(完整版)全等三角形难题题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析

一、角平分线型

角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分

线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，

连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。

2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，

?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．

3. 如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，?∠OAP+∠OBP=180°，

若OC=4cm ，求AO+BO 的值．

A

B C E P

D A C

B

M N P D

A C

B O

4. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ；

(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

．

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）

2

1P

F

M

D

B

A C

E

6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．

（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1

2

BD ；

（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；

若不变，求出它的度数，并说明理由。

E

D C B

A

7、如图：四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=AD+BC ，E是CD的中点，求证：AE⊥BE 。

8、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．

二、中点型

由中点应产生以下联想：

1、想到中线，倍长中线

2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形

3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线

4、三角形的中位线

A D

B C

E

1、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．

2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1

2

CE BF =

D A

E F

C

H

G

B

3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论。

4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

三、多个直角型

在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。

1、如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

E F

C D

A

2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．

3、如图，∠ABC=90°，AB=BC ，BP 为一条射线，AD ⊥BP ，CE ⊥PB ，若AD=4，EC=2.求DE 的长。

4、如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。

F

G

E D C B A A

B C D

E

H

5.如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D，AD=2、5cm，DE=1.7cm,求BE

的长

6.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

7.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、

C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E

(1)试说明: BD=DE+CE.

F E D

C

B

A

(2) 若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 请直接写出结果, 不需说明.

（4）归纳前二个问得出BD 、DE 、CE 关系。用简洁的语言加以说明。

四、等边三角形型

由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。

1、如图，已知ABC ?为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ?也是等边三角形．

（2） 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的

猜想是正确的；

（3） 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化

过程．

2、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

3、如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

4、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：BE=AD

E D

C B

A

5、已知P是等边△ABC内的一点，BPC

PC

PB

PA∠

=

=

=则

,3

,4

,5的度数为多少？

6、已知P是正方形ABCD内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，APB

∠

则的度数为多少？.

A

D

C

E

F

五、等腰三角形型

由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等腰三角形又具有旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答

1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

A

E

B M

C

F

2. 在△ABC 中，,AB=AC ， 在AB 边上取点D ，在AC 延长线上取点E ，使CE=BD ，

连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF .

3. 如图所示,已知D 是等腰△ABC 底边BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分

别为DE 、DF,CM ⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明.

E D

C

B

A

M

F

B

折叠型

２３、如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

(1)如图②，若M为AD边的中点，

①,△AEM的周长=_____cm；

②求证：EP=AE+DP；

(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．