2.1.5.2点到直线的距离公式-导学案
点到直线的距离公式（导学案）
使用说明：
1.用20分钟左右的时间，预习课本74-76页的内容，自主高效阅读，提升自己的阅读理解能力；
2.结合课本的基础知识完成预习案，也可进一步完成探究案及相关练习自测。
【学习目标】
1．理解点到直线的距离公式的推导；
2．掌握点到直线的距离公式，并能简单应用；
3．讨论，探究两平行直线的距离公式。
【重点难点】
重点：点到直线的距离公式灵活应用；
难点：点到直线的距离公式的推导。
预习案
一、相关知识
在平面几何中，求点P到直线l的距离步骤：
1.先过点P作l的垂线PH,
2.再求出PH的长度，
3. PH的长度就是点P到直线l的距离。
二、教材助读
1.在平面直角坐标系中，用坐标的方法求点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离的步骤：其算法框图：
2.用上述方法可以得到点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式
三、预习自测
求下列点到直线的距离：
(1). (0,0),3240;
x y
-+=
(2). (1,2),340;
x y
---=
(3). (2,3),.
x y
-=
探究案
基础知识探究
1.实例分析点到直线的距离公式的推导过程（(3,5),:3450
p l x y
---=）
2.求原点到直线
1
:51290
l x y
--=的距离；
3.求点(1,2)
p-到直线
2
:2100
l x y
+-=距离。
综合应用探究
试推导两平行线
1
Ax By C
++=与20
Ax By C
++=间的距离公式。
(12
22
||
C C
d
A B
-
=
+
)
求两平行线3210,3260
x y x y
--=-+=的距离
确定直线l的___k
求与l垂直直线的斜率k’=____ 求过点P_____l的直线l’的方程
求点____与点____间的距离求l与l’的_____H
得到点P到l距离d=|PH|
00
22
||
Ax By C d
A B
++
=
+
当堂检测
1. 已知点(,3)(0)m m >到直线:240l x y -+=的距离为1，则m 等于_______.
2. 两平行直线12,l l 分别过(1,0)A 与(0,5)B .若1l 与2l 的距离为5，求这两直线方程。
3. 求两平行线的距离20,2470x y x y +=+-=。
4. 求与直线72450x y +-=平行，且距离等于3的直线方程。
知识规律总结：
1. 使用点到直线距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式。
2. ___________________________________________________________ ______________________________________________________________
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7
人教A版数学必修二第三章第七课时导学案3.3.2两点间的距离
§ 3.3.2两点间的距离 学习目标 1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 104~106，找出疑惑之处） 1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 . 2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= . 3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点? 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？ 问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？
新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则21221221)()(||y y x x P P -+-=. 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为22||y x OP +=. ※ 典型例题 例1 已知点(8,10),(4,4)A B -, 求线段AB 的长及中点坐标. 变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值. 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.
※动手试试 练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0) 是等腰三角形. A B C，求证：ABC 练2.已知点(4,12) A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标. 三、总结提升 ※学习小结 1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系. 学习评价 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
点到直线距离公式的七种推导方法
点到直线距离公式的七种推导方法 湖南省 黄爱民 赵长春 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A ' l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 222 2 2 0000002222222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx B C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式：222222000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d =
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)．
学生可能寻求到下面三种解法： 方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，
2016届瑞安五中高二导学案两点间的距离
§ 3.3.2两点间的距离 一、储备 （一）学习目标 1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题. （二）自主导航 课前准备： （预习教材P 104~ P 106，找出疑惑之处） 1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 . 2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= . 3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y - 10+=与5y x =+的交点? 二、导学： ※ 学习探究 问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？ 问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？ 新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP
※典型例题 例1 已知点(8,10),(4,4) A B-求线段AB的长及中点坐标. 变式：已知点(1,2), =,并求PA的值. -，在x轴上求一点，使PA PB A B 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等. ※动手试试 练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0) 是等腰三角形. A B C，求证：ABC 练2.已知点(4,12) A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.
中职数学基础模块下册《点到直线的距离》word学案
点到直线的距离导学案 【学习目标】 1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离； 3．认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题． 【学习重点与难点】 本节课的重点是点到直线的距离公式，难点是理解公式和应用公式．【教学过程】 一、问题情境 本节课研究的问题是： 点到直线的距离如何作出？点到直线的垂线段长度 在坐标平面内，如何用点的坐标和直线的参数来表示点到直线的距离？ 二、学生活动、建构数学 探究：已知平行四边形ABCD的顶点坐标为A（?1，3），B（3，?2），C（6，?1），D（2，4），如何计算它的面积？ 在前面我们已经研究过两点间的距离公式，所以能够求出平行四边形的一边长来，但是现在的问题是我们还需要求出这边上的高，即点到直线的距离．如何计算点D到直线AB：5x+4y?7=0的距离？ 方法一：求出过点D垂直于AB的直线DE，E为垂足；E即为两直线的交点，可求出；此时可以看到D到直线AB的距离就是DE的长，从而用两点间距 离公式可得． 方法二：过点D分别作x轴，y轴的垂线，从而构成直角三角形，通过点到直线的距离变成直角三角形斜边上的高，可以通过面积相等求得点到直线的 距离． 【说明】：方法一是常规的想法，思路清晰，但是计算量比较大；方法二运用数形结合思想，将点到直线的距离转化为面积的关系. 三、数学理论、数学运用 一般地，对于直线 l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0） 外一点P（x0，y0），过点P作PQ⊥l，垂足为Q. 过点P分别作x轴、y轴的平行线，交l于点M（x1，y0），N（x0，y2）. 由Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0，
空间点到直线的距离公式
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
2013-2014学年高一下学期数学活动单学案：(29)点到直线的距离 2
重 点: 点到直 线的距离公式及应用. 难 点: 点到直线的距离公式的推导 过 程: 活动一： 1.平面上两点P 1(x 1 , y 1) , P 2(x 2 , y 2)之间的距离公式为P 1P 2=_____________________ . 2.①P 1(x 1 , y 2) , P 2(x 2 , y 2)，线段P 1P 2的中点是M(x 0 , y 0), 则x 0=_______ , y 0=_________. ②△ABC 中， A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2) , C(x 3 , y 3), 若△ABC 重心是G(x 0 , y 0) , 则x 0=__________ , y 0=___________ 3. 已知点M(－1,2), 点N(8,10), 光线通过M 点被直线l :x －y －1=0反射后过点N,光线从点M 到点N 的路程为 . 4. 如图，点D(1,4)到直线l :3x －4y+1=0的距离 为 . 活动二： 已知l : Ax+By+C=0 (A 、B 不同时为0), P(x 0 , y 0), 则P 到l 的距离为d= . 说明: (1)公式成立的前提需把直线l 方程写成 式; (2)公式推导过程中利用了等价转换, 数形结合的思想方法, 且推导方法不惟一; (3)当点P(x 0 , y 0)在直线l 上时, 公式仍然成立; (4)P(x 0 , y 0)到直线x=a 的距离为________ ； P(x 0 , y 0)到直线y=b 的距离为_________ . 三.数学应用 例1.求点P(－1 , 2)到下列直线的距离: (1) 2x+y －10=0 ___________ (2) y=2x ___________ (3) 3x=2 ___________ (4) y=3 ___________ 变式：已知2x+y －10=0 _____________ . 例2.已知直线l 经过点P(5 , 10) , 且原点到它的距离为 5 , 求直线l 的方程. l :3x －4y+1=0
点到直线的距离公式应用
点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程
苏教版数学高一学案必修二练习2.1.6点到直线的距离
2.1.6点到直线的距离 一、基础过关 1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为________． 2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是________． 3．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为______________． 4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则PQ的最小值为________．5．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．6．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)． (1)求BC边的高所在直线的方程； (2)求△ABC的面积S. 8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 二、能力提升 9．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________． 10．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为________． 11．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15°②30°③45°④60°⑤75° 12．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程． 三、探究与拓展 13．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在的直线方程．
重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第三章第三节两点间的距离
第三章第三节两点间的距离 三维目标 1．理解平面内两点间的距离公式的推导过程； 2．掌握两点间距离公式及其简单应用； 3．会用坐标法证明一些简单的几何问题. ________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 问题1.在坐标轴上，两点A 、B 之间的距离 AB 是如何计算的？ 问题2.平面直角坐标系下两点(1,1x y )、(2,2x y )，如何求、两点之间的距离12PP ？ 问题3.请尝试用两点间的距离公式完成下列各题： （1）求(2,1),(5,1)A B -两点之间的距离. （2）若(,5)(0,10)17,?A a B a -与间的距离是 则值为多少 （3）已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标. A B
PP= 问题4.请从向量的角度证明两点间的距离公式 12 【学做思2】 =，并求出PA的值. 1. 已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使得PA PB 【思考】结合图象，本题还有没有其它的解法呢？ 2.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 【方法总结】 【变式】已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
达标检测 1. △ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中 线长为( ) A.26 B.65 C.29 D.13 2. 直线的倾斜角为30°，且过点B(0,1)，直线交x轴于点A，则|OA|、|AB|的值分别为( ) A．1,2 B.3，2 C．1，3D. 3 3 ，2 3. 已知A(1,2)，B(5，－2)，在x轴上有一点P(x,0)满足|PA|＝|PB|，在y轴上有一点Q(0， y)，它在线段AB的垂直平分线上，则(x，y)为( ) A．(3，－3) B．(3,3)C．(－3,3) D．(－3，－3) 4. 光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( ) A．52B．25C．510D．10 5 5. 已知AO是△ABC的边BC的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
点到直线距离公式的七种推导方法
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 点到直线距离公式的七种推导方法 湖南省 黄爱民 赵长春 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 'l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 1A x y b +=- 00 0|||||| A x C A x B y C P M y B B +++∴=+ = 易得∠MPQ ＝ α（图2）或∠MPQ ＝0180α-（图3） 在 两 种 情 况 下 都 有 2 2 2 2 tan tan A MPQ B α∠==所以 cos MPQ ∠= = 五、三角形法 证：P 作PM ∥ y 轴交l 于M ，过点P 作PN ∥ x 轴交l 于N （图4） 由解法三知00||| |Ax By C PM B ++=；同理得 00||||Ax By C PN A ++= 在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高 六、参数方程法 证：过点00(,)P x y 作直线 0'0cos :sin x x t l y y t θ θ =+?? =+?交直线l 于点Q 。(如图1) 由直线参数方程的几何意义知||||t PQ =，将 'l 代入 l 得 x
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x
点到直线的距离公式
课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A
《4.3.2空间两点间的距离公式》导学案
4.3.2空间两点间的距离公式 一、学习目标 1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法. 2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引 1. 预习课本136-137页，做138页练习. 2. 重点：空间两点间的距离公式及应用. 3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现 1. 空间两点间的距离公式 空间中两点),,(1111z y x P ，),,(3222z y x P 之间的距离是=21P P . 说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例. 2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的21x x -，21y y -，21z z -，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换. 3. 空间两点间距离的求法 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离. 4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：
a x=表示平行于yOz面的平面，且与yOz面的距离为a. b y=表示平行于xOz面的平面，且与xOz面的距离为b. c z=表示平行于xOy面的平面，且与xOy面的距离为c. ,0 ,0= = =z y x分别表示yOz，xOz，xOy三个坐标平面. 5. 空间两点间距离公式的推导方法 剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点) ,,(z y x P，求点P到原点O的距离. 如图所示，设点P在xOy平面上的射影是B， 则点B坐标是(,,0) x y，在xOy 平面上有OB=. 在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得 OP= 因为BP z = ，所以OP= 这说明，在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点 (,,) P x y z与原点之间的距离是OP= （2）下面再看一般的情况：如图所示，设点 1111 (,,) P x y z，2222 (,,) P x y z是空间任意两点，且两点在xOy平面上的射影分别为, M N，那么, M N的坐标为 11 (,,0) M x y， 22 (,,0) N x y. 在xOy平面上，MN= 过点 1 P作 2 P N的垂线，垂足为H，则 11 MP z =， 22 NP z =，所以 212 HP z z =-. 在直角三角形 12 PHP中， 1 PH MN ==
人教版数学高一-两点间的距离 同步导学案
摘要：两点间的距离同步学案，主要有学习目标、重难点，学法指导，新知预习，学习探究，要点导学，活学巧用，巩固练习，整体感知 关键词：新课标人教A 版、必修二、两点间的距离 学案 新课标人教A 版高一必修二3、3、2两点间的距离同步学案 【学习目标】 1、理解平面内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题； 2、通过由特殊到一般的归纳，培养探索问题的能力 【重点与难点】重点：两点间的距离公式和它的简单应用 难点：用坐标法解决平面几何问题 【学法指导】 本节是利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。在推导 过程中，要注意数形结合的数学思想的运用。 【新知预习】 1.设111222(,),(,)P x y P x y ,则12PP = 。 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP = ； 当所在直线与x 轴平行时，12PP = ； 当12,P P 所在直线与y 轴平行时，12PP = ； 当12,P P 在直线y kx b =+上时，12PP = . 2. 设111222(,),(,)P x y P x y ,则线段12P P 的中点坐标__________ 3. 用坐标法解（证）题的步骤：（1） 。 （2） （3） （4） 【学习探究】 1、已知数轴上两点 A, B ，怎么求 A, B 的距离？ 2、用坐标法解（证）题的步骤？
221M M =
解得1x =，所以(1,0)p , 则PA =22)20()11(22=-++。 归纳总结:两点间的距离公式：所以设111222(,),(,)P x y P x y ，当 12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212PP y y =-； 当12,P P 不与坐标轴平行时，121212()()PP x x y y =-+-。 变式探究： 1、 在直线40x y -+=上求一点p ，使p 点到点(2,4),(4,6)M N --的距离相等。 1、解：35(,)22 P - 例2、已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2 =2（|AO |2 ＋|OC |2 ）. 解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xoy 设点A(a ,b )、B(c -,0)、C(c ,0), 由两点间距离公式得： 2222(),()AB a c b AC a c b =++=-+ 22,AO a b OC C =+= 22222222222(),AB AC a b c AO OC a b c ∴+=+++=++ 22222()AB AC AO OC ∴+=+ 归纳总结：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将△ABC 的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 变式探究： 2、 已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点M ，建立适当的直角坐标系，求证：12AM BC = 2、 证明：以直角三角形ABC 的直角边AB,AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系 设B,C 两点的坐标分别为(,0),(0,)b c ，因为斜边BC 的中点M ，所以的坐标为00(,),22 b c ++
《点到直线的距离公式》教案(公开课)
《点到直线的距离公式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：
方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|， 比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？ 思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)． 思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．
《直线的交点坐标及两点间距离公式》导学案
《直线的交点坐标及两点间距离公式》导学案 编写：胡林海 审核：高一数学组 编写时间：2013-5-7 班级： 组别： 组名： 姓名： 一、学习目标: 1、会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2、会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系 3、掌握两点间距离公式并会应用 二、学习重点、难点： 重点：1、根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点。 2、平面内两点间距离公式以及公式的推导。 难点：1、对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。 2、如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题。 三、使用说明及学法指导: 1. 自学：精读教材102-106，完成导学案（30分钟） 2. 群学程序： （1） 对子学习：结合导学案完成情况进行对子间交流。并相互给予等级评定。 （2） 群学：组长带领全组同学交流自学环节中存在的疑惑和问题；并对展示任 务讨论，确定展示方案，并在黑板上做好展示准备。（30分钟） 四、知识链接：1．直线方程有哪几种形式？ 2．平面内两条直线有什么位置关系？ 五、学习过程：自主探究 知识探究（一）：两条直线的交点坐标 思考1:一般地，若直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，如何求其交点坐 标？看下表，并填空： 展示单元一 A1：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标. （1）12:237,:421;l x y l x y -=+= （2）122:2640,:;33 x l x y l y -+==+ 思考2:交点坐标与二元一次方程组有什关系？归纳出两直线是否相交与其方程所 组成的方程组有何关系？ (1)若二元一次方程组有唯一解，1l 与2l ＿＿＿＿＿ (2)若二元一次方程组无解，则1l 与2l ＿＿＿＿＿＿ (3)若二元一次方程组有无数解，则1l 与2l ＿＿＿＿＿＿＿ 知识探究（二）：过交点的直线系 展示单元二 思考1:经过直线1:3420l x y +-=与直线2:220l x y ++=的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？ 思考2:方程 (342)(22)0m x y n x y +-+++= （,m n 不同时为0）表示什么图形？ 思考3:上述直线1l 与直线2l 的交点M （-2，2）在这条直线上吗？当,m n 为何值时，方程 (342)(22)0m x y n x y +-+++=分别表示直线1l 和2l ？ 思考4:方程(342)(22)0m x y n x y +-+++=表示经过直线1l 和2l 的交点的直线系，一般地，经过两相交直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程可怎样表示？ B2：不论m 为何实数，直线l ：(1)(21)5m x m y m -+-=-恒过一定点，并求出此定 点的坐标。
《点到直线的距离》教学设计(优质课)
点到直线的距离 （一）教学目标 1．知识与技能 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式. 2．过程和方法 会用点到直线距离公式求解两平行线距离. 3．情感和价值 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点 教学重点：点到直线的距离公式. 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. （三）教学方法 学导式
．点到直线距离公式 推导过程 方案一： 此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种
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ABC= 2
备选例题 例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0. 由 = 解得k = 0或12 k =-. 故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点.
若l ∥AB 且1 2 AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程. （2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0 由P 点到两直线的距离相等，即 = ，所以C = –38. 所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0. （2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离 1d = 到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为 2d =所以d 1 = d 2 =12 C =. 即l 的方程为：16802 x y ++=. 例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点 A 的坐标是(1，–2).求边A B 、A C 所在直线方程. 【解析】已知BC 的斜率为23 -，因为BC ⊥AC 所以直线AC 的斜率为32 ，从而方程32(1)2 y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0 又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为|| AC = ，