(A) 4,3,2,1,0,15
)(==x x
x p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41
)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,25
1
)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）
(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D
4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。 (A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定
5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方
差，则下列结果错误．．
的是（ ）。 （A ）μ=X E ； （B ）2σ=X D ；（C ）
())1(~122
2
--n S
n χσ； （D ）
()
)(~22
1
2
n X
n
i i
χσμ∑=-。
三、（本题满分12分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选１个答案。设考生会解这道题的概率为０.８，求：（１）考生选出正确答案的概率？
（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为??
?
??>≤≤<=1
1100
)(2
x x Ax x x F ，试求常数A 及X 的概率密度函数)(x f 。
五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为x e x f -=2
1
)(，)(+∞<<-∞x ，试求数学期望)(X E 和方差)(X D 。
六、（本题满分13分）设总体X 的密度函数为???
??<≥=-0
01)(22
x x xe
x f x
σσ ，其中0>σ 试求σ的矩估计量和极大似然估计量。
七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（已知6041.4)4(995.0=t ）
八、（本题满分8分）设)X ,,X ,(X 1021 为来自总体)3.0,0(2
N 的一个样本，求?
?????>∑=101244.1i i X P 。
（987.15)10(29.0=χ） 概率试统计模拟一解答
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、0.6；
2、
2719； 3、34； 4、21
； 5、)10(2n χ；6、
)1(22
1--n t n S α 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、Ｄ； 2、Ｃ； 3、Ｂ； 4、Ｃ； 5、Ｂ
三、（本题满分12分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案 （１）由题意知：8.0)(=B P ，2.08.01)(=-=B P ，1)(=B A P ，25.04
1
)(==B A P ， 所以85.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P , （２）941.0)
()()()(≈=
A P
B A P B P A B P
四、（本题满分12分）解：A A f F =?==+21)1()01(，而0
11)1lim()1()01(+→===+x f F ，1=A
对)(x F 求导，得??
?≤≤=其它0
1
02)(x x x f 五、（本题满分10分）解：0)(=X E ；2=DX
六、（本题满分13分）矩估计：X dx e
x EX x ===-
∞
+?
σσσ
σ
,1
220
2,
极大似然估计：似然函数()n x n
i x x x e x L n
i i 2121
2
1,∑
??
? ??==-
σ
σσ,
()02,ln 12
2=∑+-=??=n i i i x n x L σ
σσσ， ∑==n i i x n 1221σ
七、（本题满分12分）解：欲检验假设 0100:,25.3:μμμμ≠==H H 因2σ未知，故采用t 检验，取检验统计量n S
X t 0
μ-=
，今5=n ，252.3=x ，013.0=S ，01.0=α，
=--)1(2/1n t α6041.4)4(995.0=t ，拒绝域为 ≥-=
n s
X t 0μ=--)1(2/1n t α6041.4，因t 的观察值
6041.4344.05
/013.025.3252.3<=-=
t ，未落入拒绝域内，故在01.0=α下接受原假设。
八、（本题满分8分）因)3.0,0(~2N X i ，故)10(~3.022
10
1χ∑=??
?
??i i X
概率统计模拟题二
本试卷中可能用到的分位数：
8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t 。
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、设事件B A ,互不相容，且,)(,)(q B P p A P ==则=)(B A P .
2、设随机变量X 的分布函数为：???
?
??
?≥<≤<≤--<=2
1
216.0113.01
)(x x x x x F
则随机变量X 的分布列为 。
3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,0(N ，则
(1)P X Y +≤= 。
4、若随机变量X 服从[1,]b -上的均匀分布，且有切比雪夫不等式2
(1),3
P X ε-<≥则
b = ,ε= 。
5、设总体X 服从正态分布)1,(μN ，),,,(21n X X X 为来自该总体的一个样本，则∑=-n
i i X 1
2)(μ服
从 分布
二、选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、设()0,P AB =则有（ ）。
(A)A B 和互不相容 (B)A B 和相互独立；(C)()0P A =或()0P B =；(D) ()()P A B P A -=。 2、设离散型随机变量X 的分布律为：()(1,2),k P X k b k λ===且0b >，则λ为（ ）。 (A)
11b +； (B) 1
1
b -； (C) 1b +； (D) 大于零的任意实数。 3、设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为6和3，则)2(Y X D -=（ ）。 (A) 9；(B) 15； (C) 21；(D) 27。
4、对于给定的正数α，10<<α，设αu ，)(2
n α
χ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α分位数，则下面结论中不正确．．．
的是（ ） （A ）αα--=1u u ； （B ）)()(2
21n n ααχχ-=-；（C ）)()(1n t n t αα--=； （D ）)
,(1),(12211n n F n n F αα=
-
5、设),,,(21n X X X (3≥n )为来自总体X 的一简单随机样本，则下列估计量中不是．．
总体期
望μ的无偏估计量有（ ）。
(A)X ； (B)n X X X +++ 21； (C))46(1.021X X +?； (D)321X X X -+。 三、（本题满分12分）
假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：
（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
四、（本题满分12分） 设随机变量X
的分布密度函数为1()1x f x ?
0, x
试求： （1）常数A ； （2）X 落在11
(,)22
-内的概率； （3）X 的分布函数)(x F 。 五、（本题满分12分）
设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 和
Y 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、（本题满分10
100元，调换一台设备厂方需花费300
七、（本题满分12分） 设),,,(21n X X X 为来自总体X 的一个样本，X 服从指数分布，其密度函数为
?
??<≥=-0,00,);(x x e x f x λλλ，其中0>λ为未知参数，试求λ的矩估计量和极大似然估计量。
八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
模拟二参考答案及评分标准 [基本要求：①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分；
②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。] 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、q p --1；2、?
??
?
??-4.03.03.0211；3、21)0(=Φ；4、2,3==εb ；5、)(2
n χ 注：第4小题每对一空给2分。
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、D ；2、A ；3、D ；4、B ；5、B 三、（本题满分12分）解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}……………………………1分
(1) 由题意，该地区遭受水灾可表示为B A ，于是所求概率为： )()()()(AB P B P A P B A P -+= ……………………………2分 )/()()()(A B P A P B P A P ?-+=……………………………2分 27.03.01.02.01.0=?-+=…………………………………2分
(2))()()/(B P AB P B A P =
…1分 )
()
/()(B P A B P A P ?=………2分 15.02
.03
.01.0=?=
………………………………………………2分 四、（本题满分12分）解：(1)由规范性 dx x f ?+∞
∞-=)(1………………1分 dx x
A ?--=1
1
2
1……1分 πA x A =-=1
1arcsin …1分
π1=∴A ………………………………………………………1分 (2)dx x X P ?--=<<-2
1212
11
1}2
121{π ……………………………………2分
1arcsin 12
121
=-
=
x
π……………………………………2分
(3)00)(1==-
-x
dx x F x ，
时 ……………………………………………1分
)2
(arcsin 1
11
1)(1112
π
π
π+
=
-=≤≤-?-x dx x x F x x
，
时………………1分
111
1
)(11
1
2
=-=>?-dx x
x F x π，
时………………………………………1分
??
???>≤≤-+-<=∴
1
111)
2(arcsin 11
0)(x x x x x F X π
π
的分布函数为………………1分 五、（本题满分12分）
解： 24
1
8161618
1=
-=?=
+a a …………………………………………………1分 43
411141=-=?=+e e ……………………………………………………1分
121
81241414181=--=?=++b b a …………………………………………2分
21
4814181=?=??=f f ……………………………………………………2分
83
812181=-=?=+c f c …………………………………………………2分
3
1
412141=?=??=g g b ……………………………………………………2分
4
1
12131=-=?=+d g d b …………………………………………………2分
六、（本题满分10分）
解：设一台机器的净赢利为Y ，X 表示一台机器的寿命，……………………1分
??
?
??
≤≤<-=->=00102003001001100X X X Y ……………………………………………………3分 {}41
14
411P -∞
-=?e dx e X x ＋＝＞……………………………………………………2分
{}41104
14
110---==≤
1
=???
? ??--=--
e e
E η………………………………………………2分 七、（本题满分12分）
解：(1)由题意可知 λ
λ1
);()(=
=?+∞
∞-dx x f X E …………………………………2分
令 11A m =，即
X =λ
1
，…………………………………………………………2分
可得X 1=
λ，故λ的矩估计量为 X
1?=λ………………………………………2分 （2） 总体X 的密度函数为???<≥=-0,
00
,);(x x e x f x λλλ……………………1分
∴ 似然函数 ??
???≥=∏=-其它
，00
,,)(211
n n
i x x x x e L i
λλλ，……………………………2分
当),2,1(0n i x i =≥时，取对数得 ∑=-=n
i i x n L 1
ln )(ln λλλ，…………………1分
令
01)(ln 1=-=∑=n i i x n d L d λλλ，得x
1
=λ………………………………………1分 ∴ λ的极大似然估计量为 X
1?=λ
………………………………………………1分 八、（本题满分12分）
解：由题意，要检验假设 18:;18:10≠=μμH H ……………………………2分 因为方差未知，所以选取统计量 n
S X T 0
μ-=
…………………………………2分 又 306.2)8(,5.12,21,9,18975.00=====t s x n μ……………………2分 得统计量T 的观测值为 55.23
5.1218
21≈-=
t ……………………………………2分 )8(975.0t t > ，即落入拒绝域内，……………………………………………2分
∴ 能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁。……………………2分
2009-2010 学年第 一 学期末考试试题3（A 卷）概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
0.975(8) 2.3060t =，2622.2)9(975.0=t ,0.975 1.96u =，0.9 1.282u =
一、填空题（本题满分15分，每空3分）
1、设1
11(),(|),(|)4
3
2
P A P B A P A B ===，则)(B P = 。
2、设随机变量X ~)1,0(N ，)(x Φ为其分布函数，则)()(x x -Φ+Φ=__________。
3、设随机变量X ~)5(E (指数分布)，其概率密度函数为50
5,()00,x x e f x x ->?=?≤?
,用切比雪夫不
等式估计{}2P X EX -≥≤ 。
4、设总体X 在(1,1)μμ-+上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。
5、设随机变量X 的概率密度函数为 1,[0,1]32
,
[3,6]()90,.
x x f x ?∈???∈=?????
若若其他 若k 使得{}2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________。 二、单项选择题（本题满分15分，每题3分）
1、A 、B 、C 三个事件不都．．发生的正确表示法是（ ）。 （A ）ABC （B ）
ABC （C ）A B C ?? （D ）A B C ??
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）。 （A ）+∞<<∞+=x x x F －,11)(21 （B ）200()0
1x F x x
x x ≤??=?>?
+?
（C ）-3()e ,-x F x x =∞<<+∞ （D ）431()arctan ,-4
2F x x x π
=+∞<<+∞
3、设1)(=X E ，()2D X =，则=+2)2(X E （ ）。 （A ）11 （B ）9 （C ）10 （D ）1
4、设0121,,,X X X 是来自总体）
，90(~N X 的一部分样本，则210
2
2
1X 3X
X +服从（ ）。
（A ）)1,0(N （B ）)3(t （C ）)9(t （D ）)9,1(F
5、设总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，)(x Φ为)1,0(N 的分布函数，现进行n 次独立实验
得到样本均值为x ，对应于置信水平1-α的μ的置信区间为x x εε-+（，），则ε由（ ）确
定。 （A
）1/2αΦ=-?? （B
）1/2αΦ=-?? （C
）1αΦ=-?? （D
）αΦ=??
三、（本题满分12分）某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年内甲向银行申请贷款的概率为0.3，乙申请贷款的概率为0.2，当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为0.1；
求：（1）在一年内甲和乙都申请贷款的概率？
（2）若在一年内乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为(1)01()0kx x x f x -<
0>k ，
试求：（1）k ；（2）?
?????<<-
2121
X P ；（3）分布函数()F x . 五、（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为
求：（1）()Y X ,的联合分布律； （2）Y X Z =
的分布律； （3）??
?
??Y
X E . 六、（本题满分12分）设()Y X ,的联合概率密度为()其他
1
0,100)1(,<<<
?
?-=y x y
x A y x f ,
（1） 求系数A ;
（2） 求X 的边缘概率密度()x f x ，Y 的边缘密度()y f y ； （3） 判断X 与Y 是否互相独立； （4） 求{}1P X Y +≤. 七、（本题满分12分）
正常人的脉搏平均72次/每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4次，样本方差为25.929。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显著差异?（0.05α=）
八、（本题满分10分）1．已知事件A 与B 相互独立，求证A B 与也相互独立.
2. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1,,n X X 是
X 的简单随机样本，已知样本方差2S 是
总体方差的无偏估计，试证：
()
22
1
S X +是λ的无偏估计. 2009-2010 学年第 一 学期期末考试试题答案及评分标准3（A 卷）概率论与数理统计 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、6
1； 2、1；3、
100
1
；4、X ；5、[]31，
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、 D ；2、B ；3、A ；4、C ；5、A 三、（本题满分12分）
解：A ={甲向银行申请贷款 } B ={乙向银行申请贷款} （1）
()()(()(1()))P A P B A P P AB A P B A ==-
3分
0.3(10.1)0.27=?-= 3分
（2）
()(|)
(|)()
P A P B A P A B P B =
3分
380
= 3分 四、（本题满分12分）解 （1） 由???+∞
∞-=-=-==1
01
026/)()1()(1k dx x x k dx x kx dx x f .
得 6k =.
3分
（2）?=-=??????<<-21
021)1(6212
1
dx x x X P
3分
（3）()?∞-=x
dt t f x F )(
2分, 当0≤x 时 =)(x F 0 1分
当10<-=-? 1分
当1≥x 时 =)(x F 1
1分
230,0()32,011,1x F x x x x x ≤??
=-<≤??>?
… 1分
五、（本题满分12分） （1）（X ，Y ）的联合分布为：
4分
（2）
X
Z =
的分布律为：
4分 （3）??
?
??Y X E =
1522 4分
六、（本题满分12分） 解：（1）由于1),(=??+∞∞-+∞
∞-dydx y x f
2分
所以：21210011[][]122A x x y -=,11122
A ?
?=, A =4 1分 （2）当10<2100
1
()4(1)4(1)[]2(1)2
x f x x ydy x y x =-=-=-?
所以：
??
?<<-=其他0
1
0)1(2)(x x x f X 2分
当10<2100
1
()4(1)4[]22
y f y x ydx y x x y =-=-=?
所以：??
?<<=其他0
1
02)(y y x f Y 2分
（3）所有的,(,)x y ∈-∞+∞，对于(),()()x y f x y f x f y =都成立 ∴X 与Y 互相独立 2分 （4） {}1
1
00
14(1)x P X Y x dx
ydy -++≤=-??
2分
22334101
2112[]2334
x x x x x x =--++-11
242
=?
= 1分 七、（本题满分12分） 解：由题意得，),(~2σμN X
H 0：720==μμ H 1：720=≠μμ 2分
)1(~/0
-μ-=
n t n
S X T 3分
0H 的拒绝域为{()}1/29W t t α-=>
3分
其中 929.5,4.67,10===S X n 代入 2622.2)9(453.210
/929.5724.67975.0=>=-=
t t
2分
所以，拒绝H 0 ，认为有显著差异。
2
分
八、（本题满分10分） 1 、
A 与
B 相互独立 ()()()P AB P A P B ∴=）
1分
从而() ()P AB P A B =1()P A B =- 1[()()()]P A P B P AB =-+-
2分
因此：A 与B 相互独立 2分
2、X 服从参数为λ的泊松分布，则λλ==)(,)(X D X E n
X D X E λ
λ=
=)(,)(
2分
λ=)(2S E ，22)(λλ+=i X E ，故()λ=??
?
???+221
S X E ，
2分
因此
()
22
1
S X +是λ的无偏估计. 1
分
期末考试试题4
试卷中可能用到的分位数：0.975(25) 2.0595t =，0.975(24) 2.0639t =，0.975 1.960u =，645.195.0=u 一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、设()0.3P A =，()0.51P A B ?=，当A 与B 相互独立时，()P B =（ ）. A. 0.21 B. 0.3 C. 0.81 D. 0.7
2、下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）.
A. 11,01,()0,x F x ≤≤?=??其它
B. 21,
0,(),01,1, 1.x F x x x x -
=≤
C. 30,0,(),01,1, 1.x F x x x x
D. 40,
0,(),01,2, 1.x F x x x x
=≤
3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =（ ）. A. 1
4 B. 12
C. 2
D. 4
4、设随机变量X 与Y 相互独立，且~(0,9)X N ，~(0,1)Y N . 令2Z X Y =-，则()D Z =（ ）. A. 5 B. 7 C. 11 D. 13
5、设12,,,n X X X 是来自正态总体2
(0,)X N σ的一个样本，则统计量
22
1
1
n
i
i X
σ
=∑服从（ ）
分布.
A. (0,1)N
B. 2(1)χ
C. 2()n χ
D. ()t n 二、填空题（每题3分，共15分）
1、若()0P A >，()0P B >，则当A 与B 互不相容时，A 与B .（填“独立”或“不独立”）
2、设随机变量2~(1,3)X N ，则{24}P X -≤≤= .（附：(1)0.8413Φ=）
3、设随机变量(,)X Y 的分布律为： 则a b += .
4、设X 的
方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计
{|()|5}P X E X -≥≤ .
5、某单位职工的医疗费服从2(,)N μσ，现抽查了25天，本均值170x =
测得样
元，样本方差2230S =，则职工每天医疗费均值μ的置信水平为0.95的置信区间 为 .（保留到小数点后一位） 三、计算题（每小题10分，共60分）
1、设某工厂有,,A B C 三个车间，生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，
35%和40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，现从该厂产品中抽取一件，求：(1) 取到次品的概率；(2) 若取到的是次品，则它是A 车间生产的概率.
2、设连续型随机变量X 的分布函数为2e ,0,
()0,0x A x F x x -?->=?≤?
.
试求：(1) A 的值；(2) {11}P X -<<；(3) 概率密度函数()f x . 3、设二维随机变量(,)X Y 的分布律为：
（1）求X 与Y 的边缘分布律； （2）求()E X ；
（3）求Z X Y =+的分布律.
4、
设相互独立随机变量X 与Y 的概率密度函数分别为：
（1）求X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y ；（2）求11
{0,1}24
P X Y <<<<.
5、设总体X 的概率密度函数为：1,01,()0
,x x f x θθ-?≤≤=??其它
其中，0>θ为未知参数. 12,,,n X X X 为来自总体X 的一个简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计.
6、已知某摩托车厂生产某种型号摩托车的寿命X （单位：万公里）服从2(10,0.1)N ，在采用新材料后，估计其寿命方差没有改变. 现从一批新摩托车中随机抽取5辆，测得其平均寿命为10.1万公里，试在检验水平0.05α=下，检验这批摩托车的平均寿命μ是否仍为10万公里？
四、证明题（10分）设12,X X 是来自总体(,1)N μ(μ未知)的一个样本，试证明下面三个估计量都是μ的无偏估计，并确定哪一个最有效
1122133X X μ∧
=+，2121344X X μ∧=+，31211
22X X μ∧=+.
X 学年第 一 学期末考试试题5 概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
3406.1)15(90.0=t ，3368.1)16(90.0=t ，7531.1)15(95.0=t ，7459.1)16(95.0=t
8413.0)1(=Φ ， 6915.0)5.0(=Φ ，5.0)0(=Φ
一、填空题 (每小题3分，本题共15分)
1、设,A B 为两个相互独立的事件, 且)()(,9
1
)(B A P B A P B A P ==，则=)(A P 。
2、设随机变量X 的分布函数为00()sin 0212
x F x x x x ππ??
?
=≤≤??
?
>??，则{||}6P X π<= 。
3、若随机变量),2(~p B X ，),3(~p B Y ，若9
5
}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P 。 4、设,,,n
X X X
?12是n 个相互独立且同分布的随机变量，()i E X μ=， ()(,,,),
i D X i n ==???812对于∑==n
i i X n X 1
1，根据切比雪夫不等式有{4}P X μ-<≥ 。
5、设（12,X X ）为来自正态总体2~(,)X N μσ的样本，若122CX X +为μ的一个无偏估计, 则
C = 。
二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1、对于任意两个事件A 和B , 有()P A B -等于（ ） （A ）()()P A P B - （B ）()()P A P AB - （C ）()()()P A P B P AB -+ （D ）()()()P A P B P AB +-
2、下列)(x F 中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）。 (A)?????≥<≤<=11108.00
5.0)(x x x e x F x (B)????
?
????
≥<≤--<=01
02sin 20)(x x x x x F ππ
(C)???????≥<≤<≤<=21212.0103.000)(x x x x x F (D)????
???≥<≤<≤<=61
654.0501.000
)(x x x x x x F
3、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,)k P X k b k λ===???，且b 0,>则λ为（ ） （A ）大于零的任意实数 （B ）1b λ=+ （C ）11b λ=
+ （D ）1
1
b λ=-
4、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则随机变量32Z X =-的数学期望为（ ）
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5、设随机变量X 与Y 相互独立，都服从正态分布)3,0(2N ，）（921,,,X X X 和),,,(921Y Y Y 是
分别来自总体X 和Y 的样本，则29
22
2
1
921Y
Y Y X X X U +++++=
服从（ ）
(A) )8(~t U (B) )9,9(~F U (C))9(~t U (D) )8(~2χU 三、（本题满分12分）某工厂有三部制螺钉的机器A 、B 、C ，它们的产品分别占全部产品的25%、35%、40%，并且它们的废品率分别是5%、4%、2%。今从全部产品中任取一个，试求：（1）抽出的是废品的概率；（2）已知抽出的是废品，问它是由A 制造的概率。 四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为||(),()x f x Ae x -=-∞<<+∞，求: （1）常数A; （2）}10{<,0
x y x y f x y --≤≤≤≤?=?
?其它，
试求：（1）,X Y 的边缘概率密度函数(),()X Y f x f y ；（2）判断,X Y 是否相互独立,是否相关。 六、（本题满分10分）设随机变量X 服从正态分布)2,3(2N ，试求: (1) }52{≤。 (3) 若X 与Y 相互独立，Y 服从正态分布(2,4)N ，求(321)D X Y -+。
七、（本题满分12分）设总体),10(~p B X , 其中10<
八、（本题满分12分） (1)从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）的均值
125.2=x ，标准差01713.02==s s 。假设钉子的长度),(~2σμN X ，求总体均值μ的置信水
平为90.0的置信区间。
(2)设),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，X 与Y 相互独立，而）（m X X X ,,,21 和),,,(21n Y Y Y 分
别是来自总体X 和Y 的样本，若),(~b a N Y X -，求b a ,。
X 学年第一学期期末考试试题5答案及评分标准 概率论与数理统计
一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、3
2
；2、12
； 3、
2719；4、1
12n
-；5、-1 二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）
2、 B ；2、A ；
3、C ；
4、D ；
5、C 三、（本题满分12分）
解：设A 1={抽出的产品由A 制造}，A 2={抽出的产品由B 制造}，
A 3={抽出的产品由C 制造}, B={抽出的产品是废品} ······ 1分
由全概率公式：)()()(3
1
i i i A B P A P B P ∑== 4分
%%%%%=?+?+?255354402％ ().=69
003452000
6分 由贝叶斯公式：)
()
()(11B P B A P B A P =
9分
)()()(11B P A B P A P ?=
%%?=255692000
().=25
036269 12分
四、（本题满分12分）解：（1） 由于||()1x f x dx Ae dx +∞
+∞
--∞-∞==?? 2分
即 021x A e dx +∞
-=? 故 1
2
A = 3分
（2）101{01}2x
P x e dx -<<=? 5分 = 110.3162
e --≈ ······· 6分
（3）||
1()2
x
x F x e dx --∞=?
当0x <时，11()22x x x
F x e dx e -∞=
=? ············ 9分 当0x ≥时，00111
()1222
x x x x F x e dx e dx e ---∞=+=-?? ······ 12分
五、（本题满分12分） 解：（1）1
03(2)01()(,)2
0X x y dy x x f x f x y dy +∞
-∞
?--=-≤≤?
==???
??其它 ··· 2分 1
03(2)01
()(,)2
0Y x y dx y y f y f x y dx +∞
-∞
?--=-≤≤?==???
??
其它 ······ 4分 （2）因为()()(,)X Y f x f y f x y ≠，所以X ，Y 不独立。 ······ 5分
1035
()()()212X E X xf x dx x x dx +∞
-∞==-=?
? ············ 7分 1035
()()()212
Y E Y yf y dy y y dy +∞-∞==-=?? ············ 9分
1
1
001
()(,)(2)6
E XY xyf x y dxdy dx xy x y dy +∞
+∞
-∞-∞==--=?
??? ····· 11分 因为215
(,)()()()()0612Cov X Y E XY E X E Y =-=-≠，所以X 与Y 相关。 12分
六、（本题满分10分）解： (1) )2,3(~2N X
∴ }52{≤（2）由}{}{c X P c X P ≤=> 有}{c X P ≤=0.5=)2
3
(
-Φc ··············· 5分 302
3
=?=-∴
c c 7分 （3）(321)D X Y -+ =94DX DY + =52 10分
七、（本题满分12分）
解：（1）??10,1010
X
EX p X p
p ==?= ··········· 5分 (2)i
i
i
n
x x
10x 10i 1
L(p)C p (1p)-==-∏ ················ 7分
ln L(p)＝1
1
1
ln ln (10)ln(1)i n n n
x n i i i i i c x p n x p ===++--∑∑∏ ······· 9分
0110)
(ln 1
1
=---
=∑∑==p
x n p
x
dp
p L d n
i i
n
i i
?11?1010
n i i X p x n ===∑ 12分 八、（本题满分12分）
解：(1)由置信区间)]1(,)1([2
12
1-+--
-
-
n t
n
S X n t
n S X αα ···· 3分
代入数值计算得]133.2,117.2[ ················ 5分 (2)21)(μμ-=-Y X E ·················· 8分 D )(Y X -)()(Y D X D +==
n
m
22
2
1σσ+
············· 11分
=∴a 21μμ-,=b n
m
2
2
2
1σσ+
. ·············· 12分
概率论与数理统计期末复习资料(学生)
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
概率论与数理统计习题集及答案
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
7月全国自考概率论与数理统计(二)试题及答案解析
1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ） A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（ ） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=（ ） A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P （X<1,Y<3）=（ ）
2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从（ ） A.N （2，4） B.N （2，n 4） C.N （n 41,21） D.N （2n,4n ） 9.设X 1,X 2,…，X n (n ≥2)为来自正态总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则有（ ） A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量，且满足E （θ)）=θ，则称θ)是θ的（ ） A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，若A 、B 互不相容，则P （AB ）=___________. 12．某厂产品的次品率为5%，而正品中有80%为一等品，如果从该厂的产品中任取一件来检验，则检验结果是一等品的概率为___________. 13．设随机变量X~B （n,p ），则P （X=0）=___________.
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计期末总结
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
全国2019年4月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题
2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 1.设()0.6P B =，()0.5P A B =，则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =,()0.8P A B =，则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他，则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2)，则下列随机变量中，服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本，若E(X)=μ(未知)，123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计，则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知，x 和2s 分别是样本均值和样本方差，对于检验假设0000=H H μμμμ≠：，：，则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。 11.设A,B,C 是随机事件，则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，X,Y 相互独立，f(x,y)是(X,Y)的概率密度，则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立，且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布，则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=，由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本，x 是样本均值，则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布，12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本，x 为样本 均值，则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本，则2221216x x x +++服从的分布是 .
《概率论与数理统计》在线作业
第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题
您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题
您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题
您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题
概率论与数理统计模拟试题
模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为
5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<概率论与数理统计习题解答
第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；
（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率
为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
概率论与数理统计期末考试卷答案
《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5
自考概率论与数理统计第八章真题
07.4 10.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N （μ，9），假设检验问题为H 0∶μ=0，H 1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}= ___________。 07.7 25．设总体X~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________. 9．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 24．设总体X~N （μ,σ2 ）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩 61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分？（附：t 0.025(24)=2.0639） 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=><概率论与数理统计习题答案
习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,
概率论与数理统计复习题--带答案
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000
(完整版)自考作业答案概率论与数理统计04183
概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的 值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 1 5 D. 1
