高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

(一)复习指导

单调性：

设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ?A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数．

如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间．

函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小．

利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．

对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．

此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．

奇偶性：

(1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数．

函数的奇偶性有如下重要性质：

f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称．

此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点．

周期性：

对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．

关于函数的周期性，下面结论是成立的．

(1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)．

(2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则

|

|ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0．

对称性：

若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2

b

a x +=

对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点(

2

b

a +，0)对称．

函数的图象：

函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．

(1)利用平移变换作图：

y =f (x )???→?左右平移y =f (x ＋a )

y =f (x )???→?上下平移y =f (x )＋b

(2)利用和y =f (x )对称关系作图：

y =f (－x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =－f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称

y =－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称；y =f -1(x )与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称 (3)利用y =f (x )图象自身的某种对称性作图

y =|f (x )|的图象可通过将y =f (x )的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出． y =f (|x|)的图象：可先做出y =f (x )，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y =f (x )(x ＜0)的图象．

此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．

还要记住一些结论：若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2

b

a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (

b +x )则y =f (x )的图象关于点(2

b

a +，0)对称．

(二)解题方法指导

例1．设a ≠0，试确定函数2

1)(x ax

x f -=在(－1，1)上的单调性．

例2．讨论x

x x f 2

)(+

=的增减性．

例3．f (x )在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f (4－x )=f (x )成立，判断f (x )在(2，+∞)上的增减性．

例4*．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有2

1)()()(++=+n f m f n m f 且当21

>x 时，

f (x )＞0．又.0)2

1

(=f

(Ⅰ)求证;1)2

1

(,21)0(-=--=f f (Ⅱ)判断函数f (x )的单调性并进行证明

例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数

例6．判断下列函数的奇偶性

?++=)1lg()()1(2x x x f

(2) 1

1

)()(+-?=x x a a x x f ?(其中φ(x )为奇函数，a ＞0且a ≠1)．

例7．设函数])1,1[(1

)(2-∈+++=

x bx x a x x f 是奇函数，判断它的增减性．

例8．设f (x )是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x )=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f (x )的解析式．

例9．作出1

1

2++=

x x y 的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．

例10．作出函数的图象 (1)1)1(3

2+-=x y

(2)y =|lg|x||

例11．(1)作出方程｜x ｜+｜y ｜=1所表示的曲线．

(2)作出方程｜x －1｜+｜y +1｜=1所表示的曲线．

例12．已知函数f (x )和g(x )的图象关于原点对称，且f (x )=x 2+2x ． (1)求函数g(x )的解析式； (2)解不等式g(x )≥f (x )－｜x －1｜．

例 题 解 析

例1解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且Δx =x 2－x 1＞0，

则?--+-=---=-=?)

1)(1()

1)((11)()(2221211222122212x x x x x x a x ax x ax x f x f y 由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以Δx =x 2－x 1＞0，1＋x 1x 2＞0，1－21x ＞0，1－22x ＞0．

因此当a ＞0时，Δy =f (x 2)－f (x 1)＞0，当a ＜0时，Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0．

所以当a ＞0时f (x )在(－1，1)上是增函数，当a ＜0时，f (x )在(－1，1)上是减函数．

例2分析：可先在(0，＋∞)上研究f (x )的增减性，然后根据f (x )的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x ＞0时，有,222)(≥+

=x

x x f 当且仅当x x =2

即2=x 时“=”成立，即当2=x 时，f (x )取得最小值,

2由此可知x =2是函数单调区间的一个分界点．

解：任取x 1，x 2∈(0，2]，且Δx =x 2－x 1＞0 则)21)(()2()2()()(2

1121

12

212x x x x x x x x x f x f y -

-=+

-+

=-=?

因为,2021≤

<

12

1<-

x x ，因此Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0，故f (x )在]2,0(上是减函数．同理可证f (x )在),2[+∞是增函数．

又由),(2

)(x f x

x x f -=-+

-=-可知f (x )是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f (x )在]2,(--∞上是增函数，在)0,2[-上是减函数．

综上所述，x

x x f 2

)(+

=在]2,(--∞和),2[+∞上是增函数，在)0,2[-，]2,0(上是减函数．

例3解：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，则由2＜x 1＜x 2得2＞4－x 1＞4－x 2 因为f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以有f (4－x 1)＞f (4－x 2)

而由已知又有f (4－x 1)=f (x 1)，f (4－x 2)=f (x 2)，所以f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(2，＋∞)上是减函数．

小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f (4－x )=f (x )可知f (x )的图像关于x =2对称，立即就可以判断出f (x )在(2，＋∞)上是减函数．

例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．

解：(Ⅰ)由f (m ＋n )=f (m )＋f (n )21+

得f (0)=f (0＋0)=2f (0)21+有f (0)=－2

1 又由2

1)21()21()2121

(

)0(+-+=-=f f f f 及0)21

(=f 得1)21(-=-f

(Ⅱ)任取x 1，x 2∈R 且Δx ＝x 2－x 1＞0则21

2112>+

-x x 根据已知可得0)2

1(12>+-x x f 则有2

1)()()()(1121122+

+-=+-=x f x x f x x x f x f

2

1

)(21)21()21(21)()2121

(112112+++-++-=++-+

-=x f f x x f x f x x f

).(1)(11)()2

1

(0111x f x f x f f =++-=++-+>

函数f (x )在R 上为增函数．

例5解：设所求的R 上的函数为f (x )，则由函数奇偶性定义得f (－x )=－f (x )①，f (－x )=f (x )②，联立①②，消去f (－x )，得f (x )=0．

显然函数f (x )=0既是奇函数又是偶函数，所以f (x )=0就是所求的函数．

例6解：(1)因为对任意x ∈R ，都有0||122≥+=+>++x x x x x x ，所以函数定义域为R

任取x ∈R ，则－x ∈R

且有)()1lg()1lg()1lg()(2122x f x x x x x x x f -=++-=++=++-=-- 所以)1lg()(2++=x x x f 是奇函数 (2)函数的定义域为R ． 任取x ∈R ，则－x ∈R ，

且有.11

)(11)(11)()(+-=+--=+--=-???--x x x x x

x a a x a a x a a x x f ??? 所以1

1

)()(+-=?x x a a x x f ?是偶函数．

例7解：显然x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]，因为f (x )为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x 均有f (－x )=－f (x )成立，即

1

12

2+++-=+-+-bx x a x bx x a x ，也就是1122+++=+--bx x a

x bx x a x 这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a =b =0．

所以?+=

1

)(2

x x

x f 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且Δx =x 2－x 1＞0 则?++--=

+-

+=

-=?)

1)(1()1)((1

1

)()(22

21

211221

122

212x x x x x x x x x x x f x f y

因为－1≤x 1＜x 2≤1，所以Δx =x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，因此Δy =f (x 2)－f (x 1)＞0，所以当x ∈[－1，1]时

1

)(2

+=x x

x f 为增函数． 注：此题也可以通过f (0)=0，f (－1)=－f (－1)求得a =b =0

例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f (x )为偶函数，再一个是f (x )为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x ∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x ∈[1，2]时f (x )的解析式，要注意体会划归的思想方法．

解：当x ∈[－3，－2]时－x ∈[2，3]所以f (－x )=(－x －1)2＋1=(x ＋1)2＋1，因为f (x )是偶函数，因此当x ∈[－3，－2]时，f (x )=(x ＋1)2＋1

当x ∈[1，2]时，x －4∈[－3，－2]，有f (x －4)=(x －4＋1)2＋1=(x －3)2＋1，因为2为f (x )的周期，可知－4也为f (x )一个周期，有f (x －4)=f (x )

故x ∈[1，2]时f (x )=(x －3)2＋1．

例9解：因为1

1

2112+-=++=x x x y 所以将x y 1

-

=的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到1

12++=x x y 的图象，如图

由图象可以得到：对称中心为(－1，2) 渐近线分别为x =－1，y =2

函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上都是增函数．

例10解：(1)将函数3

2x y =的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(3

2+-=x y ，

如图．

(2)y =｜lg ｜x ｜｜为偶函数，当x ＞0时先作出y =lg x 的图象，在根据奇偶性作出y =lg ｜x ｜的图象，最后将y =lg ｜x ｜在横轴下面的图象关于x 轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y =｜lg ｜x ｜｜的图象，如图．

例11分析，曲线｜x ｜＋｜y ｜=1是关于x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1，只需通过将曲线｜x ｜＋｜y ｜＝1适当平移即可得到．

解：(1)先作出线段x ＋y =1(x ≥1，y ≥1)，再作出该线段分别关于x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线，如图．

(2)将(1)中方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1所表示的曲线，如图．

例12解：(1)设f (x )上任意一点P (x 0，y 0)关于原点的对称点为P '(x ，y )

则???????=+=+02

02

00y y x

x 即???-=-=y y x x 00 因为点P (x 0，y 0)在f (x )=x 2＋2x 的图像上，所以+=2

00x y 2x 0，即－y =(－x )2＋2(－x )

故g (x )=－x 2＋2x ．

(2)由g (x )≥f (x )－｜x －1｜得2x 2≤｜x －1｜

当x ≥1时，不等式化为2x 2－x ＋1≤0，此式无实数解． 当x ＜1时，不等式化为2x 2＋x －1≤0解得2

11≤≤-x ，因此g (x )≥f (x )－｜x －1｜解集为].21,1[-

《函数对称性的解题方法归纳》

函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.

换种说法： )(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 1、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 2、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。 3、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2 b a x +=对称。 4、 函数的轴对称： 定理1：如果函数 ()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2 b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数 ()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. 5、 函数的点对称： 定理2：如果函数 ()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对 称. 推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称. 推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. 三、总规律：定义在Ｒ上的函数 ()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。 四、试题 1．已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（A ）. A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负.

函数的对称性

函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间的关系 1、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线)(,,b a b x a x ≠==对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。 证：根据题意有：)()2();()2(x f x b f x f x a f -=+-=+ 令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+——————————① )2()(b x f x f +-=—————————————② 将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+ ∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。 2、若函数)(x f 在R 上满足图像关于点))(0,(),0,(b a b a ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。 证：根据题意有：0)()2(,0)()2(=-++=-++x f x b f x f x a f 令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +--=-+————————① )2()(b x f x f +--=————————————② 将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+ ∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。 3、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线a x =和点))(0,(b a b ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(4b a T -=是它的一个周期。 证：根据题意有：0)()2(),()2(=-++-=+x f x b f x f x a f 令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+，)2()(b x f x f +--= 则)()22(x f b a x f -=-+，又令b a x x 22-+=，得)22()](4[b a x f b a x f -+-=-+ )()](4[x f b a x f =-+∴ ∴函数)(x f 是周期函数，且)(4b a T -=是它的一个周期。

函数图象的对称变换

课题：函数图像的对称变换（2课时） 学情分析：相对于函数图象的平移变换，对称变换是学生的难点，对于具体函数，学生还有一定的思路，但结论性的结果，学生掌握的不是很好。 教学目标： （1） 通过具体实例的探讨与分析，得到一些对称变换的结论。 （2） 通过一定的应用，加强学生对对称变换结论的理解。 （3） 能数形结合解决想过题目。 教学过程： 欣赏图片，感受对称 一、师生共同分析讨论完成下列结论的形成。 1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称． 3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则 ()y f x =的图像关于直线 对称．

（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 对称． 4、对0a >且1a ≠，函数x y a =和函数log a y x =的图象关于直线 对 称． 5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变． 6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像． 二、学生先独立完成，再分析点评 2 3、函数x y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称． 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ． 5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、典例教学 【例1】填空题： （1 （2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为 ． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有

北京--正弦函数图象的对称性(檀晋轩)CASIO

课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（五）——正弦函数图象的对称性 教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（下） 授课教师： 北京市第十九中学 檀晋轩 【教学目标】 1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义，体会正弦函数的对称性. 2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力. 3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】 正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】 用等式表示正弦函数图象关于直线2π= x 对称和关于点)0,(π对称. 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】 计算机、图形计算器（学生人手一台）. 【教学过程】 一、复习引入 1.展示生活实例 对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.

2．复习对称概念 初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念： 轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合； 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合. 3．作图观察 请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象 （见右图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？ 是轴对称图形还是中心对称图形？ 4．猜想图形性质 经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对 称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对 称轴和对称中心.（教师点评并板书） 如何检验猜想是否正确？ 我们知道， 诱导公式x x sin )sin(-=-（∈x R ），刻画了正弦曲线关于原点对称，而x x cos )cos(=-（∈x R ），刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明. 今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题） 二、探究新知 分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质. （一）对于正弦曲线轴对称性的研究 第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线 2π=x 对称的研究. 1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行 探索 请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线 2 π=x 的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见右图），在直线2 π=x 两侧正弦函数值有什么变化规律？ 给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最

函数奇偶性对称性与周期性有关结论

函数奇偶性对称性与周期性有关结论 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

函数奇偶性、对称性与周期性 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 4、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 5、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 6、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 7、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 8、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。 2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称

3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -= 对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。 6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。 7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称 （三）函数的周期性 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) (1)(x f a x f =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f - =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、) (1)(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 3= 8、) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4=

(完整word)高考专题函数对称性

函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解

函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y - 换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 ()(())()g x f x f x -=--= 3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y - ∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。 注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y - ∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称. 注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --

函数的对称性完美

函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。

三角函数图象的对称性

三角函数图象的对称性质及其应用 观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性 ，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。 一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 性质1、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+?ωx ，得 2ππ?ω+=+k x )(Z k ∈，则ω ?π22)12(-+= k x ，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π22)12(-+=k x ； )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+?ωx ，得π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω?π-= k x ，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π-=k x 。 例1、函数)62sin(3π+ =x y 图象的一条对称轴方程是（ ） （A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+ πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，3 2π=x ，故选（B ）。 例2、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 解：由性质1知， 令1)33cos(±=+ πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)3 3cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是9 3ππ-=k x )(Z k ∈。 二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形； )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+?ωx ，得

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连 续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角 函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称， 该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的 中心对称，该点称为该函数的对称中心。 常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 a b x2。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0 ）是它的对称中心，2kx是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不 会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，) 0,2 (k是它的对称中心。 （11 ）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2 ( k是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对 称中心只是（kπ,0）。 对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能 误以为最值处是它的对称轴。 三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。 二、函数的对称性猜测： 具体函数特殊的对称性猜测 ①一个函数一般是不会关于x轴对称，这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x 轴对称的。例1、判断曲线xy42 ②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。 ③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3 ④函数关于y=x对称例4 、判断函数x y1 ⑤函数关于y=-x对称例5 、判断函数x y4 总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；如果（y,x）也在图像上，则该曲线关 于y=x对称；如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜测①轴对称 例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间 2.5，从而该函数关于x=2.5对称） 例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称） 例8、如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）②中心对称 例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）

函数对称性

函数对称性 一 知识点 I 函数图象本身的对称性（自身对称） 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、图象关于直线对称 推论1：的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于Y轴对称 2、与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、函数与其反函数图象关于直线对称 5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则________。 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 6、设的定义域为R，且对任意，有，则关于__________对称，图象关于

__________对称，。 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（） A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y 轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。

3.2.1奇偶函数图象的对称性

奇偶函数图象的对称性 一．选择题（共35小题） 1．（2019秋?丹东期末）下列函数中，其图象与函数y lgx =的图象关于点(1,0)对称的是( ) A ．(1)y lg x =- B ．(2)y lg x =- C ．0.1log (1)y x =- D ．0.1log (2)y x =- 2．（2008?全国卷Ⅱ）函数1 ()f x x x =-的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称 3．（2010?重庆）函数41 ()2 x x f x +=的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y x =对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称 4．（2011?山东）对于函数()y f x =，x R ∈，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．（2009?黑龙江）函数2 2log 2x y x -=+的图象( ) A ．关于直线y x =-对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 6．（2014?南昌模拟）已知定义域为R 的函数()y f x =满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时， ()f x 单调递增，若124x x +<且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +的值( ) A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．可能等于0 D ．可正可负 7．（2015?凯里市校级模拟）函数sin 3 x y x = +的图象大致是( ) A ． B ．

一次函数图象的变换--对称

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。 知识点： 1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。 2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用： 例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。 分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点 解：1、关于x轴对称 设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。 即：-y=2x+6 y=-2x-6 所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6. 关于直线对称。 2、关于y轴对称 设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。 即：y=2(-x) +6 y=-2x+6 所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.

3、关于直线x=5对称（作图） 由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10 所以点C （-x+10, y） 设点（x,y）在直线l上， 则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。 即：y=2（-x+10）+6 y=-2x+26 所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26. 总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。 关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题 中分析的方法去求对称点。 练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称， 求k、b的值。 答案：1、y=-5x-3;y=x+2 分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在

函数奇偶性 对称性与周期性有关结论

函数奇偶性、对称性与周期性 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 4、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。 5、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 6、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 7、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 8、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。 2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2 a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。 6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。 7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称

关于函数图像对称性问题

关于函数图像对称性的问题 胡春林 指导老师：刘荣玄 【摘要】函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。 【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称 一、函数自身的对称性的问题 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。 例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。例题2 ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数， 且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明：