综合练习题1 (函数、极限与连续部分)
2 ?单项选择题
A .奇函数
B .偶函数 C.非奇非偶函数 D ?既奇又偶函数
答案:B
(2)下列函数中为奇函数是(
).
x x
A. xsin x
B
e e
C l n (x 1 x 2)
D . x x 2
C
. ln(x
2
答案:C
(3)函数y
x x 4 ln(x
5)的定义域为( ).
A. x 5 答案:D
B .x
4 C . x
5 且 x 0
D . x 5 且 x 4
(4)设 f (x
1)
2
x
1则 f (x)()
A. x(x 1) B . x 2
1填空题
(1)函数 f (X )
时)的定义域是
答案:x 2且x 3.
(2)函数 f(x)
E 4 X 2的定义域是
__________ ?答案:(2, 1) ( 1,2]
(3) 函数f(x
2)
x 2
4x 7,则 f(x)
答案: 2
f(x) x 3
(4) 若函数f (x)
.3
xsi n x k, 1
, 0处连
续,
(5) 函数 f(x 1)
x 2
2x ,则 f(x)
?答案:
f(x)
(6) 函数
2x x 1 3的间断点是
?答
案:
(7) (8)
.1 xsi
n x
sin4x 右lim x
sin kx
lim x
2,则k
?答案:1
?答案:k 2
(1)设函数y
x
e
,则该函数是(
).
B . x 3
A. x 1, x 2
答案:
3.计算题
综合练习题2 (导数与微分部分)
C. x(x 2) 答案:C D . (x 2)(x 1)
A. 0
B . 1
C
■
2
D .
3
答案:
D
当k
时, 函数
x 2 1, x 0
(6) ()
f(x)
,在x 0处连续
k,
x 0 A. 0
B . 1
C
2
D .
1
答案:
B
(7) 函数 f(x)-
x 2 3
-的间断点是( )
(5)当 k (
0处连续. 2
x 3x 2
$
2 x ° 在 x k, x 0
)时,函数f (x ) C. x 1,x 2,x ?无间断点
(1)
解:
(2) lim x 3
2
x 3x 2
2
x
4
2
x 3x 2 2 x 4
2
x 9
(x 2)(x
1) lim^ x 2
x 2
解: lim
x 3
2
x !
2 小
x 2x
lim (x 3)(x 3) x 3
(x 3)(x
1)
lim x 3
x 1
(3) lim 车空 x 4 x 5x 4 解: x 2 6x 8 lim — x 4 x 5x 4
^4
(X 4)(x
2)
(x 4)( x 1)
x m
2
^2
x 2
2x 3 lim x 2
(x 2)(x
2)
1 ?填空题
(1)曲线f(x) 1在(1,2)点的切斜率
是
答案:1
2
(2)曲线f(x) e在(0,1)点的切线方程是
答案:y x 1
(3)已知f(x) 3 x 3x,则f (3)=
答
案:
f (x) 3x23x l n3
f (3)=27( 1 ln3)
(4)已知f(x) In x,则 f (x)
答案:
1 f
(x) f (x) =
1
' 2
x x
(5)若f (x) xe x:,则f (0)
答
案: f (x) 2e x
xe x
f⑼2
2. 单项选择题
(1)若f (x) e x cosx,贝y f (0)=( )?
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
因f (x) (e x cosx) (e x) cosx e x(cosx)
x x x .
e cosx e sin x e (cosx sin x)
所以f (0) 0 e (cos0 sin 0) 1
答案:C
(2)设y lg2x ,则dy ()?
1 1 ln 10 1
A. dx B . C ?dx D .—dx
dx
2x xln 10 x x 答案:B
(3)设y f(x)是可微函数,则df (cos2x) ( )
?
C . 2 f (cos2x)sin 2xdx
D 答案:D
(4)若 f (x)
si nx a 3,其中 a 是常数,则
f (x)(
).
2
A . cosx 3a
B
.sin x 6a
C
.
sin x
D
.cosx
答案:C
3.计算题
1
e x ,求
(1 )设 y x 2 y .
1
1
1 ) £ 2)" x
解:y 2xe x
2 x /
x e x (
(2x 1)
(2 )设 y
sin 4x 3
cos x , 求y ?
2
解: y 4cos4x 3cos x( sin x)
4cos4x 3sin xcos 2 x
2
(3)设 y e ,求 y .
x
解: y
e^ 1 2
1 x 2
2"x
(4) 设y x. x In cosx ,求 y ?
解: y 3 1
x 2
1 3 - (sinx) x
2 tanx 2
cosx
2
综合练习题3 (导数应用部分)
1 .填空题
(1
)
函数 y 3(x
1)2的单调增加区间是
答案:(1,)
(2)函数f (x ) ax 2 1在区间(0,
)内单调增加,则a 应满足 __________
答案:a 0 2?单项选择题
(1)函数y (x 1)2在区间(2,2)是( )
f (cos2x)sin 2xd2x
C.先增后减 D ?先减后增
答案:D
(2)满足方程f(x) 0的点一定是函数y f(x)的( )
A极值点B.最值点C .驻点D.间断点
答案:C
(3)下列结论中( )不正确.
A . f(x)在x x0处连续,则一定在x0处可微?
B . f (x)在x x0处不连续,则一定在x0处不可导?
C ?可导函数的极值点一定发生在其驻点上?
D.函数的极值点一定发生在不可导点上?
答案:B
(4)下列函数在指定区间(,)上单调增加的是( ).
答案:B
3. 应用题(以几何应用为主)
(1)欲做一个底为正方形,容积为108m i的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
解:设底边的边长为x m,高为h m,容器的表面积为y m l。怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知
x2h 108,h 啰
x
所以y 2 2 108 2 x24xh x24x r x2 x 432 x
令y c 432
2x 2
x
0,解得唯一驻点x 6。
因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以x 6是函数的极小值点也
108
是最小值点。故当x 6m, h r 3m时用料最省.
6
(2)用钢板焊接一个容积为4m3底为正方形的开口水箱,已知钢板的费用为10元/ m,焊接费40元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费用最低?最低总费用是多少?
解:设水箱的底边长为x m,高为h m,表面积为S m2,且有h弓
A . sinx
B . e x
C x2
D . 3 x
x
2
(4)
所以
S(x)
2
x 八
2
16 4xh x x
16
S(x)
2x
2
x
令 S(x)
0,
得x 2.
因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以当 X 2 m , h 1 m 时水
箱的表面积最小.
此时的费用为 S(2) 10
40 160 (元)
(3) 欲做一个底为正方形,容积为32立方米的长方体开口容器,怎样做法 用料最省?
已知
综合练习题4 (一元函数积分部分)
1 ?填空题
(1 )若f (x)的一个原函数为lnx 2,则f(x)
.
2
答案:-
x
(2)若 f (x)dx sin2x c ,贝y f (x) ______________ . 答案:2cos2x
(3 )若 cosxdx ________________
答案:si nx c
de x
答案:
解: 设底边的边长为x m,高为h m , 所用材料(容器的表面积)为y m 。由
所以
x 2
h 32,
h 32 h
2 x 4xh x 2 4x
32
~~2
x
128 x
128
x
令y
因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一, 是最小值点。故当x 4m, h 卑 2m 时用料最省.
4
请结合作业和复习指导中的题目进行复习。
2x 0,解得唯一驻点x 4 所以
x 4是函数的极小值点也
答案:-
2
2 ?单项选择题 (1)下列等式成立的是(
)?
答案:D
(3) xf (x)dx ()
A. xf (x) f (x) c
B. xf (x) c
1 2
C. x 2 f (x) c
D.
(x 1) f (x) c
2
答案:A
(5)
(sinx) dx
答案: sinx c (6) 若 f (x)dx F(x) 则 f (2x 3)dx
答案: -F(2x 3) 2 (7)
f (x)dx F(x) 2
则 xf(1 x )dx
答案: (8) 1 2 -F(1 x 2) c 2 1 (sin xcos2x 1 x)dx
答案:
(9) 答案: 2 3 dx 0 e
2
Jn (x 2 1)dx
(10)
e 2x dx =
A. d f (x)dx f (x)
B. f (x)dx f (x)
C. — f (x)dx f (x) dx
答案:C
(2)以下等式成立的是(
A. In xdx d(-)
x
D.
.sin xdx df (x) f (x)
d(cos x) dx
.x
d .x .3x dx
d3x ln 3
(4)下列定积分中积分值为
0的是( )?
3
1
. x x 1 e e , dx 1 2 . x x 1 e e , dx
1 2 (x 3 cosx)dx (x 2 sin x)dx 答案: (5)设 f (x)是连续的奇函数,则定积分 a f (x)dx ( ) -a A. 0 0 B ?
f (x)dx -a
f(x)dx 0
D. 2 f(x)dx -a 答案: (6)下列无穷积分收敛的是(
). A. 0
sinxdx
B
. 1 ——dx x
c. 1 ^dx x D.
e 2x dx
答案:D 3.计算题 (1) (2x 1)10
dx 解: (2x 1)10dx 1)10d(2x 1
)
—(2x 22
1)11
(2)
.1 sin 君dx x 2
解:
.1 sin
e x )2dx
sin-d 1 x x ln2e x
(4
e x ) 0
2dx
ln 2 e
」^dx
1 cos-
x 2e x c
(4 e x )2d(4
1
X \ = 3(4 e )
X\
e )
丄(216
3
ln 2 125)
301
e
1
解:
e
1 5ln x ,
dx
e
(1 5lnx)d(1 5lnx)丄(1 1
10
5l n x)2
丄(36 1)-
1
10 2
1 xe x dx
解:
1
xe x
dx
x
xe
1 e x dx
2
X sin xdx
解:
2 xsin xdx
xcosx 0 cos xdx si nx] 1
综合练习题5 (积分应用部分) 1 ?填空题 (1)已知曲线y 1
f(x)在任意点x 处切线的斜率为 1 ,且曲线过(4,5),则该曲线的 方程是 答案: (2)由定积分的几何意义知, a a 2 x 2
dx = 0 ■ 答案: ⑶
微分方程y y, y(0) 1的特解为 答案: (4)微分方程y 3y 0的通解为 答案:y
ce 3x
(5)微分方程(y )3 4xy ⑷
y 7 sin x 的阶数为
答案:4
2.单项选择题 (1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中, 八
2
小
A. y = x + 3
通过点( 2 . x + 4 1,4 )的曲线为
)?
C. y x 2 2 x 2 1 答案:A (2)下列微分方程中,
是线性微分方程? 2
A ? yx 2
lny 2
? yy xy xy
e y
? y sin x
x
ye
答案:D (3)微分方程 0的通解为( )
?
Cx
答案:C
(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是( )
A. -dy x y ;
B.巴xy y ;
dx dx
C.巴xy sin x ;
dy
D. x(y x)
dx dx 答案:B
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数,g (x)是减函数 Bf (x)是减函数,g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值,则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为: X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解:原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解:原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八] 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0定积分及微积分基本定理练习题及答案