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高考数学复习+立体几何小题-(文)

专题04 立体几何小题（理）

一.立体几何小题

（一）命题特点和预测：分析近8年的高考全国课标1试题，发现立体几何小题8年16考，每年基本上为2个小题，一个以简单几何体的三视图为载体考查简单几何体的三视图及其体积或表面积或几何体中的最值问题，一个考查简单几何体的外接球体积与表面积或空间线面、面面平行、垂直问题、空间异面直线夹角、线面角、与体积或表面积有关的最值问题等，难度既有基础题也有中档题也可为压轴题，2019年的高考仍将在保持这一考试特点的基础上会适度创新．

（二）历年试题比较：

在长方体中，

）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相

（

,，

依垣内角，下周八尺，高五尺，问

（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）

斛米的体积约为

，则这两个圆锥中，体积较小者的高于体积较大者的高

【解析与点睛】

（2018年）（5）【解析】，故选B.

（9）

【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为

，故选B.

（10）【解析】在长方体

，故选

（2017年）（6）【解析】由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面

MNQ ；由D ，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故A 不满足，选A ．（16）【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB 因为

，所以

因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC 设OA r =，则

所以

，所以球的表面积为2436r ππ=

（2016年）（7）【解析】由三视图知：该几何体是

个球，设球的半径为R ，则，

解得R 2=，所以它的表面积是，故选A ．

（11）【解析】如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m ,平面11CB D 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D ,

所以

,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则

CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而

,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60?,故

,m n 所成角的正弦值为2

,故选A.

（2015年）(6)【解析】设圆锥底面半径为r ，则，所以16

r =

，所以米堆的体积为

3209，故堆放的米约为320

÷1.62≈22，故选B. (11)【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，

圆柱的高为2r ，其表面积为=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选

（2014年）(8)【解析】由三视图知，该几何体是放到的底面为等腰直角三角形的直三棱柱，故选B. （2013年）(11)【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长

为4宽为2高为2长方体，故其体积为

=168π+，故选A .

(15)【解析】由:AH HB =1:2及AB 是球的直径知，AH =

23R ，BH =43R ，∴OH =3

，由截面圆面积为π得截面圆半径为1，∴

，∴2R =98，∴球O 的表面积为24R π=92

（2012年）(7)【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱

锥的高为3，故其体积为

=9，故选B.

(8)【解析】由球的截面性质知，球的半径R=

，所以球的体积为，

故选B.

（2011年）(8)【解析】由几何体得正视图与俯视图知，其对应的几何体如图所示是半个圆锥与棱锥的

组合体，故其侧视图选D.

(16)【解析】设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，球心为O ，圆锥底面圆心为O '，两顶点分别为P 、Q ，

则由2r π=

23416R π?知，2r =23

R ，根据球的截面性质可知P 、Q 、O 、O '共线，PQ ⊥圆面O '，

圆锥的轴截面内接于球的大圆，因此PB QB ⊥，PQ BO '⊥.

设PO '=x ，QO '=y ，则x y +=2R ， ①

又PO B '?∽BO Q '?知2r =2O B '=xy ，即xy =2

R ② 由①②可得x =

R ，y =32R ，体积较小者的高于体积较大者的高的比值为3.

（三）命题专家押题

一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（．．

我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，如图，圆锥的高，底面圆的直径

一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为如图，已知正方体的棱长为

为过与正方体

的夹角是．

【详细解析】

1.【答案】C

2.【答案】A

【解析】把该几何体嵌入棱长为2的正方体中，求得.故选A.

3.【答案】C

【解析】根据三视图得出：该几何体是三棱锥，如图所示，AB＝2，BC＝3，DB＝5，CD＝4，因为AB⊥

面BCD，BC⊥CD CD⊥面ABC，∴几何体的表面积是

C．

4.【答案】B

【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球

的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以r=R

B．

5.【答案】24

6.【答案】B

，

，，，，

7.【答案】A

【解析】取AC的中点N和NB∥AM，所以AM与∠NC1B或其补角，设所

有棱长为2在△中，由余弦定理cos∠ A

8.【答案】C

【解析】如下图，中，中点，

，，，，

所成角.由题可得所以，

由，所以，故选C

9.【答案】

【解析】

R，则有

因为正四面体的边长为,故

，，即

10.【答案】C

【解析】A项:因为面AD1∥面BC1，且面AD1与面MBN的交线为FH，面BC1与面MBN的交线为BE，所以HF∥BE，A正确；

B项：同理，

,B正确；

C项：即为所求线面角，，C错；

D项：，D对，故选C.

立体几何空间角

D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角知识点归纳 1、异面直线所成的角异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角（1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角（2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角（3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-，求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=，求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1

空间立体几何练习题(含答案)

第一章空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的主视图左视图俯视图

高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角

第十二讲立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1）异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法??? ??20π， 2）直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0，2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3）二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角) 当θ为锐角时，n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时，n m n m ??-=arccos πθ

二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中，若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。解：法一：如图一所示，设O为C B 1 、B C 1 的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。设 1 ,2 BB a AB a == 则，于是在DOB ?中， 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二：取 11 A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位，则由

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积．全国1卷理科理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．

高考数学专题复习立体几何专题空间角

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识 1.定义：直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直角）叫做。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法：平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D

文科立体几何面角二面角专题-带答案

文科立体几何线面角二面角专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值；（II）求证：⊥平面；（III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.

（1）求证；（2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，

，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，，（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；

2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：立体几何-小题

（新课标1）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B 考点：圆锥的体积公式（新课标1）（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C

试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m是直线且mα?．若“mβ∥”，则平面、 αβ可能相交也可能平行，不能推出// αβ， αβ，反过来若// mα ?，则有mβ∥，则“mβ∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件. 考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. （福建）7．若,l m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l m⊥”是“//lα的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．（湖南）10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本来法向量就己经存在了，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧，但法向量找出来了，和那个己经存在的法向量有很大的差别，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所成角的大小。 (1) (2) (3) A B

高考中常见的立体几何题型和解题方法

高考中常见的立体几何题型和解题方法黔江中学高三数学教师：付超高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2．判定两个平面平行的方法：（1）根据定义——证明两平面没有公共点；（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．空间角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三

2020年高考数学试题分类汇编之立体几何

2018年高考数学试题分类汇编之立体几何一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）。（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角

立体几何复习专题(空间角)(学生卷)

专题一：空间角一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。直线和平面所成角范围：[0， 2 π]。（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。（3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 上的射影c 与b 相交成?2角，则有θ??cos cos cos 21= 。内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。 3．二面角（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．．作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。（3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）（二）间接法：面积射影定理的方法。（4）面积射影定理：面积射影定理：已知ABC ?的边BC 在平面α内，顶点A α?。设ABC ?的面积为S ，它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα

高考数学15立体几何小题.docx

立体几何 1、平面βα⊥，直线α?b ，m β?，且b m ⊥，则b 与β( ) A ．b β⊥ B ．b 与β斜交 C ．b //β D ．位置关系不确定 2、过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有( )条 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3、一条直线与一个平面所成的角等于3π，另一直线与这个平面所成的角是6 π 。则这两条直线的位置关系( ) A ．必定相交 B ．平行 C ．必定异面 D ．不可能平行 4、在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1:3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A ． B ．1:9 C ．1: D ．1:1) 5、正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q R 分别是11,,AB AD B C 的中点．那么，正方体的过,,P Q R 的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形 6、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7、已知平面α与β所成的二面角为80°，P 为,αβ外一定点，过点P 的一条直线与,αβ所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 8、如图所示，PAB ?所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =， 8BC =，6AB =。若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是( ) A ．椭圆的一部分 B ．线段 C ．双曲线的一部分 D ．以上都不是 9、如图所示，已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为( ) A ． 6 π B ． 3 π C D

2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案：解答：如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案：见解析解答：（1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ，于是得到平面//NGHM 平面1C DE ，由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE

（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)

空间向量与立体几何专题(含答案)

2011届高考专题复习空间向量与立体几何一、近年考情分析与2011年广东命题走势纵观07-10广东试题，我们可以发现，此部分内容涉及试题数及分值为：立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．二、广东考题剖析及热点题型讲析热点1 空间几何体的结构、三视图、直观图 1．（08年广东5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视图1 图2 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ．

2．（10年广东6）如图1,△ABC为正三角形,AA＇//BB＇//CC＇,CC＇⊥平面ABC且3AA＇=3 2 BB＇ =CC＇=AB,则多面体ABC-A＇B＇C＇的正视图(也称主视图)是 ( D ) 3.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A.2 B.1 C. D. 【答案】B 本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为. 4.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（） A.1 B. C.2 D.3 【答案】C

【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C. 5．如下图所示，四边形OABC 是上底为2下底为6，底角为45度的等腰梯形，由斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O ’A ’B ’C ’，在直观图中梯形的高为（ C ） A 、 32 B 、1 C 、22 D 、12 6.（全国Ⅰ新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π (B) 2 73 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π 【答案】B 解析：如图，P 为三棱柱底面中心，O 为球心，易知 2331,32AP a a OP a =?==，所以球的半径R 满足： 2222 317( )()3212 R a a a =+=，故2 2743 S R a ππ==球．热点2 点线面的位置关系空间点、线、面位置关系是立体几何中的重要关系，在高考中，选择题、填空题几乎年年考，且常以棱柱、棱锥、和正方体为背景，主要考查平面的基本性质、空间直线与直线、直线与

2017年全国文数立体几何高考题—学生专用

2017年全国文数立体几何高考题—学生专用（4） 1．【2017全国III 卷文数·9T 】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A ．π B ．3π4 C ．π2 D ．π4 2．【2017全国III 卷文数·10T 】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（） A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥ C ．11A E BC ⊥ D ．1A E AC ⊥ 3.【2017全国II 卷文数·6T 】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π 4. 【2017全国I 卷文数·6T 】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 A ． B ．

C ． D ． 5. 【2017全国北京卷文数·6T 】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 6．【2017全国I 卷文数·16T 】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 7. 【2017全国II 卷文数·15T 】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 8.【2017全国天津卷文数·11T 】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ________. 9. 【2017全国江苏卷文数·6T 】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则1 2V V 的值是 .

立体几何复习专题(空间角)

专题:空间角一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 1：三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ， 90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,OB OO == 3OA =，求异面直线B A 1与1AO 所成角的余弦。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围：0， 2 π 。（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 A B O 1A 1B 1O

经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。（3）公式：已知平面的斜线a 与内一直线b 且a 与相交成 1 角，a 在上的射影c 与b 相交成2 角，则有θ??cos cos cos 21= 。由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。考点二：直线和平面所成的角例2. 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，四边形A ABB ''是菱形，四边形BCC B ''是矩形， C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=，求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。 3：（1）在0 120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、，已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ，且线段10AB cm =。求： ①直线AB 和棱a 所成角的正弦值；②直线AB 和平面Q 所成角的正弦值。 A B C A ' B ' C ' ?2 ?1c b a θP α O A B

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例一、选择题 1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时， PE 的最小值是（） A ．5 B ．4 C ．．【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面 11AA D D ,PE ==选D 考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征． 2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（） A ．30? B ．60? C ．90? D ．120? 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,B D A C θ<>= ，因为CD DB BA AC =++，所以2 2 2 2 2()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++?+?+?

而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ?=?= 所以2222 ||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-?即222417468286cos θ?=++-?? 所以1 cos 2 θ= ，而[0,]θπ∈，所以60θ=?，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用. 3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（） A ．343cm B ．383cm C ．33cm D ．3 4cm 【答案】B ．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积3 8 2231312=??==Sh V ．考点：空间几何体的体积计算． 4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ?的面积为 (x)f ，则(x)f 的图象大致是（）

2020年立体几何高考题汇总

2016年文科数学立体几何高考题汇总 1.（2016北京文11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________. 2.（2016北京文18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面； (III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ⊥平面?说明理由. 3.（2016天津文17） (本小题满分13分) 如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，6，DE=3，∠BAD=60o，G 为BC 的中点. (Ⅰ)求证：FG||平面BED ； (Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ； (Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ） 65 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取BD 的中点为O ，可证四边形OGFE 是平行四边形，从而得出OE FG //（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出0 90=∠ADB ，即AD BD ⊥（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点A 作DE AH ⊥于点H ，则⊥AH 平面BED ，从而直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.再结合三角形可求得正弦值