第一讲整数四则混合运算及简便运算

一、 整数四则运算定律 （1） 加法交换律：a b b a +=+

（2） 加法结合律：()()a b c a b c ++=++

（3） 乘法交换律：a b b a ?=?

（4） 乘法结合律：()()a b c a b c ??=??

（5） 乘法分配律：()a b c a b a c ?+=?+?；()b c a b a c a +?=?+?

（6） 减法的性质：()a b c a b c --=-+

（7） 除法的性质：()a b c a b c ÷?=÷÷；

（8） 除法的“左”分配律：()a b c a c b c +÷=÷+÷；()a b c a c b c -÷=÷-÷，这里尤其

要注意，除法是没有“右”分配律的，即()c a b c a c b ÷+=÷+÷是不成立的！

备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、 加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：

（1） 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去

那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．

（2） 加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．

三、乘法凑整

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：425100?=，81251000?=，520100?=

理论依据：乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：(a×b) ×c=a×(b×c)

乘法分配律：(a+b) ×c=a×c+b×c

知识点拨

第一讲 整数四则混合运算

的简便运算

积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)

四、乘、除法混合运算的性质

⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：

()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=?÷?=÷÷÷≠ ，0n ≠

⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷

⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．

例如：a b c a c b b c a ?÷=÷?=÷?

⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即

②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即

添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符

号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即

()()()()

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ??=???÷=?÷÷÷=÷?÷?=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．

一、加法

【例1】：278+463+22+37

举一反三：732+580+268

二、减法 【例2】：2871-299

举一反三：

（1）157-99 （2）363-199 （3）968-599

三、连减（5种）

【例3】：528－53－47

举一反三：

（1）489－134－76 （2）470－254－46 （3）545－167－133

【例4】：496－（296＋144）

举一反三：

（1）675－（175＋89） （2）466－（66＋125） （3）354－（154＋77）

【例5】：496－（144＋296）

例题精讲

举一反三：

（1）675－（89＋175）（2）466－（125＋66）（3）354－（77＋154）

【例6】：528－72－28

举一反三：

（1）489－77－389 （2）465－267－65 （3）545－167－145

【例7】：824－224－176－124

举一反三：

（1）643－164－133－243 （2）487－187－139－61 （3）545－167－145 四、乘法分配律（8种）

【例8】：计算：125×（80＋32）（24＋40）×25

举一反三：

（1）125×（64＋80）（2）（80＋32）×125 （3）（16＋32）×25

【例9】：（1）125×（100－8）（2）（125－40）×8

举一反三：

（1）125×（100－48）（2）（100－16）×25

【例10】：（1）117×56＋117×44

举一反三：

（1）269×26＋74×269 （2）521×65＋35×521 （3）126×72＋126×12＋126×16 【例11】：125×69－125×61

举一反三：

（1）25×127－25×119 （2）365×251－365×151

（3）156×59－156×27－156×22 （4）137×97－44×137－137×43

【例12】：45×102

举一反三：

（1）25×44 （2）125×168 （3）125×18

【例13】：36×99

举一反三：

（1）45×98 （2）125×92 （3）35×99

【例14】：（1）81＋9×391 （2）9＋9×999 （3）99＋9×99

【例15】：（1）9×107－63 （2）6×108－48 （3）134×101－134

五、连除（2种）

【例16】：1250÷25÷5

举一反三：

（1）2000÷125÷8 （2）1280÷16÷8 （3）1300÷5÷20

（4）840÷5÷8 （5）1700÷25÷4 （6）4800÷50÷2

【例17】：630÷（63×5）

举一反三：

（1）780÷（78×2）（2）1250÷（125×5）（3）6300÷（63×5）

六、四则混合运算

(1)（24＋24）÷24×24 （2）24＋24÷24×24 （3）16＋4－16＋4

（4）（16＋4）－（16＋4）（5）25×6÷25×6 （6）120－（72＋48）÷24