2
k <时，222k k b b +<，即8642b b b b <<<.
故存在正整数8m =，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥.
8.解：（Ⅰ）设三角形三内角A 、B 、C 对应的三边分别为a, b, c ，
∵sin cos sin B A C =，∴sin cos sin B A C =
，由正弦定理有cos b
A c
=, 又由余弦定理有222cos 2b c a A bc +-=，∴222
2b b c a c bc
+-=，即222a b c +=，
所以ABC ?为Rt ABC ?，且90C ∠=o .
又||||cos 91||||sin 62ABC
AB AC AB AC A S AB AC A ??==??==??
u u u r u u u r u u u r u u u r
g u u u
r u u u r ①÷②，得4
tan 3
a A b
== 令a =4k , b =3k (k >0) 则1612
ABC S ab k ?==?=，∴三边长分别为3，4，5.
（Ⅱ）以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，则A 、B 坐标为（3，0），（0，4），直线AB 方程为43120.x y +-=
设P 点坐标为（x, y ），则由P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为d 1, d 2和d 3可知
123|4312|5x y d d d x y +-++=++，且0,
0,
43120.
x y x y ????+-?
≥≥≤故123212
.5x y d d d ++++= 令2m x y =+，由线性规划知识可知0≤m ≤8，故d 1+d 2+d 3的取值范围是12,45??
?
???
9解：（1）∵152a =，161a =-，173a =，184a =，191a =，203a =，212a =，221a =，
231a =，240a =，251a =，261a =，270a =，……
∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故2008a =1．……4分 （2）首先证明数列{}n a 必在有限项后出现零项．假设{}n a 中没有零项， 由于21n n n a a a ++=-，所以.3n ≥时，都有1n a ≥．……………………6分 当1n n a a +>时，2111n n n n a a a a +++=-≤-（3n ≥）； 当1n n a a +<时，211n n n n a a a a ++=-≤-（3n ≥），
即2n a +的值要么比1n a +至少小1，要么比n a 至少小1．…………………8分
① ②
令2121222+22122 ()
()
n n n n n n n a a a b a a a +++++>?=?
由于1b 是确定的正整数，这样下去，必然存在某项0k b <，这与0k b >矛盾，从而{}n a 中必有零项．……………………………………………………….……10分
若第一次出现的零项为n a ，记1 (0)n a M M -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期
地取值0,,M M ，即331320n k n k n k a a M a
M
+++++=??
=??=?，0,1,2...k =
所以数列{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分 10解： 不妨设AB 的方程()01>+=k kx y ，则AC 的方程为11
+-
=x k
y 。 由?????=++=1
1
2
22y a
x kx y 得：02)1(2
222=++kx a x k a 2222,1B a k x a k -?=+ 由222
111
y x k x y a ?=-+????+=??得：2222
()20a k x a kx +-=22
2
2,C a k x a k ?=+ 从而有
AB AC == --------5分
于是 2
44
2222
224211(1)2212(1)()()1ABC k k k k
S
AB AC a a a k a k a k a k
?+
+=
==+++++。 令1
2t k k
=+
≥，有 44
22
2222
222,(1)(1)ABC a t
a S a a t a a t t
?==
-+-+
--------- 10分 因为222
2
(1)2(1),a a t a a t -+≥- 21a t a
-=时等号成立。 因此当23
max 21,(),1
ABC a a S a a ?-=-t= ------------- 14分
令322273(3)(839)03,1816
a a a a a a a =?---=?==-
21321() 3.16
a a a a a -+>?>+∴=∴=不合题意，舍去， --------- 17分 11. （Ⅰ）设2
2
02
)(||)(y x x PM x f +-==2222
0022c x x x x a
b =-++.
对称轴方程202c x a x =，由题意a c x a ≥202或20
2a x a c ≤-或0202=c x a .
∴a c x 20≥或a
c x 2
0-≤或00=x ,∴),[}0{],(220+∞??--∞∈a c a c x .
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2
2
2
3b a c ∴=-=．
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +
=． 设11()A x y ，，22()B x y ，， 联立22 1.43y kx m x y =+???+=??，
得222
(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
222222122
2122
6416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ?
??=-+->+->?
?
+=-?+?
?-=?+?
g ，即，则， 又222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-=++=+++=+， 因为椭圆的右顶点为(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即
1212122
y y
x x =---g ， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=，222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k
--∴+++=+++， 2271640m mk k ∴++=．解得：12m k =-，227
k m =-
，且均满足22
340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾；
当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ??=- ???，直线过定点207??
???
，
． 12．解：（1）过点S 作AD SF ⊥，F 为垂足．
因为侧面SAD 垂直于底面ABCD ， 所以⊥SF 底面ABCD ．
即SF 为四棱锥ABCD S -的高．……1分 又侧面SAD 为正三角形，且边长为a ， 所以a SF 2
3
=
．………………2分 由此，SF CD AB V ABCD S ???=
-3
1
a a a 2331???= 36
3a =．………………4分 所以四棱锥ABCD S -的体积为
3
6
3a ．………………5分 （2）在边CD 上存在一点E ，使得AE SB ⊥．………………6分 取边CD 的中点E ，连接AE 、BF 交于O ．………………7分
因为E 、F 分别为正方形ABCD 的边CD 、AD 的中点，所以ADE ?和BAF ?为全等的
直角三角形，且DEA AFB ∠=∠．………………8分 而ο
90=∠+∠EAD DEA ，所以ο
90=∠+∠EAD AFB ，即ο
90=∠AOF ．所以
BF AE ⊥．………………10分
又因为⊥SF 底面ABCD ，所以AE SF ⊥，即⊥AE 平面SBF ，………………11分 所以AE SB ⊥．………………12分
13．解（1）方程C 可化为：m y x -=-+-5)2()1(2
2
．………………1分 要使该方程表示圆，只需05>-m ，即5过圆心C 作直线l 的垂线CD ，D 为垂足．则
5
5
21|4221|||2
2=
+-?+=
CD ．………………6分 又由554||=MN 知5
5
2||=MD ．………………7分
S
A
B
C
D F E
S
A
B
C
D
222||||||MD CD CM +=，所以222)5
52()55(
)5(+=-m ，……8分 解得4=m ．………………10分
（3）由（2）得圆C 的方程为：1)2()1(2
2
=-+-y x ．
再由?
?
?=-+=-+-0
421)2()1(2
2y x y x 得??
?==20M
M y x 和??
??
?==56
58N
N y x ．………12分
所以2-=AM k ，2=AN k ，……13分由图象可知，AM AP k k ≤或AN AP k k ≥．……14分 所以直线AP 的斜率的取值范围是),2[]2,(+∞--∞Y ．………………15分
14解：（1）设c 为椭圆的焦半径，则2425
,54
a c c a ==。于是有a ＝5，
b ＝3。
（2） 解法一：设B 点坐标为(,)s t ，P 点坐标为(,)x y 。于是有
6(6)AB s t AP x y =-=-u u u r u u u r （，）, ，。因为AB AP ⊥u u u r u u u r
，所以有
6(6)(6)(6)0s t x y s x ty --=--+=（，），。 (A1 )
又因为ABP 为等腰直角三角形，所以有 AB=AP ，即
=。 (A2 )
由（A1）推出222
2
6(6)6(6)ty t y s s x x -=-?-=--，代入（A2），得 22
6t x =-（） 从而有 226y s =-（），即6s y =+（不合题意，舍去）或6s y =-。
代入椭圆方程，即得动点P 的轨迹方程22
661925
x y --+=（）（）
。 解法二： 设11(,)B x y ,(,),P x y AB r =，则以A 为圆心，r 为半径的圆的参数方程为
6cos sin x r y r α
α
=+??
=?。 设AB 与x 轴正方向夹角为θ，B 点的参数表示为11
6cos sin x r y r θ
θ=+??=?，
P 点的参数表示为0
6cos(90)6sin ,cos sin(90)x r x r y r y r θθ
θθ?=+-=+????=-=-???
即.
从上面两式，得到1166
x y
y x =-??
=-?。
又由于B 点在椭圆上，可得
22
(6)(6)1925
x y --+=。此即为P 点的轨迹方程。 15. 解：（Ⅰ）连接C B 1交1BC 于点F ，连接EF . 在C AB 1?中，因为F E ,分别为C B AC 1,中点，则1//AB EF .
因为?1AB 平面1BEC ，?EF 平面1BEC ，则//1AB 平面1BEC .
（Ⅱ）法一：由题知点A 到平面1BEC 的距离即点C 到平面1BEC 的距离，
Θ111ABC A B C -是正三棱柱，∴⊥BE 平面11A ACC ，
?BE 平面1BEC ，∴平面1BEC ⊥平面11A ACC ，
过点
C 作CH E C 1⊥于点H ，则CH ⊥平面1BEC ，
∴CH 即点C 到平面1BEC 的距离.
在Rt △1CEC 中，CE =1，21=
CC ，31=E C ，由面积相等可得CH =
3
6
. ∴点A 到平面1BEC 的距离为
3
6. 法二：设点A 到平面1BEC 的距离为h ，在Rt △1BEC 中，BE =3，31=
E C ，
∴2
333211=??=
?BEC S ∴2321=??=?BE AE S ABE .
ABE C BEC A V V --=11Θ，13
1
311CC S h S ABE BEC ?=?∴??，.6,233=∴?=?∴h h
∴点A 到平面1BEC 的距离为3
6
.
法三：取11C A 中点G ，连接EG ，
以E 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图示 则()()()()
0,2,1,0,0,0,3,0,0,0,0,11C E B A -，
B
A
C
E
A 1
B 1
C 1
H
G
则()()
()0,0,1,0,2,1,3,0,01==-=AE EC BE . 设平面1BEC 的法向量为()000,,z y x n =，
则?????=?=?001EC n 即?
????=+=-0203000y x z ，令20=x ，则0,200=-=z y ，即()
0,2,2-=. 设点A 到平面1BEC 的距离为d
，则3
6
2
42=
+=
=
d ， ∴点A 到平面1BEC 的距离为
3
6. （Ⅲ）法一：过H 作1BC HG ⊥于G ，由三垂线定理得1BC CG ⊥，
故∠CGH 为二面角1E BC C --的平面角. 当AA 1=2a ，AB =b ，则2
2
2
2
4,b
a a
b CG b
a a
b CH +=
+=
又，
在Rt △CGH 中，,5102442sin 22222
22
2=++=++=
=∠b
a b a b a ab b a ab
CG
CH
CGH .
解得b =2a ，.121==∴
b
a
AB AA ∴当
11=AB
AA 时，二面角1E BC C --的正弦值为510.
法二：设
1,1
==AB a AB
AA ，取11C A 中点G
以E
则()??? ????? ?????? ?
?0,0,21,0,,21,23,0,0,0,0,01C a C B E
则???
? ??-=???? ??-=??? ??--=???? ??
-
=23,0,21,23,,21,0,,21,23,0,011a BC a C .
设平面1BEC 的法向量为()1111,,z y x m =，平面C BC 1的法向量为()2222,,z y x m =，
P n
P n+1
则有?????=?=?00111C m BE m ，?????=?=?00212m BC m ，即??????
?=-=-+???????=--=-0232
102321,02102322222111z x z ay x ay x z ，
设6,221==x x ，则32,0,0,1
2211===-
=z y z a
y ，
∴()
32,0,6,0,1,221=??
? ?
?-=m a
m ．
Θ5
15
12361
412,cos 2
2
12121=
++
=
>=
m m m m ，解得a =1. ∴即当
11
=AB
AA 时，二面角C BC E --1的正弦值为510. 16．解：（1）依题意，⊙n P 的半径2
n n n x y r ==， ………………1分
Θ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，
11+++=∴n n n n r r P P ，………………2分
12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x ．………………3分
两边平方，化简得 1214)(++=-n n n n y y x x ,
即 2
12214)(++=-n n
n n x x x x , ………………4分 01>>+n n x x Θ， ∴112++=-n n n n x x x x
即
111
2()n n
n N x x +-=∈，………………6分 ∴ 数列}1
{
n
x 是等差数列．………………7分 (2) 由题设，11=x ，∴
111(1)2n n x x =+-?，即121
n x n =-，………………8分 4
4
2
2
)
12(-=
===n x y r S n
n
n
n π
πππ，………………9分
n n S S S T +???++=21
])
12(151311[222-++++
=n Λπ ………………10分 ≤])
12()32(1
5313111[-?-++?+?+
n n Λπ ………………12分 ＝)]}121321()5131()311[(211{---++-+-+
n n Λπ ………………13分 ＝)]1
21
1(211[--+n π
)
12(223--
=
n π
π………………14分 2
3π
<
．……………15分 17．证明 (1)])1
()1([)1(
2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ]
)
2()1()1()2([]2)1([]
1)1([
22
2
2
2+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p
m pm pm m r
m q m pm pm )
2()1(1
2
2++-=m m m
p ,……3分 由于)(x f 是二次函数，故0≠p ,又0>m ,所以，)1
(
+m m
pf ＜0………………4分 (2)由题意，得r q p f r f ++==)1(,)0(．………………5分
①当0>p 时，由(1）知)1(
+m m
f ＜0．………………7分 若0>r ,则0)0(>f ,又)1
(+m m f ＜0,所以0)(=x f 在(0，
1+m m
)内有解；………9分 若0≤r ,则?++=++=)1()1(m p r q p f (－
m r m p -+2)+r =m
r
m p -+2>0, 又)1
(+m m f ＜0，所以0)(=x f 在(1+m m
，１)内有解………………11分
②当0
(
+m m
f ＞0．………………13分 若0≥r ,则?++=++=)1()1(m p r q p f (－m r m p -+2)+r =m
r
m p -+2＜0，
所以0)(=x f 在(
1
+m m
，１)内有解；………………15分 若0(
+m m f ＞0，所以0)(=x f 在(0，
1+m m
)内有解………17分 所以，方程0)(=x f 在(0，1)内恒有解．………………18分 18解：（1）如图，取BC 中点D ，连1,AD C D .
BC D C ADC BC BC AC BC AD ⊥?⊥??
??
⊥⊥111平面.
ABC CB C B 底面平面⊥11Θ,
∴ABC D C 平面⊥1.
由C C BB AD BC AD 11平面知⊥⊥.……………4分
1AA ∥ 1CC 1AA ?∥平面C C BB 11.
所以异面直线1AA 与11C B 间的距离等于=
AD a 2
3
.……………6分 （2）如图，111,,.B B O BC BC O B O ABC ⊥⊥过作交于则底面
1,,.O OE AB AB E B E ⊥过作交于连
1B EO ∠则与所求二面角的平面角互补 (8)
分
1111,,.tan 2.2B O a B O C D OB OE B EO OE ====∠===
1arctan 2.arctan 2B EO π∠=-所以二面角的度数为.……………………12分 19 解：（1）由条件a b ||-||=2r r 可知：2)2()2(2
222=+--++y x y x .
由双曲线定义，得点P 的轨迹方程：)0(13
2
2
>=-x y x .…………………4分 （2）在第一象限内作(2,3)PF x P ⊥轴，点坐标为，此时90,PFA ∠=o 45.PAF ∠=o
2=λ．…………………………………….………………….……6分
以下证明当PF 与x 轴不垂直且P 在第一象限时，PAF PFA ∠=∠2恒成立．
A
B C 1A
1
B 1
C E
D O
1111
222
111122(1),tan 2.121()(1)PA PF PA PA y y k x y k k PAF x x k x y +=
=∠==+--+-,则 由13
2
2
=-y x ，得)1)(1(3)1(3112121-+=-=x x x y . 代入上式并化简得1111tan 2,tan .22
PF y y
PAF PFA k x x ∠=-
∠=-=---……10分 tan 2tan 2.PAF PFA PFA PAF ∠=∠∠=∠即，所以
由对称性知，当P 在第四象限时，同样成立．
故存在常数2=λ，使得PAF PFA ∠=∠2恒成立．………………….………12分 20解：（１）设过1
1(,)48F -的直线方程为11
()84
y k x +
=-。
又设11(,)B x y ，22(,)C x y ，联立211()841
28y k x y x x ?
+=-????=-+-??
消去y ，得2
2(1)04k x k x +--=。从而有，
121
2
k x x -+=-
，21212111()2424k y y k x x +=+--=--。 设△ＡＢＣ的重心坐标为(,)x y ，则1212143
1183x x x y y y ?
++?=????++
?=??
2
3212368k x k y -?=?????=-+??
消去ｋ，即得 2
63y x x =-+。 （２）因为1102
x <<
，21()x f x =2
1163x x =-+113(12)x x =-，所以 2
112112(12)33
03(12)228
x x x x x +-??<=-≤= ???，
上式右边等号成立当且仅当114x =
。假设3
08
k x <≤，则 2
12(12)33
03(12)228
k k k k k x x x x x ++-??<=-≤= ???，
上式右边等号成立当且仅当14k x =
。由此得到3
08
k x <≤（2,3,k =L ）。从而有
1
1
133********k n
n
n
k k k k x
+==????
??<
≤=-
21.解：（Ⅰ）设点M 的坐标为 ( x ,y )，
则M F 1`= ( x + c , y ), M F 2= ( x – c ,y )， 由M F 1`·
M F 2= 0，
得x 2 – c 2 + y 2 = 0 , 即x 2 – c 2 = – y 2 。①
又由点M 在椭圆上，得
y 2 = b 2
2
22x a
b -，代入①得
x 2 – c 2 = 2222b x a
b --即x 2 = a 2 – 2
22c b a . ∵0≤x 2≤a 2 , ∴0 ≤a 2
–222c b a ≤a 2 . 即 0≤2
2
22c a c -≤1
0≤2
1
2e -
≤1 解得22≤e ≤1
又∵0＜e ＜1 ∴
2
2
≤e ＜1（１０分） （Ⅱ）设直线l 的方程为y = kx+ m ，代入16
322
2y x +
= 1 中， 得 ( 1 + 2k 2 )x 2 + 4kmx + ( 2x 2 –32 ) = 0
由直线l 与椭圆C 相交两点知：△= ( 4km )2 – 4 ( 1 + 2k 2 ) ( 2m 2 – 32 )＞0，
∴m 2＜32k 2 + 16 .②
要使A 、B 两点关于过点P 、Q 的直线对称，必须k PQ = k
1 设A ( x 1 , y 1 )、B ( x
2 , y 2 )， 则x Q =
2212122k km x x +-=+,y Q = kx Q + m =2
21k
m
+ , ∴k PQ = 222123321k km k m +-++ ∴321,121233
2122k m k k
km k m +=-=+-++ ③ 由②、③得
()3
212
2k +＜32k 2 + 16 ∴21-
＜k 2＜2
47
. 又k ≠ 0 ∴2
94
-
＜k ＜0或0＜k ＜294（２０分）
22．解．（Ⅰ）在2
1212122()()2()cos 24sin f x x f x x f x x a x ++-=+中,
分别令120x x x =??=?；1244x x x ππ?=+????=??；124
4
x x x
ππ?
=????=+??得
22()()2cos 24sin , (+)()2 2(+)()2cos 2)4sin 224
f x f x x a x f x f x a f x f x x a x π
πππ?
?+-=+??+=??
?+-+??，
＝（＋（＋）①②③
由①＋②－③，得
1cos 2()1cos 242()22cos 22cos(2)44222
x x f x a x x a a π
π-+-=+-++［］-［］
＝22(cos 2sin 2)2(cos 2sin 2)a x x a x x ++-+
∴())sin(2)4
f x a a x π
=-+
（１０分）
（Ⅱ）当0,
4x π
∈［］
时，sin(2)4
x π
+
∈2． （1）∵()f x ≤2，当a <1
时，12[(1)]2
a a =+-≤()f x
≤)a a +-≤2．
即1
(1a -
≤2
a ≤1．
（2）∵()f x ≤2，当a ≥1时，- 2
≤a a )≤()f x ≤1． 即1≤a
≤4+．故满足条件a 的取值范围[
，4+]（２０分） 23．解：（I ）
三角形数表中前
行共有
个数，
第行最后一个数应当是所给奇数列中的第项。 故第
行最后一个数是
因此，使得的m 是不等式的最小正整数解。
由
得
于是，第45行第一个数是
（１０分）
（II ）
，。 故
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
高等数学竞赛题库.不定积分与定积分
高等数学竞赛 不定积分 不定积分的概念与性质 1、设)10(tan 2cos )(sin 2 2 <<+='x x x x f ，求)(x f 2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f 3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1) ?+dx x x x cos sin 12cos （2）?++dx x x 5212（3）?+x x dx 22cos 2sin （4）?+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin 2、求下列不定积分 （1） ?+++dx e x x e x x x x )13()(22 （2）?+dx x x x )1(ln )ln (2 3 （3） dx x x ? +2 11 arctan （4） ?+-dx xe x x x x ) cos 1(cos sin cos sin 2 （5）?++dx x x x x x )ln 1(ln 2ln 2 二、利用第二换元积分法求不定积分 1、三角代换求下列积分 （1） ?-+2 2 1)1(x x xdx （2） ? +2 323) 1(x dx x （3） dx x x ? -2 29 （4）?-+211x dx 2、倒代换（即令t x 1 =）求下列积分 （1） )0(2 2 2>+?a x a x dx （2）? +) 2(7x x dx 3、指数代换（令,t a x =则t dt a dx ?= ln 1） （1）?++x x x dx 4 212 （2）?+++6 3 2 1x x x e e e dx 4、利用分部积分法求不定积分 （1）?+dx e x x 22)1( （2）? ++xdx x x 2cos )52(3 （3）?xdx x arccos 2 （4）? dx x x 2 3)(ln （5）? xdx e x cos
数学竞赛训练题上册
数学竞赛训练题上册 The following text is amended on 12 November 2020.
函数与极限 ._______,)(lim . 1)0(,)1()(.12 02==-='=+'-+''=→a a x x x y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 . ________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x b e x f x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知 3. 求x x x a a x 1111lim ??? ? ??--?+∞→，其中0,1a a >≠. 4、设当0x >时，方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的取值范围. 5．求11 2 1cos2lim 4n n t dt n t →?. 6、设()f x 在上连续[,]a b ，证明：1 2200lim ()d (0)2 h h f x x f h x π + →=+? 。 证明：()f x 在上连续[,]a b ，因而有界，所以0M ?>，当[,]x a b ∈时有 ()f x M ≤。 _________.) (lim ,4]cos 1)(1[ln 121lim 7.30 ==-+-→→x x f x x f x x x 则已知 8、设函数(,)f x y 可微，1)2 ,0(),,(),(,=-='π f y x f y x f x ，且满足 y n n e y f n y f cot ),0()1,0(lim =???? ?????? +∞ →，求(,)f x y 。 9．求曲线1(0)(1)x x x y x x += >+的斜渐近线方程。
2019年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷） 一试 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11 a b +的值为________． 答案：设连等式值为k ，则2 3 2 ,3 ,6k k k a b a b --==+=，可得答案108 分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过 2. 设集合3|12b a b a ?? +≤≤≤????中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______． 答案：33251b a +≤+= ，33 b a a a +≥+≥ ，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0- 分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过 4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则 2014 122013a a a a =+++______． 答案：()1221 n n n a a n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+?+?+++， 乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为2015 2013 ． 分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过 5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是 ________． 答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过 6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则 椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________． 答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+， 可得△2PQF 三边长为7,21,2c c + ，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关 7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之 比的最大值为________． 答案：sin sin APB APC S PAB S PAC ∠=∠，又两角和为60 最大，即AP 与 (),1I 切于对称轴右侧 2 分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
数学竞赛训练题(1)
数学竞赛训练题（1） 1、A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队B、C、D、E赛过的场数依次为4、3、 2、1．问：这时候A校的足球队已经赛了多少场？ 2、编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？ 3、某足球联赛20支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各队总分之和最多是____分,最少是____分. 4、甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问一共有多少场比赛？ 5、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了6场平局，那么所有人总分之和是多少分？ 6、红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16
分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ 7、甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行围棋比赛，每两人都比赛一场，请问一共有多少场比赛？ 8、7支足球队进行单循环赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的3支球队的分数之和最多是多少？ 9、甲、乙、丙、丁四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知甲、乙、丙三队的成绩分别是：甲队2胜1负，乙队1胜1平1负，丙队2胜1负．那么丁队的成绩是____胜____平____负．10、某小学三个班级进行乒乓球对抗赛，每班派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是一班，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ 11、8位同学进行围棋单循环对抗赛，即每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了10场平局，那么各队总分之和是多少分？ 12、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问：一共有多少场比赛？ 13、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2
高中数学竞赛介绍,尖子生请收好
高中数学竞赛介绍，尖子生请收好！ 首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件： ?高考数学可以轻松应对； ?对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛； ?具备自主学习能力； ?高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。 数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。 与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。
因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。 此外，数学竞赛学到一定深度后就会发现，数学竞赛不再是由知识结构和解题方法组成，而是对思维能力的培养和运用，而思维能力的价值是远超过数学本身的，这将会对学生以后对问题的思考与对事物的判断等产生不可估量的影响。当然，这是后话。 说归说，高中数学竞赛指的究竟是什么？我想说的是，绝不仅仅是高联（全国高中数学联赛）这么简单。下面，我就带着大家理一理高中阶段可能会遇到的竞赛。
1. 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛旨在选拔在数学方面有突出特长的同学，让他们进入全国知名高等学府，而且选拔成绩比较优异的同学进入更高级别的竞赛，直至国际数学奥林匹克（IMO）。并且通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的
兴趣，让学生们爱好数学，学习数学，激发学生们的钻研精神，独立思考精神以及合作精神。 2.中国数学奥林匹克（CMO） CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍，为符合中国人的认知习惯），6个题满分为126分。颁奖与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的约前60名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad,简称IMO）的中国国家集训队。 3.国际数学奥林匹克（IMO） 国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。 正如专家们指出：IMO的重大意义之一是促进创造性的思维训练，对于科学技术迅速发展的今天，这种训练尤为重要。数学不仅要教会学生运算技巧，更重要的是培养学生有严密的思维逻辑，有灵活的分析和解决问题的方法。 根据我的感觉，如果高考的数学难度有两星，那么高联的一试难度大概有三颗星，二试难度大概有四颗星；而CMO和IMO的难度大概在五颗星左右。因此，参加高中竞赛的确
历年全国高中数学联赛试题及答案
1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1π 3 ； 命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则 A ．甲是乙的充分条件但不必要 B ．甲是乙的必要条件但不充分 C ．甲是乙的充分必要条件 D ．A 、B 、C 都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠?． ⑶ M ≠?． ⑷ P ≠?中，正确的表达式的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： 1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3 a 2－a 1= ． 2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ． 3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DE BC = ． 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ． 三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1 b =1，试证：对每一个n ∈N *， (a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
小学一年级下学期数学竞赛练习题
小学一年级下学期数学竞赛练习题
竞赛练习题（一） 班级姓 名 1．一个小组的小朋友排成一列做游戏，小明从前往后数，他排第15个，从后往前数，他排第13个，共有（）个小朋友在做游戏。 2．18名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。 3．东东从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋原来有（）个白皮球， （）个花皮球。 4．芳芳有1元4角钱，晶晶有8角钱。芳芳给晶晶（）钱，两人的钱数同样多。 5．用6根短绳连成一根长绳，一共要打（）个结。6．14个小朋友玩捉迷藏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（）个小朋友。 7．十位数字和个位数字相加，和是12的两位数有（）个。8．小东数数，从9开始数起，数到99时，小东数了（）个数。 9．把1根绳子对折以后，再对折，这时每折长1米，这根绳子长（）米
10．小强家离学校3千米，小强每天上两次学，来回要走（）千米。 11．森林里的小动物开运动会赛跑。最后小兔用了4分钟，小狗用了5分钟，熊猫用了4分30秒，请问得第一名的是（）。12．班上的同学，年龄都是8岁或9岁，那么任意两个邻座同学年龄之和最大是（）岁，最小又是（）岁。13．1个西瓜的重量=3个菠萝的重量，1个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（）个梨的重量。 14、六一节到了，三个小朋友互送贺卡，每人都要收到另外两个人的贺卡，一共要送（）张贺卡。 15、一个小朋友吃一个面包需要5分钟，现在有5个小朋友，按同样的速度，同时吃5个同样的面包，需要（）分钟。 16、两捆同样多的练习本，第一捆拿走15本，第二捆拿走9本，（）剩的多，多（）本。 17、两根同样长的绳子，分别剪去一段，第一根剩下17米，第二根剩下12米，( )剪去的长，长（）米。 18、15个小朋友分成两组做游戏，后来有3个小朋友从第一小组调到第二小组，现在共有（）个小朋友在做游戏。 19、小红参加旅游，和旅游团的每一个人合照一次相，她一共照了19次。这个旅游团共有（）个人。 20、公共汽车上原来有一些人，到站后有5人下车，又有8人上车，公共汽车上现在比原来多（）人。
高中数学竞赛训练题—填空题
高中数学竞赛训练题—填空题 1. 若不等式1-log a )10(x a -＜0有解，则实数a 的范围是 . 2．设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时， 1()2 f x x = ，则方程21 )(-=x f 的解集为 。 3.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且 2 1 212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ???Λ的最小值为____________________. 4. ,x R ∈ 函数()2sin 3cos 23 x x f x =+的最小正周期为 . 5. 设P 是圆2 2 36x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 6.. 设z 是虚数，1 w z z =+ ，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 . 7. 设4 4 2 )1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 . 8．＝ 。 9．设lg lg lg 111()121418x x x f x = +++++，则 1 ()()_________f x f x +=。 10．设集合{}1215S =L ，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足： 123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ． 11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ . 12．已知坐标平面上三点()()) 0,3,,A B C ，P 是坐标平面上的点，且 PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 13.已知0 2sin 2sin 5=α，则) 1tan() 1tan(00-+αα的值是______________. 14.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________. 15.不等式 92) 211(42 2 +<+-x x x 的解集为_______________________.
2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.
高等数学竞赛试题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：
高中数学竞赛集训训练题
高中数学竞赛集训训练题 1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2 2 3 3 b a b a -=-，求所有可能的整数 c ,使得ab c 9=. 2．已知不等式 24 131...312111a n n n n > ++++++++对一切正整数a 均成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。 3．设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22 111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，求{n a } 的通项公式。 4．（1）设,0,0>>y x 求证： ;4 32y x y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x 求证： .2 333zx yz xy x z z z y y y x x ++≥+++++ 5. 设数列ΛΛΛ,1 ,,12, 1,,13,22,31,12,21,11k k k -， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少； （2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少. 6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每
个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 7．已知数列{}n a 满足1a a =（0,1a a ≠≠且），前n 项和为n S ，且(1)1n n a S a a = --， 记lg ||n n n b a a =（n *∈N ），当a =时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 8. 在ABC ?中，已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u r g ，又ABC ?的面积等于6. （Ⅰ）求ABC ?的三边之长； （Ⅱ）设P 是ABC ?（含边界）内一点，P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ，求 123d d d ++的取值范围. 9．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-． （1）若152a =，161a =-，求2008a ； （2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列． 10. 已知椭圆)1(12 22>=+a y a x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆 交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为27 8 ，求a 的值。
高中数学竞赛训练题 (3)
高中数学竞赛训练题 一、选择题（仅有一个选择支正确） 1．已知全集}{}{N n n x x B N n n x x A N U ∈==∈===,4,,2,,则（ ） （A ） B A U = (B) )(B A C U U = (C) B C A U U = (D) B C A C U U U = 2．已知b a ,是正实数,则不等式组???>+>+ab xy b a y x 是不等式组? ??>>b y a x 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D)既不充分又不必要条件 3．等差数列{}n a 中,,336),9(30,1849=>==-n n S n a S 则n 的值是（ ） （A ）8 (B) 9 (C) 16 (D) 21 4．已知复数2 121 -+ =z z w 为纯虚数,则z 的值为（ ） （A ） 1 (B) 21 (C) 31 (D) 不能确定 5．边长为5的菱形,若它的一条对角线的长不大于6,则这个菱形对角线长度之和的最大值是（ ） （A ） 16 (B) 210 (C) 14 (D) 65 6．平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线5 435+=x y 的距离中的最小值是（ ）（A ） 17034 (B) 8534 (C) 170343 (D) 30 1 7．若232,2,2++x y x x 成等比数列,则点),(y x 在平面直角坐标系内的轨迹是（ ） （A ） 一段圆弧 (B) 一段椭圆弧 (C) 双曲线的一部分 (D) 抛物线的一部分 8．若ABC ?的三边c b a ,,满足：,0322,0222 =+-+=---c b a c b a a 则它的最大内角的度数是（ ） （A ） 0150 (B) 0120 (C) 090 (D) 060
高中数学竞赛试题及答案(word版本)
最新高中数学奥数竞赛竞赛试题 总分200分 一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数 122 i i +-=（ ） A i B i - C 4355i -- D 4355 i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b r r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->r r 是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+，若P M P =I ，则实 数a 的取值范围是（ ） A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数3sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132 D 13 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A A B SA ⊥ B B C P 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示，若 22(),()log f x x g x x ==，输入x 的 值为0.25，则输出的结果是（ ） A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设,i j r r 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且
小学三、四年级数学竞赛训练题
小学三、四年级数学竞赛训练题 一、算式谜 1.在下面的数中间填上“+”、“-”，使计算结果为100。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 2.ABC D＋AC D＋CD=1989，求A、B、C、D。 3.□4□□－3□89=3839. 4.1ABCDE×3=ABCDE1，求A、B、C、D、E。 5. 二、找规律 6.找找规律填数 （1）75，3，74，3，73，3，（），（）； （2）1，4，5，4，9，4，（），（）； （3）3，2，6，2，12，2，（），（）； （4）76，2，75，3，74，4，（），（）； （5）2，3，4，5，8，7，（），（ 0）； （6）2，1，4，1，8，1，（），（）。 7.在（）内填入适当的数 （1）1，1，2，3，5，8，（），（）； （2）0，2，2，4，6，10，（），（）； （3）1，3，4，7，11，18，（），（）； （4）１，１，１，３，５，９，（），（）； （5）0，1，2，3，6，11，（），（）； 8.找规律在（）内填上合适的数 （1）0，1，3，8，21，55，（）； （2）2，6，12，20，30，42，（）； （3）1，2，4，7，11，16，（）。 9.下面的数列排列有一定规律，找出它的变化规律，在（）内填上合适的数。 （1）1，6，7，12，13，18，19，（）； （2）1，3，6，8，16，18，（），（）； （3）1，4，3，8，5，12，7，（） （4）1000，970，200，180，40，30，（），（）。 10.
三、排列组合 11. 小华、小花、小马三个好朋友要在一起站成一排拍一张照片。三个人争着要站在排头， 无法拍照了。后来照相师傅想了一个办法，说：“我给你们每人站在不同位置都拍一张，好不好？”这下大家同意了。那么，照相师傅一共要给他们拍几张照片呢？ 12. 二（1）班的小平、小宁、小刚、小超4人排了一个小块板，准备“六、一”演出。在 演出过程中，队形不断变化。（都站成一排）算算看，他们在演出小快板过程中，一共有多少种队形变化形式？ 13. “69”顺倒过来看还是“69”，我们把这两个顺倒一样的数，称为一对数。你能在“0， 1，6，9，8”这五个数中任意选出3个，可以组成几对顺倒相同的数？ 14. 有五种颜色的小旗，任意取出三面排成一行表示各种信号。问：共可以表示多少种不同 的信号？ 15. 用数码0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 四、简单推理 16. 红、黄、蓝三个盒子，两个盒子是空的，一个盒子放了乒乓球，每个盒子盖上都写入一 句话：红盒上写着“乒乓球不在这里”；黄盒上写着“乒乓球不在这里”；蓝盒上写着“乒乓球在红盒里”；不过，其中只有一句话是真的，想一想：乒乓球究竟在哪个盒子里？ 17. 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、
