排列组合问题的20种解法

排列组合问题的20 种解法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首

先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质

特征，采用合理恰当的方法来处理。

复习巩固分类计数原理 ( 加法原理 )

完成一件事，有类办法，在第 1 类办法中有种不同的方法，在第 2 类办法中有种不同的方

法，，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成个步骤，做第 1 步有种不同的方法，做第 2 步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多

少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个

元素 .

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一. 特殊元素和特殊位置优先策略

例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有

然后排首位共有

最后排其它位置共有

由分步计数原理得

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 , 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求 , 再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二. 相邻元素捆绑策略

例 2. 7人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.

再

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同

的排法

要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并

为一个元素 , 再与其它元素一起作排列, 同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题 : 某人射击8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20

三. 不相邻问题插空策略

例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？

解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有

种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两

练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30

四. 定序问题倍缩空位插入策略

例人排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法

解 :( 倍缩法 ) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行

排列 , 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数

是：

( 空位法 ) 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙

丙共有 1 种坐法，则共有种方法。

思考 : 可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法 ) 先排甲乙丙三个人, 共有 1 种排法 , 再把其余 4 四人依次插入共有方

法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

练习题 :10

人身高各不相等, 排成前后排，每排 5 人 , 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

7 个车间实习 , 共有多少种

五. 重排问题求幂策略榆林教学资源网例 5.把6名实习生分配到

不同的分法

解 : 完成此事共分六步 : 把第一名实习生分配到车间有7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有

7 种分依此类推 , 由分步计数原理共有种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素

的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m n种

练习题：

. 如果将这

1．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目

两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42

2.某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 , 下电梯的方法

六. 环排问题线排策略

例 6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有（ 8-1 ）！种排法即！

一般地 ,n 个不同元素作圆形排列, 共有 (n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作1m

圆形排列共有 A n

练习题： 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120

七. 多排问题直排策略

例人排成前后两排, 每排 4 人, 其中甲乙在前排, 丙在后排 , 共有多少排法

解 :8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排. 个特殊元素有种, 再

排后 4 个位置上的特殊元素丙有种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有种, 则共有

种

一般地, 元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑, 再分段研

3

练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是346

八. 排列组合混合问题先选后排策略

例 8. 有 5 个不同的小球, 装入 4 个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法.

解 : 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有种方法. 再把 4 个元素 ( 包含一个复合元素) 装入 4 个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有

解决排列组合混合问题, 先选后排是最基本的指导思想. 此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 练习题：一个班有 6 名战士 , 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务 , 且正副班长有且只有 1 人参加 , 则不同的选法有192种

九. 小集团问题先整体后局部策略

例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个？

解：把１ , ５ , ２ , ４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

练习题：

１.计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , ４幅油画 , ５幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为

2. 5男生和５女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有种

十. 元素相同问题隔板策略

例 10. 有 10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？

解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板

方法对应一种分法共有种分法。

将 n 个相同的元素分成m份（ n， m为正整

, 每份至少一个元素, 可以用m-1 块隔板，

数）

插入n 个元素排成一排的n-1 个空隙中，所有分法数为C nm 11

练习题：

1． 10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法？

2 . 求这个方程组的自然数解的组数

十一 . 正难则反总体淘汰策略例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不

小于 10 的偶数 , 不同的

取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难, 可用总体淘汰法。这十个数字中有

5 个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有 3 个偶数的取法有, 只含有 1 个偶数的取法有, 和

为偶数的取法共有。再淘汰和小于10 的偶数共9 种，符合条件的取法共有

有些排列组合问题 , 正面直接考虑比较复杂 , 而它的反面往往比较简捷 , 可以先求出它的

反面 , 再从整体中淘汰 .

练习题：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人 , 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种 ?

十二 . 平均分组问题除法策略

例 12. 6本不同的书平均分成 3 堆 , 每堆 2 本共有多少分法？

解 :分三步取书得种方法, 但这里出现重复计数的现象, 不妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一

步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法, 而这些

分法仅是(AB,CD,EF) 一种分法, 故共有种分法。

平均分成的组, 不管它们的顺序如何, 都是一种情况, 所以分组后要一定要除以A nn( n 为均分

的组数) 避免重复计数。

练习题：

1将 13 个球队分成 3 组 , 一组 5 个队 , 其它两组 4 个队 , 有多少分法？（）

名学生分成 3 组 , 其中一组 4 人,另两组3人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的分组方法（ 1540）

3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每

班安

排 2 名，则不同的安排方案种数为______（）

十三 .合理分类与分步策略

例 13. 在一次演唱会上共10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌

2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法

解：10 演员中有 5 人只会唱歌， 2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进

行研究

只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有种, 只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人

员种 , 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有

种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准

明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题：

1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女

生，则不同的选法共有 34

2. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人 ,3 号船只能乘 1 人, 他们任

选 2 只船或 3 只船 , 但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共有多少乘船方法 . （ 27）

本题还有如下分类标准：

*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准

都可经得到正确结果

十四 . 构造模型策略

例 14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏 , 但不能关掉

相邻的 2 盏或 3 盏 , 也不能关掉两端的 2 盏 , 求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有种

如占位填空模型，排队模型，装盒一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，

模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多

少种？（ 120）

十五 . 实际操作穷举策略

例 15. 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投

法

解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球 , 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理

3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 , 由分步计数原理有种

3号盒4号盒5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收

到意想不到的结果

练习题：

1. 同一寝室 4 人 , 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年

卡不同的分配方式有多少种？(9)

2. 给图中区域涂色 , 要求相邻区域不同色 , 现有 4 种可选颜色 , 则不同的着色方法有 72 种

十六 .分解与合成策略

例 16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030 分解成质因数的乘积形式30030=2× 3× 5 × 7× 11× 13

依题意可知偶因数必先取2, 再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，

所有的偶因数为：

练习 : 正方体的8 个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共, 每个四面体有

3 对异面直线 , 正方体中的8 个顶点可连成对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略, 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决 , 然后依据问题分解后的结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到问题的答案 , 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

十七 . 化归策略

例 17. 25 人排成 5× 5 方阵 , 现从中选 3 人 , 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 不同的选法有多

少种？

解：将这个问题退化成9 人排成 3×3 方阵 , 现从中选 3 人 , 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 有多少选法 . 这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后 , 把这人所在的行列都划

掉，如此继续下去 . 从 3× 3 方队中选 3 人的方法有种。再从 5× 5 方阵选出 3× 3 方

阵便可解决问题 . 从 5× 5 方队中选取 3 行 3

列有选法所以从5× 5 方阵选不在同一行也不在同一列

的 3 人有选法。

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简

要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，

从而进下一步解决原来的问题

练习题 : 某城市的街区由12 个全等的矩形区组成其中实线表示马

路，从 A 走到 B 的最短路径有多少种？ ()

十八 . 数字排序问题查字典策略

例 18．由 0， 1， 2，3， 4， 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数？

解 :

数字排序问题可用查字典法, 查字典的法

应从高位向低位查, 依次求出其符合要求

的个数 , 根据分类计数原理求出其总数。

练习 : 用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第 71 个数是 3140

十九 . 树图策略

例 19．人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 则不同的传球方式有 ______

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，树图会收到意想不到的结果

练习 :分别编有1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中号人不坐号椅（）的不同坐法有多少种？

二十 . 复杂分类问题表格策略

例 20．有红、黄、兰色的球各 5 只 , 分别标有 A、 B、 C、D、E 五个字母 , 现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色齐备 , 则共有多少种不同的取法

解 :

红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1

取法C51 C41 C51C42 C51C43 C52C31 C52C32 C53C21

一些复杂的分类选取题遗漏的情况 , 用表格法

, 要满足的条件比较多 , 无从入手 , , 则

分类明确 , 能保证题中须满足的条件

经常出现重复

, 能达到好

小结

本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题

目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它

们的条件 , 我们就可以选取不同的技巧来解决问题. 对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

高三数学排列组合20种解题方法汇总含例题及解析

排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同 的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排 列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列 数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A

排列组合全部20种方法

排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习、 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？ 练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 五.重排问题求幂策略 5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

排列组合二十种解法

超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法， 做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元

排列组合的二十种解法

排列组合的二十种策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端 的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合 元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原 理可得共有522 522480A A A 种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目 的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一 步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理, 节目的不同顺序共有5456 A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一 起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有 不同排法种数是：7 3 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三 个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如 果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8 7 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44 A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！ 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元形排列共有1m n A n 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有 2m 种不同的方 法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不 1同的方法，在第2类办法中有 m种不同的方法，…， 2 在第n类办法中有 m种不同的方法，那么完成这件事 n 共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不 1同的方法，做第2步有 m种不同的方法，…，做第n 2 步有 m n 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求, 不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有13 C 然后排首位共有14 C 最后排其它位置共有34 A 由分步计数原理得113434 288C C A 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种 葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 443

排列组合的全部20种方法

排列组合的全部20种方法 排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 2、7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？ 练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

五.重排问题求幂策略 5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原 节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 七.多排问题直排策略 7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？ 前排 练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

排列组合的二十种解法(最全的排列组合 方法总结) 教学目标： 1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综 合应用题，提高解决问题和分析问题的能力。 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。 复巩固： 1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法。在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有N=m1+m2+。+mn种不同的方法。 2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不 同的方法。做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共 有N=m1×m2×。×mn种不同的方法。 3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方 法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计

数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1.认真审题弄清要做什么事。 2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。 一、特殊元素和特殊位置优先策略： 例1.由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得 C4×C3×A4^3=288.

排列组合问题的20种解法

排列组合问题的20种解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 复习巩固分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有”类办法，在第1类办法中有耳种不同的方法，在第2类办法中有〃'种 不同的方法，…，在第〃类办法中有加”种不同的方法，那么完成这件事共有：N =叫+叫+ •••+加" 种不同的方法. 2•分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成〃个步骤，做第1步有耳种不同的方法，做第2步有加2种不同的 方法，…，做第”步有加”种不同的方法，那么完成这件事共有： N = x m2 x•••><〃” 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取岀多少个元素. 4•解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1 .由0,1,2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排，以免不合要求的元素占 先排末位共有C； 然后排首位共有C： 最后排其它位置共有

排列组合的二十种解法总结

排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A

高二数学----排列组合解法20种

排列组合解法20种 解决排列组合综合性问题的一般过程: 1.认真审题弄清要做什么事， 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少 类， 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素， 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。 一.特殊元素和特殊位置优先策略 先排末位共有13C ，然后排首位共有14C ，最后排其它位置共有3 4A ， 由分步计数原理得113 434288C C A =。 练习题: 1.(2018浙江)从1，3，5，7， 9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．(用数字作答) 【解析】:2 2 4 534C C A +2 1 1 3 5333C C C A =720+540 =1260． 二. 相邻元素捆绑策略 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的排法。

练习题: 1.（2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__36_____种． 【解析】22A 4 4A 332A =48-12=36． 三. 不相邻问题插空策略 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素 中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种。 练习题： 1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插 入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30。 四.定序问题倍缩空位插入策略 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A 。 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有47A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法？ 练习题: 1.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？5 10C 五.重排问题求幂策略

超全超全的排列组合的二十种解法

排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。