二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程ax2+bx+c = 0根的分布情况

设方程ar+bx+c = 0(d H 0)的不等两根为心兀且片 < 心，相应的二次函数为f (x) = or? +bx+c = 0, 方程的根即为二次函数图象与X轴的交点，它们的分布情况见下而各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)

表二：（两根与￡的大小比较）

表三：（根在区间上的分布）

需满足的条件是

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：

(1)两根有且仅有一根在(/,")有以下特殊情况：

1°若/(/?) = 0或/(") = 0,则此时/(/?>/(/?)< 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或"，

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(加丿)，从而可以求出参数的值。如方程〃区2—(加+ 2)x+2 = 0

2 2

在区间(1,3)上有一根，因为/(1) = 0> 所以mx2—(m+2)x+2 = (x—l)(mr—2)> 另一根为— > 由1 < — <3 2

得一

3

2°方程有且只有一根，且这个根在区间(〃?,〃)，即△ = 0,此时由4 = 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程,求出相应的根，检验根是否在给左的区间，如若不在，舍去相应的参数。如方程x2-4/^ +2w+ 6 = 0

有且一根在区间(-3,0),求加的取值围。分析：①由/(-3>/(0)< 0即(14加+ 15)(加+ 3)< 0得出

]5 3

一3<〃？<一訂：②由△ = ()即16〃/一4(2〃? + 6) = 0得出〃？= -1 或加=；,当〃？ = 一1 时，根兀= -2e(-3,0),

3 3 15即〃2 = —1满足题意：当/? = -时，根兀=3点(一3,0),故/// = -不满足题意：综上分析，得出一3<〃2<-一或

2 v 7 2 14

m = -1

根的分布练习题

例1、已知二次方程(2加+ 1)疋_2皿+(加_1) = 0有一正根和一负根，数加的取值圉。

解：由(2^ + 1)./(0)<0即(2加+ 1)伽一1)<0,从而得一|

例2、已知方程2/一(加+ 1)尤+〃7 = 0有两个不等正实根，数川的取值風

解：由

△ >0

>0 => <

0 v 也v 3 - 2 >/亍或加> 3 + 2 即为所求的用。

例3、已知二次函数y = (m+2)^-(2m+4)x+(3m+3)与x 轴有两个交点，一个大于1, 一个小于1,数加 的取值围。 解：由(??+2)./(1)<0即(加+ 2)?(2加+ 1)<0 => -2

2

例4、已知二次方程77U-2+(2/77-3)% +4 = 0只有一个正根且这个根小于1,数川的取值围。

解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则/(0>/(1)<0 => 4.(3/?? + 1)<0 => m<~-即为所 求围。 (注：本题对于可能岀现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1),由4 = 0汁算检验，均不复合题意,

计算量稍大)

_（〃2 +

l ）

2.2 /（0）

>0 （加+ 1）~ -

8/77 > 0

Hl > -1

〃？ v 3 — 2

近或 u >

3 + 2 >/2

=>

解：对称轴x 0 = l^［2,3］,故函数/(x)在区间［2,3］ ±单凋。

卩(心—(2)

(1)当。＞0时，函数/(X )在区间［2,3］上是增函数，故＜

=> 3a + b + 2 =

5

2+b = 2 => (2)当avO 时，函数/(A )^E 区间［2,3］ h 是减函数，故

=>

nun

h + 2 = 5 3a+b + 2 = 2

=>

a = -1

b = 3

2、二次函数在闭区间加司上的最大、最小值问题探讨

设/(x) = ax 2

+bx + c = 0(a ＞0),则二次函数在闭区间［加丿］上的最大、最小值有如下的分布情况:

(1) 若一? € ［心］'则 /(^)max = maX 1 ' /Wmin =

min

1

r/OOf ；

2a \ 2a )

2a)

J

J 、"

丿

⑵若-f ■丘［加/］,则/(A )max = max{/(/?),/(/:)}, /(x)min =nin{/(m),/(n)}

2a

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开X 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开 口向下时，自变量的取值离开X 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方而入手：开口方向.对称轴以及闭区间，以下三 个例题各代表一种情况。

例1、函数f(x) = ax 2

-2cix+2+b(a^O)在［2,3］上有最大值5和最小值2,求的值。

一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 · 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）》 A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．

评卷人· 得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． · 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； : （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围；

二次函数根的分布专题

一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？

二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k

二次方程根的分布情况归纳完整版

次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 9 元二次方程ax + bx + C = 0根的分布情况 设方程ax 2 +bx +c =O （a H O ）的不等两根为X |, X 2且X 1 < X 2，相应的二次函数为 f （x ）=ax 2 +bx + c = 0，方程的 根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于 0 (X j <0, X 2 <0 ) 两个正根即两根都大于 0 (为 >0,X 2 A O ) 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0(X i V Oc X 2 ) 大致图象（> a 得出的结论 A >0 f (0 )>0 A >0 存0 f (0 )>0 f (0)v 0 O 大致图象（V a 得出的结论 △ >0 A >0 舌。 l f (0)<0 占。 ”（0）<0 f (0)A 0 综合结论（不讨论 a o < b a 计(0)< 0

表二：（两根与k 的大小比 较） 分布情况 两根都小于k 即 ( >0 ) yJ \ / / ■ k K a 得 出的结论 o > A - 两根都大于k 即 X i A k, X 2 A k o > A - 一个根小于k ，一个大于k 即 x , < k < X 2 y l I \ k 八 J “ f (k )v 0 o 大致图象（< a 得出的结论 O > A - I A>0 t^>k 2a f (k )<0 f (k )>0 综合 结论（不讨论 a △ >0 」0 -^>k 2a a 计(k )A 0

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论（不讨论 a ） ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论（不讨论 a ） ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

例谈求一元二次方程字母系数的值(含答案)-

例谈求一元二次方程字母系数的值 求解一元二次方程字母系数取值的问题，是根与系数的关系的一个重要应用之一，也是近年中考中经常出现的，下面就此我们看几个例子： 例1、已知关于x 的一元二次方程022 1222=-+-k kx x ． （l ）求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设1x 、2x 是方程的两根，且52221121=+-x x kx x ，求k 的值 分析：（2）中给出的条件是一个方程两根的非对称式，要求k 的值，要设法建立起关于k 的方程，直接利用根与系数的关系，比较困难，而此时利用方程根的定义，就可找到突破口。 解：（1）略 （2）∵1x 是方程0221222=-+ -k kx x 的一个根， ∴022 122121=-+-k kx x ∴21212 122k kx x -=-， 又∵21,x x 是022 1222=-+-k kx x 的两个根， 由根与系数的关系得：22 1221-=?k x x ， ∴5)22 1(221222=-+-k k ∴142 =k ∴14±=k 例2、已知1x 、2x 是关于x 的方程04222=-+-m mx x 的两个实数根. （1）求证不论m 取何值时，方程总有实数根. （2）若834222121+=++m mx mx x ，求m 的值。 分析：（2）中同样给出的条件是一个方程两根的非对称式，仍需建立起关于k 的方程，我们可以这样来解： 解法一：类似上例的解法，可以解得：1±=m 。 解法二：利用一元二次方程的求根公式或十字相乘的方法，可以求出两个根为：m+2和m--2 , 把它们分别代人04222=-+-m mx x 中，可以得到一个关于m 的的方程：012 =-m ，

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n

一元二次方程根的两个特性及简单运用

一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系 一、目标认知 学习目标 1．掌握一元二次方程的根与系数的关系； 2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值； 3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根； 4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程． 重点 对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用． 难点 一元二次方程的根与系数的关系的运用． 二、知识要点梳理 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么. 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0. 三、规律方法指导 一元二次方程根与系数的关系的用法： ①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根； ②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数； ③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值； ④已知方程的两根，求这个一元二次方程； ⑤已知两个数的和与积，求这两数； ⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值； ⑦讨论方程根的性质。 四、经典例题透析 1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值. 1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值. 思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值. 解：法一：把x=2代入原方程，得 22-6×2+m2-2m+5=0 即m2-2m-3=0 解得m1=3，m2=-1 当m1=3，m2=-1时，原方程都化为 x2-6x+8=0

一元二次方程的根系关系

一元二次方程的根的判别式（一） 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．重点：会用判别式判定根的情况． 2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．” 3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根． 三、教学步骤 （二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程： ①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0． 问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用． 2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将 （1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac． 3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． ②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根． 注意以下几个问题： （1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0． 解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根． （3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0， ∴原方程没有实数根．

一元二次方程的实根分布问题

一元二次方程的实根分布问题 问题1. 试讨论方程02 =++c bx x 的根的情况。 （1） 根的个数：b 、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？ （2） 根的大小：b 、c 满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？ 一根为0？ （3） 根的范围：b 、c 满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根 大于1？ 说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究，主要分为四个方面（A ）有没有实数根；（B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；（D ）根的分布范围。 利用根的判别式，可以解决（A ），（B ），结合运用韦达定理，可以解决（C ）。而要解决（D ），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。 思路1 （方程思想）设c bx x x f ++=2)( （1） 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是： ?? ???->+-<≥-??????>-->+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （2） 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是： ?? ???->+->≥-??????>--<+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （3） 方程0)(=x f 有一根大于1，一根小于1的充要条件是.1,0)(-<++≥--++=≥-=?>-.104201)1(0 41222c b c b b c b f c b b （2） 方程0)(=x f 有两根都小于1的条件是：

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】 韦达定理：对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 例 若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． 解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 1212121122 20072007 x x x x x x +-+=== - (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 12||x x -= ===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-， 121212 11x x x x x x ++= ，22 121212()()4x x x x x x -=+-，

24一元二次方程与系数的关系

铜仁市川硐农业中学九年级上册数学导学案 班 组 姓名 2.4一元二次方程根与系数的关系 一、 我们的学习目标 知道根与系数的关系：a b x x -=+21，a c x x =21；会用根的判别式及根 与系数关系解题。 二、 我们的学习重难点 重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系。 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题。 三、我们的学习过程 （一）预习新知（努力，努力，加油，加油！） 预习课本P46～P47，并探究下列问. 知识准备 ( 1 ) 一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式： （二）探究新知 探究 问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ②x 2+px +q =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。 探究 问题：上面发现的结论在这里成立吗？ 请完善规律； ①用语言叙述发现的规律；

② a x 2 +bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。 3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理） a x 2+bx +c =0的两根1x = , 2x = 12x x + 12.x x = = = = = = = = 四、当堂检测 1．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积： （1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21 203 x x -= 2.方程22310x x --= 则12x x += ，12.x x = _ _。 3.若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为__ __ p=__ __ 4.若0和-3是方程的20x px q ++=两根，则p+q= _ ___ 三、不解方程，求下列方程的两根和与两根积： （1）x 2-5x -10=0 （2）2x 2+7x+1=0 （3）3x 2-1=2x+5 （4）x （x-1）=3x+7 五、学习总结：我的收获： 我的疑惑： 六、作业： 习题2.4A 组，1、2、3

初三数学-一元二次方程根与系数的关系精讲精练

初三数学 一元二次方程根与系数的关系精讲精练 【典型例题】 例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。 分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。 解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为x，则 点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。 例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值： （1）；（2）；（3） 分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。 解：由已知，根据韦达定理 （1） （2） （3）

点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。 例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足， 那么求的值。 分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。 解：由题意，为的两个不等实根 因而有 又 点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。 例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。 解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有： 由 当时，代入 当时，由 代入 则 代入 把代入<2>中， 或 （解法二）将与相减得： 此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或

（1）若是0则； （2）若是，则； 或 点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。 例5. 已知方程 （1）若方程两根之差为5，求k。 （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。 分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。 解：（1）设方程两根与，由韦达定理知： 又 （2）设方程两根，由根系关系知： 点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。 例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。 分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。 解：设已知方程的两根为m，3m 由韦达定理知： 即 把代入 得： 点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。 例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。 （1）用含m的代数式表示； （2）当时，求m的值。 分析：应注意，即可用根系关系。

2.4一元二次方程系数与根的关系(教师版)

2．4 一元二次方程根与系数的关系(选学) 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ,那么a c x x a b x x =?- =+2121, 注： （1）注意理解公式中的a 、b 、c 分别是什么。 （2）注意a 、b 、c 的符号是什么。 （3）利用公式a c x x a b x x =?-=+2121,解题时，注意符号问题，不要丢符号。 一、一元二次方程根与系数的关系 1．一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则下列四个式子中正确的是( B ) A ．x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－3 B ．x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－3 C ．x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝3 D ．x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝3 【解析】 已知一元二次方程的各项系数，直接利用根与系数关系求解．∵x 1，x 2是一元二次方程x 2 ＋2x －3＝0的两根．∴x 1＋x 2＝－21－2，x 1·x 2＝－3 1 －3. 2.若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ B ） A 、x 2+3x ﹣2=0 B 、x 2﹣3x+2=0 C 、x 2﹣2x+3=0 D 、x 2+3x+2=0 3．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积： (1)x 2－3x ＋5＝0； (2)3x 2 ＋2x －4＝0； (3)2x －1＝－6x 2. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝5； (2)x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－4 3； (3)x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－1 6 . 二、利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值

含字母系数的一元二次方程

（6）含字母系数的一元一次方程 班别______姓名________ 一、性质：一般地，当 （1）a ≠0?方程ax=b 有且只有一解； （2）a=0且b=0?方程ax=b 有无数多个解； （3）a=0且b ≠0?方程无解。 二、例题 例1 解关于x 的方程（m-1）x – 1=3x + 4 解：整理，得 （m – 4）x=5，当m ≠4时，x= 45-m ；当m=4时，原方程无解。 例2 解关于y 的方程（k 2+2k+3）y + 4=3（y+2）+k 解：整理，得（k 2 +2k ）y=2 + k ∴ k （k+2）y=2+k 当k=－2时，方程有无数多个解； 当k ≠－2时，得ky=1 ∴当k ≠－2且k ≠0时，方程的解为y=k 1 当k=0时，原方程无解 当k=－2时，方程有无数多个解。 例3 b （b ≠0）为何值时，关于x 的方程（b+1）x=2bx –3b 2 的解为负数。 解：整理，得（1 - b ）x= –3b 2 当b ≠1时，方程有解x = b b --132 ，由于b ≠0分子（–3b 2）为负，只需分母为正，即b ﹤1时，方程的解为负数。 例4 某施工队第一组原有96人现调出16人到第二组，调整人数后，第一组人数是第二组人数的k （k 是不等于1的正整数）倍还多6人，问第二组原有多少人。 解：设第二组原有x 人。调整后，第一组有96 – 16 = 80（人），第二组有x+16（人）。根据题意，得 80=k （x+16）+6 整理，得 kx=74 – 16k k 是不等于1的正整数，∴x=k k 1674-

因为x 为所求人数，必须为正整数，而k 是不等于1人正整数，故74 – 16K 也是正整数，k 只能取2、3、4。代入计算得k 为3、4均不适合。 ∴当k=2时，得第二组原有x=2 21674?-=21（人） 评注 ： 对含字母系数的一元一次方程中的字母系数要讨论，如果是应用问题，还得根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．据实际意义，对字母系数的取值范围进行取舍．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。 三、练习 1、选择题：设关于x 的方程a （x - a ）+b （x+b ）=0有无穷多个解，则（ ） （A ）a+b=0 （B ）a-b=0 （C ）ab=0 （D ） 0=b a 2、填空：若方程249x+8 a ∣x ︱－1=0解小于零，则a 的取值范围是________. 3、解下列关于x 的方程： （1）x+b a b ax +=； （2）=+n x m m n x -； （3）x=b a a b a bx -++； （4）（=-x m n n m )m n n m + 4、k 为何值时，方程（m – 3）（m - 4）x=（m – 3）（m+2）的解是负数？ 5、解关于x 的方程m+122++=+m x m mx

数形结合解决一元二次方程根的分布问题

用数形结合的方法解决有关一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。利用函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ?f (0x )=0。 下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】：01>x ，0 2>x ????????<>=>≥-=?00)0(0042b c f a ac b 或???????><=<≥-=?0 0)0(0 42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。 【定理2】：01>=>≥-=?00)0(0042b c f a ac b 或???????<<=<≥-=?0 0)0(0 42b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。 【定理3】210x x <x ?0=c 且0a b 。

二．一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。 构造相应二次函数c bx ax x f ++=2)(（0≠a ） 【定理1】2 1x x k ≤->≥-=?k a b k af a c b 20 )(0 42 【定理2】k x x <≤21????? ??? <->≥-=?k a b k af a c b 20)(0 42。 【定理3】21x k x <

一元二次方程实根的分布讲义(韦达定理)[整理]

课 题：一元二次方程实根的分布讲义(韦达定理) 教学目的： 1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 教学过程： 一、复习引入： 韦达定理： 方程02 =++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则 ?? ??? = -=+a c x x a b x x 2121 二、讲解新课： 例1 当m 取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有: ①两个实根； ②一正根和一负根； ③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 解 ：设方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0的两根为1x 、2x ①若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足： ?????>>+≥?0002121x x x x ???? ?????? >->--≥---04 5 0420)5(16)2(2m m m m ??? ???><≥+-520 84202 m m m m ??? ? ??><≥≤5214 6m m m m 或?m ∈φ. ∴此时m 的取值范围是φ，即原方程不可能有两个正根. ②若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足： ?? ?<>?0021x x ?? ?? ??<->---04 50 )5(16)2(2m m m ?m<5. ∴此时m 的取值范围是(-∞,5). ③若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，

一元二次方程的有理根与整数根的条件

谈一元二次方程的有理根与整数根的条件 整系数一元二次方程()ax bx c a 2 00++=≠有有理根的充要条件是：?=-b ac 24为一有 理数的平方。而有整数根，△必为一完全平方式。 注意这里c b a ,,皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件，正确应用这些条件，可以解决很多有趣的问题，但在应用中往往要结合整数性质进行讨论。 一、与有理根有关的问题 例1. m 为有理数，问k 为何值时，方程x mx x m m k 22443240-++-+=的根为有理数？ 解：原方程即： ()x m x m m k 2 2 413240--+-+= 如若有有理根，则()()()[] ?=---+=-+-161432446412 2 2 m m m k m m k 应是某一有 理数的平方，可知()419-=k ，从而k =-54 。 本题也可这样解：原方程化为() [] ()x m m k --=---213542 2 如有有理根，则--=540k 得k =-54 二、与整数根有关的问题 例2. 若方程x mnx m n 2 0-++=有整数根，且n m ,为自然数，则n m ,的值有__________个。 解：x mnx m n 2 0-++=……(*)有整数根，则()?=--mn m n 2 44为一完全平方式，设为 ()k k N 2∈，于是m n m n k 22244--= 即m n m n k 2 2 2 440 1---=<> 视<1>为m 的一元二次方程，它应有整数解，由 x x n x x n k n 122122 2 44+==-+， 可见n ≤2 （1）令n =1，则<1>式为：m m k 22 4402---=<> <2>若要有整数解，则()( )()?=----=+444482 2 2 k k 应为完全平方式。 令()82 2 +=∈k a a N ，则()()822=-=+-a k a k a k 因为81824=?=? 所以有如下两种情形。 ? ??=-=+18 )k a k a a 无整数解，舍去。