数据集中趋势和离散程度(名师总结)

数据的集中趋势和离散程度

【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念

一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数

据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．

例1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106,那么原4个数的平均数是________ .

例2：有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就达到90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.

例3：有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,则第三个数是_______ .

例4：某5个数的平均值为60,若把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ .

例5：A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数.

23, 26, 30, 33 A、B、C、D 4个数的平均数是多少

例6：有5个抽屉，分别有图书33本、42本、20本、53本和32本，平均每个抽屉里有图书多少本？

例7：小明参加了四次数学测验，平均成绩是88分，他想再通过一次数学测验将五次的平均成绩提高到最少90分，那么在下次测验中，至少要得多少分？

例8：四个数的平均值是30，若把其中一个改为50，平均值就变为40，这个数原来是多少？

例9：有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，甲数和丙数的平均数是46，乙数和丙数的平均数是47，求甲、乙、丙三个数各是多少？

例10：某人沿一条长为12千M的路上山，又从原路返回，上山的速度是2千M/小时，下山的速度是6千M/小时。那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千M每小时？

例11：若不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。

某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：

求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？

二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着

眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．

注：众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．众数有可能不唯一，注意不要遗漏．

例12：在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x 、90、70，若这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，则他们得分的中位数是【 】

A 、100

B 、90

C 、80

D 、70

例13：当5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，则5个整数可能的最大的和是【 】

A 、21

B 、22

C 、23

D 、24

例14：10名工人，某天生产同一零件，生产达到件数是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，则这一组数据的众数是【 】

A 、15

B 、17 15

C 、14

D 、17 15 14 例15：某鞋店销售了9双鞋，各种尺码的销售量如下：

（1）计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.

（2）哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？

三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组

数据中的中位数是唯一的．

注：求中位数要先把数据按大小顺序排列，可以从小到大，也可以从大到小．如果数据个数n 为奇数时，第2

1

+n 个数据为中位数；如果数据个数n 为偶数时，第

2n 、12

+n

个数据的平均数为中位数． 例16：李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：

据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为【 】 A ．200千克，3000元 B ．1900千克，28500元 C ． 2000千克，30000元

D ．1850千克，27750元

例17：为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：

根据上表中的数据，回答下列问题：

（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？（2）这组数据的中位数、众数分别是多少? （3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．

【知识点2】极差、方差和标准差

极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 一、极差

一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为：

])()()[(1

222212x x x x x x n

S n -++-+-= .

例18：数据0、1、2、3、x 的平均数是2，则这组数据的极差和标准差分别是【 】 A 4，2 B 4，2 C 2，10 D 4，10 三、标准差

在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再

开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差.

例19：数据90，91，92，93的标准差是【 】

（A ） 2 （B ）54 （C ）54 （D ）5

2

?注意：极差、方差、标准差的关系

方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.

例20：从甲、乙两种玉M 苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm ） 甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25 乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44

(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉M 的极差、方差和标准差.(2)哪种玉M 的苗长得高些。(3)哪种玉M 的苗长得齐.

例21：市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛.他们的成绩（单位：m ）如下：

甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75

(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？

(3)若预测，跳过1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过1.70m 才能得冠军呢？ 例

17

简析：（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间为

1

(0212 1.5628 2.512313 3.5443) 2.4450

?+?+?+?+?+?+?+?=（小时）

，即该班学生每周做家务劳动的平均时间为2.44小时．（2）由表中的数据我们可以发现这组数据的中位数是2.5（小时），众数是3（小时）．（3）只要叙述内容与上述数据有关或与做家务劳动有关，并且态度积极即可．

例20分析：本题既是一道和极差、方差和标准差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目.要求极差，只要用数据中最大值减去最小值，求到差值即可.利用方差的计算公式可以求到方差，将方差开平方就得标准差.

解： 甲的极差： 42-14=28(cm)； 乙的极差：44-16=28(cm). 甲的平均值:

）

（）（甲cm x 302540413722191439422110

1

=+++++++++= 乙的平均值:

)(31)44274040441641401627(10

1

cm x =+++++++++=

乙 甲的方差:

)(2.10410

)3025()3042()3021(22

222cm S =-++-+-= 甲

,

乙的方差:

)(8.12810

)3144()3116()3127(22

222cm S =-++-+-= 乙

（2）因为甲种玉M 的平均高度小于乙种玉M 的平均高度，所以一种玉M 的苗长的高.

（3）因为2

2乙甲S S ≤，所以甲种玉M 的苗长得整齐.

例21解读：本题是一道数据分析有关的实际问题,主要考查数据的平均数、方差的计算方法及处理数据的能力.根据平均数及方差的计算公式可得

（1）甲x =)67.165.170.1(81+++ =1.69(m),乙x =)75.173.160.1(81

+++ =1.68（m ）. (2)])69.167.1()69.165.1()69.170.1[(812222

-++-+-= 甲S =0.0006(m 2),

])68.175.1()68.173.1()68.160.1[(8

12222

-++-+-= 乙S =0.0035(m 2),因为22s s <乙甲,所以甲稳定.

（3）可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过1.65m 而乙有3次低于1.65m 。 可能选乙参加，因为甲仅3次超过1.70m.

数据的离散程度(一)

§6.4.1数据的离散程度（一） 学习目标： 1.了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值。 2.通过实例体会用样本估计总体的思想，进一步认识“离散程度”的意义。 3.能借助计算器求出一组数据的方差、标准差，并在具体问题情景中加以运用。 活动过程： 活动一：回顾旧知 1.平均数计算公式是什么？ 2.平均数反映数据的什么趋势？ 活动二：新知探究 1.想一想 阅读课本149页，完成下列问题 （1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗？ （2）求甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量。 （3）在图中画出表示平均质量的直线（画在书上），观察图象你发现了什么？ （4）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值呢？它们差几克？乙厂呢？ （5）如果只考虑鸡腿规格，你认为外贸公司应购买哪个厂的鸡腿？为什么？ 2.概念引入 生活中数据除了“平均水平”外还有离散程度。离散程度是指数据相对于“平均数”的 ___________程度。数据的离散程度可以用极差、方差、标准差来刻画。 极差：是指一组数据中最_____数据与最______数据的差，极差是用来刻画数据离散程度的一个统计量。

方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s2，设有一组数据：x1, x2, x3,……，xn,其平均数为x 则()()()()[]2 23222121 x x x x n s x x x x n -++-+-+-=Λ 标准差（即方差的算术平方根） ()()()()[]2 2322211x x x x n s x x x x n -++-+-+-=Λ 3.练一练 如果丙厂也参加了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿质量如下：（单位：g ） 75 74 73 78 72 76 74 76 74 75 74 72 73 72 78 76 77 77 77 79 （1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差是多少？ （2）如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与对应平均数的差距。 （3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂鸡腿质量更符合要求？为什么？ 小结: 当几组数据的平均数相等或比较接近时,我们可以用极差，方差或标准差来比较数据的离散程度.一组数据的极差、方差或标准差越小,说明数据的离散程度越_____(填“大”或“小”)，数据的波动越_______,说明数据越稳定。 练习反馈“ 1.五个数1,2,4,5,a,的平均数是3,则a=__ __,这五个数的方差是______； 2.甲、乙两个小组各10名学生的某次数学测验成绩如下：（单位：分） 甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83 乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74 （1）甲组数据的众数是____________,乙组数据的中位数是_________________ （2）若甲组数据的平均数为x ,乙组数据的平均数为y ，则x 与y 的大小关系是 （3）经计算知：s 2甲=13.2, s 2乙=26.36, s 2甲______s 2乙(填＞、=、＜符号)，这说明___________________________________________________________

初复习案：极差方差与标准差——数据的离散程度

初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度 【学习目标】 一. 教学内容： 数据的离散程度 二. 学习目标： 1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。 2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。 三. 重点： 极差的定义，方差、标准差的应用。 四、难点： 会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。 【学习内容】 （一）知识要点 知识点1：表示数据集中趋势的代表 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。 知识点2：表示数据离散程度的代表 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 知识点3：生活中与极差有关的例子 在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。 知识点4：平均差的定义 在一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数据与它们的平均数- x 的差的绝对值的平均数即T= |)x x ||x x ||x x (|n 1 n 21----+???+-+-叫做这组数据的“平均差” 。 “平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。 知识点5：方差的定义 在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即 S 2 =])x x ()x x ()x x [(n 12n 2 221----+???+-+-来描述这组数据的离散程度，并把S 2叫做这组 数据的方差。 知识点6：标准差 方差的算术平方根，即用S=])x x ()x x ()x x [(n 12n 2 221----+???+-+-来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 知识点7：方差与平均数的性质 若x 1，x 2，…x n 的方差是S 2 ，平均数是- x ，则有

05练习题解答：第五章集中趋势与离散趋势

第五章 集中趋势与离散趋势 练习题： 1. 17名体重超重者参加了一项减肥计划，项目结束后，体重下降的重量分别为： （单位：千克） 12 10 15 8 2 6 14 12 10 12 10 10 11 10 5 10 16 （1）计算体重下降重量的中位数、众数和均值。 （2）计算体重下降重量的全距和四分位差。 （3）计算体重下降重量的方差和标准差。 解： (1)○1中位数： 对上面的数据进行从小到大的排序： M d 的位置＝ 2 =9，数列中从左到右第9个是10，即M d ＝10。 ○2众数： 绘制各个数的频数分布表： “10”的频数是6，大于其他数据的频数，因此众数M O =“10” ○3均值： 18.1016 521 =+?++= = ∑=n n x X n i i （2）○1全距：R ＝max(x i )-min(x i )=16-2=14 ○2四分位差： 根据题意，首先求出Q 1和Q 3的位置：

Q 1的位置＝41+n ＝4 1 17+=，则Q 1=8+×(10-8)=9 Q 3的位置＝4)1(3+n ＝4 ) 117(3+?=,则Q 3=12+×(12-12)=12 Q= Q 3- Q 1=12-9=3 （3）○1方差： 2 21 222 () 1 (210.18)(510.18)(1610.18) 171 =12.404 n i i x x S n =-= --+--=-∑+?+ ○2 标准差： 3.52S === 2.下表是武汉市一家公司60名员工的省（市）籍的频数分布： 省（市）籍 频数（个） 湖北 28 河南 12 湖南 6 四川 6 浙江 5 安徽 3 （1）根据上表找出众值。 （2）根据上表计算出异众比率。 解： (1)“湖北”的频数是28，大于其他省（市）籍的频数，因此众数M O =“湖北” (2)异众比率的计算公式为： mo r n f V n -= （ n 代表总频数，mo f 代表众数的频数） 其中n=60，mo f =28，则： 6028 0.5360 r V -==

如何衡量数据的离散程度精编版

如何衡量数据的离散程 度精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartilerange，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到： 如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（StandardDeviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的： 基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。

数据的集中趋势与离散程度中考考点分析.doc

身高（cm ） 180 186 188 192 208 则该校篮球班 21名同学少高的众数和屮位数分别是 （单位: cm)( 186, 186 186, 187 186, 188 208, 188 180, 180, 178 180, 178, 178 品牌 甲 销信量（瓶） 12 建议学校商店进货数量最多的品牌是 （A ）屮品牌 （B ）乙品牌 7.我市某一周的最高气温统计如下表： 最高气温（°C ） 25 26 27 天数 112 贝 U 这组数据的屮位数与众数分别是（ 乙 丙 丁 32 13 43 ( ) （C ）丙品牌 （D ） 丁品牌 28 3 A. 27, 28 B. 27.5, 28 C. 28, 27 D. 26.5, 27 数据的集中趋势与离散程度中考考点分析 3.某校篮球班21名同学的身高如下表: 人数（个）4 4?体育课上测量立定跳远,其中_组六个人的成绩（单位：米）分别是:1.0, 1.3, 2. 2, 2. 0,1. 8, 1.6，则 这组数据的屮位数和极并分别绘（ A. 2. 1, 0. 6 B. 1. 6, 1. 2 C. 1. & 1.2 D. 1.7, 1.2 5?今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组（10名）同学的测试成绩（单 位：个/ 分钟）. 176 180 184 180 170 176 172 164 186 180 该组数据的众数、屮位数、平均数分别为（ ） C. 180, 178, 176.8 D. 178, 180, 176.8 6.学校商店在一段时间内销伟了四种饮料共100瓶，各种饮料的销伟量如下表: 集中趋势 1.数据b 2, 3, 4, 5的平均数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.某车间5名工人LI 加丁零件数分别为6, 10, 4, 5, 4, 则这组数据的屮位数是（ A.4 B. 5 C.6 D. 10

数据的离散程度【公开课教案】

6.4 数据的离散程度 第一环节：情境引入 内容：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分，某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿．现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近。 质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下： 甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75 80 71 76 77 73 78 71 76 73 75 把这些数据表示成下图： 质量/g 甲厂乙厂 （1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少？ （2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线。 （3）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值又是多少？最小值呢？它们相差几克？ （4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿？说明你的理由。 在学生讨论交流的的基础上，教师结合实例给出极差的概念：

极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。它是刻画数据离散程度的一个统计量。 目的：通过一个实际问题情境，让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析，从而顺利引入研究数据的其它量度：极差。 注意事项：当一组数据的平均数与中位数相近时，学生在原有的知识与遇到问题情境产生知识碰撞时，才能较好地理解概念。 第二环节：合作探究 内容1： 如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如下图： 78 质量/g （1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？ （2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距。 （3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？ 数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画。 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即： ()()()[] 222212...1x x x x x x n s n -++-+-= 注：x 是这一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数，s 2是方差，而标准差就是方差的算术平方根。一般说来，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定。 说明：标准差的单位与已知数据的单位相同，使用时应当标明单位；方差的单位是已知单位的平方，使用时可以不标明单位。 目的：通过对丙厂与甲、乙两厂的对比发现，仅有极差还不能准确刻画一组

九上数数据集中趋势和离散程度

数据的集中趋势和离散程度 一、 知识点梳理 知识点1：表示数据集中趋势的代表 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 121 ()n x x x x n 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位 数 。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。 知识点2：表示数据离散程度的代表 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 ； 极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 知识点3：方差的定义 在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即 S 2=来描述这组数据的离散程度，并把S 2 叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 知识点4：标准差 方差的算术平方根，即用S= 来描述这一组数 据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 知识点5：方差与平均数的性质 若x 1，x 2，…x n 的方差是S 2 ，平均数是，则有 ①x 1+b ， x 2+b…x n +b 的方差为S 2 ，平均数是+b ②ax 1， ax 2，…ax n 的方差为a 2s 2 ，平均数是a ③ax 1+b ， ax 2+b ，…ax n +b 的方差为a 2s 2 ，平均数是a +b @ 二、 典型例题剖析 1、数据5,7,8,8,9的众数是（ ） 【解析】一组数据中的众数是指出现次数最多的数，8出现次数最多。 【答案】选：C ．

数据的离散程度

数据的离散程度 一、选择 1、国家统计局发布的统计公报显示：2001到2005年，我国GDP 增长率分别为8.3％，9.1％，10.0％，10.1％，9.9％。经济学家评论说：这五年的年度GDP 增长率之间相当平稳。从统计学的角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的（ ）较小。 A 、标准差 B 、中位数 C 、平均数 D 、众数 2、刘翔为了备战2008年奥运会，刻苦进行110米跨栏训练，为判断他的成绩是否温度，教练对他10次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这10次成绩的（ ） A 、众数 B 、方差 C 、平均数 D 、频数 3、若一组数据1、2、3、x 的极差是6，则x 的值为（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、7或-3 4、下列说法中，错误的有 （ ） ①一组数据的标准差是它的差的平方；②数据8，9，10，11，1l 的众数是2；③如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么(x 1－x ）＋（x 2－x ）+…（x n －x ）=0；④数据0，－1，l ，－2，1的中位数是l ． A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、l 个 二、填空 5、数据：1、3、4、7、2的极差是 。 6、对某校同龄的70名女学生的身高进行测量，其中最高的是169㎝，最矮的是146㎝，对这组数据进行整理时，可得极差为 。 7、甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400 克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机 抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示： 根据表中数据，可以认为三台包装机中， 包装机包装的茶叶质量最稳定。 8、小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如右图所示，则小明5次成绩的方差S 12与小兵5次成绩的方差S 22之间的大小关系为S 12 S 22．（填“＞”、“＜”、“＝”） 9、一组数据的方差 ])10()10()10[(15 1 222212-++-+-= n x x x s ，则这组数据的平均数是 ，n x 中下标 n= 。 10、已知一组数据ｘ1，ｘ2，…，ｘn 的方差是a 。则数据ｘ1－4，ｘ2－4，…，ｘn －4的方差是 ；数据 3ｘ1，3ｘ2，…，3ｘn 的方差是 。 三、解答 11、在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶。如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图。请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题： 16 14 14 16 15 15 甲路段 17 19 10 18 15 11 乙路段

初中数学知识点精讲精析 数据的离散程度

6.4 数据的离散程度 学习目标 1.通过实际问题的解决，探索如何表示一组数据的离散程度。 2.了解极差，方差的统计含义，会计算一组数据的极差和方差. 3.通过数据的统计过程，培养观察、分析问题的能力和发散思维能力. 知识详解 1．极差 定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值．极差反映了这组数据的波动范围． 极差：（1）极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；（2）在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；（3）极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；（4）一组数据的极差越小，这组数据就越稳定． 2．方差 （1）定义：设有n 个数据 123n x x x x ，，，，，各数据与它们的平均数的差的平方分别是21x x （－），22x x （－），2 3x x （－），…，2n x x （－） ，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差． （2）方差的计算公式：通常用2s 表示一组数据的方差，用x 表示这组数据的平均数． 2s ＝1n [21x x （－）＋22x x （－）＋23x x （－）＋…＋2n x x （－） ]． （3）标准差：标准差就是方差的算术平方根． 方差：（1）方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；（2）对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；（3）一组数据的每一个数据都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；（4）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的2 k 倍． 3．极差与方差（或标准差）的异同 相同之处： （1）都是衡量一组数据的波动大小的量； （2）一组数据的极差、方差（或标准差）越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定． 不同之处： （1）极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差（或标准差）反映的是数据在它的平均

数据的整理复习

数据的离散程度 1?我们通常用数据的离散程度来描述一组数据的波动范围和偏离平均数的差异程度. 组数据离散程度的统计量有：极差、方差、标准差 2?—组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差，即 极差=最大数据一最小数据. 3.在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通 常用S2表示，即 oS 2 =—［（兀丄-壬尸

.??甲组的成绩更整齐些. 中，数字10和20分别表示样本的（）. A.数据个数、方差 B.平均数、容量 C ?数据个数、平均数 D.标准差、平均数 2?样本3,-4, 0,-1,2的方差是 __________ . 3?—组数据的标准差是 2,将这组数据都扩大为原来的 3倍，则所得的一组数据的标准差是 4? （1）2002年月气温的极差是 ________ , 2003年月气温的极差是 ___________ .由此可知： 年同期气温变化较大； ⑵2002年2月的平均气温是 _______ , 2003年2月的平均气温是 ______________ ; ⑶2002年2月的气温方差是 _________________ , 2003年3月的气温方差是 ________________ 由此可知 ____________ 年同期气温变化较稳定. _ 2 + 5 十 10 十 13 + 14 + 6 25 4 4-4 + 16 + 2 + 12 + 12 25 ；乙 6 3 _ 6 v^=l[(2-^/+(5-^)a +^ + C6-y)a ] = ?? v 皤=|［（4-爭 十 （4—争十…十（12 —弓） 】 245 ]= — 练习 1?在样本方差的计算公式 10 L —20 I + …+ 他。—20)^ ] |

评价数据离散程度的指标

标准差 标准差（Standard Deviation），也称（mean square error），是各数据偏离的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差（Standard Deviation），在统计中最常使用作为程度（statistical dispersion）上的。标准差定义为的，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为），其平均值为μ，公式如图1. 图1 标准差也被称为，或者实验标准差，公式如图2。 图2 简单来说，标准差是一组数据分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的。标准差数值越大，代表回报远离过去值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.078分，B组的标准差为2.16分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 如是总体，根号内N=n，如是，标准差公式根号内N=（n-1)，因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。 公式意义 所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。 深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在中，此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（深蓝，蓝）的

如何衡量数据的离散程度

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartile range，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：

如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（Standard Deviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的： 基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。 平均差（Mean Deviation） 方差用取平方的方式消除数值偏差的正负，平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。平均差可以用均值作为参考系，也可以用中位数，这里使用均值： 平均差相对标准差而言，更不易受极端值的影响，因为标准差是通过方差的平方计算而来的，但是平均差用的是绝对值，其实是一个逻辑判断的过程而并非直接计算的过程，所以标准差的计算过程更加简单直接。 变异系数（Coefficient of Variation，CV） 上面介绍的方差、标准差和平均差等都是数值的绝对量，无法规避数值度量单位的

中考数学第一轮复习(第36课表示数据离散程度的统计量)课件

第36课时表示数据离散程度的统计量（即：极差、方差、标准差） 班级姓名学号 学习目标 1. 会计算极差、方差和标准差，并用它们表示数据的离散程度。 2.会运用这些知识及统计思想解决简单的实际问题，并能根据统计结果作出合理的判断和预测，比较清晰地表达自己的观点。 学习重点：会计算极差、方差和标准差。 学习难点：运用统计思想解决简单的实际问题。 教学过程： 一、基本概念： 极差指＿＿＿＿＿＿＿； 方差＿＿＿＿＿＿ 标准差Ｓ是指：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、例题精讲 例１、数据0、1、2、3、x 的平均数是2，则这组数据的极差和标准差分别是（） A 4，2 B 4，2 C 2，10 D 4，10 例2、某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况统计如下(?单位:kg): (1)分别求出本周内甲、乙两种水果每天销售的平均数; (2)说明甲、乙两种水果销售量的稳定性.

例3、射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如图所示： ⑴根据右图所提供的信息填写下表: ⑵如果你是教练，会选择哪位运动员参加比赛?请说明理由. 三、随堂检测 1、 数学老师对小明在参加中考前的5次数学模拟考试进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，于是老师需要知道这5次数学成绩的（ ） A 平均数或中位数 B 方差或极差 C 众数或频率 D 频数或众数 2、甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x ＝8，方差S 2乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ） A 甲的射击成绩较稳定 B 乙的射击成绩较稳定 C 甲、乙的射击成绩同样稳定 D 甲、乙的射击成绩无法比较 3 、已知一组数据：4，0，2，1，-2，这组数据的平均数是______；方差______；标准差______. 4、在暑假开展的社会实践活动中，?小丽同学帮助李大爷统计了一周内卖出A 、B 两 09 8 765432 一二三四五六七八九十（次数）

数据的离散程度

6．4 数据的离散程度 1．了解极差的意义，掌握极差的计算方法； 2．理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．(重点、难点) 一、情境导入 从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环，但教练还是选择乙运动员参赛． 问题1：从数学角度，你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗？ 问题2：你在现实生活中遇到过类似情况吗？ 二、合作探究 探究点一：极差 欢欢写了一组数据：9.5，9，8.5，8，7.5，这组数据的极差是( ) A ．0.5 B ．8.5 C ．2.5 D ．2 解析：这组数据的最大值是9.5，最小值是7.5，因此这组数据的极差是：9.5－7.5＝ 2.故选D. 方法总结：要计算一组数据的极差，找出最大值与最小值是关键． 探究点二：方差、标准差 【类型一】 方差和标准差的计算 求数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和标准差． 解析：一组数据的方差计算有两个常用的简化公式：(1)s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－nx 2]；(2)s 2＝1n [(x 1′2＋x 2′2＋…＋x n ′2)－nx ′2]，其中x 1′＝x 1－a ，x 2′＝x 2－a ，…，x n ′＝x n －a ，a 是

接近原数据平均数的一个常数，x′是x1′，x2′，…，x n′的平均数． 解：方法一：因为x＝1 10(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s2＝ 1 10 [(7－7)2＋(6－7)2 ＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2]＝1.2. 所以标准差s＝30 5 . 方法二：同方法一，所以s2＝1 10 [(72＋62＋82＋82＋52＋92＋72＋72＋62＋72)－10×72]＝ 1.2，标准差s＝30 5 . 方法三：将各数据减7，得新数据：0，－1，1，1，－2，2，0，0，－1，0.而x′＝0， 所以s2＝1 10 [02＋(－1)2＋12＋12＋(－2)2＋22＋02＋02＋(－1)2＋02－10×02]＝1.2.所以标准 差s＝30 5 . 方法总结：计算一组数据的方差和标准差的步骤：先计算该组数据的平均数(或需加减的数值)，然后按方差(或标准差)的计算公式计算． 【类型二】方差和标准差的应用 在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄(单位：岁)如下： 甲队：26，25，28，28，24，28，26，28，27，29； 乙队：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26. (1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？ (2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况． 解析：先求出两队参赛选手年龄的平均值，再由标准差的定义求出s甲与s乙，最后比较大小并作出判断． 解：(1)x甲＝1 10 ×(26＋25＋28＋28＋24＋28＋26＋28＋27＋29)＝26.9(岁)， x乙＝1 10 ×(28＋27＋25＋28＋27＋26＋28＋27＋27＋26)＝26.9(岁)． (2)s2甲＝ 1 10 ×[(26－26.9)2＋(25－26.9)2＋…＋(29－26.9)2]＝2.29， s2乙＝1 10 ×[(28－26.9)2＋(27－26.9)2＋…＋(26－26.9)2]＝0.89. 所以s甲＝ 2.29≈1.51， s乙＝0.89≈0.94， 因为s甲>s乙， 所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大． 方法总结：求标准差时，应先求出方差，然后取其算术平方根．标准差越大(小)其数据

数据离散程度的度量

数据离散程度的度量复习学案 一、教学内容：第10章数据离散程度的度量 二、复习目标： 1、通过复习熟练掌握考察数据离散程度的量及意义。 2、能根据数据统计结果作出简单判定与决策。 三、本章知识结构： 极差——概念 概念——用科学 方差——公式——计算器 数据离散程度的度量计算方 标准差——概念——差和标 公式——准差。 四、依据知识结构翻阅课本与笔记本记忆基本知识点 1、检查知识点 2、完成下列题目： （1）样本2，3，0，5，-7，6的极差是。 （2）下面几个概念中，能体现一组数据离散程度的是。 A、平均数 B、中位数 C、众数 D、极差 （3）数学老师对小明参加的4次中考模拟的考试成绩进行统计分析，判断小明成绩是否稳定的应计算的数学量是。 A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差 （4）已知1，2，3，4，5的方差为s2，则11,12，13，14，15这组数的方差是。 3、专题研究： （1）甲、乙两个小组各6名同学，某次数学测验成绩如下： 甲：76，90，84，86，81，81 乙：82，80，85，89，79，80 甲组的众数是，乙组的中位数是，甲组的方差是，乙组的方差是，由计算知学习成绩较稳定的小组是。 （2）为了从甲、乙两名射击选手中选出一人参加射击比赛，辅导员对它们的实际水平进行了测试，每人射击10次，成绩如下： 甲：9，9，10，8，6，10，10，8，10，8 乙：10，8，7，10，10，10，10，8，7，8 你如何帮助辅导员作出决策？ 四、课堂达标： 1、下列说法正确的是（）

A、如果两名运动员的训练成绩的平均数、众数、中位数相同则他们的成绩一样 B、一组数据的方差总是大于标准差 C、一组数据的方差越大，则这组数据的波动越小 D、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 2、已知一组数据为-1，0，x，1，-2的平均数是0那么这组数据的方差是。 3、一组数据x1，x2，……x n的方差s2=0.36，则这组数据x1，x2，…… x n，x的方差是（）。 4、一个样本的方差s2=1/50【（x1- 5）2+（x2- 5）2+……+（x n- 5）2】那么这个样本的容量是，平均数是。 5、已知样本x1，x2，……x n的方差为2，平均数是6，则3x1+2，3x2+2，…… 3x n+2的方差是，平均数是。 五、小结（学生先独立小结，小组再整合）： 六、作业：

数据的离散程度测试题

数据的离散程度测试题 《数据的离散程度》单元测试卷班级姓名学号一、选择题(每题3分，共24分) 1．（2011重庆潼南中考）4.下列说法中正确的是( ) A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．想了解某种饮料中含色素的情况,宜采用抽样调查 C．数据1，1，2，2，3的众数是3 D．一组数据的波动越大,方差越小 2. （2011衢州市中考）3、在九年级体育中考中，某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩如下(单位：次/分)：44，45，42，48，46，43，47，45.则这组数据的极差为( ) A、2 B、4 C、6 D、8 3.数据0、1、2、3的标准差是（） A. B.2 C. D. 4.样本方差的计算式S2= [（x1-30）2+（x2-30）]2+…+（xn-30）2]中，数字20和30分别表示样本中的（） A.众数、中位数 B.方差、标准差 C.样本中数据的个数、平均数 D.样本中数据的个数、中位数 5. （2011湘潭市中考）2．数据：1，3，5的平均数与极差分别是( ) A.3，3 B.3，4 C.2,3 D.2,4 6.一组数据的方差为S2，将该数据每一个数据，都乘2，所得到一组新数据的方差是（） A. B.S2 C.2 S2 D.4 S2 7.已知一组数据：-1，x，0，1，-2的平均数是0，那么，这组数据的方差是（） A. B.2 C.4 D.10 8. （2011益阳市中考）5．“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“ ”，不足标准重量的记作“ ”，他记录的结果是，，，，，，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是( ) A．0，1.5 B．29.5，1 C． 30，1.5 D．30.5，0 二、填空题（每题3分，共21分） 9.数据：-2、0、1、4、-1的极差是。 10.对某校同龄的70名女学生的身高进行测量，其中最高的是169?M，最矮的是146?M，对这组数据进行整理时，可得极差为。 11. （2011义乌市中考）14．某校为了选拔学生参加我市2011年无线电测向比赛中的装机比赛，教练对甲、乙两选手平时五次训练成绩进行统计，两选手五次训练的平均成绩均为30分钟，方差分别是、 . 则甲、乙两选手成绩比较稳定的是； 12.小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如右图所示，则小明5次成绩的方差S12与小兵5次成绩的方差S22之间的大小关系为S12 S22．（填

如何衡量数据的离散程度

如何衡量数据的离散程度 Revised by Jack on December 14,2020

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartile range，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到： 如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避 了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（Standard Deviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：

心理统计学重要知识点

心理统计学重要知识点 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

《心理统计学》重要知识点 第二章 统计图表 简单次数分布表的编制：Excel 数据透视表 列联表（交叉表）：两个类别变量或等级变量的交叉次数分布，Excel 数据透视表 直方图（histogram ）：直观描述连续变量分组次数分布情况，可用Excel 图表向导的柱形图来绘制 散点图（Scatter plot ）：主要用于直观描述两个连续性变量的关系状况和变化趋向。 条形图（Bar chart ）：用于直观描述称名数据、类别数据、等级数据的次数分布情况。 简单条形图：用于描述一个样组的类别（或等级）数据变量次数分布。 复式条形图：用于描述和比较两个或多个样组的类别(或等级)数据的次数分布。 圆形图（circle graph ）、饼图（pie graph ）：用于直观描述类别数据或等级数据的分布情况。 线形图（line graph ）：用于直观描述不同时期的发展成就的变化趋势； 第三章 集中量数 ● 集中趋势和离中趋势是数据分布的两个基本特征。 ● 集中趋势：就是数据分布中大量数据向某个数据点集中的趋势。 ● 集中量数：描述数据分布集中趋势的统计量数。 ● 离中趋势：是指数据分布中数据分散的程度。 ● 差异量数：描述数据分布离中趋势（离散程度）的统计量数 ● 常用的集中量数有：算术平均数、众数（M O ）、中位数（M d ） 1．算术平均数（简称平均数，M 、X 、Y ）：n x X i ∑ = Excel 统计函数AVERAGE 算术平均数的重要特性： （1）一组数据的离均差（离差）总和为0，即0)(=-∑x x i （2）如果变量X 的平均数为X ，将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后， 那么，变量Y 2．中位数（median ，M d ）：在一组有序排列的数据中，处于中间位置的数值。中 位数上下的数据出现次数各占50%。 3．众数（mode ，M O ）：一组数据中出现次数最多的数据。 4．算术平均数、中数、众数之间的关系。