提取公因式法

提取公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。

注意：把

变成

不叫提公因式

公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

平方差公式：

反过来为

完全平方公式：

反过来为

反过来为

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

两根式：

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3

公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2

1．分解因式技巧掌握：

①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

2．提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式

（2）提公因式并确定另一个因式

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同

解方程法

通过解方程来进行因式分解，如：

X2+2X+1=0 ,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）

(完整版)提公因式法因式分解练习题

因式分解---------提公因式法 下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是。 （1）)2(3362 2 3 b a a b a a -=- （2）)1(2 3 2 x x x x --=+- （3）))((2 2 b ab a b a ++-33b a -= （4）)3)(2(--x x 652+-=x x （5）㎡=m ×m （6）㎡+m=m 3（ ） 二、用提公因式法因式分解(一) （1）332168b a ab - （2）22mn n m +- （3）2 515x xy -- （4）3224 1ab b a - （5）ab b a b a -+2233 （6） 3 22316128ay y a y a -+- （7）am m a m a 126323+--（8）xy y x y x ++-2 2 3 2 用提公因式法因式分解(二) （1）2 )()(b a b a +-+ （2）)()(x y y y x x -+- （3）)(2)(62 n m n m +-+（4）)(2)(32 y x x y -+- （5）)()(3y x x y x ----（6）2 2 )()(m n n n m m --- （7）)(4)(6p q q q p p +-+ （8）)(4)(122 x y ab y x b a --- （9）))(())((y x b a y x b a -+-++ 用提公因式法因式分解(三) （1）)(2)(72a b y b a x --- （2） )3()3(52 2x a x --- （3） 23)()(2b a b a +-+ （4）2 22)3()3(a b x b a x --- 5）)(3)(2p q b q p a ---（6）2 2 3 )1(8)1(6x p x p --- （7）2 )1()1(---a a a （8）2 2 )()()(b a b a b a --+- （9）)1()1(2)1(3x c x b x a -+---- （10）)32()23()1(2x x x -+-- 用提公因式法因式分解(四) （1）2 )())((y x x y x y x x +--+

因式分解提公因式法含答案

【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式

4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）

因式分解-提取公因式练习题

因式分解练习题 (提取公因式) 知识点一 因式分解的定义理解 把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。因式分解的实质是（ ）与（ ）是“积化和差”的过程正好（ ）。 【例题 】 1．下列变形是分解因式的是( ) A ．6x 2y 2=3xy ·2xy B ．a 2－4ab+4b 2=(a －2b)2 C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D ．x 2－9－6x=(x+3)(x －3)－6x 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、2222)1(xy y x x xy -=- B 、)3)(3(92-+=-x x x C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- D 、c b a x c bx ax ++=++)( 3、下列分解因式结果正确的是( ) A. a 2b +7ab －b =b (a 2+7a ) B. 3x 2y －3xy +6y =3y (x 2－x +2) C. 8xyz －6x 2y 2=2xyz (4－3xy ) D. －2a 2+4ab －6ac =－2a (a －2b －3c ) 知识点二：确定多项式的公因式的方法 1、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、找公因式的方法 【例题】 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2 410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 知识点三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-

北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》 教案设计

课题 4.2 提公因式法 【教材分析】 本节课内容选自北京师范大学出版社出版的八年级数学下册第四章因式分解第二课时的提公因式法。内容包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的最基本方法——提公因式法。本节学习的因式分解知识是多项式因式分解中一部分最基本的知识和最基础的方法，受认知水平和思维水平的限制，仍会有较多的学生不适应，掌握不好，教材充分考虑了这一点，内容梯度小，知识点少且浅，利于学生的学习。 【学情分析】 八年级（1）班是重点班，基础知识扎实对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知，并且八年级的学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。 【所属章节】 北京师范大学出版社八年级数学下册第四章因式分解第二课时提公因式法。 【教学三维目标】 A：知识目标： 1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。 2、了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解。 B：能力目标： 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。 C：情感目标： 培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。 【教学重点、难点分析】 1、教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律的逆运算把把多项式进行因式分解。

2、教学难点：让学生识别多项式的公因式。【课时安排】 2节第1课时 【教学过程】

提取公因式法、分组分解法

二、因式分解 提取公因式法、分组分解法 练习要求 了解因式分解的概念；掌握提取公因式法与分组分解法。 A卷 一、填空题 1.把一个多项式化成的形式，叫做因式分解。 2.把下列各式分解因式 (1)3x-27y2= ；(2)6x2-7xy2= ； (3)2x2y-4xy3= ；(4)-5x2+10xy3= 。 3.(1)多项式2x2y-4x3y2+6x4y2各项的公因式是； (2)多项式-5ax5y6+15a2x4y7-35a3x2y4各项的公因式是。 4.把下列各式分解因式 (1)3(a+b)-4a(a+b)= ； (2)5(a-b)3-15(a-b)2= ； (3)4(a+2b)2(a-3b)-4(a+2b)3= ； (4)6(x-3y)4-12(3y-x)3= 。 5.把下列各式用分组分解法分解因式 (1)3x+3y-ax-ay= ； (2)ab-a-5b+5= 。 二、选择题 6.下列各式形是因式分解的是( ) (A)(x-7)(x+7)=x2-49；(B)x2+5x-6=x(x+5)-6； (C)5(x-2)(x-3)=5(x-3)(x-2)；(D)3x2-9xy+6x=3x(x-3y+2)。 7.多项式18a2b3-9ab2+27a2b2的公因式是( ) (A)ab2；(B)9ab2；(C)9ab；(D)3ab。 8.下列各多项式中有公因式an的是( ) (A)a n+2-5a2n；(B)a3n+a3； (C)a n+2-6a2；(D)an-1-a3n。 9.下列各多项式中不能用提取公因式法因式分解的是( ) (A)5x2y3-20xy3；(B)-3ab+16b3c； (C)x2-3x-1；(D)(a-b)(a+b)2-(b-a)2。 10.5x-7y-5ax+7ay因式分解时，下列分组方法错误的是( ) (A)(5x-7y)-(5ax-7ay)；(B)(5x-5ax)-(7y-7ay)； (C)(5x+7ay)-(5ax+7y)；(D)(5x-5ax)+(7ay-7y)。 三、简答题 11.将下列各式分解因式 (1)9x2y+15xy2-6xy； (2)-18x4y5+27x3y6-36x5y4； (3)x(a-x)(y+a)-2y(x-a)(a+y)； (4)(x-5)(3x-2)+10(5-x)； (5)x4-x2yz+x3y-x3z； (6)ax n-yx n+4x n+1y-4x n+1a。 12.简便计算

初中数学提取公因式法分解因式

初中数学提取公因式法分解因式2019年4月9日 （考试总分：120 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计 10 小题，共计 40 分） 1、（4分）在多项式33128ab c a b --中应提取的公因式是（ ）． A ．24ab B ．4abc - C ．24ab - D ．4ab - 2、（4分）把322223638x y x y x y --+因式分解时，应提的公因式是（ ）． A ． 223x y - B ． 222x y - C ． 226x y D ． 22x y - 3、（4分）观察下列各组整式，其中没有公因式的是( ) A ． 2a+b 和a+b B ． 5m(a-b) 和-a+b C ． 3(a+b) 和-a-b D ． 2x+2y 和2 4、（4分）把多项式（m+1）（m ﹣1）+（m ﹣1）提取公因式（m ﹣1）后，余下的部分是 （ ） A ． m+1 B ． 2m C ． 2 D ． m+2 5、（4分）m 2（a ﹣2）+m （2﹣a ）分解因式的结果是（ ） A ．（a ﹣2）（m 2﹣m ） B ．m （a ﹣2）（m+1） C ．m （a ﹣2）（m ﹣1） D ．以上都不对 6、（4分）－28a 2b ＋21ab 2－7ab 等于( ) A ．7ab(4a －3b ＋1) B ．7ab(－4a －3b －1) C ．－7ab(4a －3b ＋1) D ．－7ab(4a －3b) 7、（4分）在多项式33128ab c a b --中应提取的公因式是（ ）． A ． 24ab B ． 4abc - C ． 24ab - D ． 4ab - 8、（4分）已知xy ＝﹣3，x+y ＝2，则代数式x 2y+xy 2的值是（ ） A ．﹣6 B ．6 C ．﹣5 D ．﹣1 9、（4分）将下列多项式因式分解后，结果不含因式x-1的是（ ） A ． B ． C ． D ．

(完整版)因式分解练习题(提取公因式)

因式分解练习题(提取公因式) 知识点一 因式分解的定义理解 把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 【例题 】 1．下列变形是分解因式的是( ) A ．6x 2y 2=3xy ·2xy B ．a 2－4ab+4b 2=(a －2b)2 C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D ．x 2－9－6x=(x+3)(x －3)－6x 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、2222)1(xy y x x xy -=- B 、)3)(3(92-+=-x x x C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- D 、c b a x c bx ax ++=++)( 3、下列分解因式结果正确的是( ) A. a 2b +7ab －b =b (a 2+7a ) B. 3x 2y －3xy +6y =3y (x 2－x +2) C. 8xyz －6x 2y 2=2xyz (4－3xy ) D. －2a 2+4ab －6ac =－2a (a －2b －3c ) 知识点二：确定多项式的公因式的方法 1、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、找公因式的方法 【例题】 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2 410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 知识点三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 【专项训练】 一、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+

提公因式法分解因式专项练习题

提公因式法分解因式专项练习题 提公因式法（1） （一）课堂练习 一、填空题 1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项 式______________。 2.把下列各多项式的公因式填写在横线上。 (1)x 2-5xy _________ (2)-3m 2+12mn _________ (3)12b 3-8b 2+4b _________ (4)-4a 3b 2-12ab 3 __________ (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy _________ 3.在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( ) (2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)21a 2 -a=21 a( ) 二、选择题 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） (A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2+3x-4=x(x+3)-4 (C)x 2-25=(x+5)(x-5) (D)(x+1)(x+2)=x 2+3x+2 2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（） (A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2y+xy 2+xy=xy(x+y) (C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2 (D)3x 3+27x=3x(x 2+9) 3.下列各式因式分解错误的是（） (A)8xyz-6x 2y 2=2xy(4z-3xy) (B)3x 2-6xy+x=3x(x-2y) (C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2(4a-b) (D)-a 2 +ab-ac=-a(a-b+c) 4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是（） (A)3ab (B)3a 2b 2 (C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 2 5.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是（） (A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4 (C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3 (D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 3 6.把多项式-axy-ax 2y 2+2axz 提公因式后，另一个因式是（） (A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z 7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于（ ） (A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 2 8. 下列各式从左到右的变形：①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③x+2=x 1(x 2+2x) ④

提公因式法分解因式的教学设计

提公因式法分解因式的教学设计 教学目标 （一）知识认知要求 进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法. （二）能力训练要求 进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. （三）情感与价值观要求 通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 教学重点 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式. 教学难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式. 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜. 二、新课讲解 ［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来. 解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b） 从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ ［例3］把下列各式分解因式:

（1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）3－12（n－m）2. 分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x －y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此. 解：（1）a（x－y）+b（y－x） =a（x－y）－b（x－y） =（x－y）（a－b） （2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）. 二、做一做 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2－a=__________（a－2）; （2）y－x=__________（x－y）; （3）b+a=__________（a+b）; （4）（b－a）2=__________（a－b）2; （5）－m－n=__________－（m+n）; （6）－s2+t2=__________（s2－t2）. 解：（1）2－a=－（a－2）; （2）y－x=－（x－y）; （3）b+a=+（a+b）; （4）（b－a）2=+（a－b）2;

《因式分解-提公因式法》知识点归纳

《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★ 知识体系梳理 ◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积） 注意： 、因式分解对象是多项式； 2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止； 3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性； ◆ 分解因式的作用 分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。 ◆ 分解因式的一些原则 （1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。 （2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个

多项式因式都再不能分解为止。 （3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。 ◆ 因式分解的首要方法—提公因式法 、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的 因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。 3、使用提取公因式法应注意几点： （1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。 （2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。 ◆ 提公因式法分解因式的关键： 、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因

提公因式法 优质课教案

提公因式法 【教学目标】 1．在具体情境中认识公因式。 2．通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式。 【教学重难点】 1．掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。 2．正确地找出公因式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题 如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是 3.8m，6.2m，宽都是 3.7m，如何计算这块菜园的面积呢？ 列式：3.7×3.8+3.7×6.2（学生思考后列式） 有简便算法吗？ =3.7×(3.8+6.2) =3.7×10=37(m2) 6.2 在这一过程中，把3.7换成m，3.8换成a，6.2换成b，于是有：ma＋mb =m(a＋b) 利用整式乘法验证：m(a＋b)=ma＋mb 二、观察分析，探究新知 让学生观察多项式：ma+mb （让学生说出其特点：都有m，含有两种运算，乘法和加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。） 各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。 注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。 如：b是多项式ab-b2各项的公因式。 2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式。

让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。 三、独立练习，巩固新知 指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）。 （1）ax+ay-a （a） （2）5x2y3-10x2y （5x2y） （3）24abc-9a2b2 （3ab） （4）m2n+mn2 （mn） （5）x(x-y)2-y(x-y) （x-y） 说明：本活动也可以改为寻找公因式游戏，如：根据提供的多项式和整式，寻找出这个多项式的公因式。 （1）ax+ay-a （2）5x2y3-10x2y （3）24abc-9a2b2 （4）m2n+mn2 （5）x(x-y)2-y(x-y) a，x，y 5xy，5x2y3，5x2y 3abc，9ab，3ab mn，m2n，mn2 x(x-y)，y(x-y)，(x-y) 游戏规则：准备好写有整式和多项式的纸牌，学生分为四组，每组选四个同学游戏，其中3个同学举一组题中的整式牌，第四个根据组员建议寻找出题中的公因式，并说明理由。 显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）： （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）。 （2）字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂。 根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）。这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。 四、例题教学，运用新知 例：把3pq3+15p3q分解因式 通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式。 解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)

因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典

因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。

提公因式法基础知识讲解

提公因式法（基础） 【学习目标】 1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多 项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的 积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式 分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母， 指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而

正好是 除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因 式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公 因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号， 使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都 要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等 或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或 “－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 1、观察下列从左到右的变形： ⑴()()3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+ ⑶()22261266x xy y x y ++=+； ⑷()()22323294a b a b a b +-=- 其中是因式分解的有 （填序号） 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． 【答案】（3）. 【解析】 解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式， (2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解； 只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解． 【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三： 【变式】（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） 2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21 2 +4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）

多项式的因式分解-提公因式法练习题

多项式的因式分解-提公因式法练习题

多项式的因式分解 学一学：看谁算得快：请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。 (1)若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________； (3)若x=-3,则20x 2+60x=__________ 议一议：观察： a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)， 找出它们的特点。 (等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式 分解，也叫分解因式。 选一选：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)2m(m-n)=2m 2-2mn (3)3a 2+6a = 3a （a+2） 填一填：) )( (4-2 x 继续观察：(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？ 因式分解 结合：a 2-b 2 （a+b ）（a-b ） 整式乘法 说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。 知识点一、因式分解 的概念 知识点二、因式分解与整式乘法的

二、合作探究 1.检验下列因式分解是否正确： (1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)； (3)x2+3x+2=(x+1)(x+2). 2.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些是多项式乘法？ （1）(x+5)(x+1)= x2+6x+5 (2) (x+2)(x-2)= x2-4 (3) 12ax-12ay=12a(x-y) (4) x2-10xy+25y2=(x-5y)2 提公因式法 说一说：下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？ （2t3－3t2+t）； （1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1 t （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my； 知识点一、提公因式法的概念 学一学： 多项式xu 中各项含有相同因式吗？，它们共有的因式是什么？请将上述多项 xz xy- 式分别写成两个因式的乘积的形式。 议一议：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？ 2．多项式4x2－x和xy2－yz －y呢？ 【归纳总结】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（几个多项式公共的因式称为它们的公因式）

提公因式法分解因式典型例题

因式分解（1） 一知识点讲解 知识点一：因式分解概念： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。 2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形 知识点二：寻找公因式 1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法） 例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？

2、寻找公因式的方法： （一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）： 1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面， 把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式 原多项式另一个因式= 4.注意事项：因式分解一定要彻底 二、例题讲解 模块1：考察因式分解的概念 1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、x x x x x 6)3)(3(692 +-+=+- B 、103)2)(5(2 -+=-+x x x x C 、2 2 )4(168-=+-x x x D 、b a ab 326?=

2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、2)1(322 2 ++=++x x x B 、2 2 ))((y x y x y x -=-+ C 、2 2 2 )(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ） A 、1)1(21222 +-=+-a a a a B 、2 2 ))((y x y x y x -=+- C 、2 2 )13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(2 2 2 +-=+ 4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、15123-=-+x y x B 、2 2 49)23)(23(b a b a b a -=-+ C 、)11(2 2x x x x +=+ D 、)2)(2(2822 2y x y x y x -+=- 5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、ab a b a a -=-2 )( B 、1)2(122 +-=+-a a a a C 、)1(2 -=-x x x x D 、)(2 2 2 xy y x y x xy -=- 6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、23)2)(1(2 +-=--x x x x B 、)2)(1(232 --=+-x x x x C 、4)4(442 +-=++x x x x D 、))((2 2 y x y x y x -+=+ 模块2：考察公因式 1. （2017春抚宁县期末）多项式3 222320515n m n m n m -+的公因式是（ ） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、2 5mn 2.（2017春东平县期中）把多项式3 32223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ） A 、bc a 28- B 、3222c b a C 、abc 4- D 、3 3324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32 -的公因式是（ ） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n m y x y x 31 128--的公因式是（ ） A 、n m y x B 、1-n m y x C 、n m y x 4 D 、1 4-n m y x 5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 102552 3 -+-各项的公因式是（ ）

因式分解分类练习提公因式法公式法十字相乘法

因式分解：提公因式法 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2 3 ()()___()a b b a a b --=- 12、2 4 6 ()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、2 3 2 2 2515x y x y - 6、2 2 129xyz x y - 7、2 336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、3 2 3612ma ma ma -+- 12、3 2 2 22 561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+- 15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+- 19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+-- 21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数

因式分解提公因式法含答案

【知能点分类训练】 知能点1因式分解的意义 1 ?下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )? A ? (x+3) (x — 3) =x 2 - 9 B ? x 2 — 9+x= ( x+3) (x — 3)— x 2 2 2 C ? xy — x y=xy (y — x ) D . x +5x+4=x ( x+5+ ) 2?下列变形不属于分解因式的是( )? 1 1 A ? x 2 —仁(x+1) (x — 1) B ? x 2 +x+—= (x+— ) 2 4 2 C ? 2a 5 — 6a 2 =2a 2 (a 3 — 3) D ? 3x 2 — 6x+4=3x (x — 2) +4 3?下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 (1) ad+bd+cd+n=d (a+b+c ) +n (2) ay 2 — 2ay+a=a (y — 1) 2 (3) (x — 4) ( x+4) =x 2 — 16 (4) x 2— y 2 +1= (x+y ) (x — y ) +1 知能点2提公因式法分解因式 4.多项式—7ab+14abx — 49aby 的公因式是 ___________ (2) — a 3c+a 4b+a 3 (4) x ( m — x ) ( m — y ) — m (x — m ) ( y — m ) 知能点3利用因式分解解决问题 10. 9992 +999= _________ = __________ ? 11 .计算(—2) 2007 + (— 2) 2008 的结果是()? A . 2 B .— 2 C . 2007 D .— 1 A . 5a 3 +4a 2 — a=a (5a 2 +4a ) B . p ( a — b ) 2+pq (b — a ) 2 =p (a — b ) 2 (1+q ) C . —6x 2 (y — z ) 3+x (z — y ) 3=— 3x (z- —y ) 2 ( 2x — z+y ) D . —x n — x n+1 — x n+2 = — x n (1 — x+x 2 ) 5. 3x 2y 3 , 2x 2 y ,— 5x 3y 2 z 的公因式是 __________ ? 6?下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是( )? 7?把多项式a 2 (x — 2) +a (2 — x )分解因式等于( )? A ? (x — 2) (a 2 +a ) C ? a (x — 2) (a — 1) &下列变形错误的是( )? A ? (y — x ) 2= (x — y ) 2 C ? (a — b ) 3 = — ( b — a ) 3 B ? (x — 2) ( a 2 — a ) D ? a (x — 2) (a+1) B ? — a — b=— ( a+b ) 9 .分解下列因式： (1) 6abc — 3ac 2 (3)— 4a 3+16a 2 — 26a