2.7反函数(无附答案)人教版
【§2.7反函数】 班级 姓名 学号
例1．求函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤-)
01()10(122x x x x 的反函数. 例2．已知a
x x x f ++=12)(，其中21≠a . （1）求其反函数
例3．设a>0，a ≠1,f(x)=log a (x+)1(12≥-x x ，求函数f(x)的反函数及其定义域.
例4．已知函数y=f(x)的定义域是非空数集A ，值域是非空数集B.（1）若y=f(x)是集合A 上
的增函数，则y=f －1(x)是集合B 上的增函数；（2）y=f(x)是集合A 上的减函数，y=f －1(x)
是集合B 上的减函数.
【备用题】
1．已知函数f(x)=log a (a －a x ) (0 （1）求f(x)的定义域、值域； （2）解不等式f －1(x 2－2)>f(x). 【基础训练】 1．下列函数中，有反函数的是 （ ） A ．y=x 2+2x B ．y=|x| C ．y=lgx 2 D ．1 1-=x y 2．函数)(a x a x a y ≥--=的反函数是 （ ） A ．y=(x －a)2+a (x ≥a) B ．y=(x －a)2－a (x ≥a) C ．y=(x －a)2+a (x ≤a) D ．y=(x －a)2－a (x ≤a) 3．函数)5 2,(2532≠∈-+=x R x x x y 且的图象 （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y=x 对称 4．若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab ≠0，则g(b)等于 （ ） A ．a B ．a －1 C ．b D ．b －1 5．)2(,1 1)(1=+-=-f x x x f 则=__________________. 6．若点（1，2）在b ax y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_________，b=________. 【拓展练习】 1．函数1 1-+=bx ax y 的反函数为自身的条件是 （ ） A ．a=0,b=0 B ．a=1,b ∈R C ．a=1,b ≠－1 D ．a=－1,b=0 2．已知函数f(x)=a x +k 的图象经过（1，7）点，其反函数f －1(x)的图象经过（4，0）点，则函 数f(x)的表达式是 （ ） A ．f(x)=4x +3 B ．f(x)=2x +5 C ．f(x)=5x +2 D ．f(x)=3x +4 3．函数y=x 2+2x+3(x ≤－1)的反函数是 （ ） A ．12--=x y B ．12--±=x y C ．12---=x y D ．12---=x y 4．若函数y=f(x)的图象过点P （1，2），则f(x+2)的反函数的图象必过点 （ ） A ．（2，－1） B ．（－1，－2） C ．（－1，2） D ．（2，1） 5．设f(x)=4x －2x+1(x ≥0)，则f －1(0)=_______________. 6．函数)(2 1x x e e y --=的反函数是_________________. 7．已知函数y=f9x)的反函数是f －1(x)=)0(1≥-x x ，那么函数y=f(x)的定义域是______________. 8．函数f(x)的图象与x x g )21 ()(=的图象关于直线y=x 对称，则f(4－x 2)的递增区间为 ___________. 9．设1)1(+= +x x x f ，求f －1(x+1). 10．是否存在a 、b 使函数x b ax x f +=)(的图象关于直线y=x 对称，若不存在，请说明理由； 若存在，求出a 、b 的值. 11．设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=)0(1)0(1)(2x x x x x f ，求其反函数f －1(x)，又若g(x)=x+2，求f －1{g[f(x)]}. 12．设x x x x f +-++=11lg 21)(，证明方程f －1(x)=0有唯一解. 高三数学反函数试题答案及解析 1.已知函数，则． 【答案】1 【解析】因为，所以因此 【考点】反函数 2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数. 【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换 3.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数 对应的曲线在点（）处的切线方程为． 【答案】 【解析】由题意知，，所求的切线斜率为，所以切线方程为 化简即. 【考点】互为反函数的函数图象的关系，导数的几何意义，切线方程的求法. 4.函数的反函数是． 【答案】 【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为 【考点】反函数 点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。 5.函数的反函数是（） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。 【考点】反函数 点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。 6.若满足2x+="5," 满足2x+2(x－1)="5," +＝ A．B．3C．D．4 【答案】A 【解析】 如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交 点A的横坐标；又因为2x+2(x－1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得 ，所以，选择A 【考点】本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性。 点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解 决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了。 7.函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则= _______． 【答案】-1 【解析】因为函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=-1 8.已知函数f (x)=a x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为． （1）求；（注意：指数为x+2） （2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值； （3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围． (x+1)-2(x>-1)．（2）或． 【答案】（1）=log a （3）满足条件的x的取值范围为． 【解析】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考 查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题 （y+1）-2，即可得f-1（x）； （1）由y="f" （x）=a x+2-1，求得x=log a （2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值； （3）由题意可得转化为不等式x2≤a3+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。 9.．设的反函数的解析式是， 【答案】 【解析】解：因为，那么配凑变形可知的反函数的解析式 是 【§2.7反函数】 班级 姓名 学号 例1．求函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤-) 01()10(122x x x x 的反函数. 例2．已知a x x x f ++=12)(，其中21≠a . （1）求其反函数 例3．设a>0，a ≠1,f(x)=log a (x+)1(12≥-x x ，求函数f(x)的反函数及其定义域. 例4．已知函数y=f(x)的定义域是非空数集A ，值域是非空数集B.（1）若y=f(x)是集合A 上 的增函数，则y=f －1(x)是集合B 上的增函数；（2）y=f(x)是集合A 上的减函数，y=f －1(x) 是集合B 上的减函数. 【备用题】 1．已知函数f(x)=log a (a －a x ) (0 母题七 基本初等函数及其应用 【母题原题1】【2018某某卷，7】已知α∈{－2,－1,－21,2 1,1,2,3}，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=_____. 【答案】1- 【解析】幂函数为奇函数，幂指数α只能为1,1,3-，又函数在(0,)+∞上递减，0α<，所以 1.α=- 【母题原题2】【2017某某卷，9】已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从 中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________ 【答案】 【母题原题3】【2016某某卷，18】已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则 ________)()(1=-x f x f 的反函数． 【答案】2log (1)x - 【解析】试题分析： 将点（3，9）代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得2lo g (1)x y =-，所 以()1 2log (1)f x x -=-. 【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化 【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解（反解x ）、二换（x 与y 互换）、三注（注意定义域）.本题较为容易. 【命题意图】主要考查基本初等函数的运算与性质，以及反函数的概念，作差或作商法的应用，不等式的相关性质以及有关函数性质的应用. 【命题规律】某某高考近几年对这部分的考查主要集中在基本初等函数与反函数的综合，基本初等函数的一系列运算性质，对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等。 【答题模板】解答本类题目,以求解有关反比例函数为例，一般考虑如下三步： 第一步：利用解析式反求出x； 第二步：互换式子中的x与y； 第三步：写出最终解析式，注意定义域。 【方法总结】 1.指数函数图象的应用技巧：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)． (2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值X围，并在必要时进行分类讨论． (3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 3.对数运算的一般思路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并； (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 4.对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较． (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． §2.4.1 反函数的概念及求法 [教学目的] 使学生了解反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数. [重点难点] 反函数的定义和求法. [教学设想] 1.教法：讲授法； 2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论； 3.课时：1课时. [教学过程] 一、复习引入 ⒈复习：⑴函数的定义（近代定义和传统定义）； ⑵求下列函数的定义域和值域：①y=x2+1; ②y=2x-3;③y=5/(3x-1); ④y=x+2; ⑤y=(x+2)/(2x-1). 答案：①x∈R,y≥1;②x∈R,y∈R;③x≠1/3,y≠0;④x≥0,y≥2;⑤x≠1/2,y ≠1/2. ⒉引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,定义域t≥0,值域s≥0；反过来，也可以由位移s和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即t=s/v，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s≥0,值域t≥0. 又如，在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域x∈R，值域y ∈R. 我们从函数y=2x+6中解出x，就可以得到式子x=y/2-3. 这样，对于y在R 中任何一个值，通过式子x=y/2-3，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是y∈R，值域是x∈R. 综合上述，我们由函数s=vt得出了函数t=s/v；由函数y=2x+6得出了函数x=y/2-3，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：⑴它们的对应法则是互逆的；⑵它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数. 今天我们就来学习这种函数. 反函数基础练习含答案 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（反函数基础练习含答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为反函数基础练习含答案的全部内容。 反函数基础练习 （一）选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0）的反函数是 [ ］ A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x （2＋x)(x ≥0）的反函数的定义域是 [ ] A ．[0,＋∞） B ．[－∞，1] C ．(0，1] D ．（－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 ［ ] A ．y ＝2－（x －1)2(x ≥2） B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－（x －1）2(x ≥1) D ．y ＝2＋（x －1)2（x ≥1） 4．下列各组函数中互为反函数的是 ［ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11 C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f （x)的反函数是y ＝f —1(x)，则下列命题中一定正确的是 ［ ］ A ．若y ＝f(x ）在[1，2］上是增函数，则y ＝f -1(x ）在[1,2］上也是增函数 B ．若y ＝f(x ）是奇函数，则y ＝f -1（x ）也是奇函数 班级：一 对一 所授年级+科目：高一数学授课教师：课次：第 次 学生：上课时间： 教学目标理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 教学重难 点 反函数的求法，反函数与原函数的关系． 反函数——快速练习 一、选择题 1.若y＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a为常数)的实根的个数为( ) A.无实数根 B.只有一个实数根 C.至多有一个实数根 D.至少有一个实数根 解析:y＝f(x)存在反函数,则x与y是“一对一”的.但a可能不在值域内,因此至多有一个实根.答案:C 2.设函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x),若f(x)＝2x,则f-1( )的值为( ) A. B.1 C. D.-1 解析:令f(x)＝2x＝ ,则x＝-1,故f-1( )＝-1,故选D. 3.若函数y＝f(x-1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,则f(x)等于( ) A.e2x-1 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+2 解析:由函数y＝f(x-1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f(x-1)与 互为反函数,有 x＝e2y-2,所以y＝e2x-2 y＝f(x-1)＝e2x-2.故f(x)＝e2x.答案:B 4.已知函数f(x)＝2x+3,f-1(x)是f(x)的反函数,若mn＝16(m,n∈R+),则f-1(m)+f-1(n)的值为( ) A.-2 B.1 C.4 D.10 解析:设y＝2x+3,则有x+3＝log2y,可得f-1(x)＝log2x-3.于是 f-1(m)+f-1(n)＝log2m+log2n-6＝log2mn-6＝-2.答案:A 5.设函数 (0≤x＜1)的反函数为f-1(x),则( ) A.f-1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1 B.f-1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0 C.f-1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1 D.f-1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0 解析:由 (0≤x＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f-1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D 不定积分的求解及相关应用 目录 摘要 一引言 二不定积分的求解方法及所对应例题解析 〔一〕基本公式法〔直接积分法〕 〔二〕逐项积分法、因式分解法 〔三〕“凑”微分法〔第一类换元法〕 〔四〕第二类换元法〔参变量积分法〕 〔五〕分部积分法 〔六〕有理函数的积分 〔七〕其他类型的积分举例 三解不定积分的一般步骤 四不定积分的应用举例 （一）在几何中的应用 （二）在物理中的应用 （三）在经济学中的应用 参考文献 致谢 【摘要】不定积分常见的计算方法在本科阶段可以归纳为七大类以及某些特殊不定积分的求解方法，如：基本公式法〔直接积分法〕、逐项积分法+因式分解法、换元积分法〔第一类换元法和第二类换元法〕、分部积分法、有理函数的积分以及一些特殊函数的积分 技巧与方法〔三角函数有理式与简单无理函数的积分〕，并将结合实际例题加以讨论以便于解不定积分题目既能快捷又方便的寻找出最正确的解题方法。 〔英文摘要，暂略〕 【关键词】不定积分基本公式法换元积分法分部积分法有理函数的积分三角函数有理式与简单无理函数的积分 〔英文关键词，暂略〕 一引言 定积分的思想在古代就已荫芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。直到牛顿一莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进一步发展做出了巨大的奉献。在初学定积分时，学生学习的困难较大，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。20世以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础。牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步稳固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的求解方法对于学习这些后续内容是非常重要的。 同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以当今学生们解决不定积分的题目普遍觉得困难，即便最后解决了题目，可能也走了许多弯路。最后假设能从“弯路”中总结不定积分的求解方法，那么那些“弯路”都是有价值的，但是假设只求结题，事后不思考、总结，那就是在浪费时间，也逐渐减少了学生对学习数学的热情。不定积分的解法不像微分运算有一 ξ2.4.1《反函数的概念及求法》学案 [学习要求]：理解反函数的概念，会求简单函数的反函数，掌握互为反函数的三要素的之间的关系。 [重点难点]：重点为反函数的求法；难点为反函数概念的理解。 [互动课堂]： 一、 反函数的概念： 1． 定义：一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用表示出，得到。 假设对于y 在C 中的任何一个值，通过 ，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ(y )就表示，这样的函数x =ϕ(y ) (C y ∈)，叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作. 习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调)(1y f x -= 中字母x ，y ，把它改写成 。 2． 理解： 〔1〕反函数是函数吗？为什么？ 〔2〕所有的函数都有反函数吗？什么样的两个函数才是反函数？ 〔3〕)(1x f y -=的反函数是谁？注意符号)(1x f -含义及读法？ 〔4〕函数本质上是映射。那么在映射观点下，反函数是什么？ 从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的 映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合到集合的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x f y -=的；函数)(x f y =的值域是它的反函数)(1x f y -=的 . 〔如右表〕： 〔5〕反函数定义给出了反函数的求法。 二、求反函数： 1． 例题精讲： ①②略 ③)0(1≥+=x x y ④)1,(1 32≠∈-+=x R x x x y 且. 解： 解： 总结归纳：求反函数的步骤： 〔1〕 〔2〕 〔3〕 例2．求函数⎩⎨⎧〈≤-〈≤-=） （）（）（0110122x x x x x f 的反函数。 解： 2019-2020年人教版高中数学必修第一册上《反函数》表格式教学设计附反思 教学目标： 1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系． 2．会求一些简单函数的反函数． 3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识． 4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力． 教学重点：求反函数的方法． 教学难点：反函数的概念． 教学过程： 教学设计说明 “问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程．本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念．反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号．由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念．为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成．另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用．通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维．使学生自然成为学习的主人． 数学 反函数 【重点难点解析】 1．本单元知识结构 2．了解互为反函数的两个函数间的关系(定义域、值域、运算反映的映射法则及图象)，会求函数的反函数(如果有的话)． 3．判断一个函数是否有反函数及求反函数运算时解不惟一，此时如何确定谁是所求的反函数等． 【考点】 1．求已知函数的反函数与已知函数的性质(单调性、奇偶性、图象特征等)从而确定反函数的性质． 2．求函数的值域是数学中的难点也是考点，而利用求反函数的定义域来求函数的值域，在解题时常有使用． 【典型热点考题】 例1 求下列函数的反函数： (1)y ＝f(x)＝2x －1； (2)3 x 1x 2)x (f y -+= =． 思路分析 求函数y ＝f(x)的反函数)x (f y 1-=，需先对函数的解析式按运算律要求逐步实施逆运算求得)y (f x 1-=，然后再交换x 、y ，就可求得反函数．一般如不特别给出函数的定义域，则解得的解析式即为所求，不必再另注明反函数的定义域(函数的值域)，如题目指明要求，则应计算函数的值域(反函数的定义域)． 解： (1)∵y ＝2x －1 ∴2x ＝y ＋1 2 1y 21x += ∴反函数21x 21)x (f y 1+= =-． (2)∵3 x 1x 2y -+=(x ≠3且x ∈R) ∴xy －3y ＝2x ＋1 xy －2x ＝3y ＋1 (y －2)x ＝3y ＋1 当y －2≠0，即y ≠2时 有2 y 1y 3x -+=(y ≠2) ∴反函数2 x 1x 3)x (f y 1-+==-(x ≠2)． 例2 求下列函数的反函数： (1)1x y 2-=(x ≤0)； (2)7x 4x y 2+-=(x ≥2)； (3)x y =(x ≥1)． 反函数 例题解析2 ［例1］已知实数a ≠0,a ≠1,函数y =11--ax x (x ∈R ,且x ≠a 1),求证：这个函数图象关于直线y =x 成轴对称图形. 【证明】 y =)1(11111a x a a a x ax x --+-=--,1)1(111a a x a a a ≠--+= 即函数y = 11--ax x (x ∈R ,且x ≠a 1)的值域为{y ∈R |y ≠a 1} 由y =1 1--ax x 得(ay －1)x =y －1 又y ≠a 1即ay －1≠0,∴x =11--ay y 因此函数y =11--ax x (x ∈R ,x ≠a 1)的反函数为 其本身，即函数y =11--ax x (x ∈R ,x ≠a 1)的图象关于直线y =x 对称. 【点评】 若函数存在反函数，则函数与反函数的图象关于直线y =x 对称，只要证明函数与反函数相同(即定义域相同且对应关系相同)则函数的图象就关于直线y =x 对称. ［例2］若点P (1，2)在函数y =b ax +的图象上，又在它的反函数的图象上，求a ,b 的值. 【解】 由题意知P (1，2)在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，P ′(2，1)也在函数y =b ax +的图象上， 因此，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b a b a 212，解得:a =－3,b =7. 【点评】 互为反函数的函数图象关于直线y =x 对称，因此其中任一图象上的任一点关于直线y =x 的对称点必在另一函数图象上，本题即是利用这种关系找到点(2，1)也在原函数图象上，从而有f (1)=2且f (2)=1，解出a 、b 的值，可见并非所有与反函数有关的问题都需要求出反函数. ［例3］已知函数f (x )= x x 324++,求f －1［f (x )］、f ［f －1(x )］和f －1(x )的反函数. 【解】 f (x )=x x 324++的定义域是A ={x |x ≠－32},值域是{y |y ≠3 1}，即其反函数定义域为C ={x |x ≠31}. 设y =f (x )=x x 324++的反函数为y =f －1(x ) 则f (x )图象与f －1(x )图象关于直线y =x 对称. 若点M (x ,f (x ))在y =f (x )图象上，则点M ′(f (x ),x )必在其反函数y =f －1(x )图象上， ∴f －1［f (x )］=x (x ∈A ) 同步检测训练 一、选择题 1．(2008·全国Ⅰ)若函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( ) A ．e 2x － 1 B ．e 2x C ．e 2x ＋1 D ．e 2x ＋ 2 答案：B 解析：∵函数y ＝ln x ＋1的反函数为y ＝e 2(x －1)，即f (x －1)＝e 2(x － 1)，∴f (x )＝e 2x ，故选B. 2．(2008·北京)“函数f (x )(x ∈R )存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若函数f (x )在R 上为增函数，则x 与y 一一对应，故存在反函数，∴必要性成立；若函数f (x )存在反函数，则x 与y 一一对应，函数f (x )在R 上也可能是减函数， ∴充分性不成立，故选B. 3．函数y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0， －x 2，x <0的反函数是( ) A ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0， －x ，x <0 B ．y ＝⎩⎨⎧ 2x ，x ≥0， －x ，x <0 C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0， －－x ，x <0 D ．y ＝⎩⎨⎧ 2x ，x ≥0， －－x ，x <0 答案：C 解析：本题考查求分段函数的反函数． y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0－x 2，x <0，当x ≥0，x ＝y 2，∴y ＝x 2. 当x <0，x ＝－－y ，∴y ＝－－x . ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 －－x ，x ≥0，x <0 故选C. 4．(2009·郑州一测)定义在R 上的函数f (x )的反函数为f － 1(x )，且对于任意x ∈R ，都有f (－ x )＋f (x )＝3，则f －1(x －1)＋f －1 (4－x )＝( ) A ．0 B ．－2 C ．2 D ．2x －4 答案：A 解析：由f (－x )＋f (x )＝3可知函数y ＝f (x )的图象关于点(0，32 )对称，因此其反函数y ＝f － 1 (x )的图象必关于点(32 ，0)对称，即有f －1(x )＋f －1(3－x )＝0，故f －1(x －1)＋f －1[3－(x －1)]＝0， 即f －1(x －1)＋f －1 (4－x )＝0，选A. 5．已知函数f (x )＝a －x x －a －1 的反函数f － 1(x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫－1，32，则函数h (x )＝log a (x 2－2x )的单调递增区间是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，1) 第二章反函数教材分析 1．本节知识结构： 2．教学目的与要求： （1）使学生了解反函数的概念． （2）使学生明确求反函数的三个步骤，会求一些简单函数的反函数． （3）使学生明确互为反函数的函数图象关于直线y ＝x 对称． 3． 教材分析与教学建议： （1）本小节计划三课时，可以第一课时学习反函数的概念，第二课时学习反函数的求法，第三课时学习互为反函数的图象之间的关系． （2）本小节教材的重点是反函数的概念，学生学习中可能遇上的难点是理解y ＝f －1（x ）中f －1的意义，和求出一个函数的反函数． （3）反函数在数学中十分重要，课本通过实例引入这一概念．教学时，可给学生创设以下活动情境： ①设某物体在直线l 上（从点A 起）作匀速直线运动，速度是1．2（米/秒），写出位移s 用时间t 表示的关系式，并回答你写出的关系式是否表明s 是t 的函数？ ②由st 计算出t 取整数时对应的s 值，并将其列表； 表格如下： 图2－19 ③由t ＝2 .1s 计算出位移为的整数倍时对应的时间t 的值，并将其列表； 定义解出x 交换x 与y 的位置写出反函数定义域 求反函数的步骤互为反函数图象间的关系反函数 表格如下： 图2－20 ④引导学生理解图2－19的意义：由时间计算位移，并且每一个时间都有唯一的位移与其对应，反映的是位移是时间的函数； ⑤让学生思考图2－20的意义：由位移计算时间，并且每一个位移都有唯一的时间与其对应，反映的也是一个函数关系：时间是位移的函数； ⑥让学生思考：函数st 与函数t ＝2 .1s 是相同的函数吗？它们有什么关系？ 在学生完成以上活动后，给出反函数的定义． （4）关于给定函数与它的反函数之间的关系，应明确以下几点： ①反函数的定义域与值域应该正好是原来函数的值域与定义域，否则不能算是原来函数的反函数．例如“x ＝2 y （y ∈Z ）不是函数y ＝2x （x ∈Z ）的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域．所以求原来函数的反函数时，必须已知或先确定原来函数的值域． ②对于任意一个函数y ＝f （x ）来说，不一定有反函数．如果有反函数y ＝f －1（x ），那么原来函数y ＝f （x ）也是反函数y ＝f －1（x ）的反函数，即它们互为反函数． ③反函数也是函数，因为它是符合函数定义的． （5）求由解析式给出的函数y ＝f （x ）的反函数时，要强调分三个步骤进行： 第一步将y ＝f （x ）看成方程，解出x ＝f －1（y ）；第二步将x ，y 互换，得到y ＝f －1（x ）；第三步写出反函数的定义域． 要向学生指出： ①y ＝f （x ）中的x ，y 与在x ＝f －1（y ） 中的x ，y 所表示的量相同，但是地位不同．在y ＝f （x ）中的x 是自变量，y 是函数值；在x ＝f －1（y ） 中的y 是自变量，x 是函数值． ②y ＝f （x ）与在y ＝f －1（x ）中的x 都是自变量，y 是函数值，这比较符合习惯，并给研究函数带来某些方便．但是x ，y 所表示的量（指实际意义）在两式中被互换了，在y ＝f （x ）中的x ，y 所表示的量，分别是y ＝f －1（x ）中的y ，x 所表示的量． ③把反函数x ＝f －1（y ） 改写成y ＝f －1 （x ）的形式，在同一个直角坐标系中，函数y ＝f （x ）的图像与它的反函数y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称．这也是对换变量x ，y 的好处之 讲案2.7反函数 课前自主研习 温故而知新可以为师矣 知识导读 1.反函数的概念 (1)设函数y＝f(x)的定义域为A，值域为C.由y＝f(x)求出x＝φ(y)．如果对于C中每个y值，在A中都有唯一的值和它对应，那么x＝φ(y)为以y为自变量的函数，叫做y＝f(x)的反函数，记作____________________，通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作__________________． (2)反函数的定义域和值域分别是原函数的__________和__________． 2．反函数的求解步骤 第一步从y＝f(x)中求出x；第二步________________；第三步确定y＝f－1(x)的定义域，即原函数的______________．3．原函数与反函数图象间的关系 (1)原函数与其反函数的图象关于 ________________对称． (2)若点P(a，b)在y＝f(x)的图象上，则点__________在y＝f－1(x)的图象上． (3)若y＝f(x)与x＝f－1(y)互为反函数，则在同一坐标系下的图象关系是__________． 4．反函数的性质 (1)y＝f(x)与y＝f－1(x)具有____________的单调性． (2)奇函数的反函数是____________________．(奇偶性) (3)若y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则y＝f(x)的反函数是__________．5．反函数的存在性问题 (1)定义域是单调区间的函数一定存在反函数吗？________. (2)奇函数一定存在反函数吗？__________. (3)偶函数一定不存在反函数吗？__________. (4)周期函数一定不存在反函数吗？__________. 上海市2022届春季高考数学试卷 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第 题每题5分） (共12题；共54分) 1．（4分）已知z=2+i，则z̅= 【答案】2-i 【解析】【解答】解：∵z=2+i， ∴z=2−i 故答案为：2-i 【分析】根据共轭复数的定义求解即可. 2．（4分）已知A=(−1，2)，B=(1，3)，则A∩B= 【答案】(1，2) 【解析】【解答】解：∵A=(−1，2)，B=(1，3) ∴A∩B=(1，2) 故答案为：(1，2) 【分析】根据交集的定义求解即可. 3．（4分）不等式x−1 x<0的解集为 【答案】(0，1) 【解析】【解答】解：由题意得x−1 x<0等价于 x(x-1)<0，解得0 【解析】【解答】解：∵方程组 { x +my =2 mx +16y =8 有无穷解， ∴两直线重合 ∴1m =m 16=28 解得m=4 故答案为：4 【分析】根据方程组解的个数与直线的位置关系直接求解即可. 6．（4分）已知函数 f(x)=x 3 的反函数为 y =f −1(x) ，则 f −1(27)= 【答案】3 【解析】【解答】解：∵函数 f(x)=x 3 的反函数为 y =f −1(x) ， ∴令x 3=27，得x=3 即 f −1(27)=3 故答案为：3 【分析】根据反函数的定义直接求解即可. 7．（5分）在 (x 3+1x )12 的展开式中，含 1x 4 项的系数为 【答案】66 【解析】【解答】解：由题意得 (x 3+1x )12 的通项公式为T r+1=C 12r (x 3)12−r (x −1)r = C 12r x 36−4r (0≤r≤12，r∈N) 令36-4r=-4，得r=10， 则T 11=C 1210x −4=66x −4， 则1 x 4 项的系数为66. 故答案为：66 【分析】根据二项式定理直接求解即可. 8．（5分）在∈ABC 中， ∠A =π 3 ， AB =2 ， AC =3 ，则∈ABC 的外接圆半径为 【答案】√213 【解析】【解答】解：设AB=c ，AC=b ，BC=a ，则c=2，b=3， 则由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA 得a 2=22+32−2×2×3×cos π 3=7 §2.7 对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． 知识梳理 1．对数的概念 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (3)换底公式：log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质 y ＝log a x a >1 01时，y >0； 当0 y <0 y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论 1．log a b ·log b a ＝1，log n m b a ＝n m log a b . 2．如图给出4个对数函数的图象 则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x 1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝1 2 1 log x 的图象重合．( √ ) 教材改编题 1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点 ． 答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2， ∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝ . 反函数（北京习题集）（教师版） 一．选择题（共4小题） 1．（2010秋•海淀区校级期中）若3log y x =的反函数是()y g x =，则(1)g -值为( ) A ．3 B ．3- C ．1 3 D ．13 - 2．（2010春•宣武区期末）若函数()y f x =是函数2x y =的反函数，则[f f （2）]的值为( ) A ．16 B ．0 C ．1 D ．2 3．（2010春•平谷区校级月考）已知函数()y f x =的图象与函数21x y -=-的图象关于直线y x =对称，则f （3）的值为( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 4．（2009•海淀区一模）函数1()2x f x +=的反函数1()y f x -=的图象是( ) A ． B ． C ． D ． 二．填空题（共8小题） 5．（2009•东城区二模）设函数2210()10 x x f x x x -<⎧=⎨-⎩的反函数为1()f x -，则1f -（1）的值为 ． 6．（2009•丰台区二模）已知函数2log y x a =+的图象与函数32x y -=的图象关于直线y x =对称，则a = ． 7．（2009秋•海淀区校级期中）已知函数()f x 的图象与函数()2x g x =的图象关于直线y x =对称，令()(1||)h x f x =-，则关于函数()h x 有以下命题： （1）()h x 的图象关于原点(0,0)对称； （2）()h x 的图象关于y 轴对称； （3）()h x 的最小值为0； （4）()h x 在区间(1,0)-上单调递增． 正确的是 ． 8．（2008秋•昌平区期末）函数()f x a =(2,3)，则a = ，1f -（1）= ． 9．（2009秋•海淀区校级期中）记()2x f x =的反函数为1()y f x -=，则1f -（4）= ． 10．（2007秋•东城区期末）已知函数8()log f x x =，它的反函数为1()f x -，则12()3 f -= ． 11．（2008•丰台区一模）若函数()y f x =的图象与函数2(0)y x x =的图象关于直线0x y -=对称，则()f x = ． 12．（2007秋•东城区校级月考）设函数36log (1)(6)()3(6) x x x f x x +-+>⎧=⎨⎩的反函数为1()f x -，则11()9f -= ． 三．解答题（共3小题） 13．（2003•崇文区一模）已知()log (a f x x =，且01a <<． （Ⅰ）求()f x 的定义域和值域； （Ⅱ）求()f x 的反函数1()f x -． 14．（2014秋•西城区校级期末）设a 为常数，记函数21()()1 x f x k x -=+，1x >的反函数为1()f x -．已知1 ()y f x -=的图象经过点1 (,3)4 ． （Ⅰ）求实数k 的值和反函数1()f x -的解析式； （Ⅱ）定义函数1()log [()]log c c F x f x -=-，其中常数0c >且1c ≠，求函数()F x 的值域． 15．（2008秋•海淀区校级月考）已知函数()(0x k f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,1)-，其反函数1()f x -的图象过点(8,2)． （1）求a ，k 的值 （2）若将1()y f x -=的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数()y g x =的图象，写出()y g x =的解析式 （3）若函数21()()()F x g x f x -=-，求()F x 的最小值及取得最小值时x 的值．高三数学反函数试题答案及解析
2.7反函数(无附答案)人教版
(上海专版)高考数学 母题题源系列 专题07 基本初等函数及其应用 理-人教版高三全册数学试题
人教版高中数学必修1反函数的概念和求法教案
(2021年整理)反函数基础练习含答案
反函数练习附答案
不定积分的求解及相关应用
人教版高中数学必修第一册反函数的概念及求法教案
2019-2020年人教版高中数学必修第一册上《反函数》表格式教学设计附反思
高一数学 反函数 重难点解析 人教版
人教版高中数学必修第一册反函数 例题解析2
高考数学 第二章 第六节反函数
第二章 反函数教材分析 人教版 教案
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.7
上海市2022届春季高考数学试卷
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第2章 §2.7 对数与对数函数
反函数-高中数学知识点讲解(含答案)