(完整版)初中最基本的尺规作图总结
尺规作图
一、理解“尺规作图”的含义
1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．
2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.
二、熟练掌握尺规作图题的规范语言
1.用直尺作图的几何语言：
①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；
2.用圆规作图的几何语言：
①在××上截取××＝××；
②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；
③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；
④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤
尺规作图题的步骤：
1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.
在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
（1）作射线AP；
（2）在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.
作法：
（１）分别以M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，
两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）
题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：
（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
（3）作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）
题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1）作线段AB = c；
（2）以A为圆心b为半径作弧，
以B为圆心a为半径作弧与
前弧相交于C ； （3） 连接AC ，BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠α.
求作：△ABC ，使∠A=∠α，AB=m ，AC=n. 作法：
（1） 作∠A=∠α；
（2） 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； （3） 连接BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：
（1） 作线段AB=m ； （2） 在AB 的同旁
作∠A=∠α，作∠B=∠β，
∠A 与∠B 的另一边相交于C 。
则△ABC 就是所求作的图形（三角形）。
初中尺规作图典型例题归纳
典型例题一
例 已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．
分析 所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．
画法：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段．
说明
1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．
2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．
典型例题二
例 如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．
错解 如图（1）， （1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求． 错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．
图（1） 图（2）
正解 如图（2）， （1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ； （3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．
典型例题三
例 求作一个角等于已知角∠MON （如图1）．
图（1） 图（2）
错解 如图（2），
（1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1．
则∠D CO 1即为所求的角．
错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某
点为圆心，以其长为半径作弧．
正解 如图（2），
（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；
（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1． 则∠D CO 1就是所要求作的角．
典型例题四
例 如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．
分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．
作法 如下图
（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．
说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．
典型例题五
例 如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB （写出作法，画出图形）．
分析 根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD =∠EFB 即可．
作法 如图（2）．
图（1） 图（2）
（1）过点C 作直线EF ，交AB 于点F ；
（2）以点F 为圆心，以任意长为半径作弧，交FB 于点P ，交EF 于点Q ； （3）以点C 为圆心，以FP 为半径作弧，交CE 于M 点； （4）以点M 为圆心，以PQ 为半径作弧，交前弧于点D ； （5）过点D 作直线CD ，CD 就是所求的直线．
说明 作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．
典型例题六
例 如下图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，c =3.5cm ，∠B =?36，∠C =?44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．
分析 本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC 全等的各种情况，依据是SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．
解 与△ABC 全等的三角形如下图所示．
典型例题七
例 正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．
（2003年，桂林）
分析 这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC 分成面积相等的三个三角形，且都是从A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC 边的三等分点即可．
作法 如下图，
找三等分点的依据是平行线等分线段定理．
典型例题八
例 已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ． 错解 如图（1）
作法 （1）以O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点； （2）分别以D 、E 为圆心，以大于
2
1
DE 的长为半径作弧，两弧相交于C 点； （3）连结OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线．
错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC ，则OC 是一条线段，而角平分线应是一条射线．
图（1） 图（2）
正解 如图（2）
（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点； （2）分别以D 、E 为圆心，以大于
2
1
DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点； （3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．
典型例题九
例 如图（1）所示，已知线段a 、b 、h （h ＜b ）． 求作△ABC ，使BC =a ，AB =b ， BC 边上的高AD =h ．
图（1）
错解 如图（2）， （1）作线段BC =a ；
（2）作线段BA =b ，使AD ⊥BC 且AD =h ． 则△ABC 就是所求作的三角形．
错解分析 ①不能先作BC ；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD ，再作AB ，最后确定BC ．
图（2） 图（3）
正解 如图（3）．
（1）作直线PQ ，在直线PQ 上任取一点D ，作DM ⊥PQ ； （2）在DM 上截取线段DA =h ；
（3）以A 为圆心，以b 为半径画弧交射线DP 于B ；
（4）以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ； （5）连结1AC 、2AC ，则△1ABC （或△2ABC ）都是所求作的三角形．
典型例题十
例 如下图，已知线段a ，b ，求作Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =a ，AC =b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．
分析 本题解答的关键在于作出∠ACB =90°，然后确定A 、B 两点的位置，作出△ABC ．
作法 如下图
（1）作直线MN ：
（2）在MN 上任取一点C ，过点C 作CE ⊥MN ； （3）在CE 上截取CA =b ，在CM 上截取CB =a ； （4）连结AB ，△ABC 就是所求作的直角三角形．
说明 利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．
典型例题十一
例 如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．
求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）． 分析 （1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线；
（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线． 作法 如下图
（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁； ②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点； ③分别以G 、H 为圆心，以大于
2
1
GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高． （2）①分别以B 、C 为圆心，以大于
2
1
BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；
③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．
说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．
典型例题十二
例如图（1）所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OC．
图（1）图（2）
分析由题意知，点C不仅要在∠MON的平分线上，且点C到O、A两点的距离要相等，所以点C应是∠MON的平分线与线段OA的垂直平分线的交点．
作法如图（2）所示
（1）作∠MON的平分线OP；
（2）作线段OA的垂直平分线EF，交OP于点C，则点C就是所要求作的点．
说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．（2）两条直线交于一点．
典型例题十三
例如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．
求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．
分析假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．
作法如下图．
（1）作线段BC=b；
（2）在BC上截取BE=b-a；
（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；
（4）以EA、EC为邻边作AECD．
四边形ABCD就是所求作的梯形．
说明基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．
典型例题十四
例 如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A 区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B 点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．
（2002年，青岛）
分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A 区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm ，就可以确定出蓝方指挥部的位置．
解 如下图，图中C 点就是蓝方指挥部的位置．
典型例题十五
例 如图（1），已知有公共端点的线段AB 、BC ．求作⊙O ，使它经过点A 、B 、C （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2002年，大连）
图（1） 图（2）
分析 因为A 、B 、C 三点在⊙O 上，所以OA =OB =OC =R ．根据到线段AB 、BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB 、BC 垂直平分线即可．
解 如图（2）
说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．
典型例题十六
例 如图，是一块直角三角形余料，?=∠90C ．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB 、BC 、AC 边上．试协助工人师傅
用尺规画出裁割线．
分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．
作法如图．
的角平分线CD，交AB于点G；
①作ACB
②过G点分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F．则四边形ECFG就是所要求作的正方形．
基础训练
1、已知线段AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.
2、如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
3、如图作△ABC ，使得BC=a 、AC=b 、AB=c
4、如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h
5、如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
6.己知三角形的两条边及其夹角，求作三角形
已知一个三角形的两条边分别为a ，b ，这两条边夹角为∠a ，求作这个三角形
c b
a
B
O
7.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形
巳知一个三角形的两角分别为∠a ∠β夹边为a 求作这个三角形。
8、己知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形
已知三角形的两角分别为∠a ∠β，∠a的对边为∠a,求作这个三角形
9.己知一直角边和斜边求作三角形
己知一个直角三角形的一条直角边为a，斜边长为c，求作这个三角形。
10．尺规作图：请你作出一个以线段a和线段b为对角线的菱形.
ABCD
(要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)
已知：求作：a b
结论：
垂直平分线的训练
1.某旅游景区内有一块三角形绿地ABC ，如图所示，现要在道路AB 上建一个休息点M ，使他到A ，C 两个点的距离相等. 在图中确定休息点M 的位置；
角平分线作图训练
2.如图，AB.AC 表示两条相交的公路，现要在∠BAC 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1000米．
（1）若要以1：50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； （2）在图中画出物流中心的位置P ．
解：（1） （2）
结论：
3.为美化环境，在一块三角形草坪上建一个喷水池，使得它到草坪的三边AB 、BC 、AC 的距离相等．若三角形草坪如图所示，请你在图中确定这个喷水池（用点P 表示）的位置；
作圆训练
4．青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A .B .C 的距离相等． （1）若三所运动员公寓A .B .C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置； （2）若∠BAC ＝66o，则∠BPC ＝ o.
A C
B
A
C 1cm
A B C
5．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（△ABC ）空地上修建一个面积最大的圆形
花坛，请在图中画出这个圆形花坛． 解：
结论：
6.为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形（△ABC ）空地上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求：①圆心在边BC 上，②该半圆面积最大.请你帮忙设计这一花坛.
等腰三角形、菱形作图训练
7.如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h
8.如图，线段a 和线段b 分别是菱形ABCD 的一条边和一条对角线，
A B
C C
（1）请用尺规作出这个菱形．（2）若a=3，
b=33，试求该菱形的面积.
巩固练习
1．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．
2.如图花坛△ABC 为一等边三角形，现要将其扩建为一圆形花坛覆盖在△ABC 上，且使A 、B 、C 依然在花坛的边缘上（1）请你帮忙画出设计方案.
（2）若等边三角形的边长为6米，则花坛的面积增加了多少？
3．如图，有一块三角形材料（△ABC ），请你画出一个圆，使其与△ABC 的各边都相切.
解：
B C
A
b
a A
B
C
结论：
4.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把植物园A.动物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你作出这个圆，圆心用P表示.（A、B、C不在同一直线上）
初中数学总复习尺规作图大全
中考总复习---尺规作图专项训练 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段a . 已知：如图，线段MN. 求作：线段AB，使AB = a . 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 题目三：作已知角的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 题目五：已知三边作三角形。题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 已知：如图，线段m，n, ∠α. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β ，线段m .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠ β ,AB=m. 课堂测试
C B A C B A A C B C B 1.如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径. 2.如图，107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P,使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论) 三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？ 3、过点C 作一条线平行于AB ； 4、过不在同一直线上的三点A 、B 、C 作圆O ； 5、过直线外一点A 作圆O 的切线。 6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹) 7、某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限． （1 ）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图； （2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； （3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由 . C B A
初中尺规作图详细讲解含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习 惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图 有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、
专题：五种基本作图的详细作图过程
尺规作图的基本步骤和作图语言 一、作线段等于已知线段 已知：线段a 求作：线段AB ，使AB ＝a 作法：1、作射线AC 2、在射线AC 上截取AB ＝a ，则线段AB 就是所要求作的线段 二、作角等于已知角 已知：∠AOB 求作：∠A ′O ′B ′,使∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法: (1)作射线O ′A ′. (2)以点O 为圆心,以任意长为半径画弧,交OA 于点C,交OB 于点D. (3)以点O ′为圆心,以OC 长为半径画弧,交O ′A ′于点C ′. (4)以点C ′为圆心,以CD 长为半径画弧,交前面的弧于点D ′. (5)过点D ′作射线O ′B ′.∠A ′O ′B 三、作角的平分线 已知：∠AOB, 求作：∠AOB 内部射线OC,使：∠AOC=∠BOC, 作法：(1)在OA 和OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD=OE ． (2)分别以D 、E 为圆心，大于的 DE 2 1 长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． (3)作射线OC ．OC 就是所求作的射线． 四、作线段的垂直平分线（中垂线）或中点 已知：线段AB 求作：线段AB 的垂直平分线 作法： (1)分别以A 、B 为圆心，以大于AB 的一半为半 径在AB 两侧画弧，分别相交于E 、F 两点 (2)经过E 、F ，作直线EF （作直线EF 交AB 于 点O ）直线EF 就是所求作的垂直平分线 （点O 就是所求作的中点） A O
五、过直线外一点作直线的垂线. （1）已知点在直线外 已知：直线a 、及直线a 外一点A.(画出直线a 、点A) 求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点A. 作法： (1)以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a 于点 C 、D. (2)以点C 为圆心，以AD 长为半径在直线另一侧画弧.(3)以点D 为圆心，以AD 长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B. (4)经过点A 、B 作直线AB. 直线AB 就是所画的垂线b.(如图) （2）已知点在直线上 已知：直线a 、及直线a 上一点A. 求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点作法： (1) 以A 为圆心，任一线段的长为半径画弧， 交a 于C 、B 两点 (2) 点C 为圆心，以大于CB (3) 以点B 为圆心，以同样的长为半径画弧， 两弧的交点分别记为M (4) 经过A 、M ，作直线AM 直线AM 常用的作图语言： （1）过点×、×作线段或射线、直线； （2）连结两点××； （3）在线段××或射线××上截取××＝××； （4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×； （5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×； （6）延长××到点×，使××＝××。 二：作图题说明 在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。 （1）作线段××＝××； （2）作∠×××＝∠×××； （3）作××（射线）平分∠×××； （4）过点×作××⊥××，垂足为点×； （5）作线段××的垂直平分线××
初中最基本的尺规作图总结
尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线；
初中中考尺规作图十例(打印)
a M 尺规作图 【知识归纳】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （1）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （2）连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB 作法： （ 1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
③②① P B A P （4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′=∠AOB 作法： （1）作射线O ′A ′； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ′为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ′A ′于M ′； （4）以M ′为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ′； （5）连接O ′N ′并延长到B ′。 则∠A ′O ′B ′就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。 求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2 1 的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。 求作：直线CD ，使CD 经过点P ， 且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 圆心，大于MN 2 1 长度的一半为半径画弧，两弧交于点（3）过P 、Q 作直线CD 。 则直线CD 就是所求作的直线。
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的 表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释
初中最基本的尺规作图总结
尺规作图一、熟练掌握尺规作图题的规范语言 用直尺作图的几何语言：1. ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 用圆规作图的几何语言：2. ①在××上截取××＝××；；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；. ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；1.已知： 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 一般要保留作图当不要求写作法时，作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.3.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找.痕迹. 作法 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，可见在解作图题不需要写出作法，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，. 时，保留作图痕迹很重要五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .
AB = a . AB，使求作：线段作法： AP；）作射线（1AB=a . AP上截取）在射线（2 AB就是所求作的图形。则线段 题目二：作已知线段的中点。MN. 已知：如图，线段 . MNO是的中点）求作：点O，使MO=NO（即作法：（１）分别以M、N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， Q；两弧相交于P， O．（２）连接PQ交MN于就是所求作的ＭＮ的中点。O则点与ＭＮ有何关系？）（试问：PQ 题目三：作已知角的角平分线。，已知：如图，∠AOB ）。（即OP平分∠AOB 使∠求作：射线OP, AOP＝∠BOP 作法： 1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，（；，N分别交OA，OB于M、Ｎ为圆心，大于（2）分别以M 内于Ｐ；的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 。（3）作射线OP 则射线OP 就是∠AOB的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。MON（如图1）．求作一 个角等于已知角∠
尺规作图初中数学中考题汇总
（第8题图） 选择题（每小题x 分，共y 分） （2011长春）8．如图，直线 l 1ABC 1 2 （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ?中，分别以点A 和点B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ?的周长为10，7AB =，则ABC ?的周长为（ ） D M N C A B 【答案】C 二、填空题（每小题x 分，共y 分） 〔2011南京市〕11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于 _______1 2 ____． （2011重庆市潼南县）19.（6分）画△ABC,使其两边为已知线段a 、b ，夹角为β. （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）. (第11题) B A M O B A C D 图2 图3
已知： 求作： 19. 已知：线段a 、b 、角β -------------1分 求作：△ABC 使边BC=a ，AC= b ，∠C=β ------------2分 画图（保留作图痕迹图略） --------------6分 （2011佛山）22、如图，一张纸上有线段AB ； （1）请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗请说明作法（不作图）； （2011?宿迁市）28．（本题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝ 2 1 ，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度； （2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由． 19题图a b β A B
尺规作图的定义
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： ①作射线AP； ②在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： ①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； ②连接PQ交MN于O． 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： ①以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； ②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； ③作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题目四：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法： ①作线段AB = c； ②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心 a为半径作弧与前弧相交于C； ③连接AC，BC。 则△ABC就是所求作的三角形。
题目五：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m，n, ∠α. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 作法： ①作∠A=∠α； ②在AB上截取AB=m ,AC=n； ③连接BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 题目六：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法： ①作线段AB=m； ②在AB的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A与∠B的另一边相交于C。 则△ABC就是所求作的图形（三角形）。
初中数学尺规作图方法大全
B P A a O Q P N M O N M B P A 尺规作图 【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
③ ② ① a b P B B A P （4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB 作法： （1）作射线O ’A ’； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。 求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 为圆心，大于 MN 2 1 的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。 求作：直线CD ，使CD 经过点P ， 且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 圆心，大于 MN 2 1 长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过P 、Q 作直线CD 。 则直线CD 就是所求作的直线。
中考专题复习——初中最基本的尺规作图总结与典型例题
初中基本尺规作图总结与典型例题 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线；
2020省重点中学中考尺规作图题专题复习
1 C B A C B A C B A 尺规作图 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作角的平分线； 4、作线段的中垂线； 5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形; 6、已知底边和底边上的高作等腰三角形； 7、过直线上一点作直线的垂线；8、过直线外一点作直线的垂线. 题 1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径. 2、 如图:107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P ,使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论) 3、 三条公路两两相交，交点分别为，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？ 4、 过点C 作一条线平行于AB ； 5、过不在同一直线上的三点A 、C 作圆O ； 6、过直线外一点作圆O 二、几何画图： 1.只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图: 1）画等腰三角形ABC 的对称轴: 2)画∠AOB 的对称轴 2.有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法. 3.某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同的方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些）． 4.某村一块若干亩土地的图形是ΔABC ，现决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两种分法。要求：画出图形，并简要说明分法。 5.如图所示，在正方形网格上有一个三角形ABC. ①作△ABC 关于直线MN 的对称图形(不写作法)； ②若网格上的最小正方形的边长为1.求△ABC 的面积. 1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为 ．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形” D C B A
2021年初中中考尺规作图十例(打印)
a M 尺规作图 欧阳光明（2021.03.07） 【知识归纳】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线 AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN.
O N M B P A N M B O A ③ ②①A' A' N' O' B' M'O' A' N' M' M' O' 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （1）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （2）连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线 OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 （4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′=∠AOB 作 法： （1）作
尺规作图初中数学中考题汇总
（第8题图） 选择题（每小题x 分，共y 分） （2011?长春）8．如图，直线l 1ABC 12 （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ?中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ?的周长为10，7AB =，则ABC ?的周长为（ ） D M N C A B 【答案】C 二、填空题（每小题x 分，共y 分） 〔2011?南京市〕11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于 _______ 12____． （2011?重庆市潼南县）19.（6分）画△ABC,使其两边为已知线段a 、b ，夹角为β. （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）. (第11题) B A M O B A C D 图2 图3
已知： 求作： 19. 已知：线段a 、b 、角β -------------1分 求作：△ABC 使边BC=a ，AC= b ，∠C=β ------------2分 画图（保留作图痕迹图略） --------------6分 （2011?佛山）22、如图，一张纸上有线段AB ； （1）请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗请说明作法（不作图）； （2011?宿迁市）28．（本题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝2 1，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度； （2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接 AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由． 解：（1）在Rt △ABC 中，由AB ＝1，BC ＝ 21得 AC ＝22)21(1+＝25 ∵BC ＝CD ，AE ＝AD G F E D B A 19题图a b β A B
【中考必会】五种基本尺规作图的作法与GIF
一、基本概念 1.尺规作图：在几何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图． 2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图． 3.五种常用的基本作图： (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)平分已知角； (4)作线段的垂直平分线． (5)经过一点作已知直线的垂线 4.掌握以下几何作图语句： (1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××； (2)连结两点×、×；或连结××； (3)在××上截取××=××； (4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）； (5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×； (6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××； (7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××． 5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如： (1)作线段××=××； (2)作∠×××=∠×××； (3)作××（射线）平分∠×××； (4)过点×作××⊥××，垂足为×； (5)作线段××的垂直平分线××． 二：五种基本作图方法GIF演示： 初中数学五种基本尺规作图
1 作一条线段等于已知线段 一、作一条线段等于已知线段 已知：线段a， 求作：线段AB，使AB＝a. 作法： (1)作射线AC. (2)在射线AC上截取AB＝a ，线段AB即为所求. 2 作一个角等于已知角
二、作一个角等于已知角 已知：∠AOB， 求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB. 作法: (1)作射线O′A′. (2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D. (3)以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于点C′. (4)以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′. (5)过点D′作射线O′B′.∠A′O′B′即为所求. 3 作已知角的角平分线
初中数学总复习尺规作图1
尺规作图 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： ①作射线AP； ②在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： ①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； ②连接PQ交MN于O． 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： ①以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； ②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； ③作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法） 题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法： ①作线段AB = c； ②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心 a为半径作弧与前弧相交于C； ③连接AC，BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m，n, ∠α. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 作法： ①作∠A=∠α； ②在AB上截取AB=m ,AC=n； ③连接BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法： ①作线段AB=m； ②在AB的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A与∠B的另一边相交于C。 则△ABC就是所求作的图形（三角形）。
初中最基本的尺规作图总结
尺规作图 一、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××;或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×;或延长（反向延长)××到点×,使××＝××;或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言: ①在××上截取××=××; ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧); ③以点×为圆心，××的长为半径作弧,交××于点×; ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧,两弧相交于点×、×．三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤: 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件; 2.求作:能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件; 3.作法:能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图,使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知,求作,作法三步（另外还有第四步证明)就可以了,而且在许多中考作图题中,又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法,可见在解作图题时,保留作图痕迹很重要. 五种基本作图： １、作一条线段等于已知线段; 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一:作一条线段等于已知线段。
已知：如图,线段a . 求作：线段AB,使ＡB = a . 作法: （1） 作射线A Ｐ； （2） 在射线A Ｐ上截取A Ｂ=ａ ． 则线段AB 就是所求作的图形。 题目二:作已知线段的中点。 已知：如图,线段ＭN ． 求作:点O ，使MO ＝N Ｏ(即Ｏ是MN 的中点). 作法: （1）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q; （2）连接PQ 交MN 于O ． 则点Ｏ就是所求作的M Ｎ的中点。 （试问:PQ 与M Ｎ有何关系?) 题目三：作已知角的角平分线。 已知:如图，∠ＡOB ， 求作:射线ＯP, 使∠AOP ＝∠BOP(即O Ｐ平分∠AO Ｂ)。 作法: (1)以O 为圆心,任意长度为半径画弧, 分别交ＯA,OB 于M,N ； (2）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠A ＯＢ内于Ｐ; （3） 作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 求作一个角等于已知角∠MON (如图1)． (1)作射线11M O ;(2)在图(1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ＯN 于点B ；(3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧,交11M O 于点C ； (4）以C 为圆心,以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ;（５）过点D 作射线D O 1. 则∠D CO 1就是所要求作的角．
尺规作图基本作图方法
a M 初中尺规作图基本方法 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的垂直平分线。 已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2 1 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ． 则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN 2 1的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 （4）题目四：作一个角等于已知角。
③ ② ① c a b P B A P 已知：如图，∠AO B 。 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB 作法： （1）作射线O ’A ’； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。 求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2 1的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。 求作：直线CD ，使CD 经过点P ， 且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 圆心，大于MN 2 1 长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过P 、Q 作直线CD 。 则直线CD 就是所求作的直线。 （7）题目七：已知三边作三角形。