有限差分法的基本知识

有限差分法及其应用

有限差分法及其应用 1有限差分法简介 有限差分法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方程将解域划分为差分网格，用有限个网络节点代替连续的求解域。有限差分法通过泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值得差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 2有限差分法的数学基础 有限差分法的数学基础是用差分代替微分，用差商代替微商而用差商代替微商的意义是用函数在某区域内的平均变化率来代替函数的真是变化率。而根据泰勒级数展开可以看出，用差商代替微商必然会带来阶段误差，相应的用差分方程代替微分方程也会带来误差，因此，在应用有限差分法进行计算的时候，必须注意差分方程的形式，建立方法及由此产生的误差。 3有限差分解题基本步骤 有限差分法的主要解题步骤如下： 1）建立微分方程 根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式，写出初始条件和边界条件。 2）构建差分格式 首先对求解域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局，差分形式和步长；然后以有限差分代替无线微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。 3）求解差分方程 差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程，其求解方法主要包括两种:精确法和近似法。其中精确法又称直接发，主要包括矩阵法，高斯消元法及主元素消元法等；近似法又称间接法，以迭代法为主，主要包括直接迭代法，间接迭代法以及超松弛迭代法。4）精度分析和检验 对所得到的数值进行精度与收敛性分析和检验。 4商用有限差分软件简介 商用有限差分软件主要包括FLAC、UDEC/3DEC和PFC程序，其中，FLAC是一个基于显式有限差分法的连续介质程序，主要用来进行土质、岩石和其他材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析；UDEC/3DEC是针对岩体不连续问题开发，用于模拟非连续介质在静，动态载荷作用下的反应；PFC是利用显式差分算法和离散元理论开发的微、细观力学程序，它是从介质的基本粒子结构的角度考虑介质的基本力学特性，并认为给定介质在不同应力条件下的基本特征主要取决于粒子之间接粗状态的变化，适用于研究粒状集合体的破裂和破裂发展问题，以及颗粒的流动(大位移）问题。

笔记：线性常差分方程基本知识

本材料是关于线性常差分方程基本知识的笔记，参考了两个文献： 1、《差分方程》【日】福田武雄著穆鸿基译上海科学技术出版社1962年9月第一版 2、《常差分方程》王联、王慕秋著新疆大学出版社1991年2月第一版

目录 第一节差分 第二节和分 第三节对步长及定义域的约定 第四节阶乘多项式与差分 第五节Bernoulli多项式与差分 第六节几个公式,例题 第七节n阶线性常差分方程的解的结构 第八节 Lagrange变易常数法 第九节解n阶常系数齐次线性方程的特征根方法 第十节常系数对称型线性方程的解 第十一节几种特殊常系数非齐次线性方程的解法

第一节 差分 定义1.1：设函数()x f 的定义域是D ，R D ?，R x ∈?，0≠?x ，D x ∈?有D x x ∈?+，定义算子?为 ()()()x f x x f x f -?+=? 称x ?是x 的变化步长，()x f ?是()x f 在x 处的步长为x ?的一阶差分、阶差、有限差；D x ∈，函数()x f ?称为D 上的差分函数，简称差分；算子?是步长为x ?的差分算子。定义为 ()()x x f x f ?+=E 称()x f E 是()x f 在x 处的步长为x ?的一阶位移；称函数()x f E 是D 上的位移函数，简称位移；算子E 是步长为x ?的位移算子。定义算子I 为 ()()x f x f =I 称算子I 为恒等算子。称函数 ()x x f ??是D 上的差商函数，简称差商。 约定算子?与算子E 的步长相等。 注1.1： 大写希腊字母?、E 、I 的小写形式是δ、ε、ι，其英文单词形式是delta /`delt ?/ 、epsilon /ep`sail ?n/ 、 iota /ai`?ut ?/ 。 若D x ∈?，有D x x ∈?+，则N n ∈?，有D x n x ∈?+。 定理1.1：算子?、E 、I 有以下关系： ①()()()()()x f x f x f x f I -E =I -E =?，即I -E =?。 ②()()()()()x f x f x f x f I +?=I +?=E ，即I +?=E 。 ③()()()()x f x f E ?=?E ，即?E =E?。 定理1.2：算子?、E 是线性算子。对R b a ∈,，函数()x f 与()x g ，有以下等式 ()()()()()x g b x f a x bg x af ?+?=+? ()()()()()x g b x f a x bg x af E +E =+E 定义1.2：设N n ∈，作递推定义 ()()()x f x f x f =I =?0，()()() x f x f n n ??=?+1

有限差分法

利用有限差分法分析电磁场边界问题 在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。 为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。 对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。 有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 差分运算的基本概念： 有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程[5]。 对单元函数 ()x f而言，取变量x的一个增量x?=h，则函数()x f的增量可以表示为 ()x f? = ()h x f+-()x f 称为函数()x f 的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为 ()x f? = ? ? ? ? ? + 2 h x f - ? ? ? ? ? - 2 h x f

第二章计算流体力学的基本知识

第二章计算流体力学的基本知识 流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展 流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20 世纪30～40 年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943 年一直算到1947 年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学" 。 从20 世纪60 年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力

有限差分法

班级：通信13-4 姓名： 学号： 指导教师：徐维 成绩： 电子与信息工程学院 信息与通信工程系

求解金属槽的电位分布 1.实验原理 利用有限差分法和matlab软件解决电位在金属槽中的分布。 有限差分法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解.然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题。 2.有限差分法 方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。 定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。 有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。 2.1有限差分法原理

微分方程与差分方程详细讲解与例题

第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

有限差分法

有限差分法 有限差分法（Finite Differential Method, FDM ） 什么是有限差分法 有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。 按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。 有限差分法的基本步骤 （1）剖分渗流区，确定离散点。将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。 （2）建立水动力弥散问题的差分方程组。 （3）求解差分方程组。采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。 (1) 现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S max )为可达到的足够高的股票价格） 进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j ）对应时刻 和股票价格 ，用变量f i ,j 表示（i,j ）点的期权价格。 2.建立差分格式 （1）内含的有限差分方法 其步骤可分为以下几步：

(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3) 将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即 (4) (2)求用前向差分近似： (5) (3)求 (6) (4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式： + b j f i,j?c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7) a j f i,j? 1 其中： i=0,1,…，N-1。j=0,1…，M-1 针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件： 看跌期权： 看涨期权： (5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组： + b j f N? 1,j + c j f N? 1,j + 1j=1,2…，M-1 a j f N? 1,j? 1

分歧理论及其应用

现代电路理论 -------分歧理论及其应用

分歧理论及其应用 引言：近二、三十年来，分歧现象（bifurcation phenomena）及理论（bifurcation theory）在数学及自然科学上受到格外的重视及研究。随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现于自然科学、工程技术乃至社会科学的许多领域，成为当前科学研究的热点。分歧现象是普遍存在的，是非线性系统的重要特点之一，它普遍地存在于数学、物理学、化学、经济学、社会学、生态学等各个领域，像数学中的解不唯一、物理学中的相变、工程中的静力与动力失稳、经济学中的马太效应、电子学中的周期振荡等等，都可以从分歧的角度去研究[1]。 1.分歧理论概述 分歧理论是近半个世纪以来逐步形成的有重要应用价值的数学分支，它反映的是流的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变异，不论在数学理论上还是在现实应用中都具有极为重要的意义。近半个世纪以来，分歧理论的研究一直受到人们的广泛关注，也得到了很大的发展。国际电力界从20世纪80年代开始研究和应用分歧理论，在电压稳定、轴系扭振以及低频振荡的研究中均取得了新的突破。在上个世纪七十年代初，Crandall和Rabinowitz的两个基本分歧定理是由隐函数定理证明的，至今在数学，生物，工程上广为应用[2]。 分歧的含义是：对于含参数的系统，当参数发生变动并经过某些临界值时，系统的定性性态（即其拓扑结构，例如平衡状态、解的数目、周期运动的数目以及稳定性等）发生突然变化的现象。从数学角度而言，分歧理论主要是研究非线性代数方程（微分方程、积分方程、差分方程等）中参数对解的定性性质的影响，其中参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究重点。 2. 分歧的定义 首先我们来看看一个经常可见到的现象。拿一根细长的金属棒。在棒的两头向内稍稍用力，此时棒不会弯曲。当力量够大时，则棒会弯起来。再继续加大压力，棒可能会弯了两弯。其变化如下图：

差分方程及其应用

差分方程及其应用 在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。 §1 基本概念 线性差分方程解的基本定理 一、 基本概念 1、函数的差分 对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。 设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。显然，t y 的取值是一个序列。当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数 )(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ?，即 )()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+?。 由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。 例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是 )()()()1(t Q t P t R t R -+=+， 若将上式写作 )()()()1(t Q t P t R t R -=-+， 则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记 ))()1()(t R t R t R -+=?， 并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。 按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数)(t f y t =在t 的一阶差

差分方程的基本知识(3)

差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。

有限差分法

有限差分法 有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散 点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函 数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差 分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便 可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原 微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和 计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分 格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格 式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过 程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致 差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以 控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能 任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是 数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的 微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用 待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法 将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从 而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分 的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目 前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分 方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

差分方程在经济学中的应用应用数学

本科毕业论文(设计) 论文题目：差分方程在经济学中的应用 学生姓名：雷晶 学号： 1004970226 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导老师：舒蕊艳 完成日期：2014年5月20日

差分方程在经济学中的应用 内容摘要 本文叙述了研究差分方程的意义和背景、差分方程的定义、常见的解法以及差分方程相关模型,重点介绍差分方程经济学中的应用模型—筹措教育经费模型,包括问题的提出、模型举例和分析、提出假设、模型建立、模型求解、结果分析等等步骤对模型进行了更深层次的分析,做了进一步的推广. 本文所介绍的筹措教育经费模型主要研究的是子女的教育费用,假定某家庭从孩子m岁起,每月拿出一部分钱存进银行,用于投资子女的大学教育,并计划n年后支出一些,直到孩子大学毕业,全部用完账户中的资金. 差分方程的理论研究近十年来发展十分迅速,尤其是在经济领域,帮助人们解决了很多实际问题,筹措教育经费模型的建立为广大中国家庭子女教育的费用问题提供了明确的解决方法,是差分方程理论最贴近实际的模型之一. 关键词：差分方程存款模型经济增长模型筹措教育经费模型

, . . , , , , . a . ’s . , ’s ’s m n , . , . a . a ’s . 目录 一、绪论 (1) （一）研究差分方程在经济学中的应用的目的意义 (1) （二）研究背景 (2) 二、研究的理论基础 (2) （一）差分 (2) （二）差分方程 (3) （三）差分方程的解 (4) （四）特征根法 (4)

三、差分方程的经济应用模型简介 (5) （一）贷款模型 (5) （二）存款模型 (6) （三）乘数-加速数模型 (7) （四）哈罗德-多马经济增长模型 (10) （五）投入产出模型 (11) （六）筹措教育经费模型 (12) 四、总结 (14) 参考文献 (16)

金融工程期末复习题知识讲解

金融工程期末复习题

一、简述题（30分） 1.金融工程包括哪些主要内容？ 答：产品与解决方案设计，准确定价与风险管理是金融工程的主要内容 P3 2.金融工程的工具都有哪些？ 答：基础证券（主要包括股票和债券）和金融衍生产品（远期，期货，互换和期权）P4 3.无套利定价方法有哪些主要特征？ 答：a.套利活动在无风险的状态下进行 b.无套利的关键技术是“复制”技术 c.无风险的套利活动从初始现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要 任何资金的投入，在投资期间也不需要任何的维持成本。P16 4.衍生证券定价的基本假设为何？ 答：（1）市场不存在摩擦 （2）市场参与者不承担对手风险 （3）市场是完全竞争的 （4）市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好 （5）市场不存在无风险套利机会 P20 5.请解释远期与期货的基本区别。 答：a.交易场所不同 b.标准化程度不同 c.违约风险不同 d.合约双方关系不同 e.价格确定方式不同 f.结算方式不同 g.结清方式不同 P44 6.金融互换的主要有哪些种类？ 答：利率互换与货币互换和其它互换（交叉货币利率互换、基点互换、零息互换、后期确定互换、差额互换、远期互换、股票互换等等）P104 7.二叉树定价方法的基本原理是什么？ 答：二叉树图方法用离散的模型模拟资产价格的连续运动，利用均值和方差匹配来确定相关参数，然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。P214 8.简要说明股票期权与权证的差别。 答：股本权证与备兑权证的差别主要在于： （1）有无发行环节； （2）有无数量限制； （3）是否影响总股本。 股票期权与股本权证的区别主要在于： （1）有无发行环节 （2）有无数量限制。P162 9.影响期权价格的因素主要有哪些？它们对欧式看涨期权有何影响？ 答： 1)标的资产的市场价格（+） 2)期权的协议价格（—） 3)期权的有效期（？） 4)标的资产价格的波动率（+） 5)无风险利率（+） 6)标的资产收益（—）

有限差分法

有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛

FLAC3D基础知识介绍解析

FLAC 3D基础知识介绍 一、概述 FLAC（Fast Lagrangian Analysis of Continua）由美国Itasca公司开发的。目前，FLAC有二维和三维计算程序两个版本，二维计算程序V3.0以前的为DOS版本，V2.5版本仅仅能够使用计算机的基本内存64K），所以，程序求解的最大结点数仅限于2000个以内。1995年，FLAC2D已升级为V3.3的版本，其程序能够使用护展内存。因此，大大发护展了计算规模。FLAC3D是一个三维有限差分程序，目前已发展到V3.0版本。 FLAC3D的输入和一般的数值分析程序不同，它可以用交互的方式，从键盘输入各种命令，也可以写成命令（集）文件，类似于批处理，由文件来驱动。因此，采用FLAC程序进行计算，必须了解各种命令关键词的功能，然后，按照计算顺序，将命令按先后，依次排列，形成可以完成一定计算任务的命令文件。 FLAC3D是二维的有限差分程序FLAC2D的护展，能够进行土质、岩石和其它材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析。调整三维网格中的多面体单元来拟合实际的结构。单元材料可采用线性或非线性本构模型，在外力作用下，当材料发生屈服流动后，网格能够相应发生变形和移动（大变形模式）。FLAC3D采用的显式拉格朗日算法和混合-离散分区技术，能够非常准确的模拟材料的塑性破坏和流动。由于无须形成刚度矩阵，因此，基于较小内存空间就能够求解大范围

的三维问题。 三维快速拉格朗日法是一种基于三维显式有限差分法的数值分析方法，它可以模拟岩土或其他材料的三维力学行为。三维快速拉格朗日分析将计算区域划分为若干四面体单元，每个单元在给定的边界条件下遵循指定的线性或非线性本构关系，如果单元应力使得材料屈服或产生塑性流动，则单元网格可以随着材料的变形而变形，这就是所谓的拉格朗日算法，这种算法非常适合于模拟大变形问题。三维快速拉格朗日分析采用了显式有限差分格式来求解场的控制微分方程，并应用了混合单元离散模型，可以准确地模拟材料的屈服、塑性流动、软化直至大变形，尤其在材料的弹塑性分析、大变形分析以及模拟施工过程等领域有其独到的优点。 FLAC-3D(Three Dimensional Fast Lagrangian Analysis of Continua)是美国Itasca Consulting Goup lnc开发的三维快速拉格朗日分析程序，该程序能较好地模拟地质材料在达到强度极限或屈服极限时发生的破坏或塑性流动的力学行为，特别适用于分析渐进破坏和失稳以及模拟大变形。它包含10种弹塑性材料本构模型，有静力、动力、蠕变、渗流、温度五种计算模式，各种模式间可以互相藕合，可以模拟多种结构形式，如岩体、土体或其他材料实体，梁、锚元、桩、壳以及人工结构如支护、衬砌、锚索、岩栓、土工织物、摩擦桩、板桩、界面单元等，可以模拟复杂的岩土工程或力学问题。 FLAC3D采用ANSI C++语言编写的。 二、FLAC3D的优点与不足

常微分方程与差分方程知识点

常微分方程与差分方程知识点 考试纲要 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 考试要求 1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 3、会解二阶常系数齐次线性微分方程 4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 7、会用微分方程求解简单的经济应用问题 重要知识点 1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2、变量可分离微分方程解法 g(y)dy f (x)dxg(y)dy f(x)dx G(y) F(x) C 3、齐次微分方程解法 dy(y)T殳u y- dU dx T再用y代替u dx x x (u) u x x 附：可化为齐次的方程 c C| 0,可化为齐次微分方程 a b . . a1 bi dy ax by c dx ax by c c或c o a b a b x X h 0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程y Y k 设印b,dy ax by c ,令ax a b dx (ax by) c 则可化为史的变量可分离微分方程 dx by v, 0,

7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 齐次方程y t 1 ay t 0的通解为y t C a ，其中C 是一个任意常数。 若给定初始条件y 0 C o ，则y 0 C 0 a t 即为满足该初始条件的特解。 对于非齐次方程 y t 1 ay t f (t)，其通解也是非齐次方程的一个特解 y t*与对应齐次方程通解之和。即: ? t y t y t C a 。

差分方程模型在交通流计算中的应用研究_周林华

收稿日期：2013-11-05 基金项目：国家自然科学基金（51278221，51378076） 作者简介：周林华（1981-），男，博士，E-mail ：zhoulh@https://www.sodocs.net/doc/3f308499.html, 长春理工大学学报（自然科学版） Journal of Changchun University of Science and Technology （Natural Science Edition ） Vol.37No.2Apr.2014 第37卷第2期2014年4月 差分方程模型在交通流计算中的应用研究 周林华，胡宏华，梁辰，刘琪，李军，李延忠 （长春理工大学 理学院，长春130022） 摘 要：针对交通流计算中车道被占对道路通行能力的影响以及所导致的车辆排队长度等问题，本文给出了一种能快速计 算车辆排队长度的数学模型，且以此可以分析不同车道被占对道路实际通行能力的影响。首先明确道路实际通行能力的定义，并将车道被占后的时间离散化，然后根据车辆流动数量关系建立车辆排队长度的差分方程计算模型。通过实际视频资料的验证，利用差分方程模型计算的结果能很好地与实际情况相吻合。该研究结果能用于车道被占后，为上游路口车辆放行数量与放行方向等交通信号控制提供预判依据。关键词：交通流；差分方程；道路通行能力中图分类号： U491.1+12 文献标识码：A 文章编号：1672-9870（2014）02-0117-07 Research on Difference Equation Model in Traffic Flow Calculation ZHOU Linhua ，HU Honghua ，LIANG Chen ，LIU Qi ，LI Jun ，LI Yanzhong （School of Science ，Changchun University of Science and Technology ，Changchun 130022） Abstract ：In order to analyze the influence of an accident on the road capacity and calculate the vehicle queue length ，a mathematic model was provided ，which could quickly obtain the vehicle queue length.Firstly ，the definition of the actual road capacity is made sure ，and after the lane being occupied the time discretization is got ，then a difference equation model was proposed based on the quantitative relation of the vehicle.The feasibility of the difference equation model is verified by actual video data.The results could be used to provide basis of predictions of the vehicles release quantity and orientation in the upstream intersection when the lanes are occupied.Key words ：traffic flow ；difference equation ；road capacity 由于城市化进程的加快，交通问题日趋严重，因 此对于交通流问题的正确了解与分析成为解决交通问题的关键。交通流问题理论是分析研究道路上行人和机动车辆（主要为汽车）在个别或成列行动中的规律，探讨车流流量、流速和密度之间的关系，以求减少交通时间的延误，事故的发生和提高道路交通设施使用效率的理论。目前对此研究的方法主要有概率论方法，流体力学方法和动力学方法等，其中动力学方法［1］，即跟车理论，就是在交通流中追随前车的后车，假设其向前移动有某种规律性，据此可求得各车辆动力学状态的微分方程式。后两种方法使用较多，主要应用于道路服务水平与通行能力的评价，交通量与交通事故预测，交通信号控制和估算、消除 汽车排队长度等方面。 对道路实际通行能力给出了定义，然后利用差 分方程［2， 3］ 建立了车辆排队长度的计算模型，进而可以讨论交通流问题中车道被占用对车辆排队长度的影响，为上游车辆放行数量与方向等交通信号控制提供预判依据；利用两个具体的视频材料对模型进行了验证分析，结果表明差分方程模型能很好的与实际情况吻合。 1 道路实际交通能力及车辆排队长度计算的数学建模 1.1道路实际通行能力 为了研究车道被占对道路实际通行能力的影

《工程电磁场》复习题知识讲解

《工程电磁场》复习 题

《工程电磁场》复习题 一．问答题 1．什么是静电场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。 由静止电荷在其周围产生的电场。F=q1*q2/4pi*R*R*e0 静电场不随时间变化2. 什么是恒定电场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。 恒定电流产生的电场。 3. 什么是恒定磁场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。 磁场强度和方向保持不变的磁场。 4. 如果区域中某点的电场强度为零，能否说明该点的电位也为零？为什么？ 电场强度E是一个随空间点位置不同而变化的矢量函数，仅与该点的电场有关。a,b为两个电荷相等的正反电荷，在其中心点处电位为零，但场强不为零。 5. 如果区域中某点的电位为零，能否说明该点的电场强度也为零？举例说明？不能。a,b为两个相等正电荷，在其中心点处电场强度为零，但电位不为零。6．静电场的电力线会闭合的吗？恒定电场的电力线会闭合的吗？为什么？ 静电场的电力线不会闭合，起于正电荷止于负电荷。在变化的磁场产生的有旋电场中，电力线环形闭合，围绕着变化磁场。 7. 写出两种不同媒质分界面上恒定电场与恒定磁场的边界衔接条件。 恒定电场的边界衔接条件J*dS=0 E*dl=0 恒定磁场的边界衔接条件B*dS=0 H*dl=I 8. 什么是矢量磁位A? 什么是磁感应强度B? B=0 B=*A(*A)=0, 矢量磁位A是一个辅助性矢量。磁感应强度B是描述磁场强弱和方向的基本物理量

9. 什么是磁导率? 什么是介电常数? 表示磁介质磁性的物理量。介质在外加电场时会产生感应电荷而削弱电场，原外加电场（真空中）与最终介质中电场比值即为介电常数。 10. 导电媒质中恒定电场与静电场之间具有什么相似关系？ 二．填空题 1.静止电荷产生的电场，称之为_静电场__________场。它的特点是有散无 旋场，不随时间变化。 2.高斯定律说明静电场是一个有散场。 3.安培环路定律说明磁场是一个有旋场。 4.电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的正电荷的运动方向相 同。 5.在两种不同导电媒质的分界面上，磁感应强度的法向分量越过分界面时 连续，电场强度的切向分量连续。 6.磁通连续性原理说明磁场是一个无散场。 7.安培环路定律则说明磁场是一个有旋场。 6. 矢量磁位A的旋度为，它的散度等于。 7. 矢量磁位A满足的方程是。 8．恒定电场是一种无散和无旋的场。 9．在恒定电流的周围，同时存在着恒定电场和恒定磁场。 10．两个点电荷之间的作用力大小与两点电荷电量之积成正比关系。 三. 判断题 1. 静电场是一种有（散度）源和无（旋度）源的场（对）