想是：假定t 时刻的解为已知，要求t ＋Δt 时刻的解，其中，Δt 是适当选择的时间增量。在t ＋Δt 时刻，式(2.2)写成为：

{}{}0=-?+?+F R t t t t (2.3)

这里，左上标表示为t ＋Δt 时刻的量。由于t 时刻的解为已知，因此，可以写为： {}{}{}F F F t t

t +=?+ (2.4) 式中，{}F 表示t 到t ＋Δt 时间间隔内，由于单元内应力增量所引起的结点力增量矢量。这一矢量可以近似表示为：

{}[]{}U K F t ≈ (2.5)

式中，[]K t

为相应于t 时刻材料和几何条件的切线刚度矩阵。{}U 为Δt 时间间隔中的结点位移增量，现在它还是未知的。将式(2.4)和(2.5)代入式(2.3)中，得到：

[]{}{}{}F R U K t t t t -=?+ (2.6)

上式中只有位移增量{}U 为未知，一旦解出，即可算得t ＋Δt 时刻的位移： {}{}{}U U U t t t +=?+ (2.7)

根据{}U t t ?+，就容易算出t ＋Δt 时刻的应力及{}F t t ?+，{}K t t ?+，于是马上可以着手下一步的计算。但要指出的是，式(2.5)是一个近似表达式，因此t ＋Δt 时刻的解也是近似的，如果急于求成的作下去，最终结果可能出现不可忽视的重大误差以致于达到荒谬的地步。解决这一困难的办法是以花费计算时间为代价，即在t 到t ＋Δt 时步中进行足够次数的迭代，以保证最终的解获得足够的精度。

2. 2. 3 引入修正Newton －Raphson 迭代格式的增量逐步解法

现在更多采用的方法是在每一个荷载增量步中，使用Newton －Raphson 迭代法或修正的Newton －Raphson 迭代法。由于后者不需要每次迭代时都计算切线刚度矩阵，因此在实际中具有更广泛的应用。现对该方法做简单的介绍。

在t 时刻到t ＋Δt 时刻的时步中，修正Newton －Raphson 法的迭代公式可以表示为：

[]{}(){}{}()1-?+?+-=?i t t t t i t F R U K (2.8)

{}(){}(){}()i i t t i t t U U U ?+=-?+?+1 (2.9)

其中，i 表示迭代步数，依次取1，2，3，…，其迭代所用的初始值正是t 时刻的解，即： {}(){}{}(){}F F U U t t t t t t ==?+?+00,

(2.10)

式(2.8)的右端项：

{}{}()1-?+?+-i t t t t F R 称为第i 步迭代前的不平衡荷载。在迭代过程中，{}()1-?+i t t F 随i 的增加而逐步接近{}R t t ?+。因此，我们可事先对不平衡荷载的模给定一个精度指

标，每次迭代后检查不平衡荷载是否小于该指标。若满足精度，则在求出

{}U t t ?+之后转入下一时

步的计算，否则继续迭代，直到满足精度要求为止。

3 材料非线性问题的有限单元法

3．1 材料非线性问题概述

在所有的非线性分析问题中，材料非线性问题的处理相对简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。一般来说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终可得到问题的解答。

材料非线性问题可以分为两种类型。一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特点是当荷载作

用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间而变化。另一类是依赖于时间的粘（弹，塑）性问题，其特点是荷载作用以后，材料不仅立即发生变形，而且变形随时间继续变化。在荷载保持不变的条件下，由于材料粘性而继续增长的变形称之为蠕变；另一方面，在变形保持不变的条件下，由于材料粘性而使应力衰减称之为松弛。显然，后一类材料非线性问题在求解时更为困难一些。3．2 材料非线性本构关系

限于篇幅，本文仅讨论最为常见的弹塑性非线性本构关系。弹塑性材料进入塑性的特征是当荷载卸去以后存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情况下，应力应变之间不再存在惟一的对应关系，这是区别于非线弹性材料的基本属性。以材料的单向受力情况为例，只是在加载时应力应变呈现非线性关系，还不足以判定材料是非线性弹性还是弹塑性。但是一经卸载立即发生两者的区别，非线性弹性材料将沿原路径返回，而弹塑性材料将依据不同的加载历史卸载后产生不同的永久变形。

任何一种弹塑性材料都应当满足塑性力学的四条基本准则，这里对此作简单的介绍：

1．初始屈服条件：规定了材料开始塑性变形的应力状态。在有限元分析中，通常采用V.Mises 准则。

2．流动准则：规定塑性应变增量的分量和应力分量以及应力增量分量之间的关系。

3．硬化准则：规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数。对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，后继屈服函数和初始屈服函数一致；对于硬化材料，通常又有各向同性硬化准则，随动硬化准则和混合硬化准则三种不同的准则。

4．加载，卸载准则：用以判别从一塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，这是计算中判定是否继续塑性变形以及决定是采用弹塑性本构关系还是弹性本构关系所必须的。

各种类型的弹塑性材料可以从对各自的后继屈服函数进行微分出发，进而推导出各自相应的应力应变的增量关系，这里不一一列举。

需要进一步说明的是，对于处于高温条件下工作的结构，必须考虑温度对本构关系的影响。比如随着温度的升高，屈曲极限有所降低，材料硬化特性也有所减少，并逐渐接近理想塑性材料，同时材料常数E，μ，α等也随温度变化而有所变化。至于长期工作在高温条件下的结构还必须考虑蠕变的效应。

3．3 材料非线性问题的有限元表达格式

对于弹塑性材料，由于材料和结构的弹塑性行为与加载以及变形的历史有关。因此，在进行结构的弹塑性分析时，通常将荷载分成若干个增量，然后对于每一荷载增量，将弹塑性方程线性化，从而使弹塑性分析这一非线性问题分解为一系列的线性问题。

按照这种思想，首先建立增量形式的荷载条件和位移条件，进而建立增量形式的虚位移原理，即增量形式的最小势能原理，最终即可得到基于增量形式的有限元表达格式。系统平衡方程形式

同前(3.5)式，其中切线刚度矩阵[]K t在这里是系统的弹塑性刚度矩阵。

弹塑性增量有限元分析在将加载过程划分为若干增量步以后，对于每一个增量步应包含下列三个算法步骤：

1．线性化弹塑性本构关系，并形成增量有限元方程。

2．求解有限元方程。注意在求解过程中每个增量步或每次迭代时弹塑性刚度矩阵都可能发生局部的变化。

3．积分本构方程，决定新的应力状态，检查平衡条件，并决定是否进行新的迭代。

上述每一步骤的算法方案和数值方法，以及荷载增量步长的选择都关系到整个求解过程的稳定性，精度和效率。这里尤其需要注意的是非线性方程组求解方案的选择。

通常可以采用以下几种求解方案：无迭代的增量解法，具有变刚度迭代(N-R迭代)的增量解法和具有常刚度迭代(mN-R迭代)的增量解法。变刚度迭代具有良好的收敛性，允许采用较大的时间步长，但每次迭代都要重新形成和分解新的刚度矩阵。而采用常刚度迭代可以节省上述计算费用，缺点是收敛速度较慢，特别在接近荷载的极限状况时，因此经常需要同时采用加速迭代的措施。具体采用何种求解方案，应根据具体问题的特点，综合考虑精度和效率两方面因素。

对于除弹塑性以外的材料非线性问题，例如热弹塑性—蠕变问题，粘弹塑性问题等，由于同时涉及独立于时间和依赖于时间的两类非弹性变形以及本构方程的高度非线性，无论是其本构方程的建立和它的积分方法，还是非线性方程组的求解方法都远比通常的弹塑性分析困难得多。但还是有很多共性的方面，这里不再展开详述。

4 几何非线性问题的有限单元法

4．1 几何非线性问题概述

在某一固体力学问题中，如果假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺度，应变远小于1，那么此问题就称作满足“小变形假定”。在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化。因此分析中不必区分变形前和变形后的位形。同时在加载和变形过程中的应变可用一阶无穷小的线性应变进行度量。

但是在实际中，我们往往会遇到很多不符合小变形假定的问题，例如板壳等薄壁结构的屈曲问题。此时必须考虑变形对平衡的影响，即平衡条件应建立在变形后的位形上，同时应变表达式也应包括位移的二次项。这样一来，平衡方程和几何关系都将是非线性的。这种由于大平动和大转动引起的非线性问题称为几何非线性问题。几何非线性问题还有另外一种类型，例如金属的成型，橡皮型材料受荷载作用，都可能会出现很大的应变，这时除了采用非线性的平衡方程和几何关系以外，还需要引入相应的应力应变关系，尽管对于后一问题材料通常还处于弹性状态。当然大多数大应变问题是和材料的非弹性性质联系在一起的。这类几何非线性问题即通常所说的大平动，大转动，大应变问题。

4．2 几何非线性问题的有限元表达格式

早期几何非线性有限元分析基本上是线性分析的扩展，针对各个具体问题分别进行分析。而近年来，基于非线性连续介质力学原理的有限元分析取得很大发展，得到了统一的一般非线性分析的表达格式。

基于非线性连续介质力学，首先应当对大变形情况下的应变和应力进行度量。这是因为在非线性问题中，由于存在的大位移，大应变而导致有限变形，使得原来传统的小变形下的Cauchy 方程不再适用。此时，根据连续体在不同的位形下坐标的变换，对变形前后物体上某一线段变形的度量可以采用两种不同的应变度量方式。即用变形前坐标表示的Green应变张量和用变形后坐标表示的Almansi应变张量。在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取出的微元体来建立平衡方程和与之等效的虚功原理的。因此，在从变形后物体内截取出的微元体上面定义的应力张量称为Euler应力张量。如果用于变形前的位形，可以具体定义另外两种应力张量：Lagrange应力张量和Kirchhoff应力张量。此外，在连续介质力学中还定义了一种其分量不随材料刚体转动而变化的速率型应力张量，Jaumann应力速率张量。

非线性有限元方法及实例分析

非线性有限元方法及实例分析 梁军 河海大学水利水电工程学院，南京（210098） 摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。 关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析 1引 言 有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。有限元的线性分析已经设计工具被广泛采用。但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题加以考虑更符合实际情况。根据产生非线性的原因，非线性问题主要有3种类型[1]： 1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性） 2．几何非线性问题 3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性） 2 非线性方程组的求解 在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组[2]： ()()()00 021212211=… …==n n n n δδδψδδδψδδδψΛΛΛ （1.1） 其中n δδδ,,,21Λ是未知量，n ψψψ,,,21Λ是n δδδ,,,21Λ的非线性函数，引用矢量记 号 []T n δδδδΛ21＝ （1.2） []T n ψψψψΛ21= （1.3） 上述方程组（1.1）可表示为 ()0=δψ （1.4） 可以将它改写为 ()()()0=?≡?≡R K R F δδδδψ （1.5） 其中()δK 是一个的矩阵，其元素 是矢量的函数，n n ×ij k R 为已知矢量。在位移有限 元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点平衡方程。 在线弹性有限元中，线性方程组

非线性有限元分析

轨道结构的非线性有限元分析 姜建华 练松良 摘 要 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。钢轨垫层刚度、钢轨抗扭刚度和扣件扣压力的大小是影响轨距扩大的主要因素。根据非线性有限元接触理论,建立了能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型;并研究计算了不同扣件压力下,由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触引起的轨距扩大问题。 关键词 轮轨关系,扣件压力,非线性弹性力学,有限元分析 1 引言 实际工程中常见的非线性问题一般可以归纳为三类:材料非线性、几何非线性以及边界条件非线性。材料非线性问题是由于材料的非线性本构关系所引起的,例如材料的弹塑性变形,材料的屈服和硬化等;几何非线性问题是由于结构的位移或变形相当大,以至必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程;边界条件非线性问题是指边界条件随位移变化所引起的非线性问题。通常情况下,我们所遇到的非线性问题多数是上述三类非线性问题的组合[1,2]。 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。比如基于轮轨接触的材料非线性、几何非线性及边界条件非线性问题,以及扣件、钢轨、垫层三者间相互作用时所表现的边界条件非线性行为等。所以,机车车辆在轨道结构上行驶时引起的力学现象是相当复杂的。以往在研究轨道各部分应力应变分布规律时,通常采用连续弹性基础梁理论或连续点支承,偶尔简单考虑扣件的作用和弹性垫层的使用。不管用哪一种支承方式建立模型,都由于这样那样的假设而带有一定程度的近似性。所以,如何利用现代力学理论的最新成果以及日益发展的计算机技术,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的轨道结构计算模型,为轨道设计部门提供更加可靠的设计依据或研究思路,已十分必要。 本文提出了用非线性有限元理论研究轮轨系统和轨道结构的思路。作为算例之一,本文将根据非线性有限元理论,建立能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型。 2 轨道结构的有限元接触模型 对于非线性问题,不管是材料非线性、几何非线性,还是边界条件非线性,总是最终归结为求解一组非线性平衡方程及其控制方程。例如用位移作为未知数进行有限元分析时,最后可得到一组平衡方程及其控制方程为 : 图1 轮轨系统的对称性模型简图 [K(u)]{u}={R}(1) (u)= (u)(2)其中:{u}为节点位移列阵;{R}为节点载荷列阵; [K(u)]为总体刚度矩阵; (u)为边界条件。它们 36 姜建华:同济大学工程力学系,副教授、博士,上海200092

第9章 非线性问题的有限单元法

第9章非线性问题的有限单元法 9.1 非线性问题概述 前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。 1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变) 材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。 2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化) 几何非线性是有结构变形的大位移引起的。例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。 3. 状态非线性(接触, 单元死活) 状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。 9.2 非线性有限元问题的求解方法 对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。 1.迭代法 迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。 与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。以平面问题 为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。在求解非线性方程组时，一般采用迭代 法。 2. 牛顿—拉斐逊方法 ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。 一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量，即逐步递增载荷和平衡迭代。它可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的

过盈配合应力的接触非线性有限元分析

过盈配合应力的接触非线性有限元分析 作者：许小强赵洪伦 摘要基于非线性有限元软件MARC，提出过盈配合应力的动态和静态两种有限元分析方法，并以铁道车辆某高速轮对组装的过盈装配为例进行了有限元仿真计算，比较了两种方法的计算结果，分析了过盈量、摩擦系数、形状误差对装配应力的影响，结果对于确定合理过盈量和改进加工工艺具有参考意义。 关键词过盈配合接触非线性接触应力 0引言 在机械工程实际中普遍采用过盈配合来传递扭矩和轴向力，例如轴承配合、轴瓦配合、铁道车辆的轮轴、制动盘等。它是利用过盈量产生半径方向的接触面压力，并依靠由该面压力产生的摩擦力来传递扭矩和轴向力。由于过盈配合两个相配合的接触面上不能粘贴应变片，因此难以对其应力状态进行测定，对整个组装过程的应力状态更难以进行跟踪研究，而且这种配合方式往往承受着交变载荷的作用，配合面间可能发生相对滑动，这一滑动是随着应力变化而变化的，因而配合面边缘的接触状态和应力状态也随着应力的交变而变化，表现出复杂的状态，因此一般只能凭经验确定采用的过盈量。从力学角度看，这类问题属于接触非线性问题，传统的弹性接触解法已难以处理，可采用光弹性模拟实验进行研究，但只能反映应力分布趋势。近年来，随着非线性理论的不断完善和计算机技术的飞速发展，利用非线性有限元法来分析这类问题已日趋成熟。 铁道车辆随着向高速、重载不断发展，对轮轴的安全性要求也越来越高。研究表明，轮轴配合部位的应力状态对车轴的疲劳强度具有重要的影响，因此对轮对配合部位的宏观接触应力状态进行研究将有助于指导轮对制造标准的制定、高速重载轮对的设计和加工工艺的改进，以提高轮对的抗疲劳性能。 本文利用著名非线性有限元软件MARC，针对过盈配合的压力压装法和温差组装法对这类问题提出动态和静态两种仿真计算方法，并以铁道车辆某高速轮对的配合为例进行了计算，对比了两种计算方法的结果，分析了过盈量、摩擦系数、形状误差等因素对装配应力的影响。

求解温度场的非线性有限元方法

Ξ 求解温度场的非线性有限元方法 刘福来1,　杜瑞燕2 (1.东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳　110004;2.河北青年干部管理学院教务处,河北石家庄　050031) 摘要:从G alerkin 有限元方法出发,对自由表面上的辐射换热的数学表达式不作线性化处理,而是把温 度场的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题,并且用Newton 迭代法计算了温度场. 关键词:温度场;有限元方法;Newton 迭代法 中图分类号:O 242.21 文献标识码:A 文章编号:100025854(2005)0120021204 由文献[1]知,求解二维待轧过程的温度场,就是要求下面微分方程和初值问题的解: 52T 5 x 2+52T 5y 2=1α5T 5t ;(1) -k 5T 5n =0,(x ,y )∈S 2; (2) -k 5T 5n =σεA (T 4-T 4 ∞),(x ,y )∈S 3; (3) T (x ,y ,0)=T 0(x ,y ). (4)其中:α=λ ρc 称为导温系数,λ,ρ和c 分别为热导系数、密度和比热;S 2为给出热流强度Q 的边界面; T ∞为环境温度;S 3为给出热损失的边界面.对轧制问题的温度场,常常考虑的几种边界面[1] 是:对称 面、自由表面和轧件与轧辊的接触面.在辐射面上,边界条件的数学表达式为σεA (T 4-T 4 ∞)(其中:σ为 Stefan 2Boltzmann 常数,ε为物体表面黑度,A 为辐射面积,T ∞为环境温度)是温度T 的4次幂,具有强 烈的非线性.以往在实际计算中有2种处理方法[2],一种是简化问题的物理模型,有时将表达式看成常 数,有时将边界条件转化成h r A (T -T ∞)(其中h r =σ ε(T 2+T 2∞)(T +T ∞)),在轧制问题中求解温度场时文献[1,3]都采用了这一方法;另一种是处理问题的数学方法,即用近似方法求解非线性的偏微分方程问题.例如,用数值分析的方法,文献[4]中利用了差分方法. 本文中,笔者从G alerkin 有限元法出发,对自由表面上辐射换热的数学表达式不作线性处理,而是直接对非线性代数方程组用Newton 迭代法计算温度场,以二维待轧过程温度场的有限元解析进行讨论.1　G alerkin 有限元方法简介 将待求解区域Ω剖分为E 个单元,每个单元4个节点.设N i 是形函数(i =1,2,3,4),用4节点线性等参单元,则单元内的温度为 T e =N 1T 1+N 2T 2+N 3T 3+N 4T 4={N }T {T}e , (5) 其中:{N }=(N 1,N 2,N 3,N 4)T ;{T}e =(T 1,T 2,T 3,T 4)T .设ω1,ω2,…,ωn 是一组基函数,用 G alerkin 方法求方程(1)～(4)的解,实际上是求c 1,c 2,…,c n ,使T n =c 1ω1+c 2ω2+…+c n ωn 满足 κ Ω ρc 5T n 5t -k 52T n 5x 2+ 52T n 5y 2 ωi d x d y =0,i =1,2,…,n. (6) 对式(6)应用Green 公式,有 Ξ收稿日期:2004 0105;修回日期:20040420 作者简介:刘福来(1975),男,河北省唐山市人,东北大学博士研究生. 第29卷第1期2005年　1月河北师范大学学报(自然科学版) Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition )Vol.29No.1Jan.2005

第八章几何非线性问题的有限元法

第八章 几何非线性问题的有限元法 引言 前面各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于1。在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。 实际上，上述假设有时是不成立的。即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确定位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。再如在结构稳定性问题中，当载荷达到一定数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。 几何非线性问题可以分为以下几种类型： （1）大位移小应变问题。一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。例如高层建筑或高耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。 （2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。 （3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。 结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。为了描述结构的变形需要设置一定的参考系统。一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位置，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Ｌagrange ）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。 本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导出经典的线性屈曲问题的公式；然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式；接着还给出了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。在讨论中我们采用总体的拉格朗日列式法，但对杆系结构，为应用方便我们给出了两种列式法的公式。 & 一般性讨论 理论基础 无论是对于何种几何非线性问题，虚功原理总是成立的。由虚功原理，单元的虚功方程可以写成如下的形式 {}{}{}{}0=-???**v e eT e eT F dv δσε （） 其中{}F 为单元节点力向量，{}e *ε为单元的虚应变，{}e *δ为节点虚位移向量。 增量形式的应变一位移关系可表示为 {}[] {}e e d B d δε= （）

非线性有限元分析

非线性有限元分析 1 概述 在科学技术领域，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。 已经发展的数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。 另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。 1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。并且可以利用在每一个单元假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。 在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。有限单元法的应用围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固体

钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法

第28卷第1期 V ol.28 No.1 工 程 力 学 2011年 1 月 Jan. 2011 ENGINEERING MECHANICS 82 ——————————————— 收稿日期：2009-06-19；修改日期：2010-03-11 基金项目：国家科技支撑计划项目(2006BA904B03) 作者简介：*周凌远(1968―)，男，四川成都人，副教授，工学博士，从事桥梁结构行为分析研究(E-mail: zhoulingyuan@https://www.sodocs.net/doc/db2712229.html,)； 李 乔(1954―)，男，黑龙江铁力人，教授，工学博士，博导，西南交通大学土木工程学院院长，从事桥梁结构行为分析研究 文章编号：1000-4750(2011)01-0082-05 钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法 * 周凌远，李 乔 (西南交通大学土木工程学院，成都 610031) 摘 要：针对钢筋混凝土结构有限元分析中，材料进入非线性阶段后，难以通过梁理论准确描述混凝土截面和钢筋应力状态的问题，提出了基于柔度法和分布式塑性理论的钢筋混凝土梁单元材料非线性方法——网格截面法。这种方法采用平面等参单元将梁单元网格化，由单元轴向积分点位置截面网格积分点的混凝土应力描述单元截面应力分布，同时考虑钢筋对刚度的贡献，并通过对截面网格材料的积分计算积分点位置的截面刚度矩阵，再利用力插值函数和能量原理得到梁单元的柔度矩阵，进而对柔度矩阵求逆计算单元刚度矩阵。通过算例验证该方法在钢筋混凝土承载力分析时的准确性。 关键词：有限元；钢筋混凝土梁；柔度法；网格截面；极限承载力 中图分类号：TU375.1; O241.82 文献标识码：A AN APPROACH OF NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAM * ZHOU Ling-yuan , LI Qiao (School of Civil Eng, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China) Abstract: A beam element with a meshed section based on distributed plasticity and flexibility theory is presented for the material nonlinear finite element analysis of a reinforced-concrete framed structure, the sections of a concrete beam element are discretized into the plane isotropic components in this formulation, the stress distribution on the sections is described with the stresses at quadrature points in the mesh, the stiffness matrices of the sections are calculated by integration of the stress-strain relations of the material on the meshes and the contribution of the stiffness by reinforcing steel is also counted, the flexibility matrix of the element is formed by integration of section flexibility matrices with force-interpolation functions, and then it is inverted to obtain the element stiffness matrix. Finally, a numerical example of the ultimate load capacity analysis of a reinforced concrete beam illustrates the accuracy of the formulation. Key words: finite element; reinforced concrete beam; flexibility method; meshed section; load capacity 钢筋混凝土结构的整体承载力问题一直为工程界所关注，材料非线性有限元方法是研究这类问题的有效手段，其分析模型主要包括集中塑性铰 法[1]和纤维模型法，1977年，Kang 提出了基于纤维模型的二维梁单元[2]，并运用于预应力混凝土框 架的分析，1993年Izzuddin B A 等提出了三次多项式插值的分布式塑性方法分析空间梁单元[3 ―4] ，通 过对沿梁轴方向两个积分点位置的截面划分监控区域，并假定每个监控区域内的法向应力均匀，得到单元的刚度矩阵和节点力，这样在同一个单元内

通用显式非线性有限元程序：LS-DYNA

通用显式非线性有限元程序：LS-DYNA LS-DYNA 是世界上最著名的通用显式非线性有限元分析程序，能够模拟真实世界的各种复杂问题，特别适合求解各种二维、三维非线性结构的碰撞、金属成型等非线性动力冲击问题，同时可以求解传热、流体及流固耦合问题。在工程应用领域被广泛认可为最佳的分析软件包。与实验的无数次对比证实了其计算的可靠性。 LS-DYNA 是功能齐全的几何非线性（大位移、大转动和大应变）、材料非线性（140多种材料动态模型）和接触非线性（50多种）软件。它以Lagrange 算法为主，兼有ALE 和Euler 算法；以显式求解为主，兼有隐式求解功能；以结构分析为主，兼有热分析、流体-结构耦合功能；以非线性动力分析为主，兼有静力分析功能（如动力分析前的预应力计算和薄板冲压成型后的回弹计算）;是通用的结构分析非线性有限元程序。 特色功能 ? 显式求解为主，兼有隐式算法，适合于求解高度非线性问题； ? 具有多种求解算法，以Lagrange 算法为主，兼有ALE、Euler 算法、SPH （Smoothed Particle Hydrodynamics）光顺质点流体动力算法和边界元法BEM（Boundary Element Method）； ? 具有160多种材料模型，是材料模型非常丰富的有限元软件； ? 具有50多种接触类型，是接触类型非常齐全的有限元软件； ? 极好的并行计算能力，包括分布式并行算法（MPP）和共享内存式并行（SMP）； ? 良好的自适应网格剖分技术，包括自适应网格细分和粗化； ? 行业化的专用功能：如针对汽车行业的安全带单元、滑环、预紧器、牵引器、传感器、加速计、气囊等。 客户价值 ? 拥有显式和隐式算法，各向异性材料模型，使得板成型、回弹、预应力计算等，可以连续求解； ? 多种控制选项和用户子程序使得用户在定义和分析问题时有很大的灵活性； ? MPP 版本大幅度减少计算时间，计算效率随计算机数目增多而显著提高； ? 与大多数的CAD/CAE 软件集成并有接口。 广州有道科技培训中心 h t t p ://w w w .020f e a .c o m

过盈配合应力的接触非线性有限元分析

过盈配合应力的接触非线性有限元分析 摘要基于非线性有限元软件MARC，提出过盈配合应力的动态和静态两种有限元分析方法，并以铁道车辆某高速轮对组装的过盈装配为例进行了有限元仿真计算，比较了两种方法的计算结果，分析了过盈量、摩擦系数、形状误差对装配应力的影响，结果对于确定合理过盈量和改进加工工艺具有参考意义。 关键词过盈配合接触非线性接触应力 0 引言 在机械工程实际中普遍采用过盈配合来传递扭矩和轴向力，例如轴承配合、轴瓦配合、铁道车辆的轮轴、制动盘等。它是利用过盈量产生半径方向的接触面压力，并依靠由该面压力产生的摩擦力来传递扭矩和轴向力。由于过盈配合两个相配合的接触面上不能粘贴应变片，因此难以对其应力状态进行测定，对整个组装过程的应力状态更难以进行跟踪研究，而且这种配合方式往往承受着交变载荷的作用，配合面间可能发生相对滑动，这一滑动是随着应力变化而变化的，因而配合面边缘的接触状态和应力状态也随着应力的交变而变化，表现出复杂的状态，因此一般只能凭经验确定采用的过盈量。从力学角度看，这类问题属于接触非线性问题，传统的弹性接触解法已难以处理，可采用光弹性模拟实验进行研究，但只能反映应力分布趋势。近年来，随着非线性理论的不断完善和计算机技术的飞速发展，利用非线性有限元法来分析这类问题已日趋成熟。 铁道车辆随着向高速、重载不断发展，对轮轴的安全性要求也越来越高。研究表明，轮轴配合部位的应力状态对车轴的疲劳强度具有重要的影响，因此对轮对配合部位的宏观接触应力状态进行研究将有助于指导轮对制造标准的制定、高速重载轮对的设计和加工工艺的改进，以提高轮对的抗疲劳性能。 本文利用著名非线性有限元软件MARC，针对过盈配合的压力压装法和温差组装法对这类问题提出动态和静态两种仿真计算方法，并以铁道车辆某高速轮对的配合为例进行了计算，对比了两种计算方法的结果，分析了过盈量、摩擦系数、形状误差等因素对装配应力的影响。 1 过盈装配接触非线性问题的求解方法 1．1 接触非线性问题的求解方法 过盈问题是接触问题的一种，属于边界条件高度非线性的复杂问题，其特点是在接触问题中某些边界条件不是在计算开始就可以给出，而是计算的结果，两接触体间的接触面积和压力分布随外载荷的变化而变化，同时还包括正确模拟接触面间的摩擦行为和可能存在的接触传热。用有限元法解接触问题以往常采用的物理模型是节点对模型，即将两接触物体的接触面划分成相同的网格，组成一一对应的节点对，并假定两接触体的接触力通过节点对传递，这种模型需预先知道接触发生的确切部位，以便施加边界单元，对于结构复杂问题和考虑摩擦的动态接触问题，点对模型将给结构离散和方程求解带来极大困难，从而难以解决。近年来提出的点面接触模型是把两接触体分为主动体和被动体，在分析时研究主动体的节点与被动体接触表面上相接触的自由度关系及变形的一致关系，从而确定接触边界条件，然后从边界变形协调的变分原理出发，建立整个接触系统的控制方程。这种模型能有效处理复杂接触表面和动态接触问题。

非线性有限元(河海教授-任青文)

第一章 绪论 1.1 引言 有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。事实上，有限单元法已经成为在已知边界条件和初始条件下求解偏微分方程组的一般数值方法。 对于有限元的线性分析，我们已经比较熟悉，它已作为设计工具被广泛采用。但绝大多数实际问题属于非线性问题，根据产生非线性的原因，非线性问题主要有三种类型： 1． 材料非线性(简称材料非线性或物理非线性) 其特点是应力σ与应变ε之间为非线性关系，通常与加载历史有关，加载和卸载不是同一途径（图1.1），因而其物理方程 D εσ= 中的弹性矩阵D 是应变ε的函数。但材料非线性问题仍属于小变形问题，位移和应变是微量，其几何方程是线性的。土、岩石、混凝土等具有典型的材料非线性性质，所以，土坝、岩土地基的稳定性和加固，地下洞室和边坡的稳定性都应当按材料非线性问题处理。 2．几何非线性 几何非线性属于大变形问题，位移和应变或者它们中一个是有限量。可能会有三种情况:大位移(包括线位移和角位移)、小应变，小位移、大应变和大位移、大应变。此时反映应变和位移关系的几何方程是非线性方程，例如，正应变 z ε可表示为 ""+??+??+??]()()222+??= [(21x w x v x u x u x ε 剪应变xy γ表示为 ""+????+????+????+y w x w y v x v y u x u ??+??= y u x v xy γ 如果应力和应变之间的关系也是非线性的，就变成了更复杂的双重非线性问题。不过，在几何非线性问题中一般都认为应力在弹性范围内，σ与ε之间呈线性关系。工程中的实体结构和板壳结构都存在几何非线性问题，例如弹性薄壳的大挠度分析，压杆或板壳在弹性屈曲后的稳定性问题。 在采用有限元方法分析非线性问题时，以上两类都表现为结构的整体劲度矩阵K 不再是常量矩阵，而是结点位移δ的函数，还有一类问题是结点荷载R 与δ有关，这就是边界非线性问题，又称接触非线性。 3．接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，使得部分边界条件随加载过程而变化，且不可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆性产生的非线性问题，称为接触非线性。工程中有许多接触非线性的问题，如混凝土坝纵缝和横缝缝面的接触，面板堆石坝中钢筋混凝土面板与垫层之间的接触，岩体节理面或裂隙面的工作状态等。 目前，研究工程非线性问题比较有效的工具是非线性有限元方法。要使这一方法实用化，有两个问题必须解决。第一，由于非线性问题的数值计算工作量大大增加，需要有相当大计

有限单元法作业非线性分析+程序

几何非线性大作业荷载增量法 和弧长法程序设计 系（所）：建筑工程系 学号：1432055 姓名：焦联洪 培养层次：专业硕士 指导老师：吴明儿 2015年6月19日

一、几何非线性大作业（ Newton-Raphson法） 用荷载增量法（Newton-Raphson法）编写几何非线性程序： （1）用平面梁单元，可分析平面杆系 （2）算例：悬臂端作用弯矩。悬臂梁最终变形形成周长为悬臂梁长度的圆。 1.1 Newton-Raphson算法基本思想 图1.1 Newton-Raphson算法基本思想 1.2 悬臂梁参数 基本参数：L=2m, D=0.03m, A=7.069E-4m2, I=3.976E-08m4 ,E=2.0E11N/m2

图1.2 悬臂梁单元信息 将悬臂梁分成10个单元，如图1.2所示 2.1 MATLAB输入信息 材料信息单元信息 约束信息（0为约束，1为放松）荷载信息（FX,FY,M）

节点信息 2.2 求解过程 梁弯成圆形：理论弯矩M=EIY"=24981.944N.m ,直径为0.642m 运用ABAQUS和MATLAB进行求解对比： 图1.3 加载图 图1.4 ABAQUS变形图

图1.5 MATLAB变形曲线 ABAQUS和MATLAB变形对比，最终在理论荷载作用下都弯成了一个圆，其直径为0.64716m，与理论值相对比值为：（0.64716-0.642）/0.642=0.00804.非常接近。 2.3 加载点荷载位移曲线 图1.5 加载点Y方向的荷载位移曲线

加载点的最大竖向位移分别为1.4525m和1.45246m，相对比值（1.4525-1.45246）/1.45246=2.75395E-05。完全相同，说明MATLAB的计算结果很好。

风力发电机基础与地基相互作用的接触非线性有限元分析

风力发电机基础与地基相互作用的接触非线性有限元分析 摘要：作为经济发展的命脉—能源，在地球上供人类开发和使用，是有限且不可再生的。随着全球工业化进程的开展与加速，世界各国对能源的需求也急剧上升。在人类不断开采和消耗的情况下，煤炭、石油和天然气这三大常见的化石能源日 渐枯竭，能源问题作为关系到世界经济发展和人类生存环境的重大问题，正日益 受到世界各国越来越多的关注。就我国而言，一方面，能源分布不均衡的情况较 为突出，例如“北煤南运，西气东输”工程；另一方面，我国人口数量众多，能源 消耗量也较大。着眼于未来，这就要求我们必须制定并坚持可持续性发展的战略 方针。而开发并利用新的可再生的清洁能源，就是该其中战略之一。在能源领域，风能是近期内最具大规模开发利用价值的可再生能源，对环境保护和社会可持续 发展也有着重要意义。国家鼓励积极发展太阳能、生物质能、地热能等其他新能源，有效发展风电，促进能源系统的推广应用。同时，在此基础上，国家颁布政 策大力支持并重点发展5MW以上的风力发电机组整机及其重要部件的设计、陆 上和海上风电场的设计和运营、核心装备部件的制造与并网等关键技术。由此， 风电的发展催生了一大批相关的企业，至2011年，制造风力发电机组及其零部 件的企业已达到600余家。进入21世纪后，风力发电每年以20%的增容速度发 展着，到2006年，中国风力发电总装机容量达到2604MW，居世界第六位；2008年，世界的风电总装机容量达到1.2亿KW，平均年增长率为28.8%；到了2010年，中国的风电新增装机容量为16000MW，2011年达到52800MW。此时 中国一跃，成为了世界第一风电大国。风电的发展，不仅可以解决中国能源短缺 的困局，保护生态环境，减少自然灾害，同时也可以拉动相关产业链的发展，从 而为数以万计的人提供就业岗位。 关键词：风力发电机；地基；作用 前言： 从国际形势来看，近十年来，全球的风力发电产业装机容量以25%的速度 增长着。由此可以看出风力发电产业的发展速度非常快，这就吸引了更多的企业 投入到风电装备制造这一领域。欧美一些国家由于较早的对风力发电机基础设计 进行了研究，因而这方面的理论体系就比较规范。1995年德国出版了第一个涵盖了从认证范围到结构荷载、运用材料、风电机叶片、整体结构、整组机械、电气、安全运行和环境监控系统整个内容的，用于认证风力发电机的标准。与发达国家 相比，虽然我国风电技术的研究起步较晚，但起点较高且发展较快，对于风力发 电机基础的研究也有了一定的成果。马龙海等利用阻尼影响抽取法研究了风电机 组基础动刚度的动力特性，并给出了相关的计算式，对风力发电机组基础的设计 分析有很重要的实践意义。田静等通过构建风电机基础结构的三维有限元模型， 并利用基础混凝土与塔架基础钢环、地基之间的非线性接触理论，分析了正常与 极限两种工况下风电机基础的受力特征、规律及接触状态，得出的结果表明符合 风电机基础受力结构响应，证明该方法是合理的。张迪等研究了风电机塔架基础 在软基下的特殊形式的受力影响，明确了塔架基础结构的受力特性和规律李武， 采用数值软件对海上独桩基础、导管架基础及高桩墩台基础进行模态和时程分析，得到3种基础的振型图、固有频率、周期及其位移响应曲线，经过对比分析，从 风电基础对变形要求的角度考虑，得知了高桩墩台是最理想的近海风力发电机基 础[21]。贺广零等基于分析力学建模、多体动力学建模和有限元法建模，对三种 方法进行了系统比较，为风力发电机组结构建模提供参考。邢占清等根据观测风

滚动轴承接触的非线性有限元分析

2009年第23卷第1期测试技术学报V o l.23　N o.1　2009 (总第73期)JOURNAL OF TEST AND M EASURE M ENT TECHNOLOG Y(Sum N o.73) 文章编号:167127449(2009)0120023205 滚动轴承接触的非线性有限元分析Ξ 熊小晋1,张晓昆鸟1,2,熊晓燕1 (1.太原理工大学科研处,山西太原030024; 2.煤炭科学研究总院太原研究院,山西太原030024) 摘　要:　利用M SC.Patran M arc软件建立了滚动轴承的二维有限元分析模型,进行了接触非线性有限元 分析,得到接触应力、应变随接触状态的变化情况.当不考虑摩擦接触时,压力与变形间呈现一定的非线性 关系.当考虑摩擦接触时,下板面最大等效应力增加,应力分布形状发生改变,最大切向应力发生点向接触 部位靠近,说明摩擦因素对接触表面切向应力大小与最大切向应力发生点产生影响. 关键词:　滚动轴承;接触力学;摩擦;非线性有限元分析 中图分类号:　TH133.33 文献标识码:A Non li near FE M Analysis of Con tact Problem of Rolli ng Bear i ng X I ON G X iao jin1,ZHAN G X iaokun1,2,X I ON G X iaoyan1 (1.Scien tific R esearch D epartm en t,T aiyuan U n iversity of T echno logy,T aiyuan030024,Ch ina; 2.T aiyuan B ranch,Ch ina Coal R esearch In stitu te,T aiyuan030024,Ch ina) Abstract:　A tw o2di m en si onal fin ite elem en t m odel of ro lling bearing w as develop ed u sing the M SC. Patran M arc softw are.T h rough the non linear FE M analysis of con tact,the changes of con tact stress and strain in differen t con tact states w ere ob tained.W hen neglecting fricti on con tact,there is a certain non2linear relati on sh i p betw een p ressu re and defo rm ati on.W hen con sidering fricti on con tact,the b iggest equ ivalen t stress increases,the shap e of stress distribu ti on changes,and at the sam e ti m e,the b iggest tangen tial stress po in t gets clo se to the con tact p art.It is indicated that fricti on can influence the tangen tial stress value and the b iggest tangen tial stress po in t. Key words:ro lling bearing;con tact dynam;fricti on;non linear FE M analysis 随着科技与工业的发展,滚动轴承的使用范围越来越广泛.轴承作旋转运动时,其内的滚动体与滚道发生接触,产生各种旋转运动与摩擦,轴承的刚度、承载能力甚至使用寿命主要取决于内部滚动体与滚道之间的接触性质.所以对滚动轴承接触力学问题的研究以及利用有限元法对滚动轴承进行接触非线性分析、解决轴承问题已经成为科研人员研究的重要方向. M SC.Patran M arc兼具M SC.Patran强大的网格划分功能、CAD继承工具和M arc强大的非线性处理功能.它支持多种复杂的材料模型以及材料的试验数据拟合,很容易模拟复杂的接触边界条件以及涉及多种加载历程的问题,尤其是M arc中自适应网格重划分功能可用于精确求解接触变形难题.本文暨利用此软件对滚动轴承进行接触非线性分析,得到滚动轴承接触应力、应变随接触状态的变化情况. Ξ收稿日期:2008204209 　基金项目:国家自然科学基金资助项目(50405043);山西省自然科学基金资助项目(200801104322) 　作者简介:熊小晋(19662),男,工程师,主要从事动态测试与故障诊断研究.

非线性有限元基础

§1.2 线性有限元的回顾 线性有限元的理论虽然不是本课程的重点，而线性有限元法是非线性有限元法的基础；非线性有限元法又是线性有限元法的发展。因为非线性问题的求解通常是采用分段线性化的思想，使其成为一系列的线性问题。因此有必要首先回顾线性有限元的一些基本内容。主要是线性有限元的基本理论和方法，以及当前应用最广的等参元理论。 固体力学的理论（材力、弹力、结构力学，无论是线性还是非线性）是建立在本构方程、几何（运动）方程以及平衡方程三方面方程的基础上的，由此导出的控制方程的解是满足上述充分、必要条件的唯一解，而且是反映了结构真实受载后的运动状态（变形）。在结构分析中许多情况下，本构和几何方程可以处理成线性，使控制方程线性化，求解也大大简化，同时可达到工程上的精度要求，这就是线性有限元的基本理论。 §1.2.1 线性本构关系（广义虎克定律） 影响结构材料性能有诸多因素（应力、应变、变形率、温度、湿度、时效等），而通常建立本构方程时仅考虑应力、应变两个物理参数，认为两者成线性关系的经典的弹性理论，即著名的虎克定律。 各向同性材料的Hooke 定律 ij ijkl kl D σε= 或 ij ijkl kl C εσ= ()1其中ijkl D 和ijkl C 分别为弹性阵和柔度阵。 由剪应力互等定理，弹性阵()99ijkl D ?独立材料参数的个数由81个减少为21个。进而对于正交异性的材料参数为9个独立的参数，对于各向同性材料： 01121, 2,322(1) ,e i j i j i j E G G E d dS d i j νν εσδ -+= += = ()2 仅有两个独立的材料常数，即E 和ν，其中E 为弹性模量，ν为泊松比。 §1.2.2线性几何方程（小变形情况） 线性（小变形）关系： ()(){}1 ,,2 ij T U U U i j j i ε+=?= ()3 位移边界条件：u S 边界上 U U = 其中U 为位移向量， U 为边界u S 上的指定位移，()T ?为微分算子。 实际结构可根据它们的几何特点，将三维问题简化为二维问题，这里主要有：平面应力、平面应变和轴对称状态。 1）平面应力（薄壁结构） 外力仅作用在平面内，两表面无外力作用（离心力作用下圆盘）两表面应力分量（且在整个厚度方向上），yz σ=xz σ=zz σ=0，而xx σ、yy σ、xy σ沿厚度均匀分布。 按Hooke 定律，