初二数学分式典型例题复习和考点总结

第十六章分式知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】 1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c

a a a a

±±=≠

2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da

a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠;

3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd

a d a c ac

÷=?=

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a

m

●

a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m

= a m b n , (a m

)

n

= a

mn

7.负指数幂: a

-p

=

1p

a a 0

=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a

2

- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如

A

B

(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.

【例1】下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1

,

,,21,2

2

π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件：

1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）31+-x x （2）42||2--x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正； （2）当x 为何值时，分式

2

)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2

+-x x 为非负数. 练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32++-x x

（3）

x

111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|1|5+--x x

（2）

5

6252

2+--x x x

3．解下列不等式 （1）

01

2

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：分式化简（约分）

（1）

4

3

22016xy y x -；

（2）444

22+--x x x ; （3）在分式x y z xyz

-+中，x,y,z 分别扩大到

原来的两倍，则分式大小怎么变化？

题型二：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型三：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y x y

x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

题型四：化简求值题

【例3】已知：

511=+y x ，求

y

xy x y

xy x +++-2232的值. 【例4】已知：21=-

x x ，求2

21

x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值.

练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1

242

++x x x 的值.

3．已知：

311=-b a ，求a

ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值.

5．如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---. （三）分式的乘除法

题型一：分式的乘法：

① 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，

应该通过约分进行化简

b d

a c

?=（ ） ② 整式和分式相乘，直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子，分母不变。即c

a b

?

=（ ） 【例1】 计算下列各分式：

(1)4411242222++-?+--a a a a a a ；（2）b a ab ab b a 234222-?

-；

（3）3222)

(35)(42x y x x y x --?- 题型二：分数除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.