递推数列常十种方法

求递推数列通项公式的十种策略例析

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式

例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。 解：n n 1n 23a 2a ?+=+两边除以1n 2+，得

23

2a 2a n

n 1

n 1n +

=

++，则232

a 2a n n 1n 1n =-++， 故数列}2a {

n n 是以1222

a 1

1==为首，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)

1n (12a n

n -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)2

1

n 23(a -=。 评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ?+=+转化为

2

3

2a 2a n

n

1

n 1n =

-++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12

a n

n -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2 已知数列}a {n 满足1a 1

n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+

则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---Λ

1)1n (2

n

)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21

)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-?

=+-++++-+-=++?++?+++-++-=ΛΛ 所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+----Λ，即得数列}a {n 的通项公式。

例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：由132a a n n 1n +?+=+ 得132a a n n 1n +?=-+

则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---Λ

3

)1n ()333

3

(23)132()132()132()132(1

22

n 1

n 122n 1n +-+++++=++?++?+++?++?=----ΛΛ

所以1n 32n 3

1332a n n

n -+=++--?=

评注：本题解题的关键是把递推关系式132a a n n 1n +?+=+转化为132a a n n 1n +?=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+----Λ，即得数列}a {n 的通项公式。

例4 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：132a 3a n n 1n +?+=+两边除以1n 3+，得

1n n

n 1

n 1n 3

1

323a 3a +++++

=

，

则

1n n

n 1n 1n 3

1323a 3a ++++=

-

， 故3a )3a 3a ()3a 3a ()3a a a ()a a 3a (

3a 1

1

1223n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n

n n

n +

-++-+-+-

=----------Λ 33

)3132()3132()3132()3132(22n 1n n +++++++++=--Λ 1)3

1

31313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=

--Λ 因此n

1

n n n n 321213n 2131)

31(313)1n (23

a ?-+=+--?+-=-， 则2

13213n 32a n n n -?+??=

评注：本题解题的关键是把递推关系式132a 3a n n 1n +?+=+转化为

1n n n

1n 1

n 31

323a 3a ++++=

-，进而求出)3a 3a ()3a 3a ()3a 3a (3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n -----------+-+-+…

+3a )3a 3a (11122+-，即得数列}3a {n n 的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5 已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：因为3a a 5)1n (2a 1n n 1n =?+=+，，所以0a n ≠，则

n n

1

n 5)1n (2a a +=+， 则11

22

32

n 1n 1

n n n a a a a a a a a a a ??

?

??

=

---Λ

3]5)11(2[]5)12(2[]5)12n (2[]5)11n (2[122n 1n ??+???+?+-?+-=--Λ 35]23)1n (n [212)2n ()1n (1n ?????-??=+++-+--ΛΛ

所以数列}a {n 的通项公式为

!n 52

3a 2

)1n (n 1

n n ???=--

评注：本题解题的关键是把递推关系n n 1n a 5)1n (2a ?+=+转化为

n n

1

n 5)1n (2a a +=+，进而求出

11

2232n 1

n 1n n a a a a a a a a a ?????---Λ，即得数列}a {n 的通项公式。

例6 （2004年全国15题）已知数列}a {n 满足)1n (a 3a 2a a 1a 321n 1-++++==Λ，

)2n (a )1n (1n ≥-+-，则}a {n 的通项???

??≥==2n 2

!

n 1

n 1a n ，， 解：因为)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=-Λ

①

所以n 1n 3211n na a )1n (a 3a 2a a +-++++=-+Λ

②

所以②式－①式得n n 1n na a a =-+ 则)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+

则

)2n (1n a a n

1

n ≥+=+ 所以22

32n 1

n 1n n n a a a a a a a a ????=

---Λ 22a 2

!

n a ]34)1n (n [?=

????-=Λ ③

由)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=-Λ，取n=2得212a 2a a +=，则12a a =，又知1a 1=，则1a 2=，代入③得

2

!n n 5431a n =

?????=Λ。

评注：本题解题的关键是把递推关系式)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+转化为

1

n a a n

1

n +=+（n ≥2），进而求出

22

32n 1

n 1n n a a a a a a a ????---Λ，

从而可得当n ≥2时n a 的表达式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式

例7 已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：设)5x a (25x a n n 1n 1n ?+=?+++

④

将n n 1n 53a 2a ?+=+代入④式，得n n 1n n n 5x 2a 25x 53a 2?+=?+?++，等式两边消去

n a 2，得n 1n n 5x 25x 53?=?+?+，两边除以n 5，得x 25x 3=?+，则x=－1，代入④式，

得)5a (25a n n 1n 1n -=-++

⑤

由1565a 11=-=-≠0及⑤式，得05a n

n ≠-，则

25

a 5a n

n 1n 1n =--++，则数列}5a {n n -是

以15a 11=-为首项，以2为公比的等比数列，则1n n n 215a -?=-，故n 1n n 52a +=-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 53a 2a ?+=+转化为

)5a (25a n n 1n 1n -=-++，从而可知数列}5a {n n -是等比数列，进而求出数列}5a {n n -的

通项公式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。

例8 已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：设)y 2x a (3y 2x a n n 1n 1n +?+=+?+++

⑥

将425a 3a n n 1n +?+=+代入⑥式，得

)y 2x a (3y 2x 425a 3n n 1n n n +?+=+?++?++

整理得y 32x 3y 42)x 25(n n +?=++?+。

令???=+=+y 3y 4x 3x 25，则???==2y 5x ，代入⑥式，得

)225a (3225a n n 1n 1n +?+=+?+++

⑦

由013121225a 11≠=+=+?+及⑦式，

得0225a n

n ≠+?+，则

32

25a 225a n

n 1n 1n =+?++?+++，

故数列}225a {n n +?+是以13121225a 11=+=+?+为首项，以3为公比的等比数列，因此1n n n 313225a -?=+?+，则225313a n 1n n -?-?=-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式425a 3a n n 1n +?+=+转化为

)225a (3225a n n 1n 1n +?+=+?+++，从而可知数列}225a {n n +?+是等比数列，进而求出

数列}225a {n n +?+的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。

例9 已知数列}a {n 满足1a 5n 4n 3a 2a 12n 1n =++?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：设z )1n (y )1n (x a 21n ++++++

)z yn xn a (22n +++=

⑧

将5n 4n 3a 2a 2n 1n ++?+=+代入⑧式，得

z )1n (y )1n (x 5n 4n 3a 222n +++++++??+ )z yn xn a (22n +++=，则

z

2yn 2xn 2a 2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(a 22

n 2n +++=+++++++++

等式两边消去n a 2，得z 2yn 2xn 2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(22++=++++++++，

则得方程组?????=+++=++=+z 25z y x y 24y x 2x 2x 3，则???

??===18z 10y 3x ，代入⑧式，得

18)1n (10)1n (3a 21n ++++++)18n 10n 3a (22n +++=

⑨

由0323111811013a 21≠=+=+?+?+及⑨式，得

018n 10n 3a 2n ≠+++

则

218

n 10n 3a 18

)1n (10)1n (3a 2

n 21n =+++++++++，故数列}18n 10n 3a {2n +++为以

323111811013a 21=+=+?+?+为首项，以2为公比的等比数列，因此1n 2n 23218n 10n 3a -?=+++，则18n 10n 32a 24n n ---=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式5n 4n 3a 2a 2n 1n ++?+=+转化为

)

18n 10n 3a (218)1n (10)1n (3a 2n 21n +++=++++++，从而可知数列

}18n 10n 3a {2n +++是等比数列，进而求出数列}18n 10n 3a {2n +++的通项公式，最后再

求出数列}a {n 的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式

例10 已知数列}a {n 满足5n n 1n a 32a ?=+，7a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

解：因为7a a 32a 15n n 1n =?=+，，所以0a 0a 1n n >>+，。在5

n n 1n a 32a ?=+式两边取常用

对数得2lg 3lg n a lg 5a lg n 1n ++=+

⑩

设)y x n a (lg 5y )1n (x a lg n 1n ++=++++ ○

11 将⑩式代入○

11式，得)y x n a (lg 5y )1n (x 2lg 3lg n a lg 5n n ++=+++++，两边消去n a lg 5并整理，得y 5x n 52lg y x n )x 3(lg +=++++，则

??

?=++=+y 52lg y x x 5x 3lg ，故???

????

+

==42lg 163lg y 43lg x 代入○

11式，得4

2

lg 163lg )1n (43lg a lg 1n +

++++ )4

2

lg 163lg n 43lg a (lg 5n +++

=

○

12 由042

lg 163lg 143lg 7lg 42lg 163lg 143lg a lg 1≠++?+=++?+及○

12式， 得04

2lg 163lg n 43lg a lg n ≠+++

， 则

54

2

lg 163lg n 43lg a lg 42

lg 163lg )1n (43lg a lg n 1n =+

+?+++++

+， 所以数列}42lg 163lg n 43lg a {lg n +++

是以4

2

lg 163lg 43lg 7lg +

++为首项，以5为公比的等比数列，则1

n n 5

)4

2lg 163lg 43lg 7(lg 42lg 163lg n 43lg a lg -+++=+++，因此42

lg 63lg n 43lg 5)42lg 163lg 43lg 7(lg a lg 1n n -

--+++=-1

n 4

16

14

15)2lg

3lg 3lg 7(lg -++

+

==

??-

???=--

-

-)233lg(5)]2337[lg(2lg

3lg 3lg 4

116

14

n 1n 4

116141

4116

14

n

1

n 4

116141

5)2337lg(-???)

237lg()

2337lg()

233lg(41516

1

n 4n 51n 541516154n

51n 54116

14n

1n 1n 1n 1n ------------??=???=??-，

则

41

516

1n 4n 55

n 1n 1

n 237a -----??=。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5n n 1n a 32a ?=+转化为

)4

2

lg 163lg n 43lg a (lg 542lg 163lg )1n (43lg a lg n 1n +++=++++

+，从而可知数列

}4

2lg 16

3lg n 4

3lg a {lg n +

+

+

是等比数列，进而求出数列}4

2

lg 163lg n 43lg a {lg n +++

的通项公式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。

六、利用迭代法求通项公式

例11 已知数列}a {n 满足5a a a 12

)1n (3n

1n n

==++，，求数列}a {n 的通项公式。 解：因为n

2

)1n (3n

1n a a ++=，所以 1

n 2

n 1

n 2

n 32

)1n (32

n 2n 31

n n ]a [a a ---??--?-==

2

)

1n (n 1n )

1n ()2n ()3n (211

n )

1n ()2n ()3n (3

)

1n ()2n (2

3

n )

1n ()2n (22!n 31

2n )1n ()2n (3231

2n )1n )(2n (33

n 2n )1n (3

2)2n (33

n 2

n )1n (32n a a a ]a [a ---+-+-+++--+-+--+---+-????-?-???---??-?--??--=

=====ΛΛΛΛΛ

又5a 1=，所以数列}a {n 的通项公式为2

)

1n (n 1

n 2

!n 3

n 5a --??=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式

n

2

)1n (3n

1n a a ++=两边取常用对数得n n 1n a lg 2)1n (3a lg ?+=+，即n n

1

n 2)1n (3a lg a lg ?+=+，再由累乘法可推知2

)1n (n 1n 2!n 311

2232n 1

n 1n n n 5lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg --??---=?????=

Λ，从而

2

)

1n (n 2

!n 3n 1n 5

a -??-=

七、利用数学归纳法求通项公式 例12 已知数列}a {n 满足98

a )

3n 2()1n 2()1n (8a a 12

2n 1n =++++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：由2

2n 1n )

3n 2()1n 2()1n (8a a ++++

=+及98

a 1=，得 2

212)312()112()

11(8a a +?+?++

=

25

24

2592898=

??+=

49

484925382524)322()122()

12(8a a 2

223=??+=+?+?++

=

81

808149484948)332()132()

13(8a a 2

234=??+=+?+?++

=

由此可猜测22n )1n 2(1

)1n 2(a +-+=，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当n=1时，98

)

112(1)112(a 2

21=+?-+?=，所以等式成立。 （2）假设当n=k 时等式成立，即2

2k )1k 2(1

)1k 2(a +-+=，则当1k n +=时，

2

2k 1k )3k 2()1k 2()

1k (8a a ++++

=+

222222

22

2

2

22222222)3k 2()1k 2()1k 2()3k 2()1k 2()3k 2()1k 2()

1k (8)3k 2()3k 2()1k 2()3k 2()1k 2()1k (8)3k 2](1)1k 2[()3k 2()1k 2()1k (8)1k 2(1)1k 2(+++-++=

+++++-++=

+++++-+=

+++++-+=

2

222]

1)1k (2[1]1)1k (2[)3k 2(1)3k 2(++-++=+-+=

由此可知，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）可知，等式对任何*N n ∈

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、利用换元法求通项公式 例13 已知数列}a {n 满足1a )a 241a 41(161

a 1n n 1n =+++=+，，

求数列}a {n 的通项公式。

解：令n n a 241b +=，则)1b (24

1a 2

n n -= 故)1b (241a 21n 1n -=

++，代入)a 241a 41(16

1

a n n 1n +++=+得 ]

b )1b (24

141[161)1b (241n 2n 21n +-?+=-+ 即2n 21n )3b (b 4+=+

因为0a 241b n n ≥+=，故0a 241b 1n 1n ≥+=++ 则3b b 2n 1n +=+，即2

3

b 21b n 1n +=+， 可化为)3b (2

1

3b n 1n -=

-+， 所以}3b {n -是以2312413a 2413b 11=-?+=-+=-为首项，以21

为公比的等比数列，因此2n 1n n )21

()2

1

(23b --=?=-，则2

n n )2

1(b -=+3，即3)2

1

(a 2412n n +=+-，得

3

1)21()41(32a n n n ++=。

评注：本题解题的关键是通过将n a 241+的换元为n b ，使得所给递推关系式转化

2

3

b 21b n 1n +=

+形式，从而可知数列}3b {n -为等比数列，进而求出数列}3b {n -的通项公式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。

九、利用不动点法求通项公式 例14 已知数列}a {n 满足4a 1

a 424

a 21a 1n n 1n =+-=

+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：令1

x 424

x 21x +-=

，得024x 20x 42=+-，则3x 2x 21==，是函数1x 424x 21)x (f +-=的

两个不动点。因为9

13

27a 926a 13)1a 4(324a 21)1a 4(224a 213

1a 424a 212

1a 424

a 213a 2a n n n n n n n n n n 1n 1n =

--=+--+--=-+--+-=--++。3a 2a n n --，所以数列}3a 2a {n n --是以234243a 2a 11=--=--为首项，以913

为公比的等比数列，故3a 2a n n --1n )9

13

(2-=，则31)9

13

(21a 1n n +-=-。

评注：本题解题的关键是先求出函数1x 424x 21)x (f +-=的不动点，即方程1

x 424

x 21x +-=的

两个根3x 2x 21==，，进而可推出

3a 2a 9133a 2a n n 1n 1n --?=--++，从而可知数列}3

a 2

a {n n --为等比数

列，再求出数列}3

a 2

a {

n n --的通项公式，最后求出数列}a {n 的通项公式。

例15 已知数列}a {n 满足2a 3

a 22

a 7a 1n n 1n =+-=

+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：令3x 22x 7x +-=

，得02x 4x 22=+-，则x=1是函数)x (f 7x 41

x 3+-=的不动点。 因为3

a 25

a 513a 22a 71a n n n n 1n +-=-+-=

-+，所以

=-+1a 11n 5

21a 1)1a 251(521a 23a 525a 53a 2n n n n n n +-=-+=-+

?

=-+，所以数列}1a 1{n -是以11211a 11=-=-为首项，以52为公差的等差数列，则52)1n (11a 1n ?-+=-，故3

n 28n 2a n ++=。

评注：本题解题的关键是先求出函数7x 41x 3)x (f +-=

的不动点，即方程3

x 22

x 7x +-=的根

1x =，进而可推出

521a 11

a 1n 1n +-=

-+，从而可知数列}1

a 1

{n -为等差数列，再求出数列}1

a 1

{

n -的通项公式，最后求出数列}a {n 的通项公式。

十、利用特征根法求通项公式

例16 已知数列}a {n 满足1a a )2n (a a 3a 211n n 1n ==≥-=-+，，求数列}a {n 的通项公

式。

解：)2n (a a 3a 1n n 1n ≥-=-+的相应特征方程为0132=+λ-λ，解之求特征根是

25325321-=λ+=

λ，，所以2

5

3c 253c a 21n -?

++?=。 由初始值1a a 21==，得方程组

???

???

?-++=-++=22211

211)253(c )253(c 1)2

53(c )253(

c 1 求得???

????+=-=5525c 55

25c 21

从而n

n n )2

53(5525)253(5525a -+++-=

。 评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出21c c ，，从而可得数列}a {n 的通项公式。

求递推数列的通项公式的十一种方法

求递推数列的通项公式的十一种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++=+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111+- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法 例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法 例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31 .故 n n n n b b )31()31(91)31(2211==?=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1 (2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为 121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2 ) 1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-= -n n a n ，即)2(2 1 2+-=n n a n

数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即： 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===

排列组合二项式递推数列求通项常见

排列组合二项式递推数列求通项常见题型解法自用资料集 排列组合的常见题型及其解法 排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。 复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。 一.特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先 安排的方法。 例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 解法1 :（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 A4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A种站法，故站法共有：A4-A5 = 48o（种）解法2:（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端， 有A种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A：种，故站法共有：A A4 = 480 （种） 二.相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一 个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 6 3 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A6种，然后女生内部再进行排列，有A3种，所以排法共有：A6 A3 ^4320 （种）。 三?相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？ 解：先将其余4人排成一排，有A44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 种，所以排法共有：此A =1440 （种） 四.定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有A^种， m（m空n）个元素的全排列有A；种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以 利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有虫种排列方法。 A m

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅 类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。 类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。

数列解题技巧归纳总结---好(5份)

知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-? ?-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ??????????????????? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和 求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）

(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

常见递推数列通项公式的求法

数列复习课（3）———常见递推数列通项公式的求法 主备人：刘莉苹 组长：李英 时间：2013-9-16 教学目标： 1.通过求出数列前几项，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程. 教学重点：处理递推关系的基本方法. 教学难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助 问题生成 引入新课： 由递推公式求数列的通项公式的类型： （1） （2） （3） （4）()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数） （5）n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 （6）递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? （7）r n n pa a =+1)0,0(>>n a p （8）) ()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ （9）周期型 思考：各类型通项公式的求法？ 合作探究 问题解决 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 1() n n a a f n +=+1() n n a a f n +=?1(0,1) n n a pa q p p +=+≠≠

变式: 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，112 n n a a +=+，求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =，112n n n b b +??-= ???(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 变式： 1. 已知31=a ，132n n a a += ，求n a 。 2.已知31=a ，n n a n n a 23131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。

数列通项公式的方法总结

数列通项公式的方法总结

专题一：求解通项公式 （1）观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 （2） 定义法 ：①等差数列通项公式；②等比数列通 项公式。 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n － 1 （3） 公式法 ：已知n S （即12 () n a a a f n ++ +=）求n a ，用作 差法：{1 1 ,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥。 例:3：(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{n a } 的前n 项和为n S 满足1 S ＞1且6n S = (1)(2) n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

(完整版)数列的递推公式教案

数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1：新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把

现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？ 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义： 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习 例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

数列解题技巧归纳总结_打印

数列解题技巧归纳总结 基础知识： 1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 ． 2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形 式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类： ①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ； ②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N + 或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1， a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n = 1 n i i a =∑=a 1 +a 2 +…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数 关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系： 通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2) n n n S n a S S -=?=? -≥? 等差数列与等比数列： 等差数列 等比数列 文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。 符号定义 1n n a a d +-= 1 (0)n n a q q a +=≠ 分类 递增数列：0d > 递减数列：0d < 递增数列：1101001a q a q >><<<，或，

高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导

高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式： 已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数） 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。 这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*， 将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…， 这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如：④的具体例子： 例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。 解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*， 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法： 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。 例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积

几类常见递推数列的解题方法

叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化 ——几类常见递推数列的教学随笔 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、叠加相消． 类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消． 例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) = 2 1 [1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ， 求通项公式a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(2 1 +=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ． 二、叠乘相约． 类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p p c mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n n a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)． 例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ． 解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0 ∴1 1+=+n n a a n n ∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 112 12 31 2111 23 22 11 =???--?--?-=?????=----- 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n = 2 n a n ( n ∈N * ), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ．

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……

.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 例1 在数列{}中，31 =a , ) 1(11++ =+n n a a n n ，求通项公式. 解：原递推式可化为：1 111 +- + =+n n a a n n 则, 2 11112 -+=a a 3 12123-+ =a a 4 13134-+ =a a ，……，n n a a n n 1111--+ =-逐项相加得：n a a n 111- +=. 故n a n 14- =. 二、作商求和法 例 2 设数列{}是首项为1的正项数列，且 0)1(12 2 1 =+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…） ，则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： ) ]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,4 3,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11 -= - 逐项相乘得： n a a n 1 1=，即=n 1. 三、换元法 例3 已知数列{}，其中9 13,3421 == a a ，且当n ≥3时， ) (3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式（1986年高考文科第八

题改编）. 解：设1 1 ---=n n n a a b ，原递推式可化为： } {,3 1 21n n n b b b --=是一个等比数列，9 1 3491312 1 =-= -=a a b ，公比为3 1.故n n n n b b )3 1 ()31(91)31(2211 ==?=---.故n n n a a )3 1 (1=--.由逐差法可得： n n a )3 1(2123-= . 例4已知数列{}，其中2,12 1 ==a a ，且当n ≥3时，122 1 =+---n n n a a a ，求通项公式。解 由122 1 =+---n n n a a a 得：1)()(2 1 1 =------n n n n a a a a ，令1 1 ---=n n n a a b ，则上式为12 1 =---n n b b ，因此是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b ΛΛ 又2 )1(12 1 -= +++-n n b b b n Λ 所以)1(2 1 1-= -n n a n ，即)2(2 12 +-= n n a n 四、积差相消法 例5设正数列，，…，，…满足2 -n n a a 2 1---n n a a = ) 2(≥n 且11 ==a a ，求的通项公式. 解 将递推式两边同除以2 1--n n a a 整理得：122 1 1=----n n n n a a a a 设= 1 -n n a a ，则0 11 a a b = =1，1 21=--n n b b ，故有 1 212=-b b ⑴122 3 =-b b ⑵ … … … …