第六章自旋与全同粒子

第六章：自旋与全同粒子

[1]在x σ

?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2

σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2

1 和()z s x

2

1

- （1）

或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ

?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ

?的本征函数可表示：

β

αχ21c c += (2)

21,c c 待定常数，又设x σ

?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ

=x ? (3) 将（2）代入（3）：

()()βαλβασ

2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ

?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ

=x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：

βλαλαβ2111c c c c +=+

比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：

)

6()6()

6(12221

1

221c b a c c c c c c ------------------------------------???

??=+==λλ 前二式得12

=λ，即1=λ，或1-=λ

当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2

11=

δi e c 2

12=

δ 是任意的相位因子。

当时1-=λ，代入（6a ）得

21c c -=

代入(6c)，得：

δi e c 2

11=

δi e c 2

12-

=

最后得x σ

?的本征函数： )(21βαδ+=

i e x 对应本征值1

)(2

2βαδ-=

i e x 对应本征值-1

以上是利用寻常的波函数表示法，但在2

??σσ

x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。

??????=01α ??

?

???=10β ??????=21c c χ （7）

x σ

?的矩阵已证明是 ??

?

???=0110?x σ

因此x σ

?的矩阵式本征方程式是： ??

????=??????????

??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ

?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ??

?

???-=1122δi e x

[2]在z σ表象中，求n

?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是)

,(?θ方向的单位矢。

（解） 方法类似前题，设n

?σ算符的本征矢是：

βα21c c x += (1)

它的本征值是λ。又将题给的算符展开：

z y x n σθσ?θσ

?θσ?cos ?sin sin ?cos sin ++=?

(2) 写出本征方程式：

()()()βαλβασθσ

?θσ?θ2121?cos ?sin sin ?

cos sin c c c c z y x

+=+++ (3) 根据问题（6）的结论，x σ

?,y σ?对2

??σσz 的共同本征矢α，β，运算法则是 βασ

=x ? ， αβσ=x ? ， βασi y =? ， αβσ

i y =? ， αασ=z ? ， ββσ-=z ? （4） 将这些代入（3），集项后，对此两边α，β的系数：

??

?=-+=++2

21

1cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθ?θ?θλ?θ?θθ （5）

或 ???=+-?=?+--0

)(cos sin 0

sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθ?

? （6） （6）具有非平凡解（平凡解01=c ，02=c ）条件是久期方程式为零，即

0cos sin sin cos =----λ

θθθλθ?

?i i e e 它的解12

=λ （7） 1=λ 时，代入（6）得：

122

c e tg

c i ?=?θ

（8）

（1） 的归一化条件是： 12

2

2

1=+c c

将（8）代入（9），得： 2cos )

(1θ?δ-=i e

c 2

sin 2θ

δi e c =

归一化本征函数是： ????

?

?+=--βθαθχ?

δ

2sin 2cos 1i i e e

（10） 1-=λ时，21,c c 的关系是：

122

c e ctg

c i ?-=-?θ

归一化本征函数是：

?

???

??

+-=-βθαθχ?δ2cos 2

sin 2i i e e （11）

δ是任意的相位因子。

本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：

??????=0110?x σ ，??????-=00?i i y σ ，???

???-=1001?z σ （12）

??

?

???-=?-θθθθσ?

?cos sin sin cos i i e

e n (13)

本征方程式是：

??????=????????????--2222cos sin sin cos c c c c e e i i λθθθθ?

? (14) n

?σ的本征矢是：

??????????=-δ?δθθi i e e 2sin 2cos 1)( , ?

???

??????-=-δ?δθθi i e e 2cos 2sin 2)( (15) 补白：本征矢包含一个不定的 相位因式δ

i e ，由于δ可以取任意值，因此21,χχ的形

式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。

[3]在自旋态下??

?

???=01)(2

1z s χ，求2

x s ?和2

y s ?

（解）2

x s ?是2

?x s 的均方偏差 22

2)(x x x s s s -=? 2y

s ?是，2

?y s 的均方偏差 2

22)(y y y s s s -=?

)(4)(?2

12

212

z z x

s s s χχ =

4)(?)(2

2

12212

==z x

z x

s s

s s χχ

)()(2)(2)()(?)(2

12

12

1212121==

==--z z z z z x z x s s s s s s

s s χχχχχχ

因此42

2

=?x

s 在)(2

1z s χ态下，x s

?,y s ?对称，因而 4

2

2 =?y

s

[4]求在下列状态下2?

j 和z j ?的可能测值。 （1）),()(112

11?θχψY =

z s (1)

（2）?

?????Y +Y =

-),()(),()(23111

2110212?θχ?θχψz z s s (2) （3）?

?????

Y +Y =--),()(2),()(31102111213?θχ?θχψz z s s (3)

（4）),()(112

14?θχψ--Y =

z s (4)

（解） 依§8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数()m l ,表示，在考虑到自

旋的情形下，若用)?,?,?(22z j j l

共同表象，则电子的态可有四种；若m l >，有以下二态： ??

????

???

???Y +-Y +++=+=+),(12),(121),,(,211,,?θ?θ?θφm l m l z l m l l m l s l j （5） ??

???

????

???Y +++Y +--=-=+),(121),(12),,(,211,,?θ?θ?θφm l m l z l m l l m

l s l j （6） 若m l =，有以下的二态：

??

????Y =+=0),(),,(,21

,?θ?θφl l z s l j （7）

??

????Y =-

=-),(0),,(,21

,?θ?θφl l z s l j （8）

将题给的态和一般公式对照，发现（1）（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量

平方算符2?

j ，总角动量分量算符z j ?可能测值如下：

[5]令 121?+?++=Λ+l l l l σ ，)1(1

2?-+?-=Λ-

l l l l σ ，1??=Λ+Λ-+l

l 证明：

?????-=+==Λ+)

21

(0)

21

(?l j l j ljmj ljmj

l φφ ??

???-=+==Λ-)

2

1

()

21

(0?l j l j ljmj ljmj

l φφ （证明）本题的+Λl ?,-Λl ?是两个带有相加的常数分子的算符 z z y y x x l l l l ??????σσσ

σ++=?

根据总角动量理论内，前两算符可变形如下：

)2()1()???(121121121121?)???(121121121121?222222??

???--?+-+=?+-+=Λ--?+++=?++++=Λ-+s l j l l l l l s l j l l l l l l l

l σσ 假设m l >，试将（1）式运算于合成角动量的本征态ljmj φ（22

?,?j l 共同本征态），首先，

对于2

1

+

=l j 有：

ljmj

m l m l m l m l m l m l m l m l ljmj l b l a l l l l l l l l b l l l l l l a l l l j j l b l l j j l a l b a s l j l l l φφ=???

???Y +Y ++=????????????Y ??????

-+-++++Y ??????-+-+++++=?????

???????Y ??????

-+-+++Y ??????-+-++++=

?

?????Y Y ??????--?++++=Λ+++++1,,1,,1,,1,,222)12()12(12143)1()23)(21()1(43)1()23)(21()1(12143)1()1()1(43)1()1()1(121)???(121121? （3）

式中121

+++≡

l m l a ；1

2+-≡

l m

l b 。 其次，可对于2

1

-

=l j 的本征态计算： 0}43)1()21)(21(1{}43)1()21)(21(1{121)}???(121121{?1,,1,,222,,,=?

???

?

?????-+-+-++-+-+-++-+=???

?????---++++=Λ+++m l m l m l m l j m j l l Y

l l l l l a Y l l l l l b l aY bY s

l j l l l φ 又因为1=Λ+Λ-

+l l ，所以

)2

1()21

(0)?1(?,,,,,,,,,-=+=????

?=Λ-=Λ+-l j j j j m j l j

m j l l j m j l l φφφ

[6] 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用 s )(γξ。L

对

能量无贡献。 [解]、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。

2

22111212121???,???,???,???,???s l j s l j s s S l l L j j J +=+=+=+=+= (1) 整个体系的哈氏算符是：

S L H H

?+=)(??0

γξ （此式中r 是电子相对位矢）

将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：

S L J ??? +=

S L S L S L S L J ??2??)??()??(?222 ?++=+?+=

)???)((2

1??2220

S L J H H --+=γξ

(2)

原子的状态可以用（Z

J J L ?,?,?22）的共同本征函数Z J J L ,,ψ表示，将算符（2），运算于这个本征函数，可以求的能量贡献（修正量）

Z

Z Z

Z J J L J J L J J L J J L S S L L J J H S L J H H ,,222,,0,,2220,,})1()1()1(){(2

1?}}???){(2

1?{?ψ+-+-++

ψ=ψ--+=ψ γξγξ

(3)

但当原子处在自旋的单重态时，

0,21=-=S S S

总自旋量子数s=0，有从（1）式的关系看出

L l l s l s l j j J 21221121

=+=+++=+=

因此J=L ，（3）式成为：

Z Z J J L J J L H H ,,0,,??ψ=ψ

所以，轨道自旋的耦合作用对能量本征值没有影响，因0

?H 不含L S ?

? ?

[7]设两个自旋为

2

1

的粒子的相互作用为： 12)()()(S r V r V r V T O += 第一项为中心力，第二项为张量力的证明：

（1） 宇称л、总自旋2

S 、总角动量2?J

及总的z 向分角动量J ?均为守恒量，但2?L 和S ?不是守恒量。

（2） 在自旋单态下，张量力为零。

（解）题中张量力（本章中问题13.P283）如下：

22

22

12221112?2)(6)())((3S r r S r r r S -?=?-??=

σσσσ (1) 但21r r r

-=。（前一公式的来源不在本题中讨论）

（1） （a ）宇称π：体系的哈密顿算符包括两粒子的能量和势能

()()

?

?????-?+++=222

22

121

26)(2?2??S r r S r V r V p p H T O μμ (2)

按*§5．3（P 。176）一体系若具有空间反射不交性，则其宇称是守恒的，即

0]?,?[=H π

(3) 在本题的情形，这条件是成立的，注意，粒子的动能可能梯度表示。

(2)式用坐标显示为：

}?2)](?[6){()()(21

)(21?22

2

12

21212122

2

222222221

2

2122121S r r r r S r r V r r V z y x z y x H T O ---?-+-+??+??+??-??+??+??-=

μμ (4)

当参考系发生空间反射时，

1221221122112211,,,,,,r r r r z z z z y y y y x x x x -→--→-→-→-→-→-→。但

21r r

-不变，此外总的自旋角动量S 依赖与自旋坐标1z s 和2z s ，与空间坐标21,r r 无关，因而2

21)]([,r r S S -?也不随空间反射而变更，又因为

2

12

212)

(x x -??=?? 等，所以动能部分也不随反射而变化，所以（4）式整个不随反射变化，若),,,(2121z z s s r r

是

任意函数，我们有：

ψ=ψππ

????H H 即 ππ

?,0]?,?[=H 是守恒量

（b ）总自旋平方算符2

?S

： 自旋和一切轨道运动的量都能对易，只需检验2?S 与 2

)(r S ?的对易性：

)

)((??2))((??2))((??2)(?)(?)(?)(2121212121212

122122122

x x z z S S z z y y S S y y x x S S z z S y y S x x S r S X Z z y y x z y x --+--+--+-+-+-=?

因0]?,?[2=X S S 等，又0]?,?[22=x

S S 等，因此有： 0]?,?[2=H S （6） （c ）总角动量分量Z

J ? ： 总角动量分量Z J ?与轨道运动部分的诸力学算符相对易，这在曾书第六章中心力场和第四章§4.1都有过讨论，只需证明Z

J ?与H ?的势能部分的对易性就足够。 又 z z z

z z z z s s l l S L J 2121??????+++=+=

只与角度有关，与相对矢径21r r r -=无关，所以Z

J ?与一切与r

有关的算符对易 }

?,?){(2])(,?[)(?6}]?2)(6){(?,?[]?)(?,?[]?)(?)(?,?[)](?,?[]?,?[2

2222

212

12

S J r V r S J r

r V S r r S r V J S r V J S r V r V J r V J H J Z T Z T T

Z T Z T o Z Z

Z -?=-?==+==

)]

(,?)[())]((,?[?)()(?)()(?)()(??)()(?])(?[2

22

22r S J r S r S r S J J r S r S J r S r S J r S r S J J r S r S J r S J Z Z Z

Z

Z Z Z

Z Z ??-??=?-??+??-?=??-??=??（7） 最后一式说明，])(,?[2r S J Z ?归结为较简单的)](,?[r S J Z

?的运算

)](?,?[)](?,?[?],[?],[?],?[)]

()

()(,[)](,?[2

1

2

1212121212121x x S S

x x S S S z z L S y y L S x x L z z S y y S x x S S L r S J y

z

x z z z y

z x z z y x z z Z -+-+-+-+-=-+-+-+=?

再注意到：

]

,?[],?[],??[],?[22112

12121x l x l x x l l x x L z z z z z -=-+=-

运用两个业已证明过的对易式（曾.第四章）

γαβγβαεix x l =]?,?[

γαβγβαεS i S S ?]?,?[ = 0?)(?)(?)(?)()](?,?[)](?,?[],?[?],?[?],?[?],?[)](,?[212121212

1212

21

12211=---+---=-+-+-+-=?x

y

y x y z x z y

z

y

z

x z x z z S y y i S x x i S x x i S y y i y y S S x x S S S y l S

y l S x l S x l r S J

(8)

将此结果代入（7）式，得到

0])(,?[2

=?r S J z

所以最终得到：

0]?,?[=H J z （z

J ?是守恒量 ） （9） （d ）总角动量平方2?J

： 前一步骤出发，再计算2?z J 与)(r S ?的对易关系

z

z z z z

z z z z z z

z z J r S J r S J J J r S J r S J J r S J r S J J r S r S J r S J ?)](,?[)](,?[??)(?)(??)(?)(??)()(?)](,?[22222

?+?=?-?+?-?=?-?=? （10）

现在将（8）代入（10），立即又有

0)](,?[2=?r S J z

我们在（c ）一小题中计算)](,?[r S J z

?时全部用了直角座标，因此座标

()222111,z y x z y x 有轮换的对称，（10）式也是如此，因而应该也有下式：

,0)](,?[2=?r S J x 0)](,?[2=?r S J y (11)

将（10）和（11）的两式相加，得

0)](,?[)](,???[2222=?=?++r S J r S J J J z y x (12)

从而也得到交换式

0]?,?[2=H J

（2?J 是守恒量 ） （e ）S L ?,?2 这两算符不能是守恒量，因为它们不和)(r S ?对易。

（2）最后证明，在双电子体系的单态中，张量力等于零。

设第一电子的态用)1(),1(βα表示，第二电子用)2(),2(βα表示，在单态的情形，体系总自旋的本征值S=0，自旋波函数是反对称的，写作

2/)}2()1()2()1({αββαχ-= (13)

在此态中求张量力势能算符的平均值V ，这计算式只有一项

χχ]}?2)(6)[({*22

S r r S r V V T -?=

(14) 将此式分别计算

)}

2()1()2()1({2)})(()

)(())()}{(2()1()2()1({2

1

)(*212121212121αββασσσσσσαββαχχ--??--+--++--=?

z z y y x x z z y y x x r S

在以上运算式中，z y x 111?,?,?σσσ

等只能运算与，)1(),1(βα；..........?2x σ而运算于 )2(),2(βα，再注意到

ββσαασαβσ

βασαβσβασ

-==-====z z y y x x i i ?,?;?,?;?,?

前式成为：

)]}2()1()2()1()2()1()2()1()[(]

)2()1()2()1()2()1()2()1()[()]2()1()2()1()2()1()2()1()[)}{(2()1()2()1({4

212121=-+--+--+-+-+---αββααββαββααααββββααααββαββαz z i i i i y y x x

又 0)10(0*)1(**2

=+?=+=χχχχχχS S S （S 是总自旋量子数）

将以上两部分计算结果代入（14），知道0=V 。

[8] 自旋为s 的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？2

3

,21==

s s 情况下，对称和反对称自旋态各有几个？

[解] 自旋为s 指的是自旋角量子数是s （它和轨道运动中的l 相当），在轨道运动中，角量子数给定后（l ）,角动量z 分量的本征值m 有2l+1种不同值： l l l l m ,)1.........(,0,,........)1(,-----=

推广到自旋的情形若自旋自旋角量子数（不一定是1/2，例如原子核的自旋）则自旋磁量子数有2s+1种值

s s m s ,.......-=

但s 可以是整数，也可以是半整数。

自旋的不同态用s m 来区别，第一电子的自旋波记作)(1z ms s x 或)1(ms x ，第二电子的自旋波函数记作)(2z s m s 'χ或)2(s m 'χ ）

是（s s s s m m s s ,1,.........1,,-+--' 中任意两个。

描写两电子体系的波函数是个别电子波函数的相乘积或其线性式，根据§8.4的理论，

要使体系的波函数χ成为总自旋Z

S S ?,?2的本征态，χ只有三种形式的归一化波函数： （1） )2()1(ms ms χχχ= 计算2s+1种 （2） )]1()2()2()1([2

1s m ms s m ms ''+=

χχχχχ

这种波函数种数等于2s+1文字中选择不同文字的种数计有2

1)2s

(2s +种。 以上二类对称自旋波函数的总数目

n=(2s+1)+(2s+1)s=(2s+1)(s+1)

(3) )]1()2()2()1([2

1s m ms s m ms ''+=

χχχχχ

这种波函数还是反对称的，波函数总数目和（2）相同，计有2

1)2s

(2s +种。自旋角量子数s 指定时，可能的合成自旋波函数的总数目有：

21)(2s 1)(2s 1)s (2s 12s n +=+++++=

[9]证明，σσσ ?=?a i a 2],[，a 是与σ

对易的矢量算符。

（证明） 待证一式是矢量的对易式，应当分别对它的x,y,z 分量进行计算：

σσσ

?=?a i a 2],[的x 分量式：

)????(2],[y z z y z z y y x x x a a

i a a a σσσσσσ-=++ 用矩阵式来证明：

x y z z y z y y z z y

y z z y y x z z y x y x z z y

x z y

x y x z z y x y x z

z z y y x x x a i a a

i i i a a i a i a i a a i ia a a ia ia a a a ia a ia a a a ia a a ia a ia a a a ia a ia a a a a a )(2}????{200100122222201100110],[σσσσσσσ ?=-=??

?

???????????????-+????????-=????????--=??????

??--=???

?????+---??????

??--+=????

?

???????????-+--??????

??-+-????????=++

关于z y a

σ?,?也照此方式计算，因z y x σσσ???无轮换对称，应分别计算其结果。 另一种证明方式是用矢量式矩阵：

???

?????-+-=k j i i j i i k

σ

[10]证明：（1）ασ

αασ

Sin i Cos e

j j i ??+= （ z y,x,j =） （2） θθ

σθθσ

Sin i Cos e

i ???+=?

其中 θθ

= θ

θθ

=? θ

矢量与σ对易, θ表示θ方向的单位矢量。

（证）

1?2=j σ (j=x,y,z)

1???420

===j j j σσσ (1) j j j j σσσσ????53 ===

（1） ασ

ασ

αααααασασ

sin ?cos ?}!5!3{?!4!21)?(5

342?j j n

n j j i i i I n i e +=+-++-=∑ ｝｛！ （2） ∑?=?n

n i n i e

!)(θσθ

σ

??

????-+-=++=?z y x y x z z z y y x x i i θθθθθθθσθσθσθσ???

I i i i i z y x z y x z

y

x y x z z y x y x z

?=???

???

??++++=????

????---??????

??---=?22

2222

22

00

11)(θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθσ 因此θσ

?的性质与ασj 相同：

)

(22])()()[()()()()(2)??)(()??)(()??(2)(2?)(2)??(2)??)(()??)((],[σσσσσσσσσ

?=-+-+-=???

?

????+--+--+--=???

?????+---++-+----+-+-=???

?????-+-?????????-+--????????-+-?????????-+-=?a i i

k a a j a a i a a j a i a i a k a i k a j a i a k a i k a j a j a i a i a i a j i i a i a j i i a i a k a j i i a j i i a i a

k a i a j i i a i a j i i k j i i j i i k a ia a ia a a a ia a ia a a k j i i j i i k a x y y x z x x z y z z y x y z x y z z x y z x y y x y x y x x x y x y x y x z y x y x z z y x y x z

n n 224422)()(,)(θθσθθσθθσ=?=?=? )()

()()(21223θσθθσθσθθσ ?=??=?+n n 代入（2）式即得到待证明的结果。

[11]证明σσσσσ ?=?-=-?A i A A A A )()(, A 是与σ

对易的任何矢量算符。

（证明）这是矢量关系式，可先证明x 分量

)????(?)??????(?y z z y x z z y y x x x A A i A A A A σσσσσσ-=-++

x

z y y x x x

z z x y y x x x A A i A i A A A A A ???????????????2--+=-++=σσσσσσσ该式左方

=该式右方。

又这个证明对x,y,z 有轮换性，故可不需重负对y,z 运算。又

等式最右方。=-=---=++-)(??????????)??????(?2z y y z z

x z y x y x x x x z

z y y x x x A A i A A A A A A A A σσσσσσσσσσσ

前式中用了对易式0]?,?[=A σ

。

[12]设θσ

?-=2

?i e U

证明：（θ?是沿矢量θ

方向的单位矢量）

（1）1??=+U U

（1） （2）θσθθθσθθθσσsin ?cos ?)?(?)?(??

?+??+?=+U U

（2） （证明）设?，ψ任意函数：

τψ?τψ?θσd e d U i *)(?*2

??

?=?-+ 。

θσ

?+=2

?i e U

（1）12

2

=?=?-?+

θσθσ i i e

e

U U

（2）θσθσσσ

?-?+

=2

2??i i e e U U 利用习题9的第二式子

2

sin ?cos 2

θ

θσθθσ?+=? i e

i

)]

()[(2

cos 2sin )()(2sin 2cos )2

sin 2(cos )2sin 2(cos ??22θσσσθσθθθσσθσθσθθθσθσθθσθσ

?-?+??+=?-?+=+i i i U U

利用题9的公式于最后两项，利用题11的公式于第二项，得：

)](sin )]()[(2

sin 2cos 22

σθθσθθθσθσθ ?+?+?+i

再利用矢量三重积公式：

σθσθσθθσθσθθ

-?=-?=???)?()?(?)?()?(?2 代入（3），整理后得待证公式（2）。

[13]证明不存在非0的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易 ，即设

0??=+A A

σσ 则0?=A （证明）先设：?

?

??

??=d c b a A 代入0]?,?[=+x A σ 001100110=???

?

????????????+????????????????d c b a d c b a

即0=?

?

?

?

??++++b c a d d a c b 得d a c b -=-= 因此A 的矩阵是

?

?

????--=a b b a A 再代入0]?,?[=+y A σ 00000=?

?

????--??????-+??????-????

??--a b b a i i i i a b b a

即02002=??

????bi bi 即b=0

于是A 只能是形式

???

?

????-=a a A 00? 再代入0]?,?[=+z A

σ 0001001100100=??

?

???-??????-+??????-??????-a a a a

即 02002=???

?????a a 即a=0

于是，满足三个对易关系的二维矩整，只能是??

?

???0000，而定理得证。 另一方法，用矢量矩阵-

仍设????

??=d c b a A 代入σσ????A A + 0=????

?

???????????-+-+????????-+-????????d c b a k j i i j i i k k j i i j i i k d c b a 作简化：()()02)()()()(2)()(=???

?

????--++++++-++-++k d j c b i c b j d a i i d a j d a i i d a k a j c b i c b

从任何两个元素都能得到一组解

a=b=c=d=0

[14]证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或（2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩阵。

（证明）根据角动量定义：

?????=-=-=-y z x x z x y z z y z x y y x i i i σσσσ

σσσσσσσσσσσ?2?????2?????2???? 又根据第八章问题（1）的结论

i z y x =σσσ

??? 不论采取任何表象上述两组式子满足，从（1）看出若有两个算符在角动量表象中纯虚数（每

一元素为虚）如,?,?y x σσ

而z σ?为实矩阵，则可设 ??

????=di ci bi ai x σ?

???

?????=i d i c i b i a y ''''?σ

??

????=q p n m z σ? ，a,b …… 都是实数。

代入（1）得

???

?????=????????--+--+--+--+q p n m i dd cb d d b c dc ca c d a c bd ab d b b a bc aa c b a a 2'''''''''''''''' 这要求z σ

?是纯虚矩阵，与假设违背，又从（4）看出，如果z y x σσσ?,?,?全部是实数矩阵，则这一条法则也违背，故是不可能的。

[15]证明z y x σσσ

?,?,?及I （22?单位矩阵）构成22?矩阵的完全集合，即任何22?矩阵都能用他们的线性组合来表达，任何22?矩阵M

?可表成： ]?)??()?[(2

1?σσ?+=M Tr M Tr M

（证明） 22?矩阵在一般情形有四个不为零的元素，若用四个已知的矩阵z y x I

σσσ????表示成线性式，恰能附有四个待定系数，构成一义的解，即任意矩阵

???

?????+-+-+=+++=???

?

????=u z iy x iy x u z I u z y x d c b a M z y x ????σσσ

（1）

我们得到关于未知系数的方程式组：

???????=+=-=+-=+c

iy x b iy x d u z a u z 可以解得????

?-=

+=-=+=i b

c y c b x

d a z d a u 2,22,2 （2） 但需要证明z y x I

σσσ????彼此独立，即不存在着不为零的系数δγβα,,,足以使

0????=+++I z y x δσγσβσ

α 即0=??

?

?

??+-+-+δγβαβαδ

γi i

这要求每一元素为零，即

00

0=+=+-=-=+βαδγβαδγi i

同时满足这四条件的解只能是

0====δγβα

即z y x I

σσσ????是线性无关的。

最后我们将任意22?矩阵M

?用它和σ??M 的径迹（Trace 即对角元素总合）表示。从式（2）知道

I d a d a b c c b d c b a M z y x ?

)2(?)2(?)2(?)2(?++-+-++=??

??

??=σσσ （4） 从式子看出：

???

?

???

?--++--++=????????-+-?????????=k d j i

i c j i i d k c k b j i i a j i i b k a k j i i j i i k d c b a M

)()()()(??σ

d a M

Tra +=? k d j i i c j i i b k a M Tra --+++=)()(?)??(σ

k d a j i c b i c b

)()()(-+-++=

}}{)()(){()(k j i k d a j i c b i c b m Tra z y x

σσσσσ++-+-++=?

z y x d a i c b c b σσσ

?)(?)(?)(-+-++= (6) 将(5)(6)代入(4)得

]?)??(?)?[(2

1?σσ ?+=M Tra I M Tra M

命题得证。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 【16】求证与三个泡利矩阵都对易的2×2矩阵，只能是常数矩阵。

【证】设[]

??

????=d c b a A ?能与z y x σσσ???对易： A

?满足0????=-A A x x σσ 即 001100110=??

????----=????????????-????????????b c a d d a c b a b b a a b b a 这要求c b =，d a =故A ?的形式应受限制，成为?

?

?

???=d c b a A ? 又A

?满足0????=-A A y y σσ即 020020000=??

????=????????????--??????-??????bi bi d c b a i i i i d c b a 这又要求0=b 因而A ?的形式简化成[]

?

?

?

?

??=a a A 00?这是个常数矩阵（元素相等）它可

全同粒子体系习题解

第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(2 2 =y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??

可见①式符合上式的要求。 2．求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ，得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件，得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ

全同粒子体系

第六章全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严

格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2, i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋） ，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12 ,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋） ，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也 还是在(1,2, )i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： () ()()12 2211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 12 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12 ,,i j N q q q q q ψ

全同粒子体系习题解

全同粒子体系习题解-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ 01?102x S ??= ??? ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?2 222 121 =???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 =??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求4)()(2 22 2z y x S S S ≥?? 16)()(422 =??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ??

第七章-自和全同粒子

第七章自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、自旋角动量(内禀角动量)S

它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 s z =± 12 η； (7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =- e m S , (7. 2) μμs e B z e m =± =±η 2, (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电

子的质量，μB ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） μs e s e z z s e m g e m =- =2, (7. 4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数, 是对于轨道运动的g 因数的两倍。 强调两点： ● 相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程??狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为

1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。二电子自旋态的描述

ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这 两个变量，s z只能取 ±η/2这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2, (7. 5) 讨论： ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2 ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2

第七章-自旋和全同粒子

第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；

(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)

g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。

二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数

复习大纲_量子力学

第二章薛定谔方程 基本要求： 1、了解光和微观粒子的波粒二象性，熟悉德布罗意关系； 2、理解波函数的表达形式及其物理意义； 3、掌握薛定谔方程的基本公式 4、理解波函数的标准条件和态叠加原理，并能应用到薛定谔方程的求解中； 5、什么是定态薛定谔方程，它的解有什么特点？ 6、熟练应用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱中的粒子； 7、理解一维线性谐振子波函数的形式及能量的量子化，并能进行简单计算； 8、了解微观粒子遇到方势垒的反射与透射。为什么在粒子能量小于势垒时，仍可以部分透射？ 第三章力学量的算符 基本要求： 1、什么是力学量的算符，掌握常见物理量的算符表达式； 2、什么是本征方程，算符的本征值和本征函数指的是什么？能够通过本征 方程求解算符的本征值； 3、熟悉算符的基本运算规则； 4、什么是线性厄米算符，它有哪些性质？会判断哪些算符是厄米算符； 5、厄米算符本征函数的正交性和完全性指的是什么？ 6、不同力学量同时有确定值的条件是什么？ 7、熟悉量子力学的不确定关系。 第四章氢原子和类氢离子的波函数和能级 基本要求： 1、了解有心力场中电子的特征； 2、理解库仑有心力场中电子波函数的描述方法，理解量子数的概念； 3、理解库仑有心力场中电子能级的量子化，理解简并度的概念； 4、理解轨道角动量的概念，能够证明轨道角动量各分量以及L2与各分量间 的相互关系； 5、理解核外电子的径向几率分布和角几率分布，会求简单系统的径向几率 分布和角几率分布。 第五章定态微扰论原子的能级 基本要求：

1、什么是微扰，采用定态微扰论近似求解能量本征算符H ∧ 本征方程的基本要求是什么？ 2、熟悉无简并定态微扰论中能量和波函数的一级修正，会求简单系统的一级近似； 3、了解有简并定态微扰论中波函数的零级近似和能量的一级近似； 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、什么是全同粒子？ 2、电子的自旋指的是什么？ 3、自旋角动量算符有哪些性质，其本征值是多少？若计入电子自旋，氢原子波函数需要哪些量子数描述，才能完整描述其电子的运动状态？ 4、全同粒子的不可区分性指的是什么？全同粒子体系的H ∧ 交换不变性是什么意思？ 5、由全同粒子组成的体系，若全同粒子是自旋为半整数的费米子，其波函数为反对称波函数；若全同粒子是自旋为零或整数的波色子，则波函数为对称波函数。全同粒子体系的波函数，除了满足标准条件外，还须满足对称或反对称。 6、泡利不相容原理指的是什么？ 7、对于具有多个电子的原子，受泡利不相容原理的限制，原子中的电子如何排列？ 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、了解电子在周期性微扰下的跃迁几率，在什么条件下，跃迁几率最大？ 2、原子与光子的相互作用有哪几种？其跃迁几率主要受那些因素影响？ 3、在有心力场情况下，状态间允许跃迁的选择定则是什么？

全同粒子体系

第六章 全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m ，电荷q ，磁矩M ，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为 全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H 算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严

格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S = ，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： ()()()122211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 1 2 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12,,i j N q q q q q ψ

全同粒子体系

全同粒子 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、 质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3哈密顿算符∧ H 的交换对称性 考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r 与自旋变量i S ，) ,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧ H 写为 ∑∑<++?-=j i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧ H 显然是不变的，记为 ),,,(?21t q q q q q H P N j i ij ∧ ),,,(?21t q q q q q H N i j = ),,,(?2 1 t q q q q q H N j i = （2） ij P ∧ 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为 0,=?? ? ???∧∧H P ij （3）

电子自旋全同粒子

61第六章自旋与全同粒子 §6-1 电子自旋的实验证据 （一）斯特恩－盖拉赫实验 Z （1）实验描述 基态的氢原子束经非均N S 基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。 处于基态 的氢原子（2）结论 I 。氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。II 。氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。III 。处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。

钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构 钠原子光谱中的条亮黄线 λ≈5893?，用高分辨率的光谱仪 观测可以看到该谱线其实是由3p 观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。5893? D 1 D 2 很两条线 其他原子光谱中也可以发5896? 5890? 现类似现象，称之为光谱线的3s 精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。 （三）电子自旋假设 乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设： （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值 方向上的投影只能取两个数值： 2 z s S S m =±= m s 称为自旋磁量子数。

（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为： S e M S ?= μ 因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值： 2S z B e M M μ =±=± Bohr Bohr 磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介 ? （一）角动量算符的普遍定义A 定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符????????????定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符： ,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ???===???? ?? 角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系 角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222????=++x y z A A A A 2???() ,0,,A A x y z α?==

第六章自旋与全同粒子

第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=

δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)

全同粒子体系习题解

第六章 全同粒子体系习题解 1.求在自旋态)(2 1z S χ中,x S ?与y S ?的不确定关系:?)()(2 2 =y x S S ?? 解:在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论:由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?,y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中,2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??

可见①式符合上式的要求。 2.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值与所属的本征函数。 解:x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值 2η 的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ,得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ,得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件,得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ

第6章自旋与全同粒

第6章自旋与全同粒子 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。 §6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点 一．实验事实 1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验： 现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。 解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向 如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。 2．碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它 是由很靠近的两条谱线组成 3．反常塞曼(Zeeman)效应 1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。 二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设 1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是

为玻尔磁子 这个比值称为电子自旋的回转磁比率. 轨道运动的回转磁比率是 三．电子自旋的特点 乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。 特点： 1．电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。 2．电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。 3．电子自旋值是，而不是的整数倍。 4．，而两者在差一倍。 自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系 §6.2 电子的自旋算符和自旋函数 一．自旋角动量算符 在空间任意方向上的投影只能取值（由实验所得假设） 本征值都是 ,

第七章-自旋与全同粒子 lt

第七章例题剖析 1求自旋角动量在任意方向n [方向余弦是(cos α，cos β，cos γ)]的投影γβαc o s c o s c o s z y x n s s s s ++=的本征值和本征矢。 [解] 自旋算符的矩阵表示为 ??? ? ??-=???? ??-=???? ??=10012;002;01102 z y x s i i s s ?????????? ??-+???? ??-+???? ??=∴γβαcos 10 01 cos 00cos 01102i i s n ???? ??-+-=γβαβ αγ c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2i i 令s n 的本征矢为 ???? ??=ηξψ 它必然是一个两行两列的矩阵，s n 的本征方程为 λψψ2 =n s 则 ???? ??=???? ?????? ?? -+-ηξληξγβαβ αγ2cos cos cos cos cos cos 2 i i 就有 ???=+-+=-+-) 2(0)(cos )cos (cos ) 1(0)cos (cos )(cos ηλγξβαηβαξλγi i ηξ,不同时为零的条件是其系数行列式为零，即 0)(cos cos cos cos cos cos =+-+--λγβαβ αλγi i 展开得： 0)c o s (c o s )(c o s 2222=+---βαλγ 1012±==-∴λλ 因此 n S 的本征值为2 ± 下面求本征矢： （1）当2 =n S 时，即1=λ时，由①式得 ηβαξγ)cos (cos )1(cos i --=- ηγβ αξcos 1cos cos --=i ??? ? ? ??--=ηηγβαψcos 1cos cos i 利用归一化条件

量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习

第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)

(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为

其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合

第七章-自旋与全同粒子-习题 y

第七章 自旋与全同粒子 第一部分: 基本概念和基本思想题目 1. 描述全同粒子的波函数应具什么性质? 2. 玻色子是否受泡利原理的限制? 为什么? 3. 描述全同粒子体系的波函数有什么特征? 4. 电子的自旋可用 ()z S a X b ??= ??? 表示,试说明|a|2 与|b|2的物理意义。 5. 当单电子处于任一自旋态时，测量S x 、S y 各可能测到哪些值？ 6. 费米子与玻色子体系对描述其状态的波函数有什么要求？ 7. 提出电子有自旋的实验根据是什么？ 8. 斯特恩－盖拉赫实验中为什么要选用基态氢原子？ 9. 考虑电子自旋后，电子波函数在形式上有什么特点？ 10. 说明积分2 |(,,,,) x y z t d ψτ??? 的物理意义。 11. 古德斯米特－乌伦贝克关于电子自旋的基本假设是什么？ 12. 电子自旋磁矩与自旋角动量之间的关系是什么？ 13. 电子自旋是如何表示的？ 14. 无耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 15. 耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 第二部分：基本技能训练题 1. 试求泡利算符?x σ 的本征值和本征函数。 2. y z ??? i 证明＝x σ σσ

3. 221y 2 ??X ()S S (S )(S )? 求在自旋态中，与的测不准关系：z x x y s ???= 4. 求下列状态中J z 的本征值 1112 1101 112 2 1211() ()(,) () ()(,)()(,)] z z z X S Y S Y X S Y ψθ?ψθ?θ?- == + 5. 01021020 求及的本征函数与本征值。 x y i S S i -?? ?? == ? ????? 6. 求自旋角动量在（cosα，cosβ，cosγ）的投影 ????cos cos cos n x y z S S S S αβγ=++的本征值和本征函数。 在这些本征态中，测量S z 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？ 7. 下列波函数中，哪些是完全对称的？ 哪些是反对称的？ 1212211122 2 2111211122 2 2 2 12341() 2121() () f(r )()()() () r () f(r )()[()()()()] () z z r r z z z z r r g r X s X s e f r X s X s X s X s e αα-+----- 8. 设氢原子的状态是 21112110122z z L S R Y R Y ψ?? ? ?= ?- ??? 求＝？＝？ 9. (1)(2)(3)(4) s s s A X ,X ,X X 证明和组成正交归一系。 10. 在1z 2 X (s )态中测量S z 可得到哪些可能值？可能值的几率分别是多

量子力学填空简答证明复习资料

填空 第一章 绪论 6、玻尔的量子化条件为 n L = 9 德布罗意关系为 k p E ==,ω 。 1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 2 2 1mv A h + =ν 。 2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系 为 k p E ==,ω 。 第二章 波函数和薛定谔方程 1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。 4、2 ),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。 5、dr r r 22 ),,(??θψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。 第三章 量子力学中的力学量 2如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 0 。 3、设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为__ψλψ=F ?_______。 5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。 10坐标和动量的测不准关系是_2 ≥ ??x p x ___________________________。 自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒 3、 设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为___在 p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。 3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。 10、=]?,[x p x i ； =]?,?[z y L L x L i ；

第四章 态和力学量的表象 量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符 __________。 力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的 第五章 微扰理论 第七章 自旋与全同粒子 7. 为泡利算符，则 =2?σ 3 ，=]?,?[y x σ σ z i σ ?2 8、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。 4、 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 2n ，考虑自旋但不考虑自 旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。 5、 S ? 为自旋算符，则 =2 ?S 2 4 3 ，=]? ,?[2z S S 0 ， =]?,?[y x S S z S i ? 。 简答 第一章 绪论 什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。 答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。 这些逸出的电子被称为光电子 （3分） 用来解释光电效应的爱因斯坦公式：2 2 1mv A h +=ν （3分） 第二章 波函数和薛定谔方程 1、如果1ψ和2 ψ 是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：

第七章 电子自旋与全同粒子

２７２ 第七章 电子自旋与全同粒子 （Electron spin and identical particles） §7.1电子自旋 §7.2电子的自旋算符和自旋函数 §7.4两个角动量的耦合 §7.5光谱的精细结构 §7.6全同粒子的特性 §7.7全同粒子体系的波函数，泡利（Pauli）原理 §7.8 两个电子的自旋函数 §7.9氦原子(微扰法) 第七章 电子自旋与全同粒子 （Electron spin and identical particles） 引言： 很多问题是多粒子体系，例如：多电子原子、分子、原子核和晶 体等。多粒子体系复杂，dinger o Schr && 方程不能直接求解。一是要采用逐级近似的方法，二要尽可能多的了解多粒子体系的知识和信息，如：角动量和对称性等知识。 1.角动量 角动量有两种： (1)与空间运动有关—轨道角动量L r ； (2)与空间运动无关—自旋角动量S r 。 有些物理现象必须引入自旋角动量概念才能给予解释，例如： (1)碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线o A 5893≈λ，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成(o A 5896≈λ和

２７３ o A 5890≈λ)。 (2)反常塞曼(Zeeman)效应： 1912年，Passhen 和 Back 发现反常Zeeman 效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂现象（能级分裂成偶数条子能级，例如钠光谱线4D 1→条，6D 2→条）。 2.对称性 对称性中有一类为置换对称性，如全同粒子体系中，相互置换任意两个粒子，体系的哈密顿不变，这是研究全同粒子体系的基础，基本原理是全同性原理。共价键理论，光谱理论，超导超流理论，夸克与核力问题等都是建立在全同性原理的基础上。 总之，自旋与全同粒子是研究多体问题的基础，非常重要。 §7.1 电子自旋 重点:Stern-Gerlach 实验和Ulenbeck-Goudsmit 假设 难点:Ulenbeck-Goudsmit 假设 我们从实验事实引入电子自旋的概念。 一、Stern-Gerlach(斯特恩-革拉赫) experiments（1921） 实验现象是单价原子（如银原子和氢原子等）束流通过非均匀磁场后裂为两束，我们以氢原子为例介绍这种实验现象。 实验现象：电炉K 射出的处于S 态的氢原子束流通过狭缝BB 和不均匀磁场，最后射到照相片PP 上，实验结果是照片上出现两条分立线。