幂函数与指数函数及其性质
(一)指数函数的定义
一般地，函数y =a x
(a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,0 和a >1五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8 所以指数函数y =0.8x 在 R 上是减函数。 因 为-0.1 >-0.2,所以 0.8-0.1< 0.8-0.2 总结：同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 . (3) 观察图像可得,(0.3)-0.3<(0.2)-0.3 不同底数幂在比大小时,可利用多个指数函数图象比大小 (4) 由指数函数的性质知：1.703 >1.7 0 =1,093.1<0.90 =l 即 1.70.3 >0.93.1 <1,所 以 1.70.3 >0.93.1 总结：不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，1) 例3：已知下列不等式 , 比较m 和n 的大小 : (l )2m <2n (2)0.2m >0.2n (3)a m (a >0） 解：(1) 因为y =2x 是一个单调递增函数，所以由题意m (2) 因为y =0.2x 是一个单调递增函数, 所以 由题意m (3) 当a >1时y =a x 是一个单调递增函数，所以此时m 当0 是一个单调递减函数, 所 以此时m >n 特点：已知幂值大小判断指数大小。可以构造指数函数，利用单调性解题。 1、求下列函数的定义域： 2 ．比较下列各题中两个值的大小 : （1）30.9 ,30.8 ; （2）0.75-0.2，0.750.2 3、已知a = 0.80.7,b = 0.80.9,c = 1.20.8 ，则a 、b 、c 的大小关系是 指数函数（选择题） 1. 的单调递减区间是函数| 1|)3 1( -=x y ) [1,,0)(- D. )[1, C. ,1](- B. ,0)(- .+∞∞+∞∞∞ A 2. 是且1)a 0(a 1 1 )(≠>+-=x x a a x f A.奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数。 3. 已知函数f (x )=2x +1的反函数为f -1(x ），则f -1 (x ）＜0的解集是 A.（-∞，2） B.（1，2） C.（2，+∞） D （-∞，1） 4. 已知函数x x x x e e e e x f --+-=)(的反函数是)(1 x f -，且k f f =---|)6.0(||)8.0(|11，则 A.)21,0(∈k B.)1,21 (∈k C.)23,1(∈k D.)2,2 3 (∈k 5. 若f –1(x )是函数f (x )=2x 的反函数，则f –1 (4)等于 A.1 B.2 C.3 D.4 1 自变量 x 2 定义域 R 3 a 的范围 a >0，且a ≠ 1 4 定义的形式（对应法则） y =a x 6. 已知函数y =f (x )的反函数f - -1(x )=2x +1 ，则f (1)等于 A.0 B.1 C.－1 D.4 7. 在同一坐标系中，函数y=ax +1与y=a ｜x -1｜ (a ＞0且a ≠1)的图象可能是 x o y x 1 1 1 y y x x 1 1o o 11 o 1A B C D 8. 若函数 的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定有 A.010><< b a 且 B.01>>b a 且 C.010<< D.01<>b a 且 9. 函数 b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为 常数，则下列结论正确的是 A.0,1<>b a B.0,1>>b a C.0,10><< b a D.0,10<< 10. 设7 1 3= x ，则 A.－2 B.－3 C.－1 D.0 11. 函数x e y -=的图象 A.与 x e y =的图象关于y 轴对称 B.与x e y =的图象关于坐标原点对称 C.与x e y -=的图象关于 y 轴对称 D. 与 x e y -=的图象关于坐标原点对称 12. 若函数f (x )＝－x 2 ＋2ax 与g (x )＝(a ＋1) 1－x 在区间[1, 2]上都是减函数，则a 的取值范围是 A.（－1, 0） B.(－1, 0)∪(]1,0 C.（0, 1） D.(]1,0 13. 函数 22 1)(x x x f x --= . A.是偶函数但不是奇函数 B.是奇函数但不是偶函数 C.既是偶函数又是奇函数 D.既不是偶函数也不是奇函数 14. 已知实数a, b 满足等式,)3 1 ()21( b a =下列五个关系式 ①0 15. 函数 )01(31<≤-=+x y x 的反函数是 )0(log 1.3 >+=x x y A )0(log 1.3>+-=x x y B ) 31(log 1.3<≤+=x x y C )31(log 1.3<≤+-=x x y D 16. 如果函数 2()(31)(01)x x f x a a a a a =-->≠且在区 间 [)0+，∞ 上是增函数，那么实数a 的取值范围是 Ａ.203?? ??? ， Ｂ.313?? ?? ? ?? ， Ｃ.(13??， Ｄ. 32?? +???? ，∞ 17. 当10< 21 2-- 的解集为 A.}221 |{<≤x x B.}52 1|{<≤x x C.}52|{≤ D.}521 | {≤≤x x 18. 设137 x =，则 A.21x -<<- B.32x -<<- C.10x -<< D.01x << 19. 函数 b x a x f -=)(的图象 如图，其中a 、b 为常 数，则下列结论正确的是 A.0,1<>b a B.0,1>>b a C. 0,10>< D.0,10<< ()2x f x +=与1() 2x g x -=的图象关于 A. 直线1x =对称 B.x 轴对称 C. y 轴对称 D.直线y x =对称 21. 设f (x )=?? ???--≤-0,120,1)21(2x ＞x x x 则f )3(1 --的 值是 A.1 B.-1 C.±1 D.2 22. 设f :x →y =2x 是A →B 的映射，已知集合B ={0,1,2,3,4},则A 满足 A.A ={1，2，4，8，16} B.A ={0，1，2，log 23} C.A ?{0,1,2,log 23} D.不存在满足条件的集合 23. 当函数f (x )=2－|x －1| －m 的图象与x 轴有交点时，实数m 的取值范围是 A.－1≤m ＜0 B.0≤m ≤ 1 C.0＜m ≤1 D.m ≥1 24. 设函数3 y x =与2 12x y -?? = ??? 的图象的交点 为00()x y ，，则0x 所在的区间是 A.(01)， B.(12)， C. (23) ， D.(34)， 25. 已知函数 )5(,) 0)(3() 0(2)(f x x f x x f x 则???>-≤== A.32 B.16 C.21 D.32 1 26. 设函数 ()y f x =的反函数为 1()y f x -=，若()2x f x =，则112f -?? ??? 的 值为 A.2 B.1 C.12 D.1- 27. 已知集合},22|{|1|R x x M x ∈<=-， },|1|1|{Z x x y x N ∈--==，则=N M A.M B.N C.}2,1,0{ D.}1{ 28. 若方程1 312x x ?? = ??? 有解0x ，则0x 属于 A.10, 3?? ??? b 11,32?? ??? C 1,12?? ??? D.() 1,2 32. 已知2 ()21 x f x a =- +是定义在R 上的奇 函数则13 ()5 f -值是 A.3 5 B.2 C. 12 D. 5 3 33. 设 x x f x x f x a x f x =? ??>-≤-=-)(,0),1(0,2)(若有且只有两个实数解，则实数a 的取值范围是 A.)2,(-∞ B.)2,1[ C. ) ,1[+∞ D.]1,(-∞ 35. 关于函数 )(22)(R ∈-=-x x f x x 有下 列三个结论：① )(x f 的值域为R ；②)(x f 是R 上的增函数；③对任意 0)()(,=+-∈x f x f R x 有成立；其中所有正 确的序号为 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 36. 函数y=-e x 的图象 A.与y=e x 的图象关于y 轴对称. B.与y=e x 的图象关于坐标原点对称. C.与y=e -x 的图象关于y 轴对称. D.与y=e -x 的图象关于坐标原点对称. 37. 设函数 2 (1) (1) ()4 1 ( 1) x x f x x x ?+ --≥??，则使得 1)(≥x f 自变量x 的取值范围为 A.]10,0[]2,( --∞ B. ]1,0[]2,( --∞ C.]10,1[]2,( --∞ D.]10,1[)0,2[ - 38. 已知函数 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时，()13x f x ?? = ? ?? ，那么 ()19f --的值 为 A.2 B. 2- C. 3 D. 3- 39. 设 x x f 10)(=，在下列等式中，对于 R x x ∈21,不恒成立的是 A. )()()(2121x f x f x x f ?=+ B.x x f 1 .0)(=- C. 1)10 1 ()1( 1x x f = D. x x f 10 10)1(?=+ 40. 设),(a -∞是函数)2(2 21)(≠--= x x x x f 反函数的一个单调递增区间，则实数a 的取值范围 是 A.2≤a B.2≥a C.2-≤a D.2->a 41. 根式 11 a a （式中0a >）的分数指数幂 形式为 A.43 a - B.43 a C.34 a - D.34 a 42. 若函数()1x f x a -=的图象经过点（2，4） ，则 ()12f -的值是 A. 2 1 - B. 2 3 C.2 D.4 43. 若)(]1,[,618.03 Z k k k a a ∈+∈=， 则k 的值为 A. 0 B.—1 C. 1 D. 以上均不对 44. 函数 x y -=2的图象经过怎样的变换可以得 到 121+=+-x y 的图象 A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位 45. 已知0a >且21, ()x a f x x a ≠=- , 当(1,1)x ∈- 时均有1 ()2 f x < , 则实数a 的取值范围是 A. [)∞+??? ??， ，221 0 B.(]4,11,41 ?????? C. (]2 11,21， ?? ???? D.[)∞+?? ? ? ? ， 441,0 47. 幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么 函数 ()f x 的单调递增区间是 A. (2,) -+∞ B. [1,)-+∞ C.[0,)+∞ D.(,2)-∞- 48. 若实数,x y 满足119 933x y x y +++=+，则 33x y u =+的取值范围是 A. 36u <≤ B. 03u <≤ C.06u <≤ D.6u ≥ 参考答案（仅供参考） 幂函数的性质与图像 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中 x 是自变量， α 是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数 与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）1 2 y x = （3）2 y x = （4） 1 y x -= （5） 3 y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数 图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在 [0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上 是减函数. 幂函数的定义：一般地，形如 y x α=（x ∈R ） 的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通 过原点，知识梳理： 1. 幂函数的基本形式是y x α =，其中x 是自变量， α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2 y x =， 1y x -=这五个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数 y x α=的图 象，在第一象限内，直线1x =的右侧， 图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间， 图象由 上至下，指数α .： 4. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝α x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2 y x =、 3 y x =、 12 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1 y x -=是减函数。 例1．已知函数 ()()2531m f x m m x --=--， 当 m 为何值时， ()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是 ()0,+∞上 的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3） 45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 变 式 训 练 ： 已知函 数 ()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时， ()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。 简 解 ： 22 0230 m m m m ?+>? ?--> ??解 得： ()(),13,m ∈-∞- +∞ 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不 等式求解。 例2．比较大小： （1）1 12 2 1.5 ,1.7 （2）3 3( 1.2) ,( 1.25)--（3） 1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵ 1 2 y x =在[0,)+∞上是增函数， 1.5 1.7<，∴112 2 1.5 1.7 < （2）∵ 3 y x =在 R 上是增函数， 1.21.2->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵ 1y x -=在(0,)+∞上是减函数， 5.25 5.26 <，∴11 5.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数， 12 ->-，∴ 125.26 5.26-->； 综上，1 125.25 5.26 5.26--->> （4）∵3 00.51<< ，0.5 3 1>，3log 0.50<， ∴3 0.53log 0.50.53<< 例3．已知幂函数 223 m m y x --=（m Z ∈）的图 象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数 2 23m m y x --=（m Z ∈）的图象与 x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象 关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3 ， （1）求它的反函数； （2）分别求出f －1 （x ）＝f （x ），f －1 （x ）＞f （x ），f －1 （x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3 两边同时开三次方得x ＝ 3 y ，∴f －1 （x ）＝x 3 1． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1的图象都经过点（0，0）和（1，1）． ∴f －1 （x ）＝f （x ）时，x ＝±1及0； 在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 f －1 （x ）＞f （x ）时，x ＜－1或0＜x ＜1； f －1（x ）＜f （x ）时，x ＞1或－1＜x ＜0． 点评：本题在确定x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦． 例5、求函数y ＝5 2x ＋2x 5 1 ＋4（x ≥－32）值域． 解析：设t ＝x 5 1 ，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则 y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2 ＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3． ∴函数y ＝5 2 x ＋2x 5 1＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元 法． 1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） Ａ．y x = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ． 1y x -= 答案：Ｃ 2. 下列函数在 (),0-∞上为减函数的是（ ） Ａ． 13 y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ． 2y x -= 答案：Ｂ 3. 下列幂函数中定义域为 {}0x x >的是（ ） Ａ．23 y x = Ｂ．3 2 y x = Ｃ．23 y x - = Ｄ． 32 y x -= 答案：Ｄ 4．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是（ ） A ．{x |x ≠0或x ≠2} B ．（－∞，0） （2，＋∞） C ．（－∞，0）］ ［2，＋∞］ D ．（0，2） 解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案：B 5．函数y ＝（1－x 2 ）2 1 的值域是（ ） A ．［0，＋∞］ B ．（0，1） C ．（0，1） D ．［0，1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2 ，则y ＝ t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1． 答案：D 6．函数y ＝5 2 x 的单调递减区间为（ ） A ．（－∞，1） B ．（－∞，0） C ．［0， ＋∞］ D ．（－∞，＋∞） 解析：函数y ＝5 2x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ． 答案：B 7．若a 2 1 ＜a 2 1－，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞0 C ．1＞a ＞0 D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C 8．函数y ＝ 3 2)215(x x －＋的定义域 是 。 解析：由（15＋2x －x 2 ）3 ≥0．∴15＋2x －x ＜20．∴－3≤x ≤5． 答案：A 9．函数y ＝ 2 21m m x －－在第二象限内单调递增，则 m 的最大负整数是________． 解析：m 的取值应该使函数为偶函数．故m ＝－1． 答案：m ＝－1 10、讨论函数y ＝5 2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 思路：函数y ＝5 2x 是幂函数． （1）要使y ＝5 2x ＝ 5 2 x 有意义，x 可以取 任意实数，故函数定义域为R ． （2）∵x ∈R ，∴x 2 ≥0．∴y ≥0． （3）f （－x ）＝5 2 )(x －＝ 5 2 x ＝f （x ）， ∴函数y ＝5 2x 是偶函数； （4）∵n ＝ 5 2 ＞0， ∴幂函数y ＝5 2x 在［0，＋∞］上单调递增． 由于幂函数y ＝5 2 x 是偶函数， ∴幂函数y ＝5 2x 在（－∞，0）上单调递减． （5）其图象如下图所示． 11、比较下列各组中两个数的大小： （1）535.1，5 37.1；（2）0.71.5 ，0.61.5 ；（3） 3 2) 2.1(－ －，3 2 )25.1(－ － ． 解析：（1）考查幂函数y ＝5 3x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴5 3 5.1＜5 37.1， （2）考查幂函数y ＝2 3 x 的单调性，同理0.71.5 ＞0.61.5 ． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵ 3 2) 2.1(－ －＝3 22 .1－ ， 3 2) 25.1(－ －＝ 3 225 .1－ ，又3 22 .1－ ＞3 225 .1－ ， ∴3 2 )2.1(－ － ＞3 225 .1－ ． 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3） 若既不能化为同指 数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 12．已知函数y ＝ 4 2 215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 解析：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2 ，则y ＝ 4 t ， （1）由15－2x －x 2 ≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2 ∈［0，16］．∴函数的值 域为［0，2］． （2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为 x ＝1， ∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小． 又∵函数y ＝4 t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大， ∴函数y ＝ 42 215x x －－的单调增区间为 ［－5，1］，单调减区间为（1，3］． 答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数； （3）（1，3］． 1如果幂函数()f x x α =的图象经过点2(2,)2 ，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 例1比较下列各组数的大小： （1）1.531，1.73 1，1； （2） （－ 22 ） 3 2 - ，（－ 107 ） 3 2，1.1 3 4- ； （3）3.8 3 2- ，3.9 5 2，（－1.8）5 3 ； （4） 31.4 ，51.5 . 例 2已知幂函数6 ()m y x m Z -=∈与 2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公 共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的 值． 例3幂函数2 7323 5 ()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数， 且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式. 1．幂函数()y f x =的图象过点1 (4,)2 ，则(8)f 的值为 . 2．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32 a ； 2 2 3 (5)a - + 23 5- ； 0.50.4 0.40.5. 3．幂函数的图象过点(2, 14 ), 则它的单调递增区 间是 ． 4．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝a x 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ． 5．函数y ＝34 x - 在区间上 是减函 数． 6．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 4 27), 另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集. 1．用“<”或”>”连结下列各式：0.6 0.32 0.5 0.32 0.5 0.34， 0.4 0.8 - 0.4 0.6 -． 2．函数1 32 2 (1)(4) y x x --=-+-的定义域是 3．9 42--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函 数，则整数a 的值是 . 4．已知 3 5 3 2 x x > ，x 的取值范围为 5．若幂函数 a y x =的图象在 0 y=x 的下方，则实数a 的取值范围是 6．若幂函数 ()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过3(33, )3 ,则()f x 的表达式为 7. 函数 2 ()3 x f x x += +的对称中心是 ，在区间 是 函数（填“增、减”） 8．比较下列各组中两个值的大小 3 3221.3 1.3 0.3 0.3 5 5 3 3 (1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18 .15 ----与与与与0 9．若3 13 1)23()2(---<+a a ，求a 的取值范围。 10．已知函数y ＝ 42 215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的 奇偶性； （3）求函数的单调区间． 一、填空题 1.若幂函数 ()y f x =的图像过点2,22?? ? ??? ， 则函数 ()y f x =的 解析式为 __________. 2.已知函数 ()()22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，则实数 m 的值为 __________. 3.幂函数 2 23n n y x --=()n N ∈的图像与两坐 标无交点且关于 y 轴对称，则n 的值等于 _________. 4.设1112,1,,,,1,2,3232a ??∈--- ??? ? ，已知幂函数 ()f x x α =是偶函数，且在区间 ()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的 个数是__________. 5.已知函数()1 a x f x x a -= --的图像的对称 中心是 ()3,1-，则函数()f x 的单调递减区 间是_________. 6.已知幂函数 () y x R αα=∈的图像当 01x <<时， 在直线y x =的上方；当1x >时在直线 y x =的下方，则α 的取值范围是 __________. 7.函数 1y x =+的图像可以看成由幂函数 12 y x =的图像向__________平移________个 单位. 8.已知 () () 113 3132x x - - +<-，则实数 x 的取 值范围是_________. 二、选择题 9.如图，M 、N 、P 、Q 分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为① 3 y x -=；② 2 y x -=；③ 23 y x - =；④ 13 y x -=，则M 、N 、P 、Q 与四个函数 序号的对应顺序只可能是（ ）. （A ）①②③④ (Ｂ)②③④① (Ｃ)②①③④ (Ｄ)③②①④ 10.下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上是增函 数的是（ ）. （Ａ）5 3 y x - = (Ｂ) 5 3 y x = （Ｃ） 54 y x = (Ｄ)4 3y x = 11.当()1,x ∈ +∞时，下列函数的图像全在直线 y x =下方且为偶函数的是（ ）. （Ａ）1 2 y x = (Ｂ) 4y x -= （Ｃ）4y x = (Ｄ)1y x -= 12.设 ()y f x =和()y g x =是两个不同的幂 函数，集合()(){}|M x f x g x ==，则集 合M 中元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3 （Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 三、解答题 13.研究函数 2 3 y x =的定义域、值域、奇偶性和单 调性，并画出其大致图像. 14.已知 函数 ()113 3 5 x x f x - -= ， ()113 3 5 x x g x - += . （1）证明()f x 是奇函数，并求()f x 的单调 区间； （2）分别计算 ()()() 4522f f g -和 ()()()953f f g x -的值，由此概括出涉 及函数 ()f x 和()g x 的所有不等于零的实 数x 都成立的一个等式，并加以证明. 、 15.已知函数 ()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足 ()()23f f <. （1）求k 的值以及函数()f x 的解析式； 、 （2）对（1）中所求函数()f x ，试判断是否存在 正数m ，使()()( )121g x m f x m x =-+- []1,2x ∈-上的值域为174,8?? -??? ?，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 16. 设 函 数 ()()()2 0,0,a f x x a x x =+>∈+∞. （1）求证：函数 ()f x 在(]0,a 上是减函数， 在 [),a +∞上是增函数； （2）当1,33x ?? ∈ ???? 时，求函数()f x 的值域. 17.已知二次函数 ()1y f x =的图像以原点为顶 点且过点 ()1,1，反比例函数()2y f x =的 图像与直线 y x =的两个交点间的距离为8， ()()()12f x f x f x =+. （1）求函数 ()f x 的表达式； （2）证明：当 3a >时，关于x 的方程 ()()f x f a =有三个实根. 18.设命题 P :幂函数 2 56 c c y x -+=在区间 ()0,+∞上是增函数；命题Q ：不等式 121x x c -+->对任意x R ∈恒成立. 若命题P 和命题Q 中有且仅有一个是正确的，求实数c 的取值范围. .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 第8课 幂函数、指数函数及其性质 【考点导读】 1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3 y x =，1 y x =，1 2y x =的图像了解它们 的变化情况； 2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)． 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+． 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1 (,]2 -∞-；值域1 4(0,0.3]． 4.已知函数1()41x f x a =+ +是奇函数，则实数a 的取值1 2 -． 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2 ． 【范例解析】 例1.比较各组值的大小： （1）0.2 0.4 ，0.20.2 ，0.2 2 ， 1.6 2； （2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<； （3）131()2，1 21 ()3 ． 分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1） 0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<， 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<． （2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>． （3）111 32 2111()()()223 >>． 点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注 意通过0，1等数进行间接分类． 例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值； 数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。 指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数 函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1) x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 幂函数与指数函数得区别 1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0； 当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。 ? 幂函数得性质: 根据图象，幂函数性质归纳如下： （１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1); （2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。 指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。 思考讨论: (１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 对应学生用书P 110 基础达标 一、选择题 1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1 2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1 2 ) D ．(－12，1 2 ) 解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0. 答案：B 2．(2010·温州十校联考)函数y ＝2x ＋1 的图象是( ) 解析：函数y ＝2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x ＋1 的图象单调递增且过点(0,2)，故选A. 答案：A 3．函数y ＝(12)1－ x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 解析：定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝(1 2 )u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数， 且y ＝(1 2)u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝(12)1－ x 在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A. 答案：A 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－ 1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－ 1.5＝21.5.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数， 且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2. 答案：D 5．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( ) 解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)， ∴f (x )在(0,2)内单调递减， ∴01，－10，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______________． 解析：因为x >0时，y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8>1，即a 2>9，解得a >3或a <－3. 指数函数性质应用（一） 教学目标：1、掌握指数函数定义式的应用 2、会求定点，会求指数函数和其它函数综合的定义域，值域 难点，重点：性质的灵活运用 回顾指数函数的定义和性质 定义： 定义域： 值域： 过定点： 活动一：定义式的应用 例1、 若函数2(55)x y a a a =-+?为指数函数，求a 的值 例2、 若指数函数图像过点(2,4)，求(2)f 练习：函数223()(1)x x f x a m a +-=+>的图像恒过定点(1,10)，求m 活动二：过定点问题 复习平移变换(0)a > ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- 例3、 函数1x y a +=过定点 思考：函数1x y a +=的图像由x y a =的图像经过怎么样的平移得到的？ 例4、 函数12x y a -=+(0,1)a a >≠过定点 思考：函数12x y a -=+(0,1)a a >≠图像由x y a =图像经过怎么样的平移得到的？ 例5、 函数3x y m =+的图像不经过第二象限，求m 的取值范围？ 思考：如果13x y m +=+呢？ 活动三：定义域、值域问题 例6、求下列函数的定义域、值域 （1）y y =153-x (3)y =2x +1 ⑷ 112x x y -+= 例7、设[0,2]x ∈求4425x x y =-?+的值域 例8、求下列函数的值域 ①31 31x x y -=+ ②3131x x y +=- 指数函数及其性质教案 一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景： 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。 问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课： 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以0 (一)指数函数的定义 一般地，函数y =a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8 [A 基础达标] 1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( ) A.??? ?－53，1 B ．[－1，1] C.????1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53 ，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是??? ?－53，1. 2．设f (x )＝????12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝????12x 为减函数，排除B.故选D. 3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称． 4．函数y ＝????12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝????12u 是 减函数， 所以y ＝????12x 2 －2在[0，＋∞)上是减少的． 5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ????b a x 的图像只可能是( ) 解析：选A.由指数函数图像可以看出0 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 （2）对数的重要公式： 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3 解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1． 例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性． ∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴． (2)，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B). 变式训练： 1、下列函数是幂函数的是（） A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y= 2、下列说法正确的是（） A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数 C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数 3、下列函数中，定义域为R的是（） A．y=B．y=C．y=D．y=x－1 4、函数的图象是（） A．B．C．D． 5、下列函数中，不是偶函数的是（） A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（） A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数 2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么？ 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0 ３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)2 1 1 1( +=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。 变式训练一：已知函数)2 1 (1 +=x y (1)作出其图像； 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc
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