指
数函数
2.1.1指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果,,,1n
x
a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次
当n 是偶数时,正数a 的正的n
负的n
次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.
n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数
时,0a ≥.
n a =;当n
a =;当n
(0)
|| (0) a a a a a ≥?==?
-
. (2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:
0,,,m
n
a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②
正数的负分数指数幂的意义是:
1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >.0
的负分数指
数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质
①
(0,,)
r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②
()(0,,)
r s rs a a a r s R =>∈ ③
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
2.1.2指数函数及其性质
2.1指数函数练习
1.下列各式中成立的一项
( )
A .71
7
7)(m n m
n =
B .31243)3(-=-
C .4
3433)(y x y x +=+
D .
33
39=
2.化简)3
1
()3)((65
61
3
12
12
13
2b a b a b a ÷-的结果
( )
A .a 6
B .a -
C .a 9-
D .2
9a
3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x
,则下列等式中不正确的是
( )
A .f (x +y )=f(x )·f (y )
B .)
()
(y f x f y x f =-)
( C .)()]
([)(Q n x f nx f n
∈=
D .)()]([·
)]([)(+∈=N n y f x f xy f n
n
n
4.函数2
10
)
2()5(--+-=x x y
( )
A .}2,5|{≠≠x x x
B .}2|{>x x
C .}5|{>x x
D .}552|{>< a y =在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a 等于 ( ) A . 2 5 1+ B . 2 5 1+ - C . 2 5 1± D . 2 1 5± 6.当a ≠0时,函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 ( ) 7.函数| |2)(x x f -=的值域是 ( ) A .]1,0( B .)1,0( C .),0(+∞ D .R 8.函数??? ??>≤-=-0 ,0 ,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是 ( ) A .]2 1,1[- B .]1,(--∞ C .),2[+∞ D .]2,2 1 [ 10.已知2 )(x x e e x f --=,则下列正确的是 ( ) A .奇函数,在R 上为增函数 B .偶函数,在R 上为增函数 C .奇函数,在R 上为减函数 D .偶函数,在R 上为减函数 11.已知函数f (x )的定义域是(1,2),则函数)2(x f 的定义域是 . 12.当a >0且a ≠1时,函数f (x )=a x -2-3必过定点 . 三、解答题: 13.求函数y x x = --15 1 1 的定义域. 14.若a >0,b >0,且a +b =c , 求证:(1)当r >1时,a r +b r <c r ;(2)当r <1时,a r +b r >c r . 15.已知函数1 1 )(+-=x x a a x f (a >1). (1)判断函数f (x )的奇偶性;(2)证明f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. 16.函数f(x)=a x (a>0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2,求a 的值. 参考答案 一、DCDDD AAD D A 二、11.(0,1); 12.(2,-2); 三、13. 解:要使函数有意义必须: x x x x x -≠-≠??? ???≠≠???10 1 010 ∴定义域为:{} x x R x x ∈≠≠且01, 14. 解:r r r r r c b c a c b a ?? ? ??+?? ? ??=+,其中10,10<<<< c b c a . 当r >1时,1=+ ?? ??+??? ??c b c a c b c a r r ,所以a r +b r <c r ; 当r <1时,1=+>?? ? ??+??? ??c b c a c b c a r r ,所以a r +b r >c r . 15.解:(1)是奇函数. (2)设x 1<x 2,则1111)()(221121+-- +-=-x x x x a a a a x f x f 。=) 1)(1()1)(1()1)(1(212 121++-+-+-x x x x x x a a a a a a ∵a >1,x 1<x 2,∴a 1x <a 2 x . 又∵a 1x +1>0,a 2 x +1>0, ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). 函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 16、 (1)若a>1,则f(x)在[1,2]上递增, ∴a 2-a =a 2,即a =3 2或a =0(舍去). (2)若0 2 或a =0(舍去), 综上所述,所求a 的值为12或3 2 . 题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值: ⑴ 33(5)-;⑵ 2(3)-; ⑶ 335; ⑷ 2()()a b a b -<; ⑸ 4334(3)(3)ππ---.⑹2 3 8;⑺12 25- ;⑻5 12-?? ???;⑼34 1681- ?? ??? . 【例2】 求下列各式的值: ⑴ 44100;⑵ 55 (0.1)-;⑶ 2(4)π-;⑷ 66 ()()x y x y ->. 【例3】 用分数指数幂表示下列各式: (1)3 2x (2)43)(b a +(a +b >0) (3)32 )(n m - (4)4 )(n m -(m >n ) (5) 5 6 q p ?(p >0) (6)m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算 【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? (2)a a a (3)3 22b a ab + (4)4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中0)a >:3a ;2a . 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a >0) 15 a ,34 a ,35 a -,23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式: 2 a a ,3 3 2a a ,a a (式中a >0) 【例8】 求值:23 8,12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值: (1)12 2 (2)1 2 6449- ?? ??? (3)34 10000- (4)23 12527- ?? ??? 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{>< 复合函数问题 一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A ,u=g(x)的值域为B ,若A ?B ,则y 关于x 函数的y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (1)、已知f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域 思路:设函数f x ()的定义域为D ,即x D ∈,所以f 的作用范围为D ,又f 对g x ()作用,作用范围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数f u ()的定义域为(0,1),则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析:函数f u ()的定义域为(0,1)即u ∈()01,,所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用,作用范围不变,所以01< 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-. 指数函数与对数函数(讲义) ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质: 2. 利用指数函数、对数函数比大小 (1)同底指数函数,利用单调性比较大小; (2)异底指数函数比大小,可采用化同底、商比法、取中间值、图解法; (3)同底数对数函数比大小,直接利用单调性求解;若底数为字母,需分类讨论; (4)异底数对数函数比大小,可化同底(换底公式)、寻找中间量(-1,0,1),或借助图象高低数形结合. 3. 换底公式及常用变形: log log log c a c b b a =(a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0) 1 log log a b b a = (a >0,且a ≠1;b >0,且b ≠1) log log m n a a n b b m = (a >0,且a ≠1;b >0,且b ≠1) log a b a b =(a >0,且a ≠1;b >0) ? 精讲精练 1. 若a ,b ,c ∈R +,则3a =4b =6c ,则( ) A .b a c 111+= B . b a c 122+= C .b a c 221+= D .b a c 212+= 2. 计算: (1)若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =,,,,,则228log ()x y +=_________; (2)设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤(), ()则1 (())2g g =_____________; (3)若2(3)6()log 6f x x f x x x +=??≥() (),则)1(-f 的值为________. 3. (1 )函数2()log )f x x =是_______函数(奇或偶); (2)设函数()1x x a e f x ae -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数,则a =__________. 4. 下列大小关系正确的是( ) A .3log 34.044.03<< B .4.03434.03log << C .4.04333log 4.0<< D .34.044.033log << 5. 设a =3log 2,b =ln2,c =1 2 5 - ,则( ) A .a 1、复合函数的概念 如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=f(a),a=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数y=f(x)和a=g(x)的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y。 例如:函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。 a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例对任意a,都有意义(a>0且a≠1)且。 对任意, 当a>1时,单调递增,当0<a<1时,单调递减。 ∵当a>1时, ∵y=f(u)是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地,当0<a<1时, 是单调递增函数 一般地,定理:设函数u=g(x)在区间M上有意义,函数y=f(u)在区间N上有意义,且当X∈M时,u∈N。 有以下四种情况: (1)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数; (2)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数; (3)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数; (4)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数。 注意:内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 (1)(2) 又是减函数 ∴函数的增区间是(-∞,2],减区间是[2,+∞)。 ②x∈(-1,3) 令 ∴x∈(-1,1]上,u是递增的,x∈[1,3)上,u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减。 注意:要求定义域 高考数学知识点:指数函数、函数奇偶性指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到: (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。(7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 注图:(1)为奇函数(2)为偶函数 1.定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论) ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2.奇偶函数图像的特征: 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 第四节、指数函数 一、初中根式的概念; 如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根; (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时,a 的n 次方根用符号n a 表示。 . 式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数。 当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a >0)。 由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 思考:n n a =a 一定成立吗? 结论:当n 是奇数时,a a n n = 当n 是偶数时,???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、(1)=-+125.08 33-4 1633 (2)7722)(2y x y xy x -+ +-= 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定: )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 无理指数幂:一般地,无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 对于根式的运算,简单的问题可以根据根式的意义直接计算,一般要将根式化为分数指数幂,利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简(1)=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a (2)=?÷?363342b ab a 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12 -=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)12 41 ++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--() 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点:1把握函数基本知识(定义域、值域) x(a>0、<0) 主要是指数函数y=a x(a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数(重点)基本概念(思维方式)对称轴、 开口方向、判别式 考点1:单调函数的考查 2:函数的最值 3:函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4:个数问题(结合函数图象) 3反函数(原函数与对应反函数的关系)特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法) 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示:对此部分重点把握第3题、第4题的解法(与集合的关系) 问题1:恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类:1、一次函数型:形如:给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习:对于满足0 -4x+p-3恒成立的x的取值范围 2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解 练习:1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围 2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。 3、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解 练习:若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。 4利用图象 练习:当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:高中数学完整讲义指数与指数函数1指数基本运算
高一数学指数函数知识点及练习题
复合函数知识总结及例题
指数函数对数函数和幂函数知识点归纳
指数函数与对数函数(讲义)
(完整版)高一数学复合函数讲解
高考数学知识点:指数函数、函数奇偶性
指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
人教高一数学指数函数讲义
高一数学指数函数经典例题
高一数学讲义完整版
指数函数知识点汇总