近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷

一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = .

2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b +=

.

3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = .

4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =

≤≤≤≤,则

()()

()()

D

af x bf y d f x f y σ++??

= .

5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序

2220

(,)x x dx f x y dy -=?

?

.

二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内）

6.直线l 1:

155

121x y z --+==-与直线l 2:623

x y y z -=??+=?的夹角为 （A ）

2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6

π

. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分

cos 2

0d (cos ,sin )d f r r r r π

θθθθ?

?

可以写成直角坐标中的二次积分为

（A

）100(,)dy f x y dx ?? （B

）1

00(,)dy f x y dx ??

（C

）

10

(,)dx f x y dy ?

?

（D

）10

(,)dx f x y dy ??

[ ]

8.设1, 02

()122, 12

x x f x x x ?

≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=

（A ）

12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3

4

-. [ ] ＜

9.

设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==?

则(,)f x y 在点O (0,0)处

（A ）偏导数存在，函数不连续 （B ）偏导数不存在，函数连续

（C ）偏导数存在，函数连续 （D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题

10.（本题满分10分）求曲线L ：222222

239

3x y z z x y

?++=??=+??在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.

11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求

z z

x y

??+??. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，

求

2

[e

sin()]d x D

x y σ++??.

13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920

335

x y z x y z ?+-=?++=?上的点到xOy 平面的距离最大值与

最小值.

14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分

22 1 d D

x y σ+-??.

15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知

2

22222

(,)(

)(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y

=++-++++. 求(,)u x y .

浙江大学2007－2008学年春季学期

《微积分II 》课程期末考试试卷答案

一、填空题（每小题5分，共25分） 1．23

1

421=-++=

d .

2．a b +==== 3．()()

dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+?'+'+?'= 4．()()()()()()()()????++=++=

D D

d x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ， ()()??+=

+=+=

∴D b a I b a d b a I 2

1

,2σ

.

5．

()()2220

1

1

1,,x x

dx f x y dy dy f x y dx --=??

??

或 ()0

1

,d y f x y d

x -?

?

或 ()1

,d y f x y d

x -??.

二、选择题（每小题5分，共20分）

6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量

{}

2,1,1--，

{}{}3

,2

16

36

62,1,11,2,1cos πθθ===--?-=

.

7．选（D ）. 积分区域(){}

0,,2

2≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.

8．选（C ）. 511111113

()()()((0)(0))(1)2

22222224S S S f f -=-==-++=+=.

9．选（A ）. ()()000

0,0lim

0,0,00x y x f f x

→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4

4

11lim

,lim k

k k

k kx x f x x +=

+=→→

随k 而异，所以不连续．

三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有

??

???

=-+=++.

0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出

dx

dz

dx dy ,，得 8

7,45==dx dz dx dy ， 所以切线方程为

8

72

4511

1-=+=-z y x ，

法平面方程为

()()()5

7112048

x y z -+++-=，即0127108=-++z y x .

11．133212232332

,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''

''--+????=-=-=-=-+==''''''''?-+?-+??-.

12．D 在第一象限中的一块记为D 1，D 在第三象限中的一块记为D 2，

()()

()()??????????+++++=++2

122

12

2

sin sin sin D D D

D x D x x d y x d y x d e d e d y x e

σσσσσ.

3

22

2

2

31

2

10

1

x

x x x x x

x

x

D D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+???????? ()()()()2

2

2

2

10103

3

3

3

01

1

x x x x x x e dx x

x e dx x x e dx x

x e dx -=-+-=-+-??

??

()2

1

111

300

21()112

x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-???()()()()3

31

2

10

1

sin sin sin sin x x x

x

D D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++?????

???

()()()()10

3

301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -????=-+-+-+-+?????? ()()()()1

3

301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ????=-+-+++-+=???

??? 所以，原式2-=e .

13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ，它的最大值点，最小值点与2

z 的一致，用拉格朗日乘数法，设()(

)()53329,,,,2

2

2

2

-+++-++=z y x z

y x z z y x F μλμλ，

求偏导数，并令其为零有：

20F x x λμ?=+=?，1830F

y x λμ?=+=?， 2430F z z z λμ?=-+=?，22920F

x y z x

?=+-=? ， 3350F

x y z μ

?=++-=? ． 解之得两组解()()1215

,,(1,,1);,,(5,,5)3

3

x y z x y z ==--

. 所以当3

1

,1=

=y x 时，1=z 最小；当3

5

,

5-=-=y x 时，5=z 最大.

14．将分成如图的两块，4

1

的圆记为D 1，另一块记为D 2

()????--=-+D

D d y x d y x 1

222211σσ+()

??-+2

12

2D d y x σ

()

()()

σσσd y x d y x d y x

D D

D ??????-+--++--=

1

1

111222222

()()()()1

22221112

2

220

2112

11211()43343

D D

x y d x y d d r rdr dy x

y dx π

σσ

θπ

π=--++-=-++-=

+-+=-?????

???

15．由()222222,(

)(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++，有2

2

2xy y

x y x u ++=??，从而知()()y y x y

x

y x u ?++

=2221arctan ,，又由y y x y

x x y u 2222+++-=??，推知 ()2

2222221()x

x y x y y x y y x x y y ?-

'++=-++++， ()()22,y y y y C ??'==+

所以，()22

21,arctan

2

x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：

22

2222

(

)(2)y x xy dx x y y dy x y x y

++-++++

()()22

222

211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y

--=

+++=++++ ()2

21(arctan

)2

x d xy y y =++ 所以，()C y y x y

x y x u +++

=22

22

1arctan ,． ()()u f u F ='．

浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷

开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________

一、 填空题（每小题5分，满分30分） 1． 直线

6

3

321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为

.

2． 数量场2),,(z ye z y x g x

+=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=

u

函数)ln(),,(2

2

z y x z y x f ++=在P 点沿u 的方向导数为 .

3． 设??,),2,3(),,(f y x x u u x f z

+== 具有二阶连续偏导数，则

=

???y

x z 2.

4． 设}1,11|),

{(3≤≤≤≤-=y x x y x D ，则=

+??+D

y x

y x e y x x d d )(2

2

2.

5． 已知曲面1=z y x 与椭球面19

32

22

=++z y x 在第一卦限内相切，则切点坐标为 ，公共切平面方程为.

6． 设函数

??

??

?<≤<≤=1

21,21

0,)(2x x x x x f ，∑∞=+=1

0cos 2)(n n x n a a x S π，其中

,2,1,0,d cos )(210

==?

n x x n x f a n π，则.)7(=

S

二、 （满分10分）求直线 ??

?=-++=-+-0

220

12z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.

1

0022d

d x y

e

x y.

三、（满分10分）计算??-

四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013

=++z

xe z y 确定，试求

1

02

2==??y x x z

.

五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线???

??=++=++0

14222z y x z y x 上的点

),,(z y x 到平面π的距离，求),,(z y x d 的最大，最小值 .

六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上

一个矩形，矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.

薄板绕x 轴旋转的转动惯量.

七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时，成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .

参考解答：

一．1．??

?=--+=+-0

522043z y x z y x ； 2. 21

},0,,3{e e ；

3.

)3(2))(3(2222122222122212

??????''+''?'+'+'?'?''+'''f f f ； 4.

;32 5. ;033

13,3,1,31=-++??

?

??z y x 6. 83

.

二．直线：t z t y t x -=-==1,1,

曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=

22222

020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+?+=+=

则旋转曲面方程：

222)1(2x z y -=+

三．

?

?

10

22

2

d d x y e

x y -???

-==--12

12

2

20

142)d 41(d d y y e x e y 2y y

y

2

1

20

20

20

20

22

1d d d d 2

12

2

1

22

12

2

12

2

12

------=-+=+=????e y e e

y y e e y y e y

y y y y

四．,1)

1,0(-=z ,032

=??++???x z xe e x z z y z z e

x z y x 311

0-=??∴==

,026322

2

2

222=??+???

? ????+??+???? ?????+???x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 21

02

294e

x z

y x =

??∴

== 五．|1|2

1

),,(-+=

y x z y x d

)14

()()1(22

2

2

-++++++-+=z y x z y x y x L μλ

??????

?????

=-++='=±

===++='==+='-==?≠=++-+='=?==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223

23

1

22

1z y x L z y x z y x L x z L x

z x y y y x L x y x L z y x

μ

λμλμμλλμμλ

，无解

最小距离：2

2

36),,

(3

23

13

1

-

=

-

d ，最大距离：2

236),

,(3

23

13

1

+=

-

-d

六．形心：

01

,0=?

==????D

D

xdxdy xdxdy

x y σ

即

0d c o s d d d 2

2

0=?+???

?

---ππθθR

h

R R

r r r y x x

R h R h R 3

2

0312)21(232=?=?+-?

??=D

x dxdy y I 2

30220

2

)832(d θsin d d d 2

2

R R h r r r y y x R

h R

R π

θππ+=?+=????---

七．设0)0,1(,

ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s

.

ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==?=-=' 且对固定的1>t ， 当,

0),(,ln 0<'<

0),(,ln >'>s t F t s

s

所以，

t s ln =取得最小值且为0，则

0),(≤s t F ，即

s e t t t ts +-≤ln

1、已知22

(,)y

f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.

2、已知,则=

?∞

+--dx e x x

21

___________.

π

=?

∞

+∞

--dx e

x 2

3、函数

22

(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则='

)0,1(x f ________.

5、以x

e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

____________________. 6 知dx

e

x

p ?∞

+- 0

)1(与

?

-e

p x x dx

1

1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).

(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >

7 数????

?=+≠++=0

,0 0

,4),(222

222y x y x y x x y x f 在原点间断,

是因为该函数( b ).

(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值

8、

若

2

211

x y I +≤=

??

,22212x y I ≤+≤=??

,22324

x y I ≤+≤=??,

则下列关系式成立的是( a).

(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<

9、方程x

e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=

10、设∑∞

=1

2

n n

a

收敛，则∑∞

=-1

)

1(n n

n

a ( d ).

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)

1、2(1)1x y y -+. 2

、3、)32

,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2

3

x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：

32

y x =的函数为

23

,0

x y y =>。且

4

=x 时

，

8

=y 。

于

是

)6()

3(分分248

8

2

2

33

8

37

730

(4)16(80)33

128128(80)

775127

V y dy y dy

y ππππππππ=-=--??=-?=-?-????=??

12、求二重极限

11lim

222

20

-+++→→y x y x y x .

解：原式

11)11)((lim 2222220

0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)

2

)11(lim 220

=+++=→→y x y x (6分)

13、),(y x z z =由

xy e z z

=+确定，求y x z

???2. 解：设

(,,)z

F x y z z e xy =+-，则 x F y =-， y F x =- ，1z

z F e =+

11x z z z z F y y x F e e ?-=-=-=?++， 11y z z z F z x x

y F e e ?-=-=-=?++ (3分)

22

2111(1)1(1)z z z z

z z

z z e y e z y

e xy y

x y y e e e e ?+-??

?????

===- ????++++??

(6分)

14、用拉格朗日乘数法求

22

1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：

222

(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得

12x =

,"40z =>,1

2x =

为极小值点. (3分)

故22

1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为3

2

(6分)

15、计算

?

?1 2

1

2dx

e dy y

y

y

x .

解：

21

1

2

123182x

y

y

y I dy e dx e e ==-?? (6分) 6、计算二重积分2

2()D

x

y dxdy

+??，其中D 是由y 轴及圆周

221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：

22

()D

x y dxdy +??＝13

2

0d r dr

π

θ?

?＝8π

(6分)

17、解微分方程x y y +'=''.

解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是

)(1)1()1(C dx e x e p dx

dx +??=---?)

(1C dx e x e x x +=-?

])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= (3分)

?2121)1(21

])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==?? (6分)

18、判别级数)

11(

1

33∑∞

=--+n n n 的敛散性.

解：

=

(3分)

因为lim 1

1n n →∞-==

19、将函数x -31

展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.

解：由于

3113131x -?=-,已知 ∑∞

==-011n n

x x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n n

n n n x x x ,33<<-x . (6分

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:

2

2

2121211028321415x x x x x x R ---++=，

求最优广告策略 解：公司利润为2

2212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=

令?????=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x

即???=+=+,31208,13842121x x x x

得驻点)

25.1,75.0()45

,43(),(21==x x ,而 (3分)

0411<-=''=x x

L A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,

064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为：

电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)

四、证明题(每小题5分,共10分)

21、设1

13

3

ln()z x y =+，证明：13z z x

y x

y ??+=

??. 证：

2

2

3

3

113311113

3

3

3

,

x y z z x

y

x y

x y -

-

??==??++

22、若∑∞

=12n n

u

与∑∞

=1

2n n

v

都收敛,则∑∞

=+1

2

)(n n n

v u

收敛.

证：由于

)

(22)(02

2222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分)

并由题设知∑∞

=1

2

n n

u

与∑∞

=1

2n n

v

都收敛,则)

(221

2n n n v u ∑∞

=+收敛,

从而∑∞

=+1

2

)(n n n

v u

收敛。 (6分)

1、设22

(,)y

f x y x y x -=-，则

=),(y x f _____________.

2、已1()2Γ=5

()2Γ＝___________.

3、设函数

22

(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a =

4、已知

)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________

5、以x

x e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

__________________. 6、已知dx

e

px

?

∞+- 0

与

?

e

p x x dx

1

ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ).

(A) 0>p (B) 0

7、对于函数22

(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).

(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值

8、已知21()D I x y d σ=+??,32()D I x y d σ=+??,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则( ).

(A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12I I < (D) 22

12I I = 9、方程x

xe y y y 265=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x

e b ax y 2)(+= (C) x e bx ax y 22)(+= (D)

x

e bx ax y 223)(+=

10、级数∑∞

=-1

2)

1(n n

n

n

a 收敛，则级数∑∞

=1

n n

a

( ).

(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定

11、求3

x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.

12、求二重极限

)1sin 1sin

(lim 0

0x

y y x y x +→→.

13、设

xy y x z -+=1arctan

,求22x z ??. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.

15、计算

??10

1

d e d y

x x xy .

16

、计算二重积分D

,其中D 是由y 轴及圆周

22

(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.

17、解微分方程0='+''y y x .

18、判别级数∑

∞

=???

??12!n n

n n 的敛散性.

19、将函数

x x f 1

)(=

展开成)3(-x 的幂级数.

20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙

产品的总费用为

22

20300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.

21、设

2

22ln z y x u ++=,证明

222222z u y u x u ??+??+??=222

1x y z ++.

22、若

∑∞

=1

2n n

a

与

∑∞

=1

2n n

b

都收敛,则

∑∞

=1

n n

n b

a 收敛.

（可能会有错误大家一定要自己核对）

一、填空题(每小题3分,共15分)

1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2

x z =，则=z 。 （2222x xy y y -++）

2、计算广义积分

?

+∞

1

3x dx

= 。（12）

3、设xy

e z =，则

=

)1,1(dz 。（)(dy dx e +）

4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.（x

e bx ax 22)(+）

5、设1

4

n n u ∞

==∑，则11

122n n n u ∞

=??-= ???∑_________。（1）

二、选择题(每小题3分,共15分)

1、

222200

3sin()

lim x y x y x y →→++的值为 （ A ）

A.3

B.0

C.2

D.不存在 2、

),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 （ A ）

。

A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件；

D.即非充分又非必要的条件。

3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 22

1+=所围的体积是 （D ）。

A.

d d θπr r r

42

2

2-??；

B.

20

4d r

π

θ??

；

C

、

20

d r

πθ?

?

； D.

4420

1

2d d θπ

r r r

-??

4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，x

e y =2，

x e y 23=，则其通解为 （C ）。

A.x

x e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；

C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；

D.

)()(2221x e C e e C x

x x -+- 5、无穷级数∑∞

=--11

)1(n p

n n (p 为任意实数) （D ）

A 、收敛

B 、绝对收敛

C 、发散

D 、无法判断 三、计算题(每小题6分,共60分)

1

、求下列极限：

0x y →→

解：

00

x y →→

00x y →→= …（3分）

00

1)112

x y →→==+= …（6分）

2、求由x y =

与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。

解：

4

21

d x V x

π=? …（4分）

7.5π= …（6分）

3、求由xyz e z

=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数

,z z x y ????。 解：方程两边对x 求导得:

x z xy yz x z e z

??+=??,有)1(-=-=??z x z xy e yz x z z …（3分）

方程两边对y 求导得:

y z xy xz y z e z

??+=??,有)1(-=-=??z y z xy e xz y z z …（6分）

4、求函数322

(,)42f x y x x xy y =-+-的极值。

解：322

(,)42f x y x x xy y =-+-，则

2(,)382x f x y x x y =-+，(,)22y f x y x y =-， (,)68xx f x y x =-，(,)2xy f x y =，(,)2yy f x y =-，

求驻点，解方程组23820220x x y x y ?-+=?

-=?，

，得)0,0(和(2,2). …（2分）

对)0,0(有

(0,0)80xx f =-<，(0,0)2xy f =，(0,0)2yy f =-，

于是2

120B AC -=-<，所以)0,0(是函数的极大值点，且(0,0)0f = …（4分）

对(2,2)有

(2,2)4xx f =，(2,2)2xy f =，(2,2)2yy f =-，

于是2

120B AC -=>， (2,2)不是函数的极值点。

6、计算积分

??

D

d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

微积分期末测试题及复习资料

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+

曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 上海电机学院

第十章 曲线积分与曲面积分答案 一、选择题 1．曲线积分 ()sin ()cos x L f x e ydx f x ydy ??--? ??与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = B A ． 1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1 ()2 x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则 C ydx xdy x y -+=+? C Ａ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2 2 41x y +=的正向，则 22 4C ydx xdy x y -+=+? D A ．2π- B 。 2π C 。0 D. π ４。∑为ＹOZ 平面上2 2 1y z +≤，则 2 22()x y z ds ∑ ++=?? D Ａ。０ B ． π C ． 14 π Ｄ． 12 π 5。设2 2 2 :C x y a +=，则 2 2()C x y ds +=? C A.22a π B. 2 a π C 。 3 2a π Ｄ． 3 4a π ６。 设∑为球面2 2 2 1x y z ++=，则曲面积分 ∑ ［ B ］ Ａ.4π B ．2π C.π D.12 π ７。 设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分 ? =L yds ［ Ｃ ］ A 。 21 B ． 2 1 - C. 22 Ｄ。 22- 8. 设I=? L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧, 则Ｉ=［D ] A 。 655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。 12 1 55- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ． ?-l ydy xdx 21; B 。 ?-l xdx ydy 2 1 ;

大学一年级上学期-微积分试题-第一学期期末试卷A

课程编号：A071001 北京理工大学2006-2007学年第一学期 2006级《微积分A 》期末试卷(A 卷) 班级 学号 姓名 成绩 一、 求解下列各题（每小题7分，共35分） 1 设,1arctan 122???=x x x x y 求.y ′ 2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x x x ∫++ 3 求极限.)(tan lim ln 110 x x x ++→ 4 计算定积分)(202322∫?=a x a dx I 其中 .0>a 5 求微分方程.142+=′?′′x y y 的通解. 二、 完成下列各题（每小题7分，共28分） 1 设当0→x 时，c bx ax e x ???2是比2 x 高阶的无穷小，求的值. c b a ,,2 求函数)4()(3?=x x x f 在),(+∞?∞内的单调区间和极值. 3 设)(x y y =是由方程组所确定的隐函数，求?????=??+=∫0 1cos sin )cos(20t t y du t u x t .dx dy 4 求证： .sin sin 42222∫∫ππππ=dx x x dx x x . 三、（8分）设)(x y 在内单调递增且可导，又知对任意的),0[+∞,0>x 曲线)(x y y =，上点到点)1,0(),(y x 之间的弧长为,12?= y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点作曲线)0,1(?x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的 图形为D ， （1） 求图形D 的面积；

（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 五、（7分）求证：方程010cos 042 =++∫∫?x t x dt e dt t 有并且只有一个实根. 六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。假设桶内的溶液始终保持为500升，求任意t 时刻桶内溶液的含盐量. 七、（6分）设)(x f 在上可导，且满足]1,0[∫=21 )(2)1(dx x f e e f x ，求证：至少存在一点，使得)1,0(∈ξ.0)()(=ξ+ξ′f f

高等数学(下)期末复习题(附答案)

《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

微积分(下)期末复习题完整版

期末复习题 一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （ ） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（ ）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大一微积分期末试卷及答案

大一微积分期末试卷及 答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

微积分期末试卷 选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求

5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜

微积分二期末复习

期末复习指导 第五章 不定积分 1.积分的概念、性质 若()()F x f x ' =，则称()F x 是()f x 的一个原函数。 不定积分与导数或微分互为逆运算。 （1） 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）： / ()()()()f x dx f x d f x dx f x dx ????==??????或 （2） 对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差 一个积分常数： / ()()()()F x dx F x C dF x F x C =+=+??或。 2.不定积分和定积分的第一类换元法 ()()()()f x x dx f x d x ????'=? ????????? ()()()()()x t f t dt F t C t x F x C ???==+=+????? ()()()() b b a a f x x dx f x d x ????'=????????? ? ()()()()() x t f t dt F t F F β β αα ?βα===-? 注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成； （2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积 分变量无关，运算时不需要“回代”； 3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换

解题思路：“去根号”； 解题方法：令 t =m m b dt x ct a -=-，有m m b dt dx dt ct a '??-= ?-??； 特别地，t =，解出n t b x a -=，有1n n dx t dt a -=； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； b 、代换 二次函数） 解题思路：“去根号”； 解题方法： （1） 令sin x a t =，有cos dx a tdt =； （2） 令tan x a t =，有2 sec dx a tdt =； （3） 令sec x a t =，有sec tan dx a t tdt =； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； 例题： 注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。 4.不定积分、定积分的分部积分法

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.