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二项式定理典型例题解析

二项式定理概念篇

【例1】求二项式(a －2b )4

的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开.

解：根据二项式定理得(a －2b )4

=C 04a 4

+C 14a 3

(－2b )+C 24a 2

(－2b )2

+C 34a (－2b )3

+C 4

4(－

2b )4

=a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4.

说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略.

【例2】展开(2x －223x

. 分析一：直接用二项式定理展开式.

解法一：(2x －

223x )5=C 05(2x )5+C 1

5(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x

)2+C 35(2x )2(－223x

+ C 45 (2x )(－

223x )4+C 55(－223x

=32x 5－120x 2+x 180

－4135x

+78405x －1032243x .

分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.

解法二：(2x －223x

)5=105

332)34(x x

=10

321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5

］

321x

(1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3

－243) =32x 5－120x 2+x 180

－4135x

+78405x －10

32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n

的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.

【例3】在(x －3)10

的展开式中，x 6

的系数是 .

解法一：根据二项式定理可知x 6

的系数是C 4

10.

解法二：(x －3)10

的展开式的通项是T r +1=C r 10x

10－r

(－3)r

令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6

项为第5项，即T 4+1=C 410x 6

(－3)4

=9C 410x 6

. ∴x 6

的系数为9C 410.

上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？

问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6

的二项式系数，所以应是解法二正确.

如果问题改为求含x 6

的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4

10.

说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.

【例4】已知二项式(3x －x

32)10

， (1)求其展开式第四项的二项式系数； (2)求其展开式第四项的系数； (3)求其第四项.

分析：直接用二项式定理展开式.

解：(3x －

x 32)10的展开式的通项是T r +1=C r

10(3x )10－r (－x

32)r (r =0，1，…，10). (1)展开式的第4项的二项式系数为C 3

10=120.

(2)展开式的第4项的系数为C 3

1037

(－

32)3

=－77760. (3)展开式的第4项为－77760(x )7

31x ，即－77760x .

说明：注意把(3x －

x 32)10写成［3x +(－x 32)］10

，从而凑成二项式定理的形式. 【例5】求二项式(x 2

21)10的展开式中的常数项.

分析：展开式中第r +1项为C r

10(x 2)10－r (x

21)r ，要使得它是常数项，必须使“x ”的指

数为零，依据是x 0

=1，x ≠0.

解：设第r +1项为常数项，则

r +1=C r 10(

x 2)

10－r

(

21)

=C r 10

x r 2

520-(

21)r (r =0，1，…，10)，令20－2

r =0，得r =8. ∴T 9=C 8

10(

21)8=256

. ∴第9项为常数项，其值为

256

. 说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r +1

中的变元的指数为零的方法求得常数项.

【例6】 (1)求(1+2x )7

展开式中系数最大项；

(2)求(1－2x )7

展开式中系数最大项.

分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.

解：(1)设第r +1项系数最大，则有?????≥≥++--,

2C 2C ,

2C 2C 11771177r r r r r r r r

即????

???--+≥-+--≥---,2!)17(!)1(!72!

)7(!!7,2!)17(!)1(!72!)7(!!711

r r r r r r r r r r r r

化简得???

???

?≥≤???????+≥--≥.313,316

.1271,812r r r r r r 解得又∵0≤r ≤7，∴r =5.

∴系数最大项为T 6=C 5725x 5

=672x 5

(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取

得.又因(1－2x )7

括号的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值

必在中间或偏右，故只需比较T 5和T 7两项系数的大小即可.6

67447)2(C )2(C --=17

7C 4C ＞1，所以系数最大项为第五项，即T 5=560x 4

说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.

【例7】 (1+2x )n

的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.

解：T 6=C 5n (2x )5

，T 7=C 6n (2x )6

，依题意有C 5n 25

=C 6

n 26

，解得n =8. (1+2x )8

的展开式中，

二项式系数最大的项为T 5=C 4n (2x )4

=1120x 4

设第r +1项系数最大，则有?????≥≥++--.2C 2C ,

2C 2C 1177

177r r r r r r r r

∴5≤r ≤6.∴r =5或r =6. ∴系数最大的项为T 6=1792x 5，T 7=1792x 6

说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.

(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.

应用篇

【例8】若n ∈N *

，(2+1)n

=2a n +b n (a n 、b n ∈Z )，则b n 的值( ) A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.与b n 的奇偶性相反

D.与a 有相同的奇偶性

分析一：形如二项式定理可以展开后考查.

解法一：由(2+1)n =2a n +b n ，知2a n +b n =(1+2)n

=C 0n +C 1

2+C 2n (2)2

+C 3n (2)3

+ … +C n

n (2)n

∴b n =1+C 2n (2)2

+C 4

n (2)4

+ …

∴b n 为奇数. 答案：A

分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法. 解法二：n ∈N *

，取n =1时，(2+1)1

=(2+1)，有b 1=1为奇数. 取n =2时，(2+1)2

=22+5，有b 2=5为奇数.

答案：A

【例9】若将(x +y +z )10

展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为( ) A.11 B.33 C.55

D.66

分析：(x +y +z )10

看作二项式10

)(］［z y x ++展开.

解：我们把x +y +z 看成(x +y )+z ，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x +y +z )10

)(］［z y x ++=

∑=10

k k

(x +y )

10－k z k

这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式(x +y )

10－k

展开，不

同的乘积C k

10(x +y )

10－k z k

(k =0，1，…，10)展开后，都不会出现同类项.

下面，再分别考虑每一个乘积C k

10(x +y )

10－k z k

(k =0，1，…，10).

其中每一个乘积展开后的项数由(x +y )10－k

决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+…+1=66.

答案：D

说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.

【例10】求(｜x ｜+|

|1x －2)3

展开式中的常数项.

分析：把原式变形为二项式定理标准形状. 解：∵(｜x ｜+

||1x －2)3=(||x －|

|1x )6

， ∴展开式的通项是T r +1=C r

6(||x )

6－r

(－

|1x )r =(－1)r C r 6(||x )6－2r

. 若T r +1为常数项，则6－2r =0，r =3.

∴展开式的第4项为常数项，即T 4=－C 36=－20.

说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解. 【例11】求(x －3x )9

展开式中的有理项.

分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x 的指数为整数的项.

解：∵T r +1=C r 9

(x 2

9－r

(－x 3

)r =(－1)

C r 9

27r -.

令

627r -∈Z ，即4+6

-∈Z ，且r =0，1，2， (9)

∴r =3或r =9.

当r =3时，

627r -=4，T 4=(－1)3C 39x 4=－84x 4

. 当r =9时，6

27r -=3，T 10=(－1)9C 99x 3=－x 3

∴(x －3x )9

的展开式中的有理项是第4项－84x 4

，第10项－x 3

说明：利用二项展开式的通项T r +1可求展开式中某些特定项.

【例12】若(3x －1)7=a 7x 7+a 6x 6

+ … +a 1x +a 0，求 (1)a 1+a 2…+a 7； (2)a 1+a 3+a 5+a 7； (3)a 0+a 2+a 4+a 6.

分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决.

解：(1)令x =0，则a 0=－1，令x =1，则a 7+a 6+ … +a 1+a 0=27

=128.

①

∴a 1+a 2+…+a 7=129.

(2)令x =－1，则a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=(－4)7

②

由

2)2()1(-得：a 1+a 3+a 5+a 7=21［128－(－4)7

］=8256. (3)由2)2()1(+得a 0+a 2+a 4+a 6=2

1［128+(－4)7

］=－8128.

说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式.

(2)一般地，对于多项式g (x )=(px +q )n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7

，g (x )各项的

系数和为g (1)，g (x )的奇数项的系数和为21［g (1)+g (－1)］，g (x )的偶数项的系数和为2

［g (1)－g (－1)］.

【例13】证明下列各式

(1)1+2C 1n +4C 2

n + … +2

n －1

C 1-n n +2n

C n

n =3n

；

(2)(C 0n )2

+(C 1n )2

+ … +(C n n )2

=C n

n 2； (3)C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n n =n 2

n －1

分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通项寻求规律.

证明：(1)在二项展开式(a +b )n

=C 0n a n

+C 1n a

n －1

b +C 2n a n －2b 2+ … +C 1

-n n ab n －1+C n n b n 中，

令a =1，b =2，得(1+2)n

=1+2C 1n +4C 2

n + … +2n －1

C 1-n n +2n

C n

n ，即

1+2C 1n +4C 2n + … +2

n －1

C 1-n n +2n

C n

n =3n

(2)(1+x )n

(1+x )n

=(1+x )2n

，

∴(1+C 1n x +C 2n x 2

+ … +C r n x r + … +x n )(1+C 1n x +C 2n x 2+ … +C r

n x r + … +x n )=(1+x )2n

而C n n 2是(1+x )2n

的展开式中x n

的系数，由多项式的恒等定理，得

C 0n C n n +C 1n C 1-n n + … +C 1n C 1-n n +C n n C 0n =C n n 2. ∵C m n =C m n n

-，0≤m ≤n ， ∴(C 0n )2

+(C 1n )2

+ … +(C n n )2

=C n n 2.

(3)证法一：令S =C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n

n . ①

令S =C 1n +2C 2n + … +(n －1)C 1-n n +n C n n =n C n n +(n －1)C 1-n n + … +2C 2n +C 1n =n C n n +(n －1)C 1n + … +2C 2-n n

+C 1-n n . ②

由①+②得2S =n C 1n +n C 2n +n C 3n + … +n C n n =n (C n n +C 1n +C 2n +C 3n + … +C n n ) =n (C 0n +C 1n +C 2n +C 3n + … +C n n )=n 2n

∴S =n 2

n －1，即C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n

n =n 2

n －1

. 证法二：观察通项：k C k n =k 1

1C !

)(!)1(!)1(!)(!--=---=-k n n k n k n n k n k n .

∴原式=n C 01-n +n C 11-n +n C 21-n +n C 31-n + … +n C 11--n n =n (C 01-n +C 11-n +C 21-n +C 31-n +…+C 1

1--n n )=n 2

－1

，

即C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n n =n 2

n －1

说明：解法二中k C k n =n C 11--k n 可作为性质记住.

【例14】求1.9975

精确到0.001的近似值.

分析：准确使用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=2－0.003.

解：1.9975=(2－0.003)5

=25

－C 1524

0.003+C 2523

0.0032

－C 3

522

0.0033

+…

≈32－0.24+0.00072≈31.761.

说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.

【例15】求证：5151

－1能被7整除.

分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式.

证明：5151

－1=(49+2)51

－1=C 0514951

+C 1514950

2+ … +C 505149·250

+C 51

51251

－1，

易知除C 5151251

－1以外各项都能被7整除.

又251

－1=(23)17

－1=(7+1)17

－1=C 017717

+C 117716

+ … +C 16177+C 1717－1=7(C 017716

+C 117715

+…

+C 1617).

显然能被7整除，所以5151

－1能被7整除. 说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.

创新篇

【例16】已知(x lg x

+1)n

的展开式的最后三项系数之和为22，中间一项为20000.求x . 分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！

解：由已知C n n +C 1-n n +C 2

-n n

=22，即n 2

+n －42=0. 又n ∈N *

，∴n =6. T 4为中间一项，T 4=C 36 (x lg x )3=20000，即(x lg x )3=1000. x lg x =10.

两边取常用对数，有lg 2

x =1，lg x =±1，∴x =10或x =10

说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解.

【例17】设f (x )=(1+x )m +(1+x )n (m ，n ∈N *

)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为

11，问m ，n 为何值时，含x 2

项的系数取最小值？并求这个最小值.

分析：根据已知条件得到x 2

的系数是关于x 的二次表达式，然后利用二次函数性质探

讨最小值问题.

解：C 1m

+C 1n

=n +m

=11. C 2m +C 2n

1(m 2－m +n 2

－n )=21122-+n m ，

∵n ∈N *

，

∴n =6或5，m =5或6时，x 2

项系数最小，最小值为25. 说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题.

【例18】若(x +

1－2)n

的展开式的常数项为－20，求n . 分析：题中x ≠0，当x ＞0时，把三项式(x +x 1－2)n

转化为(x －x

1)2n ；当x ＜0时，

同理(x +x 1－2)n =(－1)n

(x －x

1)2n .然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n .

解：当x ＞0时，(x +x 1－2)n

=(x －x

1)2n ，

其通项为T r +1=C r n 2(x )2n －r (－x

1)r =(－1)r C r n 2(x )

2n －2r

. 令2n －2r =0，得n =r ，∴展开式的常数项为(－1)r

C n n 2；

当x ＜0时，(x +

x 1－2)n =(－1)n (x －x

1)2n .同理可得，展开式的常数项为(－1)r

C n n 2. 无论哪一种情况，常数项均为(－1)r

C n n 2.

令(－1)r

C n n 2=20.以n =1，2，3，…，逐个代入，得n =3.

说明：本题易忽略x ＜0的情况.

【例19】利用二项式定理证明(32)n －1＜1

+n .

分析：

12+n 不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数2

+n . 证明：欲证(32)n －1＜12

+n 成立，只需证(23)n －1＜2

1+n 成立.

而(23)n －1=(1+21)n －1=C 01-n +C 11-n 21+C 21-n (21)2+ … +C 11--n n (

21)n －1

=1+21-n +C 21-n (21)2+ … +C 11--n n (

21)n －1

＞2

1+n .

说明：本题目的证明过程中将(23)n －1转化为(1+2

1)n －1

，然后利用二项式定理展开式是

解决本问题的关键.

【例20】求证：2≤(1+n

1)n ＜3(n ∈N *

). 分析：(1+

1)n

与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析. 证明：当n =1时，(1+n

1)n

=2.

(完整版)二项式定理典型例题解析

二项式定理概念篇【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项

高考理科数学复习排列组合二项式定理真题解析

专题10 排列组合二项式定理排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法．这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力． §10－1 排列组合【知识要点】 1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合． 3．组合数的性质： (1)； (2)．【复习要求】理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性．熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证．正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件．【例题分析】例1 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法? (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法? ?=-=-=m n m n m n m n A A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!m n n m n C C -=1 1-++=m n m n m n C C C

【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法． (2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法．例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法．【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2．在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题．例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下：第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2， 4，6位共有种排法．由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种． 3 4A 2 2A 37A 3 7A

二项式定理经典习题及标准答案

二项式定理经典习题及答案

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二项式定理 1. 求()x x 2 9 12- 展开式的：（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）x 9 的系数。分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C 95 126=；（2）T C x x x 392 27 2 12129=??-=()()，故第3项的系数为9；（3）T C x x C x r r r r r r r +--=??- =-?192991831212 ()()()，令1839-=r ，故r ＝3，所求系数是()-=- 1 2 212 393 C 2. 求证：51151 -能被7整除。分析：5114921494924922151 51 5105151150515150515151 -=+-=+?++?+-()C C C C Λ，除C 5151 51 2 1-以外各项都能被7整除。又C C C C C 5151 51 31717170171711617161717 2 1217117771?-=-=+-=++++-()()Λ 显然能被7整除，所以51151 -能被7整除。 3. 求9192 除以100的余数。分析：91 90190909092 92920929219192919292=+=++++()C C C C Λ 由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 9291 9292 9082818210081+==?+ 故9192 除以100的余数为81。 4.（2009北京卷文）若4 (12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += A ．33 B ． 29 C ．23 D ．19 【答案】B .w 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵() () ()() () ()4 1 2 3 4 012344 4 4 4 4 12 22222C C C C C +=++++ 1421282417122=++++=+，由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B . 5.（2009北京卷理）若5 (12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵

二项式定理练习题求展开式系数的常见类型

二项式定理 1．在()103x -的展开式中，6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 . 7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．

14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________． 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________． 19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开．解：方法一：[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5 x 项的系数为6．例3 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ；

（2）)12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n ．分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边．例4 展开5 2232??? ? ?-x x ．例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开，不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) (（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项．下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 典型例题一例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页系数和为n 3．典型例题四例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

二项式定理典型例题

高考数学专题复习二项式定理练习题 1.在二项式（仮的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项. I 2仮丿分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =01,2. 1 1 1 1 得系数为：1 =1,上 2 =。；一 =— n,t 3 = cn — = —ng-1 ), 2 2 4 8 1 由已知：2t 2 =匕叫 3 n= 1 + — n(n —1), 8 ??? n =8 通项公式为 _ 16 J3r 1 --- TF=c8-rx 4 r =0,1,2" 8,Tr + 为有理项，故 16 —3r 是 4 的倍数, 2 /. r =0,4,8. 依次得到有理项为「= X 4 ,丁5 = C ； —4 X =— X ,T 9 = c 8 A x° =—— x 2 ? 2 8 2 256 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类似地，（J 2 +3 /3）100 的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中系数和为3n . 2. （1）求（1 —x ）3 （1+x ）10 展开式中X 5 的系数；（2）求（x + 1 +2）6 展开式中的常数项. X 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式. 解：（1 ）（1-x ）3 （1 +x ）10 展开式中的X 5 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用（1 —X ）3 展开式中的常数项乘以（1 +x ）10 展开式中的 X 5 项，可以得到 C lo X 5 ;用 “c"严k 丿 2n J3r =c n 2^ x 4 r 的取值，得到共有（1）可以

二项式定理典型例题(含解答)复习课程

解：二项式的展开式的通项公式为: ‘ 2n 3r c r 丄 >r~4~ C n r X 2 前三项的r 0,1,2.得系数为: t 1 1,t 2 2 2n,t 3 c ： 2 2 8n(n 1)，由已知：2t 2 t 1 t 3 n 1 (n 1)， ??? n 8 16 3r 通项公式为 T r1 C8 P 「 01,2 8,T r 1为有理项，故16 3r 是4的倍数, 8 1 2 1 2 C g - 8 x x ? 28 256 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 ? r 0,4,8.依次得到有理项为T i X 4 ,T 5 C 8^4X ^^X ,T 9 2 8 似地，(■： 2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有典型例题四 3 10 R 1 6 例4( 1 )求(1 X) (1 X)展开式中X 的系数；(2)求(X 2)展开式中的常数项. X 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，视为两个二项展开式相乘； (2)可以经过代数式变形转化为二项式. (1)可以解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X 5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用(1 X)3 展开式中的常数项乘以 (1 X)10 展开式中的 X 5 项，可以得到 C 10X 5 ；用 (1 x)3展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X 4项可得到(3x)(C ：o X 4) 3C 4°X 5 ； 3 2 10 用(1 X)中的X 乘以(1 X)展开式中的 3 2 x 可得到3x 3 3 3 5 m C 10X 3C 10X ；用 (1 3 X)中的 X 3 项乘以 (1 X)10展开式中的X 2 项可得到 C 3 2 2 3x C 10 x C 20X 5，合并同类项得 X 5 项为: (C 0 C 4。 3C 3。 C 0)X 5 63X 5 . (2) (X 12 1 X ?由 X 1 x 12 展开式的通项公式 T r ' 2)12 C 12 X 6 r ，可得展开式的常数项为 C ：2 924 二项式定理典型例题典型例题一 n 例1在二项式 x 1 的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项. 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=，变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理(基础+复习+习题+练习)

课题：二项式定理考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +，令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +

(完整版)二项式定理典型例题

1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；

二项式定理知识点及典型题型总结

二项式定理一、基本知识点 1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n 2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数（4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ 3、展开式的特点（1）系数都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C n n (2)指数的特点①a 的指数由n 0( 降幂)。 ②b 的指数由0 n （升幂）。 ③a 和b 的指数和为n 。 (3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。 4、二项式系数的性质：（1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即（2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C （3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210=+???++???+++∴0213 n-1 n n n n C +C +=C +C + =2

二项式定理的常见题型一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(x x +的展开式；a 2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(x x -的展开式； 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-；二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9 ，常数a 的值为 2．确定二项展开式的常数项

高考二项式定理典型例题

二项式定理 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=，变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理十大典型问题与例题

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L

二项式定理练习题.doc

10.3二项式定理【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( 二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。 2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =???）（1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项（2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数。（3）注意0,1,2,,r n =??? 3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即 m n C =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。（3）所有二项式系数的和等于2n ，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ 4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ???的性质：对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++???+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+???+-=- 5、证明组合恒等式常用赋值法。【例题精讲】例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1

二项式定理典型例题分析

二项式定理典型例题分析例1的近似值（精确到）是．分析例2 除以100的余数是．分析：转化为二项式的展开式求解．．上式中只有最后两项不能被100整除．8281除以100的余数为81，所以除以100的余数为81．例3（l）若的展开式中，的系数是的系数的7倍，求；（2）已知的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求；《（3）已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求．解：（l）依题意，即，由可整理，得，解得. （2）依题意，整理，得 ∵ ∴，解得. （3）依题意，整理，得，两边取对数，得，解得或.

∴，或. & 点评的展开式及其通项公式，是，，，四个基本量的统一体，已知与未知是相对的，运用方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．例4（1）已知，那么=_________. （2）=___________. 分析（1）令，得，而； ∴ （2）在二项展开式中，令，则左式，右式 ∴. 点评这是一组求二项展开式的各项系数和的题目，求解的依据是 ( 与. 这两个等式都是恒等式，因此赋予字母，及以某些特定数值时，等式依然成立．例5（1）展开式中常数项是．（2）的展开式中的系数为．（3）展开式中，的系数等于．分析：（1），展开式的常数项恰为中间项．

（2），其展开式的系数为．本题也可把看作5个的因式连乘， , 欲得到含的项，只需在5个因式中送1个含，其余4个选常数2，则它的系数是：．（3）．所求项的系数即为展开式中含项的系数是：例6 （1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大项是．分析：（1）由已知，所以． ' （2）由已知，而， ∴ 展开式中二项式系数最大项是第5项．例7已知，那么

二项式定理练习题

二项式定理练习题一、选择题： 1．在() 10 3 x -的展开式中，6 x 的系数为（） A ．610 C 27- B ．410 C 27 C ．6 10C 9- D ．4 10C 9 2．已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（） A ．4 B ．9 C ．10 D ．11 3．已知（n a a )1 3 2 + 的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．5310被8除的余数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（） A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34 6．二项式n 4x 1x 2??? ? ?+ (n ∈N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设(3x 3 1+x 2 1)n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2 项的系数是（） A ．2 1 B ．1 C ．2 D ．3 8．在6 2)1(x x -+的展开式中5 x 的系数为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 9．n x x )(513 1+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（） A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4 x 的系数为（） A ．－40 B ．10 C ．40 D ．45 11．二项式(1+sinx)n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为 2 5 ，则x 在[0，2π]内的值为（） A ． 6π或3π B ．6π或65π C ． 3π或32π D ．3 π或65π 12．在(1+x )5+(1+x )6+(1+x )7的展开式中,含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的（） A ．第2项 B ．第11项 C ．第20项 D ．第24项

二项式定理典型例题解析

）））））））））二项式定理念篇概4. 的展开式b)【例1】求二项式(a－2. 分析：直接利用二项式定理展开42334201324－()+C)+Ca(－2b=Caa+Ca(－2b)+C(－2b2解：根据二项式定理得(a－b)444444 b)2423243. －32bab=ab－8a+24ba+16. b中的符号“－”忽略说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－235－【例2). 】展开(2x2x2. 分析一：直接用二项式定理展开式333355234321032+ )(2x(－)+C(2x)(解法一：(2x－)(2=Cx)－ +C)(2x)(－)+C55552222x2x2x2x2334554－()x)(－) +CC (255 22x22x40524313518025. －+－120x－+=32x1074xx8x32x. 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开53)3?(4x35 x－)=解法二：(2 102x32x2143233353433243120+ －3)(－3)+C(4x)()(4x)(－3)+C(4x)(－3)+C(4x+C=［C(4x)55555 10x3255 3)C］(－513615129=+1620xx(1024x－3840x243) +5760x－－4320 10x3240524313518025. －+－=32x+－120x1074xxx328x n.的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件b)说明：记准、记熟二项式(a+. 对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便6103. 的展开式中，x 的系数是(【例3】在x －)64. 的系数是C解法一：根据二项式定理可知x10r10r10r－33. =Cx((解法二：x－－))T的展开式的通项是+1r104666443=9Cx－)T项为第5项，即=Cx(. r－令10r=6，即=4，由通项公式可知含x4+1101064的系数为9Cx. ∴10上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 66的二项式系数，所以应是解法二正确x问题要求的是求含x.这一项系数，而不是求含64的二项式系数，解法一就正确了，也即是C如果问题改为求含x. 10说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项））））））））））．））））））））） . 式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关210x－】已知二项式(3)，【例4x3 求其展开式第四项的二项式系数；(1) (2)求其展开式第四项的系数；. (3)求其第四项. 分析：直接用二项式定理展开式22r1010rr－xx10). ，1，…，(解：(3－－))的展开式的通项是T=C((3r)=0+1r10x3x33=120. C展开式的第4项的二项式系数为(1)10237377760. )=(2)展开式的第4项的系数为C3(－－10317xx. )，即－77760(777604(3)展开式的第项为－3x221010xx－(3，从而凑成二项式定理的形式)写成［. 3－+()］说明：注意把x3x31210. 的展开式中的常数项+)x【例5】求二项式(x21r2r10r－”的指xx())，要使得它是常数项，必须使“项为分析：展开式中第r+1C(10x200. 数为零，依据是x≠=1，x 项为常数项，则解：设第r+15115r?20rr10r2rr－2)(r=0，1=C，…，x10)，令20－(r=CT(x=0)，得r(=8. )+1r101022x214588)=. (∴T=C910225645. ∴第9项为常数项，其值为256T一般采用令通项说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项

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