教师资格证数学学科知识与教学能力(高中数学)

第一章课程知识

1.高中数学课程的地位和作用：

⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的

内容，是培养公民素质的基础课程。

⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解

决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。

⑷高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。

2.高中数学课程的基本理念：

⑴高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。

⑵高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、

特长提供空间。

⑶让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。

⑷提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学

习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。

⑸强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探

究、数学建模。

⑹重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本

质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。

⑺强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的

重要作用。

⑻全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价

和过程性评价。

3.高中数学课程的目标：

⑴总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要

的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

⑵三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观

⑶把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。

⑷五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理

能力

4.高中数学课程的内容结构：

⑴必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3

（算法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式）

⑵选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：

①选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统

计、推理与证明、复数、框图）

②选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、

2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率）

③选修系列3（6个专题）

④选修系列4（10个专题）

5.高中数学课程的主线：

函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。

6.教学建议：

⑴以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

⑵帮助学生打好基础，发展能力：

①强调对基本概念和基本思想的理解和掌握

②重视基本技能的训练

③与时俱进地审视基础知识与基本能力

⑶注重联系，提高对数学整体的认知

⑷注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力

⑸关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成

⑹改善教与学的方式，使学生主动地学习

⑺恰当运用现代信息技术，提高教学质量

7.评价建议：

⑴重视对学生数学学习过程的评价

⑵正确评价学生的数学基础知识和基本能力

⑶重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）

⑷实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象）

⑸根据学生的不同选择进行评价

第二章教学知识

8.教学原则

抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”）

9.教学过程

备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）

10.教学方法

⑴讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学

语言）

⑵讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。

⑶自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学

⑷发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问

题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。

11.概念教学

⑴概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩

小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。

⑵概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉

关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）

⑶概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，

如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“f(x)=xα”）

⑷数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）

12.命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施之

前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）

13.推理教学

⑴推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的

⑵推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前

提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）

14.问题解决教学

⑴数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则

⑵纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所

得到的解）

⑶非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解

数学模型；检验；交流和评价；推广）

15.学习方式：自主学习、探究学习、合作学习

第三章教学技能

16.教学设计

⑴课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科

学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。

⑵教学设计与教案的关系：

①内容不同：

教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分

析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设

计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什

么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、

如何教。

②核心目的不同：

教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到

更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教

学内容。

③范围不同：

从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。

⑶数学课堂教学设计的意义：

①使课堂教学更规范、操作性更强

②使课堂教学更科学

③使课堂教学过程更优化

⑷数学课堂教学设计的基本要求：

①充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本

②适应学生的学习心理和年龄特征

③重视课程资源的开发和利用

④注重预设与生成的辩证统一

⑤辩证认识和处理教学中的多种关系

⑥整体把握教学活动的结构

⑸数学教学设计的准备：

①认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求

②全面关注学生需求

③认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图

④广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计

⑤制定学期教学计划、单元教学计划

⑹教材分析

①分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务

②整体系统的观念用教材

③理解教材的编排意图

④突出教材的重点和难点

⑺学情分析

①分析学生原有的认知基础

②分析学生的个体差异

③了解学生的生理、心理

④了解学生对本学科学习方法的掌握情况

⑤分析学习知识时可能要遇到的困难

⑻制定合理教学目标的要求

①反映学科特点，体现内容本质

②要有计划性，可评价性

③格式要规范，用词要考究

④要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等

⑤注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究）

⑥要实在具体，不浮华

⑼教学反思

①教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思

②教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；个

人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文

⑽教学设计的撰写：

①教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感态

度与价值观（体验规律、培养看问题的方法）

②学情分析

③教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析

④教学理念

⑤教学策略

⑥教学环境

⑦教学过程

⑧教学反思

17.教学实施

⑴课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬

念导入法

⑵课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进

性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则

⑶课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分

析综合提问、评价提问

⑷学生活动：

①学生活动体现了学生在学习中的主体地位

②作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分

③学生活动的目的是促进学生的理解

④从总体上说，学生活动必须是思维活动

⑸课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和

启下法、发散法和拓展法

⑹结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外

沟通，立疑开拓

18.教学评价

⑴数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、

学生行为、教学效果

⑵数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能

第四章常用数学公式

一、函数、导数

1.函数的单调性

⑴设x1、x2∈[a,b]且x1

f(x1)?f(x2)<0?f(x)在[a,b]上是增函数；

f(x1)?f(x2)>0?f(x)在[a,b]上是减函数。

⑵设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f′(x)>0，则在该区间内f(x)为增函数；若

f′(x)<0，则在该区间内f(x)为减函数

2.函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）

对于定义域内任意的x，都有f(?x)=f(x)，则f(x)是偶函数；

对于定义域内任意的x，都有f(?x)=?f(x)，则f(x)是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称。

3.函数在点x0处的导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程是y?f(x0)=f′(x0)(x?x0)。

4.几种常见函数的导数

C′=0（C为常数）；(a x)′=a x ln a；

(x n)′=nx n?1（n∈Q）；(e x)′=e x；

(sin x)′=cos x；(cos x)′=?sin x；

(arc sin x)′=?(arc cos x)′=；

(arc tan x)′=?(arc cot x)′=1

；

1+x2

(ln x)′=1

；(log a x)′=1x ln a；

x

5.导数的运算法则

(u±v)′=u′±v′；(uv)′=u′v+uv′；u=f(x)，v=g(u)，v′=g′(u)u′

6.α

减函数

增函数

增函数

7. 0⑴ 如果在x 0附近的左侧f ′(x 0)>0，右侧f ′(x 0)<0，则f (x 0)是极大值； ⑵ 如果在x 0附近的左侧f ′(x 0)<0，右侧f ′(x 0)>0，则f (x 0)是极小值； 8. 凹凸函数：设f (x )在开区间I 上存在二阶导数：

⑴ 若对任意x ∈I ，有f “(x )>0，则f (x )在I 上为下凸函数； ⑵ 若对任意x ∈I ，有f “(x )<0，则f (x )在I 上为上凸函数； 二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量 9. 同角三角函数的基本关系式

sin 2θ+cos 2θ=1，tan θ=

sin θ

cos θ

，tan θ?cot θ=1 10. 正弦、余弦的诱导公式

sin (kπ2

±α)={(?1)k

2sin α(?1)k?12cos α (k 为偶数)(k 为奇数) cos (kπ2±α)={(?1)k

2cos α(?1)k+12sin α

(k 为偶数)(k 为奇数) 11. 和角与差角公式

sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β； cos (α±β)=cos αcos β?sin αsin β；

tan (α±β)=

tan α±tan β

1?tan αtan β

αsin α+b cos α=√a 2+b 2sin (α±φ)（辅助角φ所在象限由点(a,b )的象限决

定, tanθ=b

a

）

12.二倍角公式

sin2α=2sinαcosα；

cos2α=cos2α?sin2α=2cos2α?1=1?2sin2α；

tan2α=

2tanα1?tan2α

13.三角函数的周期

函数y=A sin(ωα+φ)，x∈R及函数y=A cos(ωα+φ)，x∈R（A，ω，φ为常数，且

A≠0，ω>0）的周期T=2π

ω；函数y=A tan(ωα+φ)，x≠kπ+

π

2

，k∈Z（A，ω，φ

为常数，且A≠0，ω>0）的周期T=π

ω。

14.三角函数的图像变换：

⑴函数y=A sin(ωα+φ)，x∈R即y=sin x横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）

到原来的1

ω倍，再向左（φ

ω

>0）或向右（φ

ω

<0）平移|φ

ω

|个单位，最后纵坐标伸长（A>

1）或缩短（0

⑵函数y=A sin(ωα+φ)，x∈R即y=sin x向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个

单位，再横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）到原来的1

ω

倍，再，最后纵坐标伸长（A>1）或缩短（0

15.正弦定理

a sin A =b

sin B

=c

sin C

=2R（R是?ABC外接圆的半径）

16.余弦定理

a2=b2+c2?2bc cos A; b2=a2+c2?2ac cos B; c=a2+b2?2ab cos C 17.三角形面积公式

S=1

2

ab sin C=

1

2

bc sin A=

1

2

ac sin B

18.a与b的数量积（或内积）

a?b=|a|?|b|cosθ（θ是向量a，b的夹角）

19.向量的坐标运算

⑴设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2),则AB????? =OB????? ?OA????? =(x2?x1，y2?y1，z1?z2)；

⑵设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2),则a?b=x1x2+y1y2+z1z2；

⑶设a(x,y,z)，则|a|=√x2+y2+z2。

20.两向量的夹角公式

设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2),且b≠0，则cosθ=a?b

|a|?|b|=121212

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

。

21.向量的平行与垂直

a∕b??b=λa?x1

x2=y1

y2

=z1

z2

；

a⊥b(a≠0)?a?b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0三、数列、集合与命题

22. 数列的通项公式与前n 项的和的关系

a n ={S 1S n ?S n?1 n =1

n ≥2（数列{a n }的前n 项的和为S n =a 1+a 2+?+a n ）

23. 等差数列的通项公式和前n 项和公式

a n =a 1+(n ?1)d ；S n =

n (a 1+a n )

2

=na 1+

n (n?1)2

d

24. 等比数列的通项公式和前n 项和公式

a n =a 1q

n?1

；S n ={na 1，q =1a 1

(1?q n )1?q

=

a 1?a n q 1?q

，q ≠1

25. 数列求和常见结论：

1pq

=

1q?p (1p

?1

q )（p

12+22+32+?+n 2=1

6n (n +1)(2n +1)；

13+23+33+?+n 3

=[1

2

n (n +1)]2

。

26. 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n ?1个真子集。

27. 原命题：若p 则q ；否命题：若?p 则?q ；命题的否定：若p 则?q 。

28. 全称量词即“所有”，“全部”，可写作“?”；存在量词又称特称量词，写作“?”。 四、 不等式 29. 均值不等式

设a ，b ∈R +，a +b

2

≥√ab 当且仅当a ＝b 时取“=”号)

30. 柯西不等式

(a 12+a 22+?+a n 2)(b 12+b 22+?+b n 2)≥(a 1b 1+a 2b 2+?+a n b n )2，其中a 1，?，

a n ，

b 1，?，b n ∈R +，当且仅当a 1b 1

=

a 2

b 2

=?=a

n b n

时不等式取等号。

31. Jensen 不等式

[f (a )+f (b )+f (c )]3≤f (a +b +c

3

)

32. 三角不等式：||a |?|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |

33. 指数不等式：a f (x )>b (a >0,b >0)?f (x )lg a >lg b 五、 解析几何与立体几何 34. 直线的五种方程

⑴ 点斜式：y ?y 0=k (x ?x 0)（直线l 过点(x 0,y 0)，且斜率为k ）

⑵ 斜截式：y =kx +b （b 为直线l 在y 轴上的截距） ⑶ 两点式：

y?y 1

y 2?y 1=x?x 1

x

2?x 1

（直线l 过点(x 1,y 1)(x 2,y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2）

⑷ 截距式：x a

+y b =0（a 、b 分别为直线的横、纵截距，a,b ≠0）

⑸ 一般式：Ax +By +C =0（其中A 、B 不同时为0） 35. 两条直线的平行和垂直

若l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2

⑴ l 1∕l 2??k 1=k 2，b 1≠b 2； ⑵ l 1⊥l 2?k 1?k 2=?1

36. 点(x 0,y 0)到直线l ：Ax +By +C =0（的距离

d =|Ax +By +C |22

37. 角平分线所在直线的方程

tan α=k?k 11+k?k 1

=k 2

?k

1+k?k 2

，其中k 1、k 2分别为角的边所在直线的斜率，2α为原角的大小

38. 圆的三种方程

⑴ 圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2?4F >0) ⑵ 圆的标准方程：(x ?a )2+(y ?b )2=r 2

⑶ 圆的参数方程：{x =a +r cos θ

y =b +r sin θ

39. 两个圆的公共弦所在方程

(x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1)?(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0

40. 直线与圆的位置关系

直线l ：Ax +By +C =0与圆(x ?a )2+(y ?b )2=r 2的位置关系有三种： d >r ?相离?Δ<0；d =r ?相切?Δ=0；d 0，弦长=2√r 2?d 2其中d =

√22

41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：x 2

a 2+y 2

b 2

=1(a >b >0)，a 2?c 2=b 2，离心率e =c

a <1，准线x =±a 2

c ，参数方

程是{x =a cos θ

y =b sin θ，椭圆上的点与两个定点F 1(c,0)、F 2(?c,0)的距离之和等于常数

（2a ）。

双曲线：x 2

a 2?y 2

b 2=1(a >b >0)，

c 2

?a 2

=b 2

，离心率e =c

a >1，准线x =±a 2

c ，渐近

线方程是x 2

a 2=y 2

b 2，椭圆上的点与两个定点F 1(c,0)、F 2(?c,0)的距离之差等于常数（2a ）。

抛物线：y 2=2px ，焦点(p

2,0)，准线x =?p

2，焦半径|PF |=x 0+p

2，过抛物线焦点的弦长|AB |=x 1+x 2+p ，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。

42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

⑴ 若双曲线方程为x 2

a 2?y 2

b 2=1?x 2

a 2?y 2

b 2=0?y =±b

a x 。

⑵ 若渐近线方程为y =±b

a x ?x

a ±y

b =0?双曲线可设为x 2

a 2?y 2

b 2=λ。

⑶ 若双曲线与x 2

a 2?y 2

b 2=1有公共渐近线，可设为x 2

a 2?y 2

b 2=λ（λ>0，焦点x 在轴上；λ<

0，焦点y 在轴上）

43. 若斜率为k 的直线与圆锥曲线相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，则弦长公式为

AB =√(1+k 2)[(x 1+x 2)2?4x 1x 2]=√(1+1

k 2)[(y 1+y 2)2?4y 1y 2]（k ≠0） 44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=2πrl ，表面积=2πrl +2πr 2，体积= S?（S 是柱体的底面积，?是柱体的高）；

圆锥侧面积=πrl ，表面积=πrl +πr 2，体积= 13S?（S 是锥体的底面积，?是锥体的高）； 球的半径是 R ，则其体积V =4

3πR 3，其表面积S =4πR 2

六、 空间几何 45. 平面方程：

⑴ 点法式：A (x ?x 0)+B (y ?y 0)+C (z ?z 0)=0，n =(A,B,C )是平面的法向量 ⑵ 一般式：Ax +By +Cz +D =0（A,B,C 不全为0）

⑶ 参数式：已知平面Π上一点M (x 0,y 0,z 0)以及平行于平面的两不共线向量μ1=

(X 1,Y 1,Z 1)和μ2=(X 2,Y 2,Z 2)，则有{x =X 1t 1+X 2t 2+x 0

y =Y 1t 1+Y 2t 2+y 0z =Z 1t 1+Z 2t 2+z 0

46. 两平面间的关系:

⑴ Π1∕Π2??

A 1A 2

=B 1B 2

=C 1C 2

≠D

1D 2

；（法向量共线但两平面不重合）

⑵ Π1⊥Π2?A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0 ⑶ Π1与Π2的夹角（θ<π

2）：cos θ=|n 1?n 2||n 1|?|n 2

|

=121212√A 1+B 1+C 1?√A 2+B 2+C 2

47. 直线方程：

⑴ 一般式（交面式）：{A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0

A 2x +

B 2y +

C 2z +

D 2=0

⑵ 参数式：{x =x 0+tl

y =y 0+tm z =z 0+tn

⑶ 对称式（标准式）：x?x 0

l

=

y?y 0

m

=

z?z 0

n

48. 直线与平面的关系：

⑴ l ∕Π??A l +Bm +Cn =0且Ax 0+By 0+Cz 0+D ≠0； ⑵ l ⊥Π?

A l

=B m

=C n

⑶ l 与Π的夹角（θ<π

2

）：sin θ=√A 2+B 2+C 2?√l 2+m 2+n 2

49. 曲面方程：

⑴ 单叶双曲面：x 2a 2+y 2b 2?z 2

c 2=1（a,b,c >0） ⑵ 双叶双曲面：x 2

a 2+y 2

b 2?z 2

c 2=?1（a,b,c >0） ⑶ 椭圆抛物面：x 2

p +

y 2q

=2z （p,q >0），当p =q 时，曲面为旋转抛物面

⑷ 双曲抛物面：

x 2p

?

y 2q

=2z （p,q >0）

七、 概率统计

50. 平均数、方差、标准差、期望的计算

平均数：x?=

x 1+x 2+?+x n

n

方差：s 2=1

n

[(x 1?x )2+(x 2?x )2+?+(x n ?x )2]

标准差：s =√1

n [(x 1?x )2+(x 2?x )2+?+(x n ?x )2] 期望

51. 回归线方程

y ?=a +bx ，其中b =

∑(x i ?x?)n i=1(y i ?y

?)∑(x i ?x?)

n i=1=

∑x i y i ?nxy

????n i=1∑x i ?nx?

n i=1，a =y ??bx?

52. 独立性检验：K 2

=n (ac?bd )2

(a+b )(c+d )(c+a )(b+d )

53. 排列数、组合数

排列数公式：A n m =n (n ?1)?(n ?m +1)=n!

(n?m )!，其中A n n =n!，A n 0=1； 组合数公式：C n

m =A n

m A m

m =n!

m!(n?m )!，其中C n n =C n 0

=1

54. 二项式定理：

⑴ (a +b )n =C n 0a n b 0+C n 1a n?1b 1+?+C n r a n?r b r +?+C n n a 0b n

⑵ 第r +1项：T r+1=C n r a n?r b r

（0≤r ≤n ，r ∈Z ）

⑶ 系数和：C n 0+C n 1+?+C n n =2n ，C n 0+C n 2+C n 4+?=C n 1+C n 3+C n 5

+?=2n?1 ⑷ 当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，有(1+a )n ≈1+na ，(1?a )n ≈1?na 55. 相对独立事件同时发生的概率P (A ?B )=P (A )?P (B )

56. 正态分布记为ξ~N (μ,σ2)，其中期望Eξ=μ，方差Dξ=σ2，曲线关于直线x =μ对称并在

x =μ时取最大值。

57. 离散型随机变量的期望与方差的性质：

⑴ 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量

取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

⑵ Eξ=x 1p 1+x 2p 2+?+x n p n ；E (C )=C （C 为常数）

⑶ Dξ=(x 1?Eξ)2p 1+(x 2?Eξ)2p 2+?+(x n ?Eξ)2p n ；D (C )=0（C 为常数） ⑷ 设η=aξ+b ，则E (η)=aEξ+b ，D (η)=a 2Dξ，D (η)=Eξ2?(Eξ)2 ⑸ 若ξ~B (n,p )，则Eξ=np ，Dξ=np (1?p )；若ξ服从几何分布，且P (ξ=k )=g (k,p )，

则Eξ=1

p ，Dξ=

1?p p 2

。

八、 复数

58. 复数的除法运算：

a +bi c +di =(a +bi )(c ?di )(c +di )(c ?di )=(ac +bd )+(bc ?ad )i

c 2+

d 2 59. 复数z =a +bi 的模：|z |=|a +bi |=√a 2+b 2

60. 复数之间不能进行大小比较

61. 设一元三次方程ax 3+bx 2+cx +d =0（a ≠0）的三个根分别是x 1,x 2,x 3，则有：

⑴ x 1+x 2+x 3=?b

a ，x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=c

a ，x 1x 2x 3=?d

a ⑵ 令?=(q 2

)2

+(p 3

)3

，其中p =

3ac?b 23a ，q =

27a 2d?9abc+2b 3

27a

当?>0时，方程有一个实根，一对共轭复根； 当?=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根； 当?<0时，方程有三个不等实根。

九、 极限与级数

62. 柯西收敛准则：数列{a n }收敛的充分必要条件是：对于任意ε>0，存在整数N >0，使

得当n ，m >N 时，有|a n ?a m |<ε。

63. 极限的定义：lim x→x 0

f (x )=A ：对于任意ε>0，存在正数δ，当0<|x ?x 0|<δ时，有

|f (x )?A |<ε。

64. 当x →0时，有e x

?1~x~sin x ~ln (1+x )，1?cos x ~x 22，则有lim

x→0sin x

x

=lim

x→0

ln (1+x )

x

=

1，lim x→0

(1+1x )x

=lim x→0

(1+x )1

x =e

65. 函数极限的计算：

⑴ lim x→x 0

[f (x

)]n

=[lim x→x 0

f (x )]n

（n ∈N +）其中各函数极限均存在

⑵ 洛必达法则：若函数和满足下列条件：

① lim x→a

f (x )=lim x→a

g (x )=a ，其中a =0或a =∞；

② 在点a 的某去心邻域内两者均可导，且g ′(x )≠0； 则有lim x→a

f (x )

g (x )=lim x→a

f ′(x )

g ′(x )

66. 拉格朗日中值定理：如果函数f (x )满足在闭区间[a,b ]上连续；在开区间(a,b )内可导；那

么在开区间(a,b )内至少有一点ε（a <ε

⑴ 比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散 ⑵ 比值与根值判别法：

若lim

n→∞u n+1

u n

=ρ{

<1，级数∑u n ∞n=1收敛>1，级数∑u n ∞n=1发散，且lim n→∞u n =+∞=1，此判别法失效； 若lim n→∞√u n n =ρ{

<1，级数∑u n ∞n=1收敛>1，级数∑u n ∞

n=1发散，且lim n→∞

u n =+∞=1，此判别法失效；

⑶ 与p 级数比较：设∑u n ∞n=1=∑1

n p ∞

n=1>0，当p >1时收敛，当p ≤1时发散。 68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数∑(?1)

n?1u n ∞n=1满足u n ≥u n+1，n ≥

N >1；lim n→∞

u n

n?1

u n

69. 幂级数收敛半径及收敛域：

设幂级数∑a n (x ?x 0)n

∞n=0，则有

⑴ 若lim n→∞|a n+1

a n |=l ，则其收敛半径为R ={

1

t ，0

0，l =+∞+∞，l =0

； ⑵ 判断∑a n (x ?x 0)n

∞n=0在x ?x 0=±R 处的敛散性； ⑶ 若该级数在x ?x 0=R 处收敛，则其收敛域为(?R +x 0,R +x 0]；若该级数在x ?x 0=

?R 处收敛，则其收敛域为[?R +x 0,R +x 0)；若该级数在x ?x 0=±R 处都收敛，则其收敛域为[?R +x 0,R +x 0]]。

十、 矩阵、线性空间与线性变换 70. 矩阵的转置：

⑴ 对于n 阶实矩阵A ，若满足AA T =E 或A T A =E （为单位矩阵），则矩阵A 称为正交矩

阵，其中A T 为A 的转置；

⑵ 若n 阶方阵A 满足A T =A ，则称A 为对称矩阵；若n 阶方阵A 满足A T =?A ，则称A 为反

对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为0； ⑶ 转置的运算规律：(AB )T =B T A T

71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩 72. 特征值和特征向量：

⑴ 给定矩阵M ，若存在一个非零向量α? 和实数λ，满足Mα? =λα? ，则称λ为矩阵M 的特征

值，α? 为矩阵M 的属于特征值λ的特征向量。

⑵ 任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特征值的乘积等于该矩

阵的行列式的值。

⑶ 若同阶矩阵A 和B 的特征值相同，则有A 等价于B 。

73. 非异矩阵：若n 阶矩阵A 的行列式不为零，即|A |≠0，则称A 为非奇异矩阵或满秩矩阵，

否则称A 为奇异矩阵或降秩矩阵。 74. 相似、合同：

⑴ 相似：?非异矩阵P ，使得PAP ?1=B ，则有A 相似于B 。

⑵ 相似的判断：相同的特征值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同 ⑶ 合同：?非异矩阵P ，使得PAP T =B ，则有A 与B 合同。 ⑷ 合同的判断：正、负特征值的个数相等 75. 线性空间：

⑴ 柯西?布涅科夫斯基不等式：设V 是欧式空间，α、β∈R ，则(α,β)2≤(α,α)(β,β)，

当且仅当α、β线性相关时，等号才成立

⑵ V 本身与{0}都是V 的子空间，称之为V 的平凡子空间，而V 的其他子空间称为非平凡

子空间。

⑶ 设W 1与W 2是线性空间V 的两个子空间，则dim W 1+dim W 2=dim (W 1+

W 2)+dim (W 1∩W 2)

76. 施密特正交化法：

对n 维欧式空间V 的任一组基α1，α2，α3，?，αn ， 令β1=α1，

β2=α2?(α2,β1)

(β1,β1)

β1，

β3=α3?(α3,β1)

(β1,β1)β1?(α3,β2)

(β2,β2)

β2，

?，

βn=αn?(αn,β1)

(β1,β1)β1?(αn,β2)

(β2,β2)

β2???(αn,βn?1)

(βn?1,βn?1)

βn?1，

ηi=1

|βi|

βi，i=1，2，?，n ηi即为V的一组标准正交基。

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识.doc

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列 组合重点知识 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!

教师资格证数学学科(高中数学)知识与教学能力复习重点

第一章课程知识 1.高中数学课程的地位和作用： ⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内 容，是培养公民素质的基础课程。 ⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决 问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 ⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。 ⑷高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。 2.高中数学课程的基本理念： ⑴高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。 ⑵高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、 特长提供空间。 ⑶让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。 ⑷提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习 兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。 ⑸强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、 数学建模。 ⑹重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质； 强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。 ⑺强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的 重要作用。 ⑻全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和 过程性评价。 3.高中数学课程的目标： ⑴总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的 数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 ⑵三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观 ⑶把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。 ⑷五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能 力 4.高中数学课程的内容结构： ⑴必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算 法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式） ⑵选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）： ①选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、 推理与证明、复数、框图） ②选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、 2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率） ③选修系列3（6个专题） ④选修系列4（10个专题） 5.高中数学课程的主线： 函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。 6.教学建议： ⑴以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

《数学学科知识与教学能力》高级中学

《数学学科知识与教学能力》（高级中学） 题型示例 1．单项选择题 （1）函数 在 上是 A.单调增函数 B.单调减函数 C.上凸函数 D.下凸函数 （2） 在高中数学教学中，课堂小结的方式多种多样。有一种常见的小结方式是：结合板书内容梳理本课教学重点和难点的学习思路，同时提醒学生课下复习其中的要点。这种小结方式的作用在于 A.升华情感，引起共鸣 B.点评议论，提高认识 C.巧设悬念，激发兴趣 D.总结回顾，强化记忆 （3）在高等代数中，有一种线性变换叫做正交变换，即不改变任意两点距离的变换。下列变换中不是正交变换的是 A. 平移变换 B. 旋转变换 C. 反射变换 D. 相似变换 2．简答题 （1）根据下图编一道函数的应用问题 （2）一位教师讲了一堂公开课《函数》，多数听课教师认为他讲出了函数概念的本质，但课堂教学有效性不足，突出表现在课堂提问方面。你认为应注意哪些问题才能提高课堂提问的有效性（请结合自己对《函数》的教学设想来谈）？ 3．解答题 已知0 < π<<<321x x x ，试证： ()ln f x x x =(0,)+∞2312 1223 sin sin sin sin x x x x x x x x -->--

4．论述题 在必修模块中，将平面解析几何内容放在函数与立体几何之后，对这种安排谈谈你的看法。 5．案例分析题 阅读下列两个对于 不等式的教学活动设计，然后回答问题。 设计1： 活动（1）让学生分别取a,b 为具体数值，检验该不等式是否成立。 活动（2）讨论： ， , 的几何意义。 讨论（1）：三个图形的关系： 讨论（2）：该不等式何时等号成立，何时不等号成立？ 活动（3）不等式的严格证明 讨论（3）：若有三个数：a>0,b>0,c>0,是否会有一个什么相应的不等式？ 设计2： 活动：学生分组讨论不等式 的证明方法。 学生分组展示，讨论。 请回答如下问题： （1）分析设计1的教学设计意图。 （2）结合本案例分析合情推理与演绎推理的关系，简述教学 过程中如何引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。 （3）对比分析两个教学设计的理念。 6．教学设计题 就高中数学“人教版教材”必修1第一单元中的函数概念第一课时的内容，设计一个教学方案（将提供教材内容）。 ab 22 1122ab a b ≤+212a 212b 221122ab a b ≤+

高考数学重点知识点汇总

高考数学重点知识点汇总 高考，意味着什么?那是一座窄窄的桥，千军万马将要从这里挤过，要发挥的优势和能力，来保证自己不被淘汰。下面就是给大家带来的高考数学知识点总结，希望能帮助到大家! 高考数学知识点总结1 (1)先看“充分条件和必要条件” 当命题“若p则q”为真时，可表示为p=q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=q，得出p为q的充分条件是容易理解的。 但为什么说q是p的必要条件呢? 事实上，与“p=q”等价的逆否命题是“非q=非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。 (2)再看“充要条件” 若有p=q，同时q=p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p=q

回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A 成立，那么称A等价于B，记作A=B。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。 (3)定义与充要条件 数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。 显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。 “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。 (4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。 高考数学知识点总结2 基本事件的定义：

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

新课标人教A版高中数学全部知识点归纳总结

高三第一轮复习资料（注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

高一数学知识要点与公式总结高一数学公式大全总结高一数学知识点总结公式大全

高一数学知识要点与公式总结高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大 全 高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大全 高一数学知识要点与公式总结1)、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。 (2)集合与元素的关系用符号，表示。 (3)常用数集的符号表示：自然数集 ;正整数集、 ;整数集 ;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 2)、集合中元素的个数的计算： (1)若集合中有 n 个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。

3)、若 ; 则是的充分非必要条件 ; 若 ; 则是的必要非充分条件 ; 若 ; 则是的充要条件 ; 若 ; 则是的既非充分又非必要条件 ; 4)、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ; 5)、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的 1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有 n 个任意两个否定 1)、映射与函数： (1)映射的概念： (2)一一映射： (3)函数的概念： 2)、函数的三要素：，，。 (1)函数解析式的求法：①定义法(拼凑)：②换元法： ③待定系数法：④赋值法： (2)函数定义域的求法：含参问题的定义域要分类讨论; 对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来

高中数学知识大全(完整)

第一章 集合和命题 1. 集合及其表示法 能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集； 集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性； 集合常用大写字母A 、B 、 C …表示，集合中的元素用小写字母a 、b 、c …表示；如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”，如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ?，读作“a 不属于A ” 数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然 数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、 正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、 -R ； 点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合； 含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集； 规定空集不含元素，记作?； 集合的表示方法常用列举法和描述法； 将集合中的元素一一 列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法；

2. 集合之间的关系 对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ， 那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?，读作“A 包含于B”或“B 包含A”； 空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若B A ?，不要遗漏?=A 的情况； 对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为n 2真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n ； 用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图； 对于两个集合A 和B ，如果B A ?且A B ?，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等； 对于两个集合A 和B ，如果B A ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合的B 真子集，记作B A ≠ ?或 A B ≠ ?，读作“A 包含于B ”或“B 真包含A ”； 对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，有R Q Z N ≠ ≠ ≠ ???； 3. 集合的运算 一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=且| ； 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=或| ； 在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素； 设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在 全集U 中的补集，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ?∈=,| 德摩根定律：()B C A C B A C U U U =；()B C A C B A C U U U = 容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则B A B A B A -+=； C B A A C C B B A C B A C B A +---++=；

高一数学必修一重点知识点总结

高一数学必修一重点知识点总结 一、集合 一、集合相关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图： 4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集：如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AB,BC,那么AC ④如果AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

数学学科知识与教学能力

《数学学科知识与教学能力》（初级中学） 一、考试目标 1．学科知识的掌握和运用。掌握大学专科数学专业基础课程的知识、中学数学的知识。具有在初中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。 2．初中数学课程知识的掌握和运用。理解初中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《全日制义务教育数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。 3. 数学教学知识的掌握和应用。理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。 二、考试内容模块与要求 1.学科知识 数学学科知识包括大学专科数学专业基础课程、高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程中的内容知识。 大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。 高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程知识是指高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）以及初中课程中的全部数学知识。 其内容要求是：理解中学数学中的重要概念，掌握中学数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。 2．课程知识 了解初中数学课程的性质、基本理念和目标。 熟悉《课标》所规定的教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。 能运用《课标》指导自己的数学教学实践。 3．教学知识 掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。 掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。 了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。 掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。 掌握数学教学评价的基本知识和方法。 4．教学技能

高中数学知识点总结大全(最新版复习资料)

高中数学知识点总结

引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 ⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算

天津高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

高三第一轮复习资料（个人汇编请注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等 函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线 与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、 数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证 明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其 分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平 面向量，圆锥曲线，立体几 何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运 算、简易逻辑、充 要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与 定义域、值域与最值、反函 数、三大性质、函数图象、 指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用

最全面高中数学重点知识点总结及题型(超详细)

高中数学讲义必修一第一章复习 知识点一 集合的概念 1．集合：一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象 构成的集合 ( 或集)，通常用大写拉丁字母 A ， B ，C ， 来表示． 2．元素：构成集合的 a ，b ， c ， 叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母 来表示． 3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 . 知识点二 集合与元素的关系 1．属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 集合 A ，记作 a A. 2．不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 集合 A ，记作 a A. 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性 、 、 . 2．集合的分类： (1) 有限集：含有 元素的集合； (2) 无限集：含有 元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称 非负整数集 (自然数集 ) 整数集 实数集 N * 或 N N ＋ Z Q R 符号 知识点四 集合的表示方法 1．列举法：把集合的元素 ，并用花括号“ {} ”括起来表示集合的方法 2．描述法：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集 图形语言 定义 符号语言 (Venn 图) 如果集合 A 中的 元素都是 集合 B 中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合 A 为集合 ( 或 ) 子集 B 的子集 如果集合 A ? B ，但存在元素 ，且 ，我们称集 ( 或 ) 真子集 合 A 是集合 B 的真子集 2.子集的性质 (1)规定：空集是 的子集，也就是说，对任意集合 A ，都有 ．(2) 任何一个集合 A 都是 它本身的子集，即 ．(3) 如果 A ? B ， B? C ，则 ．(4) 如果 A B ，B C ，则 ． 3．集合相等

高中数学 学科知识参考

高中数学学科知识参考高中数学在高考中的地位自然不言而喻，如何学好高中数学，并且在高考当中发挥好，关系着高考的成败，如何让数学成为自己的优势科目，其实很简单。关键是我们认清数学，认清自己的数学方面掌握的程度，有的放矢的复习好。 首先要建立数学知识体系，模块化数学知识。掌握每块知识在高考试卷上的位置，分值，并弄清最近几年高考出现的形式，考有所知，知道高考每块知识考什么，怎么考。作为学生，自己很难总结出清晰地线路和规律，这就要请教老师，让老师帮助自己把知识条理化，系统化，使自己事半功倍。我总结了最近北京市七年的高考试卷，分析如下，仅供参考。 一般出现在选择题第一题，分值5 分，此题为送分题，不做赘述。 常用逻辑用语选择题第4 ，5题的位置，抓住充分条件的判断本质，关键是逻辑连接的前后知识点。稍加细心，5分拿到手。 主要考点在高一的必修1里，高一新生往往在进入高中生活就接触函数这个模块，高中的学习方法还没有掌握，也没有足够重视，往往学的比较肤浅，并且有知识点本质掌握模糊的情况，而函数恰恰是学好数学的基础，是整个高中教材的主线，至关重要。辅导老师会根据学生掌握的情况，先给学生把函数知识补充学习一次，一般的学生3个课时就能掌握好，为后面的学习打下基础。

图像时研究函数性质很好的工具，就是我们平时所说的数形结合，主要考查几个基本函数的图像，图像变换，翻转，对折，平移。选择或者填空题必出一个，多出现考查三角函数的图像题。 主要是以大题的形式出现，在17,18题的位置，很重要，分值13-----14分，每年文理必考题。也是函数，主要以导数为工具研究高次函数和复杂函数，主要以求函数的单调性，单调区间，最值，恒成立问题出现。属于较难题型，但只要我们掌握了出题的形式，问题的形式，分门别类的掌握了各个问题解决的方式，得到10分以上或者满分是很可能的，因为出题的形式是比较死的，兵来将挡，焉能不得分。一般的学生4---5个课时可以搞定。 以选择，填空形式出现，一般不会太难。分值5分。 以选择，填空形式出现。出题形式较死板，做题方法唯一，只要想学都可以学会，每年基本不会变化，填空11或者12题位置出现，分值5分。 选择填空各会出一个题，分值都是5分，不难。主要是在大题第一题会出现此题，分值13分，三角函数题公式太多，一般辅导老师会给这些公式分类教给学生，事半功倍。如果抓不住规律，很难记牢和灵活运用，但此类问题出题形式单一，每年基本不会变化，只要学会了，肯定能得到满分，行业里趣称“大众情人题”，就是谁都喜欢做，并且都可以取得满分。毕竟是第一个大题，地理位置很重要，拿下此题对后面

重要重点高中数学知识点集锦

重要重点高中数学知识点集锦

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

高中数学重要知识 点集锦 第一章、三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点()y x P ,，那么： x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一 点，那么：（设2 020y x r +=） r y 0sin = α，r x 0cos =α，0 0tan x y =α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的 符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一： ()()(). tan 2tan ,cos 2cos , sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 5、 特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值. α 6 π 4 π 3 π αsin αcos αtan §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 2、诱导公式三： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四：