导数系列：一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法教师版
导数系列:一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法教师版
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
?
一类以自然指数和对数为背景的压轴题解法
注: 本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。
根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大,打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题!
源于课本:1-1课本99页B 组1题或课本２-2第32页B 组１题的习题:利用函数的单调性,证明下列不等式，并通过函数图像直观验证:x e x +≥1； 【探究拓展】
探究１：证明不等式x e x +≥1*
变式1：设a x e x f x --=)(，其中,R a ∈若对于任意R x ∈，0)(>x f 恒成立，则参数a 的取值范围是＿＿＿______ 1 变式2：设1)(--=ax e x f x ,其中R a ∈,若对于任意R x ∈,0)(≥x f 恒成立，则参数a 的取值范围是____＿____ 1=a 变式3:设1)(--=x ae x f x ,其中R a ∈,若对于任意R x ∈,0)(≥x f 恒成立,则参数a 的取值范围是_____＿＿＿_ 1=a 点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦.．.... 探究2:不等式x e x +≥1*有哪些等价变形并在坐标系中画图？ 变形1：x e x -≥-1 变形2:()1 11 x e x x -≤ >-+ 变形3:)1()1ln(->≤+x x x 变形4:)0(1ln >-≤x x x * 变形５:)0(11 ln >+-≥x x x 变形6：)0(11 ln >+-≥x x x 归一：我们只要通过画图并记住x e x +≥1*,)0(1ln >-≤x x x ＊即可，考试出现了其它变形换元转化为这２个不等式即可。 探究3：观察：“插中”不等式(当然是我编的名字) 变形4:)0(1ln >-≤x x x * 变形6:)0(11 ln >+-≥x x x ＊ 两式相加除以２，的大小并证明：还是右边试比较：左边)1 (21ln x x x - 结论：“插中”不等式*:若01x <≤,则11ln .2x x x ?? ≥- ??? ；若1,x ≥则11ln ;2x x x ?? ≤ - ??? 请在坐标系中画出图像:这个图像很漂亮,容易记住。 点评:数学很美，插中不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到,往后看... 总结:①x e x +≥1＊,②)0(1ln >-≤x x x *③“插中”不等式＊，以上三式都是将自然指数和对数放缩为我们更加熟悉的一次函数或者反比例函数进行放缩处理。 题型一:化归为指数型x e x +≥1放缩 例1(２０10年全国)设函数()2 1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间;（2）若0x ≥时 ()0f x ≥，求a 的取值范围。(提示:1x e x ≥+) 解:(1）0a =时，()1x f x e x =--,'()1x f x e =-. 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加 (2）'()12x f x e ax =-- 由(I ）知1x e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立.故 '()2(12)f x x ax a x ≥-=-, 从而当120a -≥,即1 2 a ≤ 时,'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =, 于是当0x ≥时,()0f x ≥. ?由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当1 2 a > 时， ??'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--, 故当(0,ln 2)x a ∈时,'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2 -∞. 练习1:(2012年全国)已知函数()()()1 21 '102 x f x f e f x x -=-+,(1）求()f x 的解析式及单调区间；(2） 若()2 1,2 f x x ax b ≥++求()1a b +的最大值。（很简单,省略) 练习2：(2０1３年全国)已知函数()()ln .x f x e x m =-+当2m ≤时，证明()0.f x >(很简单，省略) 练习３:（２016年广一模)已知函数()()()3,ln 12x m f x e x g x x +=-=++。1）若曲线()y f x =在点 ()()0,0f 处的切线斜率为１，求实数m 的值。2)当1m ≥时，证明:()()3 f x g x x >-。(2016年广二模也 有用到） 练习４：已知函数()1(0,)x f x e ax a e =-->为自然对数的底数. ⑴求函数()f x 的最小值; ⑶在⑵的条件下，证明：121()()( )()(*)1 n n n n n n e n n n n n e -++???++<∈-N 其中. 解：(1）由题意0,()x a f x e a '>=-,由()0x f x e a '=-=得ln x a =. 当(,ln )x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时,()0f x '>． ∴()f x 在(,ln )a -∞单调递减,在(ln ,)a +∞单调递增． 即()f x 在ln x a =处取得极小值,且为最小值, 其最小值为ln (ln )ln 1ln 1.a f a e a a a a a =--=-- (2)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，min ()0f x ≥． ?由(１),设()ln 1.g a a a a =--，所以()0g a ≥. ?由()1ln 1ln 0g a a a '=--=-=得1a =. ∴()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减， ∴()g a 在1a =处取得极大值(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a =. （3）由(2)知,因为1a =,所以对任意实数x 均有1x e x --≥0,即1x x e +≤. 令k x n =- (*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，则01k n k e n - <-≤.∴(1)()k n n k n k e e n - --=≤. ∴(1)(2)21 121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n -------+++++++++≤……1111111n e e e e e ----= <=---. 练习5：已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0． (1）若对一切x ∈Ｒ,() f x ≥1恒成立,求ａ的取值集合. （2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线ＡＢ的斜率为Ｋ,问：是 否存在ｘ0∈（x 1,x 2）,使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由． 【答案】(1）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠, 故0a >. 而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a '==得 当11ln x a a < 时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时,()0,()f x f x '>单调递增,故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111 (ln )ln .f a a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当 111 ln 1a a a -≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=- 当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1 1a =即1a =时，①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1． （2）由题意知，21 212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令21 21 ()(),ax ax ax e e x f x k ae x x ?-'=-=--则 121() 12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ?-??=----??- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ?-??=---? ?- 令()1t F t e t =--，则()1t F t e '=-. 当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21() 21()10a x x e a x x ---->,12() 12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2 21 0,ax e x x >- 因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使 0()0,x ?=2()0,()ax x a e x ??'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21 211ln () ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当 21 2211(ln ,)() ax ax e e x x a a x x -∈-时, 0()f x k '>. 综上所述,存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立．且0x 的取值范围为21 2211(ln ,)() ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值 11111 (ln )ln .f a a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥１恒成立转化为min ()1f x ≥，从而得出ａ的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 练习4:(2012年山东）已知函数()ln x x k f x e += ,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与ｘ轴平行。1）求k 的值;2）求()f x 的单调区间；3）设()() ()2 ',g x x x f x =+其中()'f x 为()f x 的导函数，证明： 对任意2 0,(x)1e x g -><+。(答案略) 例２、(2０１1年湖北)已知函数()()ln 1,0,.f x x x x =-+∈+∞求函数的最大值;2)设() ,1,2,...,k k a b k n =均为正数,证明:若112212......n n n a b a b a b b b b +++≤+++,则1212...1n b b b n a a a ≤（提示：ln 1x x ≤-) 解:（１)()f x 的定义域为(0,)+∞,令/ 1 ()101f x x x = -=?=, ()f x 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减，故函数()f x 在1x =处取得最大值(1)0f = (２）由（Ⅰ)知当(0,)x ∈+∞时有()(1)0f x f ≤=即ln 1x x ≤-, ∵,0k k a b >,∴1 1 ln (1),(1,2,)ln (1)k n n b k k k k k k k k k b a b a k n a b a ==?≤-=?≤-∑∑ ∵ 1 1 n n k k k k k a b b ==≤∑∑∴ 1 ln 0 k n b k k a =≤∑即 12 1212 12 ln()01n n b b b b b b n n a a a a a a ≤?≤ 练习1：(2006年全国）函数()()()1ln 1f x x x =++,若对所有的1x ≥都有()f x ax ≥成立,求实数a 的取值范围。（很简单，省略） 练习2：已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. (１）若2 '()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围; (2)证明：(1)()0x f x -≥ ． 解:(Ⅰ）11 ()ln 1ln x f x x x x λ +'= +-=+， ()ln 1xf x x x '=+, 题设2 ()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-,则1 ()1g x x '= - 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时,'()0g x ≤，1x =是()g x 的最大值点, ()(1)1g x g =-≤ 综上,a 的取值范围是[)1,-+∞. (Ⅱ)有(Ⅰ)知,()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤. 当01x ＜＜时,()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时， ()ln (ln 1)f x x x x x =+-+ 1 ln (ln 1)x x x x =++- 11 ln (ln 1)x x x x =--+ 0≥ 练习3：(2014年陕西）设函数()()()()ln 1,',0,f x x g x xf x x =+=≥其中()'f x 是()f x 的导函数。若 ()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。(很简单,省略) 练习４：(2011浙江理２２，替换构造)已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->. ⑴求()f x 的单调区间和极值; ⑵求证:(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n n n n e e e e e n n ++++???+>+* ()n N ∈. 解：⑴定义域为()1,-+∞，2'()11a f x x = -+. 令'()0121f x x a >?-<<-，令'()021f x x a - 故()f x 的单调递增区间为()1,21a --,()f x 的单调递减区间为()21,a -+∞ ?()f x 的极大值为2ln 221a a a -+ ⑵证明：要证(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n n n n e e e e e n n ++ ++???+>+ 即证 (1)111lg (1)423lg n n n n e n n e +++++???+> , 即证(1)1114ln (1)23n n n n e n n ++++???+>+ 即证111113ln(1)(1)23n n n n +++???++>+++ 令1 2 a =，由⑴可知()f x 在(0,)+∞上递减,故()(0)0f x f <= 即ln(1)x x +<,令* 1()x n N n =∈,故111ln(1)ln ln(1)ln n n n n n n ++==+-< 累加得,111 ln(1)123n n +<+++???+ 1111ln(1)ln(1)1(1)3n n e n n n n + 故111113ln(1)(1)23n n n n +++???++>+++,得证 法二：1(1)n n +＝0122111n n n n n n C C C C n n n +++???+11122!3!!n <+++???+ 21112222n <+++???+ 1111(1) 12 22331212n n ---=+=-<-，其余相同证法 练习5：已知函数.1)1()1ln()(+---=x k x x f （1)求函数)(x f 的极值点。 (2)若0)(≤x f 恒成立,试确定实数k 的取值范围。 （3)证明： )1,(6) 1)(4(1 ln 154ln 83ln 32ln 2>∈-+<-++++n N n n n n n . 解:（１）)(x f 的定义域为（１，+∞）,k x x f --= 1 1)(/ . 当0≤k 时，0)(,1/>∴>-x f x ，则)(x f 在（1，+∞)上是增函数。 )(x f 在(1，+∞)上无极值点. 当0>k 时,令0)(/=x f ，则k x 11+ =． 所以当)1 1,1(k x +∈时,01111 1 1)(/=--+>--=k k k x x f ， ∴)(x f 在)1 1,1(k + 上是增函数， 当),1 1(+∞+∈k x 时，01111 1 1)(/=--+<--=k k k x x f , ∴)(x f 在),1 1(+∞+k 上是减函数。 ∴k x 1 1+ =时,)(x f 取得极大值。 综上可知，当0≤k 时,)(x f 无极值点； 当0>k 时,)(x f 有唯一极值点k x 11+ =. (2)由(1)可知,当0≤k 时，01)2(>-=k f ，0)(≤x f 不成立.故只需考虑0>k . 由(１)知,k k f x f ln )1 1()(max -=+ =, 若0)(≤x f 恒成立，只需0ln )1 1()(max ≤-=+ =k k f x f 即可， 化简得：1≥k ,所以k 的取值范围是[1,+∞）. （3）由（2)知,.11ln 1>-<=，x x x ：k 时理解得当 ∴2233)1)(1()1)(1(1ln +-<++-=- 31 1 ln 2 +<-n n n )1,(>∈n N n )1,(6 )1)(4()1(2)13(31)1543(3 1 1ln 154ln 83ln 32ln 2>∈-+=-++?=+++++<-++++n N n n n n n n n n 练习6：已知函数()ln(1)(1) 1.f x x k x =---+ ⑴求函数()f x 的单调区间； ⑵若()f x ≤0恒成立,试确定实数k 的取值范围; ⑶证明:①当2x >时，ln(1)2x x -<-;②*1ln (1) (,1)1 4n i i n n n N n i =-<∈>+∑. 解:⑴函数的定义域为(1,)+∞中，1 ()1 f x k x '= --． 当k ≤0时，()0f x '>,则()f x 在(1,)+∞上是增函数. 当0k >时，()f x 在1(1,1)k +上是增函数,在1 (1,)k + +∞上是减函数. ⑵由⑴知，当k ≤0时，()f x 在(1,)+∞上是增函数.而(2)10f k =->,()f x ≤0不成立. 当0k >时,由⑴知max 1(1)ln y f k k =+=-,要使()f x ≤0恒成立,则ln k -≤0，解得k ≥1． ⑶①由⑵知当1k =时，有()f x 在(1,)+∞上恒成立，且()f x 在(2,)+∞是减函数． ?又(2)0f =，∴当2x >时，()(2)0f x f <=，即ln(1)2x x -<-. ?②令21,x n -=则22ln 1,n n <-即2ln (1)(1)n n n <-+，从而ln 1 12 n n n -<+. ?∴ln 2ln 3ln 4 ln 123 1(1)345 1222 24 n n n n n --++++ <++++=+成立. 例3、（20１0湖北）已知函数0b f x ax c a x =++>（ ）（）的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. a b c ⑴用表示出、； ()ln [1)f x x a +∞≥⑵若在，上恒成立，求的取值范围； ⑶1111ln(1)(1)232(1) n n n n n +++???+>++≥+证明： . 解:本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识,同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力 和分类讨论的思想。 ⑴2 '()b f x a x =- ，则有(1)0(1)1f a b c f a b =++=??'=-=?，解得12b a c l a =-??=-? . ⑵由⑴知，1 ()12a f x ax a x -=+ +-， 令1 ()()ln 12ln a g x f x x ax a x x -=-=++--，[)1,x ∈+∞ 则 (1)0g =, 222 2 1(1)()11(1) '()a a x x a ax x a a g x a x x x x --- ----=--== ①当 12o a <<,11a a -> 若 11a x a -<<，则'()0g x <，()g x 是减函数，所以()()g x g l o <= ()ln f x x >，故()ln f x x ≥在[)1,+∞上恒不成立。 ②12a ≥ 时, 11a a -≤ 若()ln f x x >,故当1x ≥时,()ln f x x ≥。 综上所述，所求a 的取值范围为1 ,2??+∞???? ⑶由⑵知:当1 2 a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥. 令1 2 a =，有11()()ln (1)2f x x x x x =-≥≥ 当1x >时,11 ()ln .2x x x -> 令1 k x k += ，有111111ln (1)(1)2121k k k k k k k k ++????<-=+--????++???? 即 111ln(1)ln ()21 k k k k +-< ++,1,2,3....k n = 将上述n 个不等式依次相加得 11111 ln(1)(.....)2232(1) n n n +< ++++++，整理得1111....ln(1)232(1)n n n n ++++>+++. 练习1:已知()22(0)b f x ax a a x =+ +->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行. (1)求a ,b 满足的关系式; （2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围； （３)证明：11111(21)()3521221n n n n n ++ +++>++∈-+1 2)12ln(21+++n n n （n ∈Ｎ*） 解：（Ⅰ)2)(x b a x f -='，根据题意2)1(=-=' b a f ，即2-=a b . ?(Ⅱ）由（Ⅰ)知，a x a ax x f 222 )(-+-+=， 令x x f x g ln 2)()(-=x a x a ax ln 2222 --+-+=,[)1,x ∈+∞ 则0)1(=g ，x x a a x g 2 2)(2 ---='=2 )2)(1(x a a x x a -- - ①当10<-a a ， 若21a x a -<< ，则' ()0g x <,()g x 在[1,)+∞减函数，所以()(1)0g x g <=,即()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒不成立. ?②1a ≥时， 21a a -≤，当1x >时,'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =,所以()2ln f x x ≥. 综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞. （Ⅲ）由(Ⅱ）知当1≥a 时,x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立.取1=a 得x x x ln 21 ≥- 令11212>-+=n n x ，*N n ∈得1 21 2ln 212121212-+>+---+n n n n n n , 即1212ln 2)1221(1221-+>+---+ n n n n ,所以)1 21 121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n 上式中n=１,２，３,…,ｎ,然后n 个不等式相加得11 111ln(21)35 21221n n n n ++++>++-+… C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在 上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知 【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点 教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景，引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你 10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！ 你愿意自己是杰米还是韦伯？ 【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ； ⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快； ⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值 一、自然常数e 1、求导x a dx d 令x a y = 已知导数差商公式定义式： x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()()(lim 0 ' 由导数差商定义式得： x a a x a a x x f x x f x f x x x x x x x x ?-?=?-=?-?+=?→??+→?→?1 )()()(lim lim lim 000'（因子x a 与x ?无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即 x a a f x x ?-?=?→?1)0(lim 00 ' 因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且 x a f x f ?=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的. 令x a a f a M x x ?-?==?→?1 )0()(lim 00 ' 0，因为x a 已知，要求)('x f 必须 求得)(0a M ，从x a a M x x ?-=?→?1 )(l i m 0 0的定义式可以猜测)(0a M 可能 是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ?值求得)(0a M 的估算值， 这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值. h h h 1 2- h h 1 3- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001 0.6932 1.0987 在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且 当2=a ，69.012)0(lim 0 ' ≈?-=?→?x f x x 当3=a ，10.11 3)0(lim 0' ≈?-=?→?x f x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下： 693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0 ≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有 x x dx d 2)69.0()2(?≈ x x dx d 3)10.1()3(?≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分 公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11 )(lim 00=?-=?→?x e e M x x ， 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 高三第三章导数--对数函数与指数函数的导数练习题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列求导数运算正确的是 A.（x +x 1)′=1+21x B.(log 2x )′=2ln 1x C.(3x )′=3x log 3e D.(x 2cos x )′=－2x sin x 2.函数y =ln(3－2x －x 2)的导数为 A.32+x B.2231x x -- C.32222-++x x x D.3 2222-+-x x x 3.函数y =lncos2x 的导数为 A.－tan2x B.－2tan2x C.2tan x D.2tan2x 4.函数y =x x a 22-(a >0且a ≠1),那么y ′为 A.x x a 22-ln a B.2(ln a ) x x a 22- C.2(x －1) x x a 22-·ln a D.(x －1) x x a 22-ln a 5.函数y =x ln 的导数为 A.2x x ln B.x x ln 2 C.x x ln 1 D.x x ln 21 6.函数y =sin32x 的导数为 A.2(cos32x )·32x ·ln3 B.(ln3)·32x ·cos32x C.cos32x D.32x ·cos32x 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设y =x x e e 2 )12(+,则y ′=___________. 8.在曲线y =5 9++x x 的切线中，经过原点的切线为 9.函数y =x 22的导数为y ′=___________. 10.函数y =log 3cos x 的导数为___________. 11.曲线y =e x －e ln x 在点（e ,1)处的切线方程为___________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.求函数y =ln(21x +－x )的导数. 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质： 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x 课 题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1) 教学目的： 1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式. 2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 二、讲解新课： ⒈对数函数的导数（1）： x x )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(== 指数函数对数函数计算题30-1 1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1lg )2 (lg 23++. 2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4. 3、解方程：23log 1log 66-=x . 4、解方程：9-x －2×31-x =27. 5、解方程：x )8 1(=128. 6、解方程：5x+1=12 3-x . 7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233+ +·.10 log 18 8、计算：(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求函数121log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616. 11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=321121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数. 14、求log 927的值. 15、设3a =4b =36,求a 2＋b 1的值. 16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=1 17、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=0 18、解指数方程：24x+1－17×4x +8=0 19、解指数方程：22)223()223( =-++-x x ±2 20、解指数方程：014332 14111=+?------x x 21、解指数方程：042342222=-?--+-+x x x x 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(*∈N n ()0 10a a =≠ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2） ()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数． 解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成． .1 11 2)1(2 111 )2(2 11222212221 +=+?+=?+?+=??='?'?'='--x x x x x x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(11 1ln 222'++='+='x x x y .121121 11)1()1(2111 22222122+=?+? +='+?+?+= -x x x x x x x x 解法三：)1ln(2 11ln 22+=+=x x y ， [] .1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+?+?='+='x x x x x x x y 2．解法一：设132,log 2 2++==x x u u y ，则 )34(log 12+??='?'='x e u u y y x u x .1 32log )34()34(132log 2222++?+=+++?=x x e x x x x e 解法二：[] )132(1 32log )132(log 22222'++?++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+?++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u +===,sin ,，则 基本初等函数I(指数函数与对数函数) 基本初等函数(指数函数和对数函数 一、基本内容串讲 本章主干知识：指数的概念与运算，指数函数、图象及其性质，对数的概念与运算，对数函数、图象及其性质，幂函数的概念 1．指数函数：（1）有理指数幂的含义及其运算性质： ①r s r s a a a +?=；②()r s rs a a =；③()(0,0,,)r r r ab a b a b r s Q =>>∈。 （2）函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 x a y = 0 < a < 1 a > 1 图 象 性 质 定义 域 R 值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1 （1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。 （2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。 单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性 x y a =和x y a -=关于y 轴对称 2．对数函数 （1）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： ①N M MN a a a log log log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=。 （2）换底公式：)0,10,10(log log log >≠>≠>= b c c a a a b b c c a 且且 x y a log = 0 < a < 1 a > 1 图 象 定义域 (0 , +∞) 值域 R 性 质 （1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0 （2）在R 上是减函数 （2）在R 上是增函数 （3）同正异负，即0 < a < 1 , 0 < x < 1或a > 1 , x > 1时， log a x > 0； 0 < a < 1 , x > 1或a > 1 , 0 < x < 1时，log a x < 0。 3．幂函数 函数αx y =叫做幂函数（只考虑2 1 ,1,3,2,1-=α的图象）。 二、考点阐述 考点1有理指数幂的含义 1、化简1 327()125 -的结果是（ ）. A. 35 B. 5 3 C. 3 D.5 考点2幂的运算 2、（1）计算：25.021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()9 4 5()833[(÷?÷+---； （2）化简： 5332 33 23 233 2 3 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 。 3、已知1 12 2 3x x - +=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值。 教案 对数函数的导数公式 （回忆公式） 求下列几个函数的导数： （1）y=sinx 3 +sin 3 3x ；（2）1 22sin -=x x y 【探索研究】 一、对数函数的导数 ()e x x a a log 1log =' 公式一 说明：此公式的记忆要点是：将x 拿到对数前面并“倒”一下，原来x 的地方换成“e ” 练习1：求下列对数函数的导数（随手写出） （1）x lg ；（2）)2(log 2-x a （3）)lg(sin x （4）x ln 例2 求21lg x y -= 处理：例2放在第（3）题后讲解 ()x x 1ln = ' 公式二 例1 求)132ln(2++x x 的导数 处理：例题教师板演 练习2：求下列对数函数的导数（随手写出） 二、指数函数的导数 ()a a a x x ln =' 公式三 说明：指导学生记忆此公式，并说明a 应为正数。 练习3：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）3x ；（2）x 3+3x ；（3）a 5x ；（4）e x ； ()x x e e =' 公式四 练习4：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）e 3x ；（2）x 2e x ；（3）e 2x cos3x ；（4）x n e -x 练习5：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）y=e x sinx ；（2）y=e x lnx 【求导小测】 1． 求下列函数的导数 （1）) sin(b ax e y +=；（2）)12cos(3+x a x ；（3）( )2 sin 1-x e 说明：一些复杂的求导问题基本为复合函数求导问题，按照复合函数的求导方法，首先要选 对数函数与指数函数的运算 1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(65312121132 b a b a b a ????-- （2）.)4()3(6521 332121231----?÷-??b a b a b a 2.化简(1) 313 2)3(---a y x (2) )111)((2211b ab a b a +-+-- 3.化简下列各式 (1) 6113175.0231729)95()27174(256)61(027 .0------+-+-- (2) (a 3+a -3)(a 3-a -3)÷[(a 4+a -4+1)(a-a -1)] 4.求值(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3) 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+ (4)(lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5 (5)化简22)4(lg 16lg 25lg )25(lg ++ 答案： 1.（1）原式= .100653121612131656131212131=?=?=?-+-+--b a b a b a b a b a （2）原式=- )(45)4(25233136121332361------÷-=?÷b a b a b a b a .45145452 32321ab ab ab b a -=?-=?-=-- 2. (1) 639 27x a y ； (2) 3311b a +； 3.(1) 5132；(2) a a 1 ； 4. (1) 0；(2) 25；(3) 23；(4) 1；(5) 2 ； 指数函数对数函数计算题1 1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1lg )2(lg 23++. 2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4. 3、解方程：23log 1log 66-=x . 4、解方程：9-x －2×31-x =27. 5、解方程：x )8 1(=128. 6、解方程：5x+1=12 3-x . 7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10 log 18 8、计算：(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求函数121 log 8.0--=x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616. 11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=321121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数. 14、求log 927的值. 15、设3a =4b =36,求a 2＋b 1的值. 16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=1 17、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=0 18、解指数方程：24x+1－17×4x +8=0 19、解指数方程：22)223()223(=-++-x x ±2 高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 复合函数的导数、对数与指数函数的导数 二. 本周教学重、难点： 1. 复合函数的求导法则 设)(x u ?=在点x 处有导数)(x u x ?'='，)(u f y =在点x 的对应点u 处有导数 )(u f y u '='，则))((x f ?在点x 处也有导数，且x u x u y y '?'='或)()())((x u f x f x ??''=' 2. 对数函数的导数 （1）x x 1)(ln = ' （2）e x x a a log 1 )(log =' 3. 指数函数的导数 （1）x x e e =')( （2）a a a x x ln )(=' 【典型例题】 [例1] 求下列函数的导数 （1）3 2)2(x x y += （2）2 45x e y += （3）32c bx ax y ++= （4）3 12 )(sin x y = （5）)1ln(2x x y ++= （6）x x y 33 log = （7）x x y 2sin 5cos = 解： （1）2 2 2 22)2)(1(6)22()2(33x x x x x x u u y ++=++='?=' （2）x e u e y x u 82 45?='?='+ （3）)2()(3 13132 2 32 b ax c bx ax u u y +++='='-- （4）3 2 222 32232)(sin 3cos 22cos )(sin 3 1)2(cos 31x x x x x x x v u v u y y x v u =?=??='?'?'='-- （5）])1(121 1[11)1(1122 222'+++++='++++= 'x x x x x x x x y 2 2211 )11(11x x x x x +=++++= （6）)(log log 1log 33 323332ex x e x x x x y =?+=' （7）2)2(sin )2(sin 5cos 2sin )5(cos )2sin 5cos (x x x x x x x y ' -'='=' 2 )2(sin 2cos 5cos 22sin 5sin 5x x x x x ?-?-= 指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为 1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ，，的图象的认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ???12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101 ，则，则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐上升，y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 （4）当a >1时，y a x =是增函数， 当01<
对数指数函数公式全集
幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案
指数函数对数函数幂函数增长速度的比较教学设计
指数对数函数求导
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
指数、对数函数公式
导数--对数函数与指数函数的导数练习题
对数指数函数公式全集
对数函数与指数函数的导数(1)
指数函数对数函数计算题30-1
指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题详解
指数对数的导数
基本初等函数I(指数函数与对数函数)
教案 对数函数的导数公式
对数函数与指数函数的运算
指数函数对数函数计算题集及答案
高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版知识精讲
指数函数和对数函数的重点知识