积分基本公式

2.基本积分公式表

⑴/ 0dx=C

(6) / cosxdx=sinx+C (7) / sinxdx=-cosx+C

(8) / secxdx=tanx+C

2

(9) / cscxdx=-cotx+C (10) / secxtanxdx=secx+C

T ‘ 在 m=-1 的特例.

事实上，对 x>0, (ln|x|)' =1/x ； 若 x<0，则

1 — 1

(ln |x|)' =(l n(-x))'= ■

.

一工

x

⑶要特别注意|

I--与J 匕的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积

分.

F 面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算.

八(m z -1, x>0)

艸i +1

⑵「= ln|x|+C

(a>O,a 工 1) -<■ = In|x|+C , X

ln 后面真数x 要加绝对值，原因是

(In |x|)' =1/x .

(5) F "

(11) / cscxcotxdx=-cscx+

C

注.

(1)

?:-不是 |

6.复合函数的导数与微分

大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意

义.

定理.(链锁法则)设z=f(y), y= (x)分别在点y°= (x o)与x o可导，则复合函数z=f[ (x)]

在X o可导，且

dz

或(f o )' (x o)=f '(y o) '(x o).

证.对应于自变量x o处的改变量L X,有中间变量y在y°= ：(x o)处的改变量.旳及因变量z 在z o=f(y o)处的改变量「込(注意：y可能为0) ?现

=z= f (y o) I y+ v，-尸(x o) =x+ u,

V

u. v ——=C

且I ?令上F ,心0 &片0却'成立).y在X o可导又蕴含y在X o连续，即则v=u y,(注意，当二y=0时，v=u y仍It. 〔y=0.于是

陥匕fa/5)如+空如塚峠o & 仍M

&

=1O 门恥曲 + lo —=XU) —

=f '(y o) ：'(X o)+O "(x o)=f'(y o) "(x o)

为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：

(1)略去法则中的x=x o与y=y o，法则成为公式

dz dy

_ ,

dy dz

其右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程.

(2)计算复合函数的过程：x，—y ' —z

复合函数求导的过程: z —y —X

—：/:各导数相乘dy

d兀

例2.3.15求y=sin5x 的导数. 解. 令 u=5x ，贝V y=sinu .于是

y' = ： j =cosu 5=5cos5x . 血 dx 例2.3.16求y=lncosx 的导数. 解. 令 u=cosx ，贝V y=lnu . 于是

dy da 1 ,

. , sin x

—■——=—■ (- sin x) = --- ------- = - tan x y' :血 二:: :, 1 :::; 例2.3.17求幂函数y=x m 的导数，m 为任意实数. 解. 因 y=：L‘

；■— ，令 u=mlnx ,贝V y=e u . u

y' =

= e m -

da dx xx

x

m 是正整数n 时，即例2.3.2.

(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数:

复合函数的求值： X ，—y ，—z ，—u …v ，—w 复合函数的求导： w ■ — u^ — z^—y^—x

:：

- 工：汀：各导数相乘

dv dz dr

(4)在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量 v , u , 只要做到心中有数.

例 2.3.18 求■'的导数

解.:

例2.3.19求函数y=厂…的微分

z , y 等可不必写出,

(5)链锁法则的微分形式是:

df( (x))=f ( (x))d (x)

Vx 2 + 1

1 + 1 fx

2 +

X ++ 1

公式⑷

vdu - udv

(v=0).

点击此处看公式(1) - (4)的证明. 例2.3.11求y=tanx 的导数

解.(tanx)'=

(sin x)J cos A - sin A (COSX )?

cosz

k.

J

COS X

i ■■ : T . r I T :

1 2

=secx . cos J x

COS

X 同理可得(cotx)' = -csc 2x .

例2.3.12求y=secx 的导数.

+sin x

cos 2 X

同理可得(cscx)' =「cscx cotx .

例 2.3.13 求 y=(1+4x)(2x 2-3x 3)的导数. 解一 .y' =(1+4x) (2x^-3x 3)+(1+4x)(2x^3x 3)'

解.dy =巴 一：'■ dsin 2x=巴：'■ 2sinxdsinx

思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数丁-；-：亠「- J 的构成 除由基

本初等函数复合之外还包含四则运算， 因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁

法则，两个方面必须同时考虑?

5.导数与微分的四则运算

设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c 是常数，则有 公式 ⑴(u _v)' = u' _v'， d(u _v) = du _dv . 公式(2) (uv)' = u' v+uv', d(uv) = vdu+udv. 公式(3) (cu)' = cu', d(cu) = cdu .

2

3

2

2sinx cosxdx=「' sin2xdx

解.

I 1' COS X- !■ (cosx)'

=secx tanx .

=4(2X2_3X3)+(1+4X)(22X_33X2)

2 3 2 2 3 2 3

=8X2_12X3+4X -9X2+16X2-36X3=4X+15X2_48X3解二.因y =2x2+5x'_12x4,故

2 3 2 3

y' =2 2x+5 3X2_124X3=4X+15X2/8X3.

例2.3.14求函数y=(x+sinx)lnx的微分.

解.dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx

=ln x(dx+ds in x)+(x+s in x) —dx

2.导数的定义

从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.

定义.设函数y=f（x）在包含点x o的一个开区间X（这样的开区间称为x o的邻域）内有定义，y o=f（x o）.如果x?X-x o,我们称3=x-x o - 00 ：读作delta）为自变量的改变量，

勺=f（x）-f（x。）为函数的（对应）改变量，比值^ '为函数的差商或平均变化

Ax x - 心

率.

如果极限

=ln x (dx+cosxdx)+ dx

dx.

2

血TO & 4舟 X _州

存在，则称函数y=f(x)在点x 0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x 0点关于自变量 x 的导数(或微商)?记作

此时，曲线y=f(x)在点(x o ，f(x o ))的切线方程是

厂."-一，丄一屮?

注意Jx 可正可负，依x 大于或小于x o 而定.

根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x o 的导数的步骤 是: (1)计算函数在自变量x o + x 处的函数值f(x o + ：x)；

⑵ 计算函数的改变量=y=f(x o +LX)-f(x o )；

(3)写出函数的差商匚

：」一5

(4)计算极限，即导数值

血2° & HlO

&

例2.3.1求常数函数y=c 的导数.

解.因二y=y(x+ = x)_y(x)=c-c=O ，差商一 =0,

&

故；：'|'- ' ' =0 .此处x 可为任意实数，即常数函数 y=c 在任意点x 处的导

数为0.

例2.3.2设n 是正整数，求幂函数 y=x n 在点x 处的导数. 解.因

因：x=x^0，X=X o + ：x ，故还有

.：y=y(x+.：x)_y(x)= 一. - ■■■ ■■'',

2

故「八-二.山=-、….- 一.

iwa &陆丸 2

特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1.

例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程.

解.在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2,于是在点(2, 8)处的切线斜率是：y'(2)=3 22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是

y*=12(x_2)二 12x-y- .6=0.

注.

(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x), x X .于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样"在x点处关于自

变量的”，甚至简称f(x)的导数?例如我们说常数函数y=c的导数是0, y=x的导数是

1, y=x n的导数是I等等，分别记作c' =0, x' =1, (x n)'=十等等.

⑵关于改变量的记号厶，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sinx 中的sin 一样，绝不能把x看成厶与x的乘积，特别，为避免误解，我们用 C x)2来表示x的平方而不写.x2.

从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式：

(点击此处看例2.3.4, 例2.3.5, 例2.3.6证明)

例 2.3.4 y=sinx 的导数是(sinx)' =cosx,

y= cosx 的导数是(cosx)' =-sinx .

1

例 2.3.5 y=log a X(0

xln a

特别，(lnx)' = 1/x .

例 2.3.6 指数函数y=a x(ova=1)的导数是(a x)' =a x lna .

特别，(e x)' = e x.

8.导数的导数--二阶导数

一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x 为自变量的函数：y =f'(x)，如果它还可导, 我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]'，称为y=f(x)的二阶导数，记作

y'' =f '' (x)，或 ____ ='-.

如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数 数被定义为

y (n )=(y (n 」))’，n=2, 3,… 统称为函数y 的高阶导数.

例2.3.22 求y=sinx 的n 阶导数.

y (n)=si n

1 2丿

例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则 s' (t)=v(t)是运动速度.又，二阶导数

s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度.

例 2.3.24 求 y =arc tanx 的二阶导数 y".

思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如

果f ' (x)还可导，那么f ” (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.

实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导 数对函数图像的影响.

7.基本初等函数的导数与微分公式

解.y' =cosx=sin

JT 1

X+- 2丿

用归纳法不难求出 解.y'= -----------

1 + ?

y'' =-(1+x 2)^(1+x 2

)'

2x W

求导公式

求微分公式

dc=0

⑴ c' =0

dx m =mx m-1dx , mw R

/c\ / m 、|

m-1

(2) ( x )' =mx

da x =a x lnadx , 0

⑶(a x )' =a x

lna

d e = e T dx

(e x

)' = e

x

d

a

x=血,ova￡ ⑷(a x)'

log

1

log xln a

xln a

dln x=^

(lnx)'=

1

X

d x= xdx

sin cos

(5) ( x)'= x

sin cos

d x= -xdx

cos sin

⑹（x ）'= =-x

2xdx

cos

sin d x=

tan sec

⑺（x ）'=

2

x

tan

sec

d x= -2xdx

cot csc

(8) ( x)'= 2

:-cscx

cot

d x= x xdx

sec sec tan

(9) ( x)'= : x x

sec sec tan

d x= -x cotxdx

csc csc

(10) ( x)' =-cscx cotx

x=

csc

darc

si n

(11) (arc 1

darc -dx

x) = 7T7

x=

sin

cos Jl-X

1

darc

dx x= K

(12) (arc

coj

ta n

12

darccotx=—-

解- 4.--

/) 佇2

klJi - /

3

例 2.3.21 求y=—+arctan e x的导数.

12.二元函数的导数与微分(选学)

设z=f(x, y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了 .函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏

导数.记作堂，事实上，按导数定义，应该是

办2

同理，z关于变量y的偏导数是

蚯

/（2+抄）-了（砂）

我们也记

Jv J i ----------------------- --------------- 解.-:_ -

1+ e

12

例2.3.20求y=arcsin.」j *的微分.

dxdx dy dy 若z=f（x, y）有连续的偏导数f x（x, y）, f y（x, y）,则自变量x与y的改变量Ax与Ay 的线性表达式

f x（x, y）.：x+f y（x, y）.：y

称为z=f（x，y）在（x，y）处对应于.x，y的全微分，记作

dz=f x（x，y）. ：x+f y（x，y）. ：y.

由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx==x, dy==y,于是二元函数的微分公式是dz=U '.I,-.

例 2.3.30 设f(x, y)=xy+x2—2 y3, 求——

dy

解.一=y+2x （把y看作常数，对x求导数）.

— =x_6y2（把x看作常数，对y求导数）.

例2.3.31求z= e x siny的全微分.

解. dz=siny d e x+e x dsiny

=siny e x dx+e x cosy dy

=e T(siny dx+cosy dy).

例 2.3.32 设x+2y+2z-2 .i. =0 确定二元函数z=z(x, y),

求厂丁

解.对方程x+2y+2z-2」.：-=0两边求微分，则左端得

13.分段函数的导数(选学)

我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系.

函数y=f(x)在点x o 的导数被定义为极限

?丄?_…「-， 时0

这等价于一

毎T Q

At

厶字皿卄)]=o ,

Ax

记「、 ——

. ：■,则 L" J=o ，由此

Av

f(x o + ：x)-f(x o ) = [ u( x)+f'(X o )] x ,

于是 L 二[f(x o +=x)-f(x o )]= L 二[u(=x)+f 'x o )p-X=O , 曲曲

T (I 即 L 二 一 f(X o + X )= f(x o ).如果记 x=X o + x ，则得

皿今0

…L f(x)= f(x o ) ?

这表明函数f(x)在X 0连续.因此有

定理.若函数y=f(x)在x o 可导，则f(x)在x o 连续.

dx+2dy+2dz_2d

1

=

打1 -W (卯)可加 + [2 - xz^yz)^]dy + [2 -2(苗尸]壮

右端的微分是0,于是解得

因此，连续性是函数可导性的必要条件. 但上述命题的逆是不正确的. 请看下例.

例2.3.33讨论函数

在点x=0的连续性与可导性.

解.因「I ； L' :' 1,1.' I - ：i - I '

J-*0+Z*

故"T j - 1 ,且f(0)=e0=1 .由此可见f(x)在x=0连续.

L

其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限

../ro + Axi -/(o)

.为方便计，用X代替厶X,为此我们研究极限

眩&

.M ' ' ■'.现在，

1 /(^) _/(0) ]?(X2+1)_ 1 ]. 十

,

i-*0+x s-^0+x*-* 沪

”X皿x

由此可见，极限工. ——不存在，即f(x)在x=0不可导.

你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1, 0)处没有切线，因为在其左边有一条“半

切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0

定义.设函数y=f(x)定义在区间(a,b)内，X。-_(a,b),如果极限

存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作血Ar f+(x o)=爪

血屮Ar

类似地，f(x)在点X o的左导数是

竝Ax

只有f+ (x o)与f- (x o)都存在且相等时，f(x)在点x o才可导，且f (x o)=f+(x o)=f-(x o).即

有

定理.设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x o"_ (a,b).贝V

f '( x o)存在-f-'( x o)与f+'( x o)都存在且相等.

左导数与右导数统称为单侧导数?

例2.3.34讨论函数

在x=o的可导性.

解.首先讨论f(x)在x=o的连续性.因

〔「I T；二'.11 <'：二,

2$m i] = 0,

f(o)=o,

故f(x)在x=o连续.

其次，因

y；\Q) ^[ln(x + l)-2sin A] = -^-2cos 打 |尬产「1,

故f(x)在x=o 可导，且f'(0)=-1.

注■上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误.例如考虑函数

此时g(x)在x=0不连续，更不可导?如果你用上例方法求左右导数： g'+(0)=-i ,

g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了?事实上,上图中的原点并不属于函 数g(x)的图像，因此，原点右侧的 半切线”是不存在的,也就是说，原点处的右导数 是

不存在的.

1.曲线的切线斜率

我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线. 但对于一般曲线，切线是不

能这样定义的.例如右下图中曲线在 P 点处的切线,除P 点外还交曲线于Q 点.

曲线C

的切线财

为确切表达切线的含义，需应用极限的思想?请看下面的动画.

说明：点P(X0,f(x o))=P(X0,y o)是曲线y=f(x)上的给定点.

点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点,可在P的两侧：在右侧时x>x o；在左侧时x

如果动点Q无限地逼近定点P时,动直线PQ有一个

极限位置T,即极限

戸T = PQ

则称PT为曲线在P点的切线.

为确定切线PT的位置，或建立PT的方程，只需确定

其斜率.由于PT是PQ的极限,从而PT的斜率是PQ斜率

的极限，极限过程是由Q-P产生的?而

Q f P 即x—x°.

设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为:,PT的斜率为

k=ta n 二

现在割线PQ的斜率为:

而切线PT的斜率为：

—|1;-- (PQ 的斜率)

r m(州)

=二.一 ----------- ,

筈F 工-州

由此得切线PT的方程是：y -f(x°)=k( X-X o).

基本积分公式

§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 ) (10) ( 5.15 )

(11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.

公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

常用积分公式

常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1d (1)1 x x x c μμμμ+≠-= ++? 特别， 211d x c x x =-+? , 3 22 3 x x c =+, x c =+ ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a =+? , 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 22 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+? ? ⑻ 22 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+? ? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>,特别， arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别， 2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 2211d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 2211d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+?

⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2(0) ===arcsin 2a a x x c a >+ ⒅ 2(ln 2 a a x x c >±+ ⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -?=+??+?+?=+?+? ?? ⒇ 12222212 123 d ()2(1)()2(1)n n n n x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-? I I （递推公式） 跟我做练习 (一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24 ⑴ 2)x x = -[套用公式⒅] 1 ln (2)2 x = - ⑵ [ 1 (24)42 x x x = -+??

高数积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2d () x x ax b +? ＝ 21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +? ＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -

14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18 ． x ? ＝2a x -+ （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

二十四个基本积分公式

二十四个基本积分公式 1、 ?+=c kx kdx 2、 ?++=+c a x dx x a a 1 1 3、 ?+=c x dx x ln 1 4、 ?+=+c x dx x arctan 112 5、 ?+=-c x dx x arcsin 112 6、 ?+=c x xdx sin cos 7、 ?+-=c x xdx cos sin 8、 ??+==c x xdx dx x tan sec cos 122 9、 ??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、 ?+=c x xdx x sec tan sec 11、 ?+-=c x xdx x csc cot csc 12、 ?+=c e dx e x x 13、 ?+=c a a dx a x x ln 14、 ?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数

15、 ?+=c s h x c h x d x 其中2x x e e chx -+=为双曲余弦函数 扩充 16、 ?+-=c x xdx cos ln tan 17、 ?+=c x xdx sin ln cot 18、 ?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、 c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、 ?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、 ?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、 ?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、 ? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、 ? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1

微积分公式大全

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++，　，　，　 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

积分常用公式

积分常用公式 一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=? 2．111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x +=?ln 1 4．C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=? cos sin 7．C x xdx +=? sin cos 8．C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=?? csc cot csc 12． C x dx x +=-? arcsin 112 （或12 arccos 11C x dx x +-=-? ） 13． C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11 C x arc dx x +-=+?） 14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=? sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法： 1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=? sin ln cot 3． C a x a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7． C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8．C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9． C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10． C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11．第一类换元积分法（凑微分法）：

高等数学积分公式大全

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++

9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +

高中数学微积分公式大全

微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ

(整理)积分基本公式.

2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1，x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注．(1)不是在m=-1的特例． (2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x． 事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分． 下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义． 定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导，则复合函数z=f[?(x)]在x0可导，且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0)． 证．对应于自变量x0处的改变量?x，有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z，（注意?y可能为0）．现 ?z=f'(y0)??y+v，?y='?(x0)?x+u， 且令，则v=?αy，（注意，当?y=0时，v=?αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即?y=0．于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明： (1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式 ， 其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程． (2) 计算复合函数的过程：x→?y →?z 复合函数求导的过程：z→?y →?x ：各导数相乘 例2.3.15求y=sin5x的导数．

(完整word版)基本积分公式

基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++?

（17）2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =+ （20） ln |x C =+? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

常 用 积 分 公 式

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++

的积分 10 ．x ? C 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a -+ 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13 ． x ＝2 2(23ax b C a - 14 ． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -++ 15 ． ＝(0) (0) C b C b ? +>< 16 ． ? 2a b - 17 ． x ＝b 18 ． x ＝ 2a + （三）含有22 x a ±的积分

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表１、基本积分公式: (1) （２) (3) (4） (5) (6) (７） (8） （8) (10） (11) ２、积分定理: (1) (２） (3）若F（x)就是f(x）得一个原函数，则３、积分方法 ;设： ;设： ;设: ；设： 分部积分法:

附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记、可根据它们得特点分类来记、 公式(１）为常量函数0得积分,等于积分常数、 公式（2)、(3)为幂函数得积分,应分为与、 当时，， 积分后得函数仍就是幂函数,而且幂次升高一次、 特别当时，有、 当时， 公式(4）、（5)为指数函数得积分，积分后仍就是指数函数,因为,故 ( , )式右边得就是在分母，不在分子,应记清、 当时，有、 就是一个较特殊得函数，其导数与积分均不变、 应注意区分幂函数与指数函数得形式，幂函数就是底为变量,幂为常数;指数函数就是底为常数,幂为变量、要加以区别,不要混淆、它们得不定积分所采用得公式不同、 公式(6)、（7)、（８）、（9）为关于三角函数得积分,通过后面得学习还会增加其她三角函数公式、 公式(10)就是一个关于无理函数得积分 公式(1１）就是一个关于有理函数得积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分、 例1 求不定积分、 分析：该不定积分应利用幂函数得积分公式、

解: (为任意常数） 例2 求不定积分、 分析:先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分得形式、 解：由于,所以 (为任意常数 ) 例3 求不定积分、 分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式、 解: (为任意常数) 例4 求不定积分、 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次、 解: (为任意常数 ) 例5 求不定积分、 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:

高等数学常用积分公式查询表

导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='

31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C

高数积分公式大全

12. （一）含有ax b 的积分（a 1 . dx 1 ax b a =-In ax b 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 13. 常用积分公式 0) 1 (ax b) dx = a( 1) x 1 dx = -^(ax b ax b a 丄dx =丄 ax b a 3 (ax bln b)2 b) ax b) C 2b(ax b) b 2ln ax b dx x( ax b) dx x 2(ax b) x 2dx (ax b) 2 (^dx 1ln b 1 bx ax ax b 1 = -r(ln a ax b ax b ) 2bln ax b b 2 ax b ) C dx 2 x(ax b) b(ax b) 含有.ax b 的积分 1 2 In b 2 ax b Tax~ dx = — T(ax~b)3 3a x 、、ax bdx = -^(3ax 2b 15a x 2 . ax bdx = ^^(15a 2x 2 12abx 8b 2) ., (ax b)3 C 105a ).(ax b)3 C x 2 - d x = -- 2 (ax 2b)、ax b C ，ax b 3a 2

2 15a 3 dx x ￥ ax b dx x 21 ax b ax b. dx = (3a 2x 2 4abx 8b 2)、、ax b ■, ax b 、. ； b .ax b .b A C (b (b 0) 0) bx 2b x 丫 ax b 2 ax b dx x, ax b ax b , 2 dx = x a dx 2 x 、ax b 14. 15. 16. 17. 18. (三) 19. 20. 21 . (四) 22. 23.

(完整word版)基本积分表

基本积分表 1、? +=c kx kdx 2、?++=+c a x dx x a a 11 3、?+=c x dx x ln 1 4、?+=+c x dx x arctan 112 5、?+=-c x dx x arcsin 112 6、? +=c x xdx sin cos 7、?+-=c x xdx cos sin 8、??+==c x xdx dx x tan sec cos 12 2 9、??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、?+=c x xdx x sec tan sec 11、? +-=c x xdx x csc cot csc 12、?+=c e dx e x x 13、?+=c a a dx a x x ln 14、?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数 15、?+=c shx chxdx 其中2 x x e e chx -+=为双曲余弦函数

基本积分表的扩充 16、? +-=c x xdx cos ln tan 17、?+=c x xdx sin ln cot 18、?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1 sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

常用微积分公式大全

常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为， 故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.

分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：

高数微积分公式大全

高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ????? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1 d x x dx μ μμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2 tan sec d x xdx = ⑹()2 cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-?

基本积分公式

基本积分公式Newly compiled on November 23, 2020

§基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （） (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) (6) ( ) (7) ( ) (8) ( ) (9) ( ) (10) ( ) (11) ( ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.

公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分. 分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数 ) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分.

微分积分公式大全

高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、001011 01lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞ ?=??+++?=??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0 sin lim 1x x x →= （2）()1 lim 1x x x e →+= （3 ）lim )1n a o →∞ >= （4 ）lim 1n →∞ = （5）lim arctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x +→= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x t a n x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()u v u v u v '''=+ 2 u u v u v v v '''-?? = ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿() 1log ln x a x a ' = ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=-

积分公式表,常用积分公式表

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11)

2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='?? ????? （2）()()() ()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 ) ()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f += 1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -= ；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时，

公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因 为，故（，）式右边的 是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：