上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—08—基本不等式—翁军成-教师版
高一数学秋季班（教师版）教师日期
学生
课程编号08课型同步复习课题基本不等式
教学目标
1.掌握基本不等式的概念；
2.掌握几个重要不等式；
3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路；
4.掌握简单基本不等式的相关证明问题；
教学重点
1.掌握不等式的使用条件；
2.掌握不等式的变形；
3.掌握多次使用不等式的方法；
教学安排
版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60
一、基本不等式：
1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号
2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值
2P ；
（2）“和定积最大”：2
2?
?
? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。 3.若,a b R +
∈，22
22
a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均
二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2
a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号
变式：2
2
2
()22
a b a b ab ++≥
≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则
12n
a a a n
+++L 称为这n 个正数的算术平均
数，12n n a a a ???L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是：
1212n n
n a a a a a a n
++???+≥??????，
当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。
知识梳理
基本不等式
一、简单基本不等式问题
【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab b
a ≥+2
”成立的 条件。 【难度】★
【答案】充分非必要条件
【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求y
x 1
1+的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
y x xy
xy y x xy y x y x 1
12422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>>ΘΘ的最小值为24
【难度】★
【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件，
当时，即，取得最小值。
【例3】如果正数d c b a ,,,满足4==+cd b a ，那么（ ） （A ）d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一 （B ）d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一 （C ）d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一 （D ）d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一 【难度】★★ 【答案】A
2
244,44,2c d ab a b ab cd c d +??
≤+=?≤=≤?+≥? ???
两个不等式取等号时相等，且取值唯一。
223ab ba
223b a 2a b 3b b 2a 2a b a b 2a 1+=+≥++=+++=+b a 2a b =22b ,12a ,a 2b -=-==例题解析
【例4】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A ．a+b+
ab
1≥22 B (a+b)(
a 1+b
1
)≥4 C 22ab
≥a+b D b a ab +2≥ab
【难度】★★
【答案】D ， A,B 显然满足，而C 2
2222222a b a b a b a b ab ab
+++≥?≥≥+
【巩固训练】
1、若x> -1则x 取什么值时x+1
1
+x 的值最小？最小值是多少？ 【难度】★
【答案】X=0，最小值是1
2、若01x <<，01y <<，且x y ≠，则在2
2
,2,,2x y xy x y xy ++中最大的一个是_____________。 【难度】★ 【答案】【x y +】
二、不等式的最值问题
【例5】若1y x 2
2
=+，则xy 的取值范围 【难度】★ 【答案】11,22??
-???
?.
【例6】已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ，则y x +2的最小值 。 【难度】★★
【答案】5,()24
0,1,12211511
x y x y x x y y y y -=?=
?+=+-+≥--f f
【例7】已知+
∈R y x ,，且32=+y x ，则1
21
21+++y x 的最小值为 。 【难度】★★ 【答案】
23
()()()()22111222,,232216.1,221663x y x y R x y x y x y x y ++++??+∈+=?+++=?+?
≥=== ?++??
由取等。
【例8】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、
△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则2
3
1S S S +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()2,+∞
1331222//,22S S S S DO CO BO AO BO AO
AD BC AOD COB BO AO S S S DO CO DO CO +∴??∴
=∴=+=+≥?=Q 相似与，
BO AO BO DO O BD DO CO
==当且仅当
时，时，即为中点时取等；由题意得，不可能，所以等号不可以取。
【例9】设a>b>0，求的最小值。
【难度】★★
【答案】 ，此时等号成立条件是即a=2b
所以等号成立条件是，即a=4，此时b=2
【例10】x>-1，当x 为何值时，1
1
2+++x x x 的值最小？最小值是多少？
【难度】★
)
b a (b 16
a 2
-+
22a 64
2b a b 16)b a (b 16=
?
?? ??-+≥-b a b -=+≥-+22a )b a (b 16a 16642a 642=≥22a 64a =
【解析】Θ x>-1 ∴112+++x x x =11)1()1(2+++-+x x x =11211
1
1=-≥-+++x x
当且仅当x=0时取最小值1。
【例11】()2
2
2
222111
,,1,++x y z x y z x y z
++=非零实数满足则
的最小值是
【难度】★★
【解析】1的妙用，可以从局部和整体妙用1，这也是针对于这类问题的基本思路。答案是9
【例12】已知1101,1x x x
+-p p 则的最小值是？ 【难度】★★ 【解析】()111111=+1=2+4,1112
x x x x x x x x x x x -??++-+≥= ?---??当且仅当时取等号。
【例13】函数)0,0(,2>>+=b a b
ax x
y 最大值与最小值分别为 。
【难度】★★ 【解析】
211,00,0,022x y x y x y x y b b ax b ab ab ax ax x x =
===≤=-≥+??+-+- ???
f p 时，时，
【例14】2
2
11,,1,a b R a b a b a b +?
???∈+=+++ ? ?????
已知且求的最小值。
【难度】★★
22
11112,2,8.
a b a b a b a b ?
???+≥+≥∴+++≥ ? ?????Q 错误解法：一正二定三相等再次忽略。
22,
22
a b a b
++≥≥正确解法，利用“平方均值算术均值”：2
2
2
1
111111
152222
22a b a b a b a b a b ab +
+??????
+++++++ ? ?
?
??????≥
=≥=Q ，252
∴最小值是
【例15】设y x ,都是正数，且使y x k y x +=+，求实数k 的最大值。
【难度】★★
【解析】k 最大值为√2，方法一，两边同时平方，不要忘记K 大于0.方法二，参变分离，利用平方均值。
【例16】110.n
a b c n a b b c c a ++≥---f f 设，求使不等式成立的最大正整数
【难度】★★★ 【解析】
()()(),00,0.111
1a ,a b c a b b c a c c a b b c a b b c a b b c ---????≤-+=-+-+?? ? ???
----????
f f f f f 因为所以，有题设的不等式可以做一下变形，把n 单独提取出来，得到如下的变形n 故n=4.
【例17】已知0>>y x ，1=xy ，求y
x y x -+2
2的最小值及相应的y x ,的值。
【难度】★★ 【解析】
()2
22226262
22,2,1,x y xy x y x y x y xy y x x y x y x y -++-+==-+≥-====---当且仅当
【例18】已知0,0,0,()1,x y z xyz x y z >>>++=求()()x y y z ++最小值。 【难度】★★
【解析】()()()1
2x y y z y x y z xz xz xz
++=?+++=+≥
【巩固训练】
1、已知2 3 32-+-x x x 的最大值为 ，此时=x 。 【难度】★ 【解析】最大值是-1，x=1 2、若 )b a ,,0,0(,1≠>>=+为正常数，且b a y x y b x a ，则实数y x +的取值范围 。 【难度】★ 【答案】) 2,a b ab ?+++∞? 3、已知()y2 ,,*,230,.x y z R x y z xz ∈-+=则的最小值是 【难度】★ 【解析】()32y219=63,344x z x z x y z xz xz z x +?? =++≥== ???当且仅当时取最小值。 4、已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9 =1，求x+y 的最小值. 【难度】★★ 【答案】利用“1的代换”,∵ x 1+y 9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9 )=10+y x x y 9+. ∵x ＞0,y ＞0,∴ y x x y 9+≥2y x x y 9? =6.当且仅当y x x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y 9 =1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16. 5、已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 【难度】★★ 【解析】 x+y=(x+y)( y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+x ay y bx +. ∵x,y ＞0,a,b ＞0， ∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4. 又a+b=10， ∴???==8 ,2b a 或???==.2, 8b a 三、基本不等式的应用 【例18】直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为 【难度】★★ 【答案】3-2√2。 6 4 7 11 【例19】某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营 总利润y （单位：10万元）与运营年数)(N x x ∈为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润。 【难度】★ 【答案】x=5,最大年平均利润是20万元。 【例20】某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【难度】★★ 【答案】由题意得 xy+4 1x 2=8,∴y= x x 482- =48x x -(0 16 ≥4246+. 当( 23+2)x=x 16 ,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828. 故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 【例21】某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。设矩形温室的边长分别为b a ,，确定矩形温室的边长，使蔬菜的种植面积最大。 【难度】★★ 【答案】a=40m.b=20m 时S 最大是728平方米。 【巩固训练】 1、今有一台坏天平,两臂长不等，左、右臂长分别是12,l l ,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得重量分别为,a b （b a ≠）,若真实重量为为G ，则下列结论中正确的为（ ） A 。 G b a =+2； B 。 G b a <+2 ； C 。 G b a >+2 ； D 。不能确定； 【难度】★★ 【答案】C 2、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. 图3-4-1 （1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 【难度】★★ 【答案】 解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼的面积为S ，则S=xy. 由于2x+3y≥2y x 32?=2xy 6, ∴2xy 6≤18,得xy≤ 227，即S≤2 27. 当且仅当2x=3y 时等号成立. 由?? ?=+=,1832,22y x y x 解得???==. 3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大。 (2)由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 由xy=24，得x= y 24. ∴l=4x+6y= y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y ?16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小. 3、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价. 图3-4-2 【难度】★★ 【答案】 解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x≤16,0＜x 200 ≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x 200 +80×200. =800(x+ x 324 )+16 000≥800×2x x 324?+16 000=44 800, 当且仅当x= x 324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18?［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性. 对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324. Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324( 1 211x x -)］ =800× 2 12112) 324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000. 答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元. 四、基本不等式的证明问题 【例21】已知+ ∈R x ，由不等式21≥+ x x ，Λ34 22422≥++=+x x x x x 启发，可推广得不等式 。 【难度】★★ 【答案】1n n n x n x +≥+，利用均值不等式。 【例21】阅读以下证明： ),()(2)(222222b a b a ab b a b a +-+≥-+=+() 222)(2b a b a +≥+∴，1=+b a Θ 2 122≥ +∴b a 当1=++c b a ，按照上述方法，能证明关于2 2 2 c b a ++的一个怎样的不等式； 当121=+++n a a a Λ，你能把上述结论推广到怎样的一个不等式。 【难度】★★ 【答案】 ()()()()()()2 2 2 22222222222,3a b c a b c ab bc ac a b c a b c a b c a b c ++=++-++≥++-++∴++≥++， 2221 3a b c ++≥ 。类似，略。 【例22】若实数x 、y 、m 满足|x -m |﹥|y -m |，则称x 比y 远离m ． (1) 若x 2-1比1远离0，求x 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：222b a + 比2b a +远离b a 112+ 【难度】★★ 【答案】(1) (( ) ,22,x ∈-∞-?+∞ (2)略 【例23】3 33111 ,,,+2 3.a b c R abc a b c +∈++≥已知求证 【难度】★★★ 【答案】可以与巩固训练12联合在一起去讲，也顺便强调一下均值不等式的简单拓展。使用完均值不等式，再次使用基本不等式，即得证。 【例24】已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 (1)求证 11(1)(1)9a b ++≥ (2)求证 441 8 a b +≥ (3)求证 (a + a 1)( b +b 1)4 25 【难度】★★★ 【答案】 (1)略，(2)降次后为()()2 22 212a b ab ab ??+-=-??， (3)利用(1)，和调和均值。 【巩固训练】 1、2 2 ,,1.x y R x y xy x y ∈++≥++已知求证： 【难度】★★ 【答案】2 2 2 2 2,12,12.x y xy x x y y +≥+≥+≥三个不等式相加即得证。 2、2 2 2 ,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++已知求证： 【难度】★★ 【答案】方法同上，可以强调一下这类题目。 3、12344 123412********* 4123,,,*,,4 ,. 33 x x x x x x x x R x x x x x x x x x x x x x x +++∈≥++++=≥已知求证并在此基础上 加一条件为求证 【难度】★★ 【答案】第一问是利用换元的方法，121234342,2x x x x x x x x +≥+≥。令 12 x x +=X1,34x x +=X2,再次对X1和X2使用基本不等式，得证。 1、在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意： （1）x,y 都是正数； （2）积xy （或x+y ）为定值； （3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论. 2、能充分抓住不等式的恒等变形，并能拆分题目中给的不等式里的各项。 3、能够拆分题目中的多元不等式为多个不等式来简化证明求解的复杂性。 1、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？ （1） ab b a ≥+2 ； （2）ab b a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+b a a b （5）21 ≥+ a a ； （6） 2≥+a b b a （7）222)(2b a b a +≥+）（ 【难度】★★ 【答案】（2）（3）（6）（7） 2、若1,1,,a b a b >>≠且则22 ,2,2,a b ab ab a b ++中值最小的是_____________ 【难度】★ 【答案】2ab 反思总结 课后练习 3、已知0a >，0b >，4a b +=，则下列各式中正确的是（ ） （A ） 1a b ≤+41 （B ）1 a b ≥+ 1 （C ab ≤2 （D ab 1 【难度】★ 【答案】C 4、设a 、b 是正实数， 以下不等式①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2 ； ④ab ＋2 ab >2恒成立的序号为 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 【难度】★★ 【答案】D ∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ?1≥2ab a ＋b ?ab ≥2ab a ＋b . 当且仅当a ＝b 时 取等号，∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |?a >|a －b |－b 恒成立；③a 2 ＋b 2 －4ab ＋3b 2 ＝(a －2b )2 ≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2 ab ≥2 ab ·2 ab ＝2 2>2恒成立． 5、若a ,b R + ∈，且2222a b +=，则2 1a b +的最大值是 【难度】★★ 【答案】324，2 1a b +2222222121222a b a b ++=+≤g g g 6、已知且满足,求的最小值. 【难度】★★ 【答案】解∵,,∴ ,当且仅当 时等号成立,即,∴,又, ∴ ∴当时,有最小值18. 0,0x y >>28 1x y +=x y +2828()1()()28y x x y x y x y x y x y +=+?=+?+ =+++0,0x y >>280,0y x x y >>1021618x y +≥+=28y x x y =22 4y x =2y x =281x y +=6,12x y ==6,12x y ==x y + 7、已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ， 求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。 【难度】★★ 【答案】（1）由08=-+xy y x ，得 12 8=+y x ， 又0,0>>y x ，则xy y x y x 8282281=?≥+=，得64≥xy ，当且仅当y x 28=时，等 号成立。 （2）法1：由08=-+xy y x ，得2 8-= y y x ，20>∴>y x Θ 则28-+ =+y y y y x 18102 16 )2(≥+-+ -=y y ， 当且仅当216 )2(-= -y y ，即12,6==x y 时，等号成立。 法2：由08=-+xy y x ，得 12 8=+y x ， 则y x +==+?+)()28( y x y x ≥++x y y x 82101882210=?+x y y x 。 8、,,,+.bc ac ab a b c R a b c a b c +∈+≥++已知求证 【难度】★★ 【答案】略 9、,0,3,a b ab a b ab =++f 若且求的取值范围。 【难度】★ 【答案】ab ≥9 10、某工厂要建造一个长方体无盖储水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底1㎡的造价为150元，池壁1㎡的造价为120元，问怎么设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 【难度】★ 【答案】当池底为40?40的正方形时，总造价最低，最低总造价是297600元。 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 2．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 5．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6 6．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 7．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3] 8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．0 C．D．3 9．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3 10．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（） A．1 B．C．2 D．2 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c 12．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（） A．2 B．2 C．4 D．2 13．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（） A．6 B．C．D． 14．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（） A．35 B．105 C．140 D．210 15．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 16．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D． 二．解答题（共10小题） 17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． （Ⅰ）求m﹣n； （Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值． 18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B； 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 精品文档 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） +ab）＜log（a+a+b））B＜A．a+．＜＜log（22＜+b））＜a（）＜D．loga+C．a+＜log（a+b22xyz，则（=3=5x、y、z为正数，且2）2．设 A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 满足，则x+2y的最大值为（x，y）3．若 D．9A．1 B．3 C．5 满足约束条件yx，4的最小值是（）．设，则z=2x+y A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 满足约束条件，yx）5．已知，则z=x+2y的最大值是（ A．0 B．2 C．5 D．6 满足约束条件，则z=x+y的最大值为（．设x，y）6 A．0 B．1 C．2 D．3 满足约束条件y．设x），7z=x则﹣y的取值范围是（ A．[﹣3，0]，D ．[03] B．[﹣3，2]]，[C．02 满足约束条件﹣，则z=xyy．已知变量x，的最小值为（）8 ．D．0 B．﹣A3 ．C3 精品文档． 精品文档 满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（9．若变量x，y） ．﹣DC．﹣3A．1 B．﹣1 +的最小值是（，且ab＞0），则10．若a，b∈R 2．．2 BD．CA．1 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） ccab．D．logc＞B．alog＜bcA．c ＞cC ba yx，则lg8，lg2=lg2+12．已知x ＞0，y＞0的最小值是（） 2D．2 C．BA．2 ．4 ，则的最小值是（ +b=3）＞0，b＞2，且a13．设a ．．．CDA．6 B 2222﹣xy的最小值是（xy=315，则x+．已知14x，y∈R，xy+y）+ A．35 B．105 C．140 D．210 +≥m1恒成立，则，不等式m的最．设正实数x，y满足x＞，y＞15）大值为（ 16D．2 B．．4 C．8 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1 x ＋4 y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x 不等式综合练习题 常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥≥+ ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时取=；) （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 常用的放缩技巧有：(1)21111111 1(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- <<= 1、对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 2、已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 3、设0,10>≠>t a a 且，比较2 1log log 21+t t a a 和的大小 4、设2a >，1 2 p a a =+ -，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 5、比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 6、下列命题中正确的是 A 、1y x x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2 C 、4 23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =-->的最小值是2- 7、若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 8、正数,x y 满足21x y +=，则 y x 1 1+的最小值为______ 9、如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________ 10、（1）已知c b a >>，求证：2 22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++； （3）已知,,,a b x y R +∈，且 11,x y a b >>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22 ()c a abc a b c +≥++； (6)若* n N ∈(1)n +< n ； (7)已知||||a b ≠，求证：|||||||| |||| a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：222111 1223n ++++<。 11、解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 12、不等式(0x -的解集是____ 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 不等式题组训练 [A 组] 一、选择题 1．若02522>-+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 21（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题 1．不等式组???->-≥3 2x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1．解log (2x – 3)(x 2－3)＞0 4 高中数学必修五不等式测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。） 1.设a 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 ()()()如：x x x +--<112023 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解高中数学不等式练习题
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