(整理)积分基本公式.
2.基本积分公式表
(1)∫0d x=C
(2)=ln|x|+C
(3)(m≠-1，x>0)
(4)(a>0,a≠1)
(5)
(6)∫cos x d x=sin x+C
(7)∫sin x d x=-cos x+C
(8)∫sec2x d x=tan x+C
(9)∫csc2x d x=-cot x+C
(10)∫sec x tan x d x=sec x+C
(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C
(12)=arcsin x+C
(13)=arctan x+C
注．(1)不是在m=-1的特例．
(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．
事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则
(ln|x|)' =(ln(-x))' =.
(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．
下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．
6. 复合函数的导数与微分
大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．
定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导，则复合函数z=f[?(x)]在x0可导，且
或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0)．
证．对应于自变量x0处的改变量?x，有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z，（注意?y可能为0）．现
?z=f'(y0)??y+v，?y='?(x0)?x+u，
且令，则v=?αy，（注意，当?y=0时，v=?αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即?y=0．于是
=f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0)
为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：
(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式
，
其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．
(2) 计算复合函数的过程：x→?y →?z
复合函数求导的过程：z→?y →?x
：各导数相乘
例2.3.15求y=sin5x的导数．
解．令u=5x，则y=sin u．于是
y' ==cos u?5=5cos5x．
例2.3.16求y=lncos x的导数．
解．令u=cos x，则y=ln u．于是
．
y'
=
例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．
解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．
y' ==e u?m?
m是正整数n时，即例2.3.2．
(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：
复合函数的求值：x→?y→?z→?u…v→?w
复合函数的求导：w→?v…u→?z→?y→?x
：各导数相乘
(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．
例2.3.18求的导数
解．
=．
(5) 链锁法则的微分形式是：d f(?(x))=f'(?(x))d?(x)
例2.3.19求函数y=的微分
解．d y =dsin2x=?2sin x dsin x
=?2sin x cos x d x=?sin2x d x．
思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.
5. 导数与微分的四则运算
设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有
公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．
公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．
公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．
公式(4)，(v≠0)．
点击此处看公式(1)－(4)的证明．
例2.3.11求y=tan x的导数
解．(tan x)' =
==sec2x．
同理可得(cot x)' =-csc2x．
例2.3.12求y=sec x的导数．
解．(sec x)' =
=sec x tan x．
同理可得(csc x)' =-csc x cot x．
例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．
解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'
=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2?2x-3?3x2)
=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3
解二．因y =2x2+5x3-12x4，故
y' =2?2x+5?3x2-12?4x3=4x+15x2-48x3．
例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．
解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x
=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x
=ln x?(d x+cos x d x)+d x
=d x．
2. 导数的定义
从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.
定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称?x=x-x00(?读作delta)为自变量的改变量，
?y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．
如果极限
存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作
．
因?x=x-x0，x=x0+?x，故还有
．
此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是
．
注意.?x可正可负，依x大于或小于x0而定．
根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：
(1)计算函数在自变量x0+?x处的函数值f(x0+?x)；
(2)计算函数的改变量?y=f(x0+?x)-f(x0)；
(3)写出函数的差商；
(4)计算极限，即导数值
．
例2.3.1求常数函数y=c的导数．
解．因?y=y(x+?x)-y(x)=c-c=0，差商=0，
故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．
例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．
解．因
y(x+?x)=(x+?x)n=x n+，
?y=y(x+?x)-y(x)=，
故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．
例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．
解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3?22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是
y-8=12?(x-2) ? 12x-y-16=0．
注．
(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，x∈X ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．
(2)关于改变量的记号?，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把?x看成?与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(?x)2来表示?x的平方而不写?x2 ．
从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:
(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)
例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，
y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．
例2.3.5 y=log a x(0 特别，(ln x)' =1/x． 例2.3.6指数函数y=a x(0 特别，(e x)' =e x． 8. 导数的导数--二阶导数 一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作 y'' =f '' (x)，或=． 如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为 y(n)=(y(n-1))' ，n=2，3，… 统称为函数y的高阶导数． 例2.3.22求y=sin x的n阶导数． 解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出 y(n)=sin． 例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度． 例2.3.24求y =arc tan x的二阶导数y'' ． 解．y' =，y'' =-(1+x2)-2(1+x2)' =． 思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态. 实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响. 7. 基本初等函数的导数与微分公式 ' = - - ，x= x= x= x= x= 例2.3.20求y=arcsin的微分．解． ． 例2.3.21求y=+arctan e x的导数． 解．． 12.二元函数的导数与微分(选学） 设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是 =， 同理，z关于变量y的偏导数是 =． 我们也记 ． 若z=f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，则自变量x与y的改变量?x与?y 的线性表达式 f'x(x，y)?x+f'y(x，y)?y 称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于?x，?y的全微分，记作 d z=f'x(x，y)?x+f'y(x，y)?y． 由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=?x，d y=?y，于是二元函数的微分公式是 d z=． 例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求． 解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)． =x-6y2(把x看作常数，对y求导数)． 例2.3.31求z=e x sin y的全微分． 解．d z=sin y d e x+e x dsin y =sin y e x d x+e x cos y d y =e x(sin y d x+cos y d y)． 例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)， 求． 解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得 d x+2d y+2d z-2d 右端的微分是0，于是解得 d z =， 由此得，． 13.分段函数的导数(选学） 我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限 ， 这等价于=0 ， 记，则=0，由此 f(x0+?x)-f(x0)=[u(?x)+f’(x0)]?x， 于是[f(x0+?x)-f(x0)]=[u(?x)+f’(x0)]?x=0 ， 即f(x0+?x) = f(x0)．如果记x=x0+?x，则得 f(x)= f(x0) ． 这表明函数f(x)在x0连续．因此有 定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续． 因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数 在点x=0的连续性与可导性． 解．因,, 故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续． 其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限 ．为方便计，用x代替 x，为此我们研究极限 ．现在， ， ． 由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导． 你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0 定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x0(a,b)，如果极限 存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作 f+'(x0)=． 类似地，f(x)在点x0的左导数是 f-'(x0)=. 只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0)．即有 定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．则 f '( x )存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等． 左导数与右导数统称为单侧导数. 例2.3.34讨论函数 在x=0的可导性． 解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因 ， ， f(0)=0， 故f(x)在x=0连续． 其次，因 ， ， 故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1． 注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数 此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上, 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的． 1. 曲线的切线斜率 我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点． 为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画． 说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点． 点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x 如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个 极限位置T, 即极限 则称PT为曲线在P点的切线． 为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定 其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而 Q→P即x→x0． 设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为 k=tanα． 现在割线PQ的斜率为： ． 而切线PT的斜率为： (PQ的斜率) =, 由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)． 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2d () x x ax b +? ＝ 21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +? ＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18 ． x ? ＝2a x -+ （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++ (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分. 分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数 ) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解： 定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样， Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()('' x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由[]0)()()()()()('2'1' 11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( 例1、 求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??? ???-=+-≠++=+1 ln 11 1 1μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表（共24个基本积分公式） 3、 不定积分的性质 ①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 例2、 求下列不定积分 ①? ?+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11 )2(22 ②? ?+=++-= =+--C x C x dx x x dx 21 )21(1 1)21(21 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2222222 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1 csc cot 22 §2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++= +??1 ,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===???)5cos(5 1 sin 51555sin 515sin ②()()()()??+--=+-+? -=---=-+C x C x x d x dx x 8177 72116 12117121)21(212121 ③())20(arctan 111222C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??=+=+?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-=-? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??11,1 即 例2、求不定积分 ①( )() () () C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2 32 12 12 212 2 12 2 13 1 11 121112 1 1 ·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下： 以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则 法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ?? 积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++， ， ， 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++? （17）2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =+ （20） ln |x C =+? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ 定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>? ?复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算 问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下： 以函 数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分.（1） AdX （ 2） XdX _ 1 丄+ 彳 解：（1 ） . 2 dx = x'dx C=-1C X -2 1 X 3 2 5 （2 ）.XXdX = χ2 dx = 2 X 2 C J 5 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 数的积分公式求积分。 不定积分的基本运算法则 X 〉的形式，然后应用幕函 法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 [f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O ) 3 X 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 X =X X —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数， 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解： (1)首先把被积函数^x - I 1 化为和式，然后再逐项积分得 VX 1 √X (1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx (2)J x 2 dx )dx 定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数. 例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?. 不定积分公式大全基本公式有哪些 inx + C ∫ sinx dx = - cosx + C ∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C ∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C ∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C ∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C ∫ sec (x) dx = tanx + C ∫ csc (x) dx = - cotx + C ∫ secxtanx dx = secx + C ∫ cscxcotx dx = - cscx + C ∫ dx/(a + x ) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫dx/√(a- x ) = arcsin(x/a) + C ∫dx/√(x+ a ) = ln|x + √(x+ a )| + C ∫dx/√(x- a ) = ln|x + √(x- a )| + C ∫√(x- a ) dx = (x/2)√(x- a ) - (a /2)ln|x + √(x- a )| + C ∫√(x+ a ) dx = (x/2)√(x+ a ) + (a /2)ln|x + √(x+ a )| + C ∫√(a- x ) dx = (x/2)√(a- x ) + (a /2)arcsin(x/a) + C 不定积分的基本公式有哪些 导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-=' 31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C 第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined Integral and Direct Integral ） 课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容： 一、不定积分的基本公式 由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 ( )1222()01 ()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1 (arctan )1(arccos )1 (cot )1x x x x C x x x e e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'= '= +'='=- +21 (log )ln a x x x a '= 不定积分的基本公式 ( ) 1 22 2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x x x dx C dx x C x x dx C a e dx e C a a dx C a dx x C x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C x C dx x C x αα α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++????????????? ?2arccos arc cot 11 log ln a x C dx x C x dx x C x a =-+=-++=+??? 定积分计算公式和性质第二节 一、变上限函数 上的任一点，于是，x在区间设函数为在区间上连续，并且设 上的定积分为 这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 在区x如果上限间上任意变动，则对于每一个取定的 上定义了一个以xx为自变量的函值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上变上限函数在区间数，我们把称为函数 记为图 5-10 上一个动点，从而以线段为底的曲边梯是从几何上看，也很显然。因为X形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10） 定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 作直线运动，那么在时间区间我们知道：如果物体以速度上所经过的 s为路程5-11 图 的函数，那么物体从t=at到t=b另一方面，如果物体经过的路程s是时间 5-11）所经过的路程应该是（见图 即 为了求出定积分即是由导数的物理意义可知：一个原函数，因此， 上的增量，再求应先求出被积函数在区间的原函数，即可。 的一般方法：如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 ，在闭区间上连续，是的一个原函数，即设函数则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成 莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函牛顿-提供它揭示了定积分和不定积分的内在联系，数的原函数在积分上、下限处函数值之差。了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 的一个原函数所以因为是 所围成y=0及x=、x=0和直线求曲线2 例 A(5-12) 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? 不定积分的基本公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 不定积分 一． 求不定积分与求导数或微分互为逆运算。( 'F )()(x f x = 或 dx x f x dF )()(= ?+=C x F x d x f )()()( ) 1. [] ' )(?dx x f ' )(x f = 或 ?=dx x f dx x f d )()( 2. ?'F C x F dx x +=)()( 或 C x F x dF +=?)()( 3. ??=dx x f a dx x af )()( )0(≠a 二.基本积分公式 1. ?+=C kx kdx 是常数）k ( 2. ?n x 1 1+=+n x dx n C + )1(-≠n 3. C x x dx +=? ||ln 4. C x x dx +=+?arctan 12 5. C x x dx +=-? arcsin 12 6. ?+=C x xdx sin cos 7. ?+-=C x xdx cos sin 8. C x xdx x dx +==??tan sec cos 2 2 9. ??+-==C x xdx x dx cot csc sin 22 10. ?+=C x xdx x sec tan sec 11. ?+-=C x xdx x csc cot csc 12. C e dx e x x +=? 13. C a a dx a x x +=?ln 14. C x xdx +-=?|cos |ln tan 15. C x xdx +=?|sin |ln cot 16. C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec 17. C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc 18. C a x a x a dx +=+? arctan 12 2 19. C a x a x a a x dx ++-=-?||ln 212 2 C x a x a a x a dx +-+=-?||ln 2122 20. C a x dx x a +=-?arcsin 122 21. C a x x a x dx +±+=±?||ln 222 2 22. C b ax a dx b ax ++=+?||ln 1 1 23. C x dx x +=?21 24. C x dx x +-=? 112 可能用到的公式： （1） ???+-=+?+-=+1 1111)1(1n dx n dx n dx n n n n （2） 32233 33b ab b a a b a +++=+）（ （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）x x 22sec 1tan =+ x x 22csc 1cot )5(=+ 2 22112cos ,122sin ,tan )8(1 sec cos )7(1csc sin 6t t t t t +-= +===?=?ααααααα则设）（高数积分公式大全
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