函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
2.(1)周期函数
对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (-x )+f (x )=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×)
(3)如果函数f (x ),g (x )为定义域相同的偶函数,则F (x )=f (x )+g (x )是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T 是函数的一个周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是函数的周期.(√)
(6)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.(√) (7)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×)
(8)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.(√) (9)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.(√)
(10)若某函数的图象关于y 轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√)
考点一 判断函数的奇偶性
[例1] (1)A .y =x B .y =e x C .y =cos x D .x x e e y --= 解析:对于A ,定义域不关于原点对称,故不符合要求;对于B ,
f (-x )≠-f (x ),故不符合要求;对于C ,满足f (-x )=f (x ),故不符合要求;对于D , ∵f (-x )=e -x -e x =-(e x -e -x )=-f (x ),∴y =e x -e -x 为奇函数,故选D. 答案:D
(2)下列函数中为偶函数的是( )
A .y =1
x B .y =lg|x | C .y =(x -1)2 D .y =2x
解析:根据奇、偶函数的定义,可得A 是奇函数,B 是偶函数,C ,D 为非奇非偶函数. 答案:B
(3)函数f (x )=3-x 2+x 2-3,则( )
A .不具有奇偶性
B .只是奇函数
C .只是偶函数
D .既是奇函数又是偶函数
解析:由???
3-x 2
≥0,
x 2-3≥0,
得x =-3或x = 3.
∴函数f (x )的定义域为{-3,3}.
∵对任意的x ∈{-3,3},-x ∈{-3,3},且f (-x )=-f (x )=f (x )=0,∴f (x )既是奇函数,又是偶函数. 答案:D
[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法:
(2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称. (3)性质法:
①“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶;
②“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶;
③“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=(x+1) 1-x
1+x
;(2)f(x)=lg
1-x
1+x
.
解:(1)要使函数有意义,则1-x
1+x
≥0,
解得-1<x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)由1-x
1+x
>0?-1<x<1,定义域关于原点对称.
又f(-x)=lg 1+x
1-x
=lg1)
1
1
(-
+
-
x
x
=-lg
1-x
1+x
=-f(x),f(-x)≠f(x).故原函数是奇函数.
考点二函数的周期性及应用
[例2](1)下列函数不是周期函数的是()
A.y=sin x B.y=|sin x| C.y=sin|x| D.y=sin(x+1)
解析:y=sin x与y=sin(x+1)的周期T=2π,B的周期T=π,C项y=sin|x|是偶函数,x∈(0,+∞)与x∈(-∞,0)图象不重复,无周期.
答案:C
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-
1
f(x)
,且当x∈[0,2)
时,f(x)=log2(x+1),则求f(-2 017)+f(2 019)的值为________.
解析:当x≥0时,f(x+2)=-
1
f(x)
,
∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.
∴f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-
1
f(1)
=-1,
∴f (-2 017)+f (2 019)=0. 答案:0
[方法引航] (1)利用周期f (x +T )=f (x )将不在解析式范围之内的x 通过周期变换转化到解析式范围之内,以方便代入解析式求值. (2)判断函数周期性的几个常用结论.
①f (x +a )=-f (x ),则f (x )为周期函数,周期T =2|a |. ②f (x +a )=
1
f (x )
(a ≠0),则函数f (x )必为周期函数,2|a |是它的一个周期; ③f (x +a )=-
1
f (x )
,则函数f (x )必为周期函数,2|a |是它的一个周期.
1.若将本例(2)中“f (x +2)=-1
f (x )
”变为“f (x +2)=-f (x )”,则f (-2 017)+f (2 019)=________.
解析:由f (x +2)=-f (x )可知T =4∴f (-2 017)=1,f (2 019)=-1,∴f (-2 017)+f (2 019)=0. 答案:0
2.若本例(2)条件变为f (x )对于x ∈R ,都有f (x +2)=f (x )且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 2(x +1),求f (-2 017)+f (2 019)的值.
解:由f (x +2)=f (x ),∴T =2∴f (2 019)=f (1)=log 22=1,f (-2 017)=f (2 017)=f (1)=1, ∴f (-2 017)+f (2 019)=2.
考点三 函数奇偶性的综合应用
[例3] (1)若函数f (x )=2x -a 是奇函数,则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )
A .(-∞,-1)
B .(-1,0)
C .(0,1)
D .(1,+∞)
解析:因为函数y =f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即2-x +12-x -a =-2x +1
2x -a .化简可得a =1,
则2x +12x -1>3,即2x +12x -1-3>0,即2x +1-3(2x -1)2x -1>0,故不等式可化为2x -2
2x -1<0,即1<2x <2,解得0<x <1,故选C. 答案:C
(2)函数f (x )=ax +b 1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,且)21
(f =25.
①确定函数f (x )的解析式;
②用定义证明f (x )在(-1,1)上是增函数; ③解不等式f (t -1)+f (t )<0.
解:①∵在x ∈(-1,1)上f (x )为奇函数,∴f (0)=0,即b =0,∴f (x )=
ax
1+x 2
. 又∵)21
(f =25,∴a
2
1+14=25.解得,a =1.∴f (x )=x 1+x 2,经检验适合题意. ②证明:由f ′(x )=1+x 2-2x 2(1+x 2)2=1-x 2(1+x 2)2.x ∈(-1,1)时,1-x 2>0,∴f ′(x )>0 ∴f (x )在(-1,1)上为增函数.
③由f (t -1)+f (t )<0,得f (t -1)<-f (t ),即f (t -1)<f (-t ).∴???
-1<t -1<1-1<-t <1
t -1<-t
得0<t <1
2.
(3)已知f (x )是R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 3+ln(1+x ),则当x <0时,f (x )=( ) A .-x 3-ln(1-x ) B .x 3+ln(1-x ) C .x 3-ln(1-x ) D .-x 3+ln(1-x ) 解析:当x <0时,-x >0,
f (-x )=(-x )3+ln(1-x ),∵f (x )是R 上的奇函数,∴当x <0时, f (x )=-f (-x )=-[(-x )3+ln(1-x )]=x 3-ln(1-x ). 答案:C
[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数,是利用f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )在定义域内恒成立,建立参数关系.
(2)根据奇偶性求解析式或解不等式,是利用奇偶性定义进行转化
.
1.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是________. 解析:a -1+2a =0,∴a =1
3.
f (x )=ax 2+bx 为偶函数,则b =0,∴a +b =1
3. 答案:1
3
2.定义在R 上的偶函数y =f (x )在[0,+∞)上递减,且)2
1
(f =0,则满足f (
x )<0的x 的
集合为( )
A.),2()21
,(+∞?-∞∪(2,+∞)
B.)1,21
(∪(1,2)
C.)2
1
,0(∪(2,+∞)
D.)1,2
1
(∪(2,+∞)
解析:选C.由题意可得f =f
<0=)2
1
(f ,又f (x )在[0,+∞)上递减,
所以
>12,即
x >1
2或
x <-12,解得0<x <12或x >2,所以满足不等式f
<0的x 的集合为)2
1
,0(∪(2,+∞).
3.已知函数f (x )=-x +log 21-x 1+x +1,则)21
()21(-+f f 的值为( )
A .2
B .-2
C .0
D .2log 21
3 解析:选A.由题意知,f (x )-1=-x +log 2
1-x 1+x ,f (-x )-1=x +log 21+x 1-x =x -log 21-x
1+x
=-(f (x )-1),所以f (x )-1为奇函数,则)21(f -1+)21(-f -1=0,所以)2
1
()21(-+f f =2.
[方法探究]
“多法并举”解决抽象函数性质问题
[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y ),f (x +2)=-f (x )且f (x )在[-1,0]上是增函数,给出下列四个命题:①f (x )是周期函数;②f (x )的图象关于x =1对称;③f (x )在[1,2]上是减函数;④f (2)=f (0),其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来).
[分析关系] ①f (x +y )=f (x )+f (y )隐含了用什么结论?什么方法探究? ②f (x +2)=-f (x ),隐含了什么结论?用什么方法探究.
③若f (x )的图象关于x =1对称,其解析式具备什么等式关系?从何处理探究? ④f (x )在[-1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系?依据什么指导? ⑤f (2),f (0)从何处计算.
[解析]第一步:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈R恒成立.
(赋值法):令x=y=0,∴f(0)=0.
令x+y=0,∴y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
第二步:∵f(x)在x∈[-1,0]上为增函数,又f(x)为奇函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数.
第三步:由f(x+2)=-f(x)?f(x+4)=-f(x+2)
?f(x+4)=f(x),
(代换法)∴周期T=4,即f(x)为周期函数.
第四步:f(x+2)=-f(x)?f(-x+2)=-f(-x).(代换法)
又∵f(x)为奇函数,∴f(2-x)=f(x),∴关于x=1对称.
第五步:由f(x)在[0,1]上为增函数,又关于x=1对称,
∴[1,2]上为减函数.(对称法)
第六步:由f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0).(赋值法)
[答案]①②③④
[回顾反思]此题用图象法更直观.
[高考真题体验]
1.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()
A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析:选C.由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.
2.(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x >12时,)21
()21(-=+x f x f .则f (6)=( )
A .-2
B .-1
C .0
D .2
解析:选D.由题意可知,当-1≤x ≤1时,f (x )为奇函数,且当x >1
2时,f (x +1)=f (x ),所以f (6)=f (5×1+1)=f (1).而f (1)=-f (-1)=-[(-1)3-1]=2,所以f (6)=2.故选D.
3.(2016·高考四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )
=4x ,则)2
5
(-f +f (1)=________.
解析:综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值. ∵f (x )为奇函数,周期为2,
∴f (1)=f (1-2)=f (-1)=-f (1),∴f (1)=0.
∵f (x )=4x ,x ∈(0,1),∴)25(-f =)2
1
()21()225(f f f -=-=+-
=-4?12=-2.∴)25
(-f +f (1)=-2.
答案:-2
4.(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =________. 解析:由题意得f (x )=x ln(x +a +x 2)=f (-x )= -x ln(a +x 2-x ),所以a +x 2+x =1
a +x 2-x
,解得a =1.
答案:1
5.(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=
???
-4x 2
+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,
则)23(f =________.
解析:由已知易得)21(-f =12)21(42=+-?-,又由函数的周期为2,可得)23(f =)2
1
(-f =
1. 答案:1
课时规范训练 A 组 基础演练
1.下列函数中为偶函数的是( )
A .y =x 2sin x
B .y =x 2cos x
C .y =|ln x |
D .y =2-
x
解析:选B.因为y =x 2是偶函数,y =sin x 是奇函数,y =cos x 是偶函数,所以A 选项为奇函数,B 选项为偶函数;C 选项中函数图象是把对数函数y =ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到
x 轴上方,其余部分的图象保持不变,故为非奇非偶函数;D 选项为指数函数y =x )21
(,是非
奇非偶函数.
2.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A .y =2|x |
B .y =lg(x +x 2+1)
C .x x y -+=22
D .y =lg
1x +1
解析:选D.选项D 中函数定义域为(-1,+∞),不关于原点对称,故y =lg 1
x +1
不是奇函数也不是偶函数,选项A 为偶函数,选项B 为奇函数,选项C 为偶函数.
3.若f (x )是R 上周期为5的奇函数,且满足f (1)=1,f (2)=2,则f (3)-f (4)等于( ) A .-1 B .1 C .-2 D .2
解析:选A.由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)=f (-2)=-f (2)=-2, f (4)=f (-1)=-f (1)=-1,∴f (3)-f (4)=-1,故选A.
4.已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+1
x ,则f (-1)=( ) A .-2 B .0 C .1 D .2 解析:选A.当x >0时,f (x )=x 2+1
x , ∴f (1)=12+1
1=2.
∵f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1)=-2.
5.设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=???
4x 2
-2,-2≤x ≤0
x ,0<x <1
,
则)2
5
(f =( )
A .0
B .1 C.1
2 D .-1
解析:选D.因为f (x )是周期为3的周期函数,所以)25(f =)21()321(-=+-f f =4×2)2
1
(--2
=-1,故选D.
6.函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x +2)=1
f (x )
,若f (1)=-5,则f (f (5))=________. 解析:f (x +2)=
1f (x ),∴f (x +4)=1f (x +2)
=f (x ), ∴f (5)=f (1)=-5,∴f (f (5))=f (-5)=f (3)=1f (1)
=-1
5. 答案:-1
5
7.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,f (2)=1,且对任意的x ∈R ,都有f (x +3)=f (x ),则f (2 017)=________.
解析:由f (x +3)=f (x )得函数f (x )的周期T =3,
则f (2 017)=f (1)=f (-2),又f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (2 017)=f (2)=1. 答案:1
8.函数f (x )=e x +x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和,则g (0)=________. 解析:由题意可知h (x )+g (x )=e x +x ①,
用-x 代替x 得h (-x )+g (-x )=e -x -x ,因为h (x )为奇函数,g (x )为偶函数,所以 -h (x )+g (x )=x e x -- ②.
由(①+②)÷2得g (x )=e x +e -x 2,所以g (0)=e 0+e 02=1. 答案:1
9.已知f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式. 解:设x ∈(0,+∞),∴-x ∈(-∞,0),∴f (-x )=x lg(2+x ), ∵f (x )为奇函数,f (-x )=-f (x ),
∴-f (x )=x lg(2+x ),∴f (x )=-x lg(2+x ). 又∵当x =0时,f (0)=0,适合f (x )=-x lg(2+x ) ∴f (x )=???
-x lg (2+x ) x ∈[0,+∞)-x lg (2-x ) x ∈(-∞,0)
10.已知函数f (x )=x 2+a
x (x ≠0,常数a ∈R ). (1)讨论函数f (x )的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f (x )在[2,+∞)上为增函数,求实数a 的取值范围. 解:(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}, 当a =0时,f (x )=x 2(x ≠0),显然为偶函数;
当a ≠0时,f (1)=1+a ,f (-1)=1-a , 因此f (1)≠f (-1),且f (-1)≠-f (1),
所以函数f (x )=x 2+a
x (x ≠0)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)f ′(x )=2x -a x 2=2x 3
-a
x 2,当a ≤0时,f ′(x )>0,则f (x )在[2,+∞)上是增函数;当a >0
时,令f ′(x )=2x 3-a x 2≥0,解得x ≥32a ,由f (x )在[2,+∞)上是增函数,可知32a
≤2,解得
0<a ≤16.
综上,实数a 的取值范围是(-∞,16].
B 组 能力突破
1.若f (x )是定义在R 上的函数,则“f (0)=0”是“函数f (x )为奇函数”的 ( ) A .必要不充分条件 B .充要条件
C .充分不必要条件
D .既不充分也不必要条件
解析:选A.f (x )在R 上为奇函数?f (0)=0;f (0)=0f (x )在R 上为奇函数,如f (x )=x 2,故选
A.
2.已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )+g (x )=x x a a --+2(a >0,且a ≠1).若g (2)=a ,则f (2)等于( )
A .2 B.154 C.17
4 D .a 2 解析:选B.∵f (x )为奇函数,g (x )为偶函数, ∴f (-2)=-f (2),g (-2)=g (2)=a , ∵f (2)+g (2)=a 2-a -2+2,①
∴f (-2)+g (-2)=g (2)-f (2)=a -2-a 2+2,② 由①、②联立,g (2)=a =2,f (2)=a 2-a -2=15
4.
3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A .f (-25)<f (11)<f (80) B .f (80)<f (11)<f (-25) C .f (11)<f (80)<f (-25) D .f (-25)<f (80)<f (11)
解析:选D.由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知,f (x )在[-2,2]上递增,又f (x -4)=-f (x )?f (x -8)=-f (x -4)=f (x ), 故函数f (x )是以8为周期的周期函数. f (-25)=f (-1),f (11)=f (3)=-f (3-4)=f (1),
f (80)=f (0),故f (-25)<f (80)<f (11).
4.定义在R 上的函数f (x ),对任意x 均有f (x )=f (x +2)+f (x -2)且f (2 016)=2 016,则f (2 028)=________.
解析:∵x ∈R ,f (x )=f (x +2)+f (x -2),
∴f (x +4)=f (x +2)-f (x )=-f (x -2),∴f (x +6)=-f (x ),∴f (x +12)=f (x ), 则函数f (x )是以12为周期的函数.又∵f (2 016)=2 016, ∴f (2 028)=f (2 028-12)=f (2 016)=2 016. 答案:2 016
5.函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有)()()(2121x f x f x x f +=?. (1)求f (1)的值;
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f (4)=1,f (x -1)<2,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围. 解:(1)∵对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2), ∴令x 1=x 2=1,得f (1)=2f (1),∴f (1)=0.
(2)令x 1=x 2=-1,有f (1)=f (-1)+f (-1),∴f (-1)=1
2f (1)=0. 令x 1=-1,x 2=x ,有f (-x )=f (-1)+f (x ), ∴f (-x )=f (x ),∴f (x )为偶函数.
(3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2,由(2)知,f (x )是偶函数, ∴f (x -1)<2?f (|x -1|)<f (16).又f (x )在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x -1|<16,解得-15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |-15<x <17且x ≠1}.
1.3.2 函数的奇偶性 教材分析: 函数的奇偶性选自人教版高中新课程教材必修1第一章第三节《函数的基本性质》的内容,本节安排为二课时,《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。 从在教材中的地位与作用来看,函数是高中数学学习中的重点和难点,函数的思想贯穿整个高中数学。而函数的奇偶性是函数的重要性质之一,它与现实生活中的对称性密切联系,为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。因此,本节课的内容是十分重要的。 学情分析: 授课对象为xxxx中学高一(x)班的学生,从学生现有的学习能力来看,学生已具有一定的分析问题和解决问题的能力,能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想,使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。教学目标: 1、知识与技能目标: 通过本节课,学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义,掌握判别函数奇偶性的方法。 2、过程与方法目标: 通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换,让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程,体验数学概念学习的方法,积累数学学习的经验。 3、情感态度与价值观目标: 在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、概括的能力,使学生养成善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
教学重难点: 重点:函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。 难点:理解函数奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法。 教法分析: 为了实现本节课的教学目标,在教法上,我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境,启发学生自主思考,归纳共同点,从而调动学生主体参与的积极性。 在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念,在给出偶函数的定义之后,让学生类比得出奇函数的定义。 教学过程: 一、知识回顾 平面直角坐标系中的任意一点P(a,b)关于X轴、Y轴及原点对称的点的坐标各是什么? (1)点P(a, b)关于x轴的对称点的坐标为P(a,-b) .其坐标特征为:横坐标不变,纵坐标变为相反数; (2)点P(a, b)关于y轴的对称点的坐标为P(- a, b) ,其坐标特征为:纵坐标不变,横坐标变为相反数; (3)点P(a, b) 关于原点对称点的坐标为P(-a,-b) ,其坐标特征为:横坐标变为相反数,纵坐标也变为相反数. 二、新课教学 (一)偶函数
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
【知识要点】 一、函数的奇偶性的定义 对于函数()f x ,其定义域D 关于原点对称,如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=-,那么函数()f x 为奇函数;如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=,那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质 1、奇偶函数的定义域关于原点对称; 2、 偶函数的图像关于y 轴对称,奇函数的图像关于原点对称; 3、偶函数在对称区间的增减性相同,奇函数在对称区间的增减性相反; 4、 奇函数在原点有定义时,必有 (0)0f =. 三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法,一般有三种:定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求()f x -;最后比较()f x -和()f x 的关系,如果有()f x -=()f x ,则函数是偶函数,如果有()f x -=-()f x ,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数. 2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个x ,若()()0f x f x -+=,则()f x 是奇函数;若()()0f x f x --=,则()f x 是偶函数. 3、 作商判别法 对于函数定义域内任意一个x ,设()0f x -≠,若()1()f x f x =--,则()f x 是奇函数,() 1() f x f x =-,则()f x 是偶函数. 【方法讲评】
方法一 定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用. 解题步骤 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求()f x -;最后比较()f x -和()f x 的关 系,如果有()f x -=()f x ,则函数是偶函数,如果有()f x -=-()f x ,则函数是奇函数,否 则是非奇非偶函数. 【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)x x x x f -+-=11)1()( (2)2lg(1) ()22 x f x x -=-- 【点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称,是函数为奇偶函数的必要非充分条件.(3)函数的定义域求出来之后,还要注意在解题中应用,不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简. 【例2】 定义在实数集上的函数()f x ,对任意x y R ∈、,有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =? 且(0)0f ≠ ①求证:(0)1f = ②求证:()y f x =是偶函数
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
函数的奇偶性 【知识要点】 1.函数奇偶性的定义:一般地,对于函数 f (x) 定义域内的任意一个x,都有 f (x) f (x), 那么函数f ( x)f (x) f ( x) 叫偶函数(, 那么函数 even function).如果对于函数定义域内的任意一个 f ( x) 叫奇函数( odd function). x,都有 2.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,反之亦真.由此,可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性,也可由函数的奇偶性作函数的图象. 3.判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (x)与 f ( x) 的关系; (1)奇函数 f (x) 1( f (x) 0) ; f ( x)f (x)f ( x) f (x) 0 f (x) (2)偶函数 f x f x f xf x f x 0 1 f x 0 . f x 4.函数奇偶性的几个性质: (1)奇偶函数的定义域关于原点对称,在判断函数奇偶性时,应先考察函数的定义域;(2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立; (3)若奇函数 f x在原点有意义,则 f 00 ; (4)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数,又不是偶函数; (5)在公共的定义域内:两个奇(偶)函数的和与差仍是奇(偶)函数;两个奇(偶)函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数; (6)函数 f x与函数 1 有相同的奇偶性 . f x
5.奇偶性与单调性: (1)奇函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相同的单调性; (2)偶函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相反的单调性 . 【典例精讲】 类型一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1) f x x 2 2 x ; (2) f x 1 x 2 x 2 1 ; (3) f x ax b ax b a b 0 ; 1 1 (4) f x x ; 2 x 1 2 x 2 x 1, x x 2 2x 3, x 0, (5) f ( x) 0, x 0, 2 x 1, x ( 6) f ( x)0, x 0; 2x 3, x 0. x 2 变式 判断下列函数的奇偶性: 4 5 1 1 (1) f ( x )= x ; (2) f ( x )= x ; (3)f ( x )= x + x 2 ;(4) f ( x )= x 2 . ( 5) f ( x ) x 3 2 x ( 6) f ( x) 2 x 4 4 x 2 ( ) y ax b ( a 0, b 0) ( 8) y x ( k 0) 7 x k x 2
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
第7讲 函数的奇偶性 [玩前必备] 1.函数奇偶性的定义 (1)奇函数:设函数y =f (x )的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有-x ∈D ,且f (-x )=-f (x ),则这个函数叫做奇函数. (2)设函数y =g (x )的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有-x ∈D ,且g (-x )=g (x ),则这个函数叫做偶函数. 2.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数. 3.判断奇偶性的步骤 . 4.奇偶性的有关结论 (1)若奇函数在0x =处有意义,则有(0)0f =. (2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同; 偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。 [玩转典例] 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性.
(1)f (x )=x 2(x 2+2); (2)f (x )=x x -1 ; (3)f (x )=x 2-1+1-x 2. [玩转跟踪] 1.判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=x ; (2)f (x )=1-x 2 x ; 2.判断函数的奇偶性:24()|3|3 x f x x ; 例2 判断函数22,0(),0x x x f x x x x 的奇偶性. [玩转跟踪] 1.判断函数122+-=x x y 的奇偶性,并指出它的单调区间. 题型二 已知函数奇偶性求参数值 例3 (1)若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,定义域为[a -1,2a ],则a =________, b =________. (2)设函数(1)()() x x a f x x 为奇函数,则a =________. [玩转跟踪] 1.若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________. 2.定义在)1,1(-上的奇函数1 )(2+++=nx x m x x f ,则常数=m ____,=n _____
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+--
第 1 页 共 5 页 2021年新高考数学总复习第7讲:函数的奇偶性与周期性 1.(2020·重庆一中月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( ) A .y =x -1 B .y =lnx 2 C .y =cosx x D .y =-x 2 答案 D 解析 由函数的奇偶性排除A 、C ,由函数的单调性排除B ,由y =-x 2的图象可知当x>0时,此函数为减函数,又该函数为偶函数.故选D. 2.(2020·唐山市高三测试)设函数f(x)=x(e x +e -x ),则f(x)( ) A .是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B .是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 C .是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减 D .是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 答案 A 解析 方法一:由条件可知,f(-x)=(-x)(e -x +e x )=-x(e x +e -x )=-f(x),故f(x)为奇函数.f ′(x)=e x +e -x +x(e x -e -x ),当x>0时,e x >e -x ,所以x(e x -e -x )>0,又e x +e -x >0,所以f ′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选A. 方法二:根据题意知f(-1)=-f(1),所以排除B 、D.易知f(1)函数的奇偶性与周期性试题(答案)