初三数学-一元二次方程根与系数的关系精讲精练

初三数学

一元二次方程根与系数的关系精讲精练

【典型例题】

例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。

分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：

解得：

（方法二）由题意：

解得：

根据韦达定理设另一根为x，则

点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。

例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：

（1）；（2）；（3）

分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。

解：由已知，根据韦达定理

（1）

（2）

（3）

点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。

例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，

那么求的值。

分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。

解：由题意，为的两个不等实根

因而有

又

点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。

例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。

解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：

由

当时，代入

当时，由

代入

则

代入

把代入<2>中，

或

（解法二）将与相减得：

此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或

（1）若是0则；

（2）若是，则；

或

点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。

例5. 已知方程

（1）若方程两根之差为5，求k。

（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。

分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。

解：（1）设方程两根与，由韦达定理知：

又

（2）设方程两根，由根系关系知：

点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。

例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。

分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。

解：设已知方程的两根为m，3m

由韦达定理知：

即

把代入

得：

点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。

例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。

（1）用含m的代数式表示；

（2）当时，求m的值。

分析：应注意，即可用根系关系。

解：（1）由题意：

（2）由（1）得：

解得：

检验：当时，原方程无实根。

∴舍去

当时，原方程有实根。

∴

点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。

例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。

分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。

解：设所求一元二次方程为

为方程的两根

∴由韦达定理

又

∴所求一元二次方程为

即：

点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为

，当为分数时，往往化成整系数方程。

［总结扩展］

1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。

3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……

4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题。

1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（）

A. 2，-1

B. -1，2

C. -2，1

D. 1，-2

2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（）

A. 4

B. -4

C. 1

D. -1

3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（）

A. B. C. D.

4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（）

A. B.

C. D. 不能确定

5. 方程的大根与小根之差等于（）

A. B. C. 1 D.

6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（）

A. B.

C. D.

二. 填空题。

7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。

8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。

9. 已知方程的两根，且，则

________。

10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，

________，________。

11. 已知，则以为根的一元二次方程是______ ________________________。

三. 解答题。

12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。

13. 已知方程的两根不解方程，求和

的值。

14. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。

15. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。

【试题答案】

一. 选择题。

1. A

2. B

3. D

4. B

5. C

6. B

二. 填空题。

7.

8. 设，则

9.

或

时，原方程△＜0，故舍去，

10.

11.

由此

或

或

所求方程或

三. 解答题。

12. 解：设方程的一个根为x，另一根2x

由根系关系知：

解得：

13. 解：由题设条件

14. 解：由题意

即

故所求方程是，即

15. 解：

由

由

不符合题意，舍去

一元二次方程概念讲义

一元二次方程的概念及解法（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成20 ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：整式方程、化简整理、一元二次． 2. 我们把20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的基本思路是要设法将其转化成一元一次方程来处理．主要解法有：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法 4. 配方法是配成完全平方公式；公式法的公式是：2b x a -±= 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据____________，解出方程的根． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 0112=-+x x ；③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是_______． 2. 方程x x 3122=-的二次项是_____，一次项系数是____，常数项是__． 3. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 （ ） A ．m =0 B ．m ≠1 C ．m ≥0且m ≠1 D ．m 为任意实数 4. 若关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为____． 5. 若x =2是关于x 的方程032=+-a x x 的一个根，则2a -1的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-3 6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ） A ．x =1 B ．x =21 C ．x 1=1，x 2=-9 D ．x 1=-1，x 2=9 7. 用配方法解方程： （1）2210x x --=； （2）210x x +-=； （3）2383x x +=； （4）24810x x --=； （5）23920x x -+=； （6）20ax bx c ++=（a ≠0）． 8. 用公式法解方程： （1）23100x x +-=； （2）22790x x --=； （3）21683x x +=； （4）2352x x -+=-． 9. 用分解因式法解方程：

一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok

一元二次方程专题复习 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点． 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程: 一、引入新课 问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为 二、讲授新课 引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？ 解为： 无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为： 当Δ≥0时有实根； 当Δ＜0时，有一对共轭的虚根． 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解： 例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6． 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？ 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解． 解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ． 练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.

沪科版(上海)八年级第一学期第五讲 一元二次方程解法2

第五讲一元二次方程解法2 一、一元二次方程解法选取 1. 直接开平方法 直接开平方法的概念：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. （1）形如的方程.方程的解是：.当m＝0时，方程有两个相等的实数根. （2）形如的方程.方程的解是：. （3）形如的方程.方程的解是：. 总之，如果一元二次方程的一边是未知数的平方或者是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 因式分解法 （1）因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个一次因式的积，进而分成两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0。用式子表示为：若，则a＝0或b＝0。 （3）用因式分解法解一元二次方程的步骤是： ①将方程化为（a≠0）的形式； ②将方程的左边分解为两个一次因式的积； ③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解. 点拨：（1）分解因式常用的方法有提公因式法和运用公式法； （2）如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积； （3）等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方式，将它写成平方形式，便实现了因式分解. 3. 配方法 配方法的含义：把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法. 归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤是： （1）如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1； （2）把含未知数的项移到左边，常数项移到右边； （3）然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式； （4）最后用直接开平方法解这个一元二次方程. 4. 公式法 （1）二次方程（a≠0）的求根公式为： （），其中公式中的a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法叫公式法. （2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①首先把一元二次方程化为一般形式；

一元二次方程应用一对一辅导讲义

课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测

1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理

（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。

一元二次方程的实际应用精讲精练(含答案)-

5.实际问题与一元二次方程 [学习目标] 1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解 决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程 解实际问题的重要性.2.通过列方程解应用题,进一步提 高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力. [预习导引] 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程 如下: 试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为 (40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根 据题意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200 方程化简整理 为:x2－30x+200=0 解得:x1=20 x2=10 答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或 20元. 当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不 得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因 吗?与同伴交流自己的想法. [点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越 快,才能 满足题目 选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件. [知能互动]1.列一元二次方程解应用题的特点: 一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和 发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程 解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法 求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当 广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经 营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型. (1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连 续整数的形式. 如:一个三位数abc可表示为 连续两个偶数可表示为连续两个整 数可表示为这类问题常常 间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出. (2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中, 一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化 后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________ 表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的 词语”译”出.(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率 高的应用问题. 在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相 关的量.这些量之间的关系可用公 式表示,同时件数(n)又经常与售价(b) 关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关 系的代数式.(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一 些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量 统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等. 解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的 关键词句”译”出.(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 n n+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(b－a)n) 2.列一元二次方程解应用题的一般步骤: 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程 解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”. (1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等 关系; (2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知 数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接 设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出 方程为准则. (3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相 (4)解:就 求出所列方 程的解. (5)答: 书写答案, 的解进行检验,舍去不符合实际意义的解. 3.如何探求应用问题中的等量关系. 列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量 关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢? (1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用 题目中所给的条件.(3)要善于发现利用间接的,潜在的等 量关系.(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找 相等关系.①利用题目中的关键语句作为相等关系. ②利用公式、定理作为等量关系.③从生活、生产实 际经验中发现等量关系. [名题探究]例1.已知一直角三角形三边长为三个连 续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积. [命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数 字问题.[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的 偶数,再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三 边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数:n2+(n+2)2=(n+4)2。化简, 整理,得:n2－4n－12=0 解得: n1=6,n2=－2 由于三 角形的边长不能为负数,所以取n=6∴n+2=8,n+4=10 即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为 24 8 6 2 1 = ? ?.答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为 24. [思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系 的重要来源. 例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投 资上的平均增长率是多少?[命题意图]本题主要考查平 均增长率问题. [解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-

第五讲一元二次方程的整数整数解

第五讲一元二次方程的整数整数解 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举， 逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解. 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关. 【例题求解】 【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整 数是的值有__________ 个. 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问 题的题设条件，看是否要分类讨论. 【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是() a b 127 A. - 22 125 B. 22 C. 123 22 121 D.—— 22 【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根 【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求 出m的值；如果没有，请说明理由. 注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件. 【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x ? (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因

5一元二次方程的应用尖子班讲义

一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．

2019-2020年中考数学一轮专题复习第8讲一元二次方程及应用精讲精练浙教版

2019-2020年中考数学一轮专题复习第8讲一元二次方程及应用精讲精练 浙教版 考点一、一元二次方程的有关概念 【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) A．x2＋1 x2 ＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0 方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④. 举一反三方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二、一元二次方程的解法 【例2】解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7 方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速． 举一反三 1.解方程：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2） 2.解方程组： 5 x y12 = += ??

3.解方程组： 4.解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）=（a2﹣1）x． 考点三、一元二次方程根的判别式的应用 【例3】如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1=0有实数根，则（） A．m≠1 B．m=﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数 方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可． 一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况． 举一反三 1.关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x 1，x2，若y=x1+x2+．（1）当a≥0时，求y的取值范围； （2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a2+6a﹣4的大小，并说明理由．

初中数学九年级上册讲义第5讲一元二次方程根与系数关系(提高)-学案

初中数学九年级上册讲义第5讲一元二次方程根与系数关系（提高）-学案 高效提分源于优学 第05讲一元二次方程根与系数关系温故知新用公式法解一元二次方程的一般步骤（1）整理把原方程整理成；（2）确定a.b.c 的值，（各项系数若有分数，通常化为整数）-bb24ac（3）计算的值，并判断这个值的正负若b24ac2a的值并计算；写出答案 x1，x2若b24ac决定的，我们把b24ac0，方程有两个不相等的实数根。 （2）当Db24ac0，方程没有实数根。 2.上述结论反过来也成立（1）若方程有两个不相等的实数根，则Db24ac0（3）若方程没有实数根，则Db24ac0；反过来也成立。 典例分析例1（1）如果关于x的方程x2x22k1x22k1x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围。学霸说者对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三 1.已知关于m的一元二次方程x2m0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。

2.当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2k2x0有实数 根。 3.若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数 根，则k的取值范围是知识要点二一元二次方程根与系数的关系1 21.若Db21xm20有两个实数根x和x。 12（1）求实数m的取值范围12（2）当时，求m的值。举一反三1已知x1，x2是方程2x24x30的两个根，不解方程求下列各式的值（1）（2） 2.已知关于x的一元二次方程x2k20（k为常数）（1）求证 方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x12x214，试求出方程的两个实数根和k的值。 3.已知关于x的一元二次方程x2（2m1）xm20有两个实数根 x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1x21，求m的值课堂闯关初出茅庐1关于x的一元二次方程kx23x10有实数根，则k 的取值范围是（）AkBk且k0CkDk且k02若关于x的一元二次方程（m2）2x2（2m1）x10有解，那么m的取值范围是（）AmBmCm且m2Dm且m23下列关于x的方程有实数根的是（） Ax2x10Bx22x20C（x1）210D（x1）（x2）04一元二次方程x24x20的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根5若关于x的一元二次方程 方程（k1）x24x10有实数根，则k的取值范围是（） Ak5Bk5，且k1Ck5，且k1Dk56如果关于x的一元二次方程2x2xk0

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点 横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛 物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

二次函数与一元二次方程

复习 1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；② ；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④ 2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：① ；② ；③ ；④．其中正确的结论是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 3.已知二次函数的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：① ②b-2a=0；③；④ ． 其中正确的是( ) A.③ B.②③ C.③④ D.①② 4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：

A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 二次函数与一元二次方程（讲义） ? 课前预习 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应 的二元一次方程组的解． 3 则一次函数 y =3x -3 与y =-3x +3的交点 P 的坐 标是 _______ ． 请思考：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根，可否看作是二次函数y = ax 2 +bx +c 与 x 轴交点的横 坐标，即方程组 y = ax + bx + c 的解中x 的值. y =0 2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如： 1. 如：已知方程组y -3x +3=0 2 y + 3 x - 6 = 0 4 的解为x = 3 ， y =1 以下结论：① ；② ；③c-a=2；④方程 有两个相等的实数根．其中正 交点在（0，2）的下方．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）

专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程(1)

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第五讲 函数与方程 2019年 2019年 1.（2019全国Ⅲ文5）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2.（2019天津文8）（8）已知函 数01,()1, 1.x f x x x ?? =?>?? 剟若关于x 的方程 1 ()()4 f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 （A ）59,44?????? （B ）59,44?? ??? （C ）59,{1}44?? ??? U （D ）59,{1}44 ?????? U 3.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈ 时，()f x =， (2),01()1,122 k x x g x x +<≤??=?-<≤??，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8 个 不同的实数根，则k 的取值范围是 . 2010-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅲ）已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．1 2 D ．1 2．（2017 山东）设1 ()2(1),1 x f x x x <<=-??≥，若()(1)f a f a =+，则1()f a = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

3．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ．y cos x = B ．y sin x = C ．y ln x = D ．2 1y x =+ 4．（2015天津）已知函数2 2||,2 ()(2),2x x f x x x -?=? ->? ≤，函数()3(2)g x f x =--，则函数 y ()()f x g x =-的零点的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．（2015陕西）对二次函数2 ()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列 结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．－1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 6．(2014山东)已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）），（210 （B ）），（121 （C ）），（21 （D ）），（∞+2 7．（2014北京）已知函数()26 log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞ 8．（2014重庆）已知函数1 3,(1,0]()1,(0,1] x f x x x x ?-∈-? =+??∈?，且()()g x f x mx m =--在 (1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 （A ）91(,2](0,]42- -U （B ）111 (,2](0,]42--U （C ）92(,2](0,]43--U （D ）112 (,2](0,]43 --U 9．（2014湖北）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数 ()()+3g x f x x =-的零点的集合为 （A ）{1,3} （B ）{3,1,1,3}-- （C ）{23} （D ）{21,3}- 10．（2013安徽）已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若11()f x x =<

二次函数与一元二次方程讲义

二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入

如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3

C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________

解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点， 所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.