离散时间系统的状态空间描述
燕山大学
课程设计说明书
题目：离散时间系统的状态空间描述学院（系）：电气工程学院
年级专业： 11级精密仪器二班
学号：徐。。
学生姓名：
指导教师：
教师职称：
电气工程学院《课程设计》任务书
课程名称：数字信号处理课程设计
说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。
2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。
电气工程学院教务科
目录
摘要 (4)
一、课题总体描述 (5)
二、计算过程
(一)状态变量及状态空间表达式 (6)
1.状态变量 (6)
2.状态矢量 (6)
3.状态空间 (6)
4.状态方程 (6)
5.输出方程 (6)
6.状态空间表达式 (7)
(二)MATLAB语句分析
1.用到的MATLAB函数 (8)
2.Tf2ss：传递函数到状态空间模型 (9)
3.转换为零极点增益模型 (12)
4.用传递函数求冲击响应 (13)
5.状态空间模型求冲击响应 (15)
三、心得体会 (17)
四、参考文献 (18)
摘要
数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。简单的说，数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术。信号是信息的物理体现形式，或是传递信息的函数，而信息则是信号的具体内容，信号处理的内容包括滤波，变换，检测，谱分析，估计，压缩，识别等一系列的加工处理。
MATLAB是一个功能强大的用于算法开发，数据可视化，数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，通过将数字信号处理与MATLAB结合运用的过程可以方便地处理各种运算，包括将传递函数变换为状态方程，输出方程，或者由状态方程求其单位冲击响应，通过MATLAB的辅助都使计算变得异常简便。
根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图像，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。
信号处理理论和分析方法已应用于许多领域和学科中。信号处理方面的课程，如“信号与系统”，“数字信号处理”等不仅是无线电，通信，电子工程等专业的主干课程，也成为相关工科专业非常实用的课程。
一、课题总体描述
本课题包括两部分内容：第一，由传递函数求状态方程和输出方程，第二，由状态方程求其单位冲击响应。
通过查询和学习MATLAB相关资料我知道了如何将传递函数转化为零极点分布，并且如何运用函数进行传递函数到状态方程的转化，运用tf2ss函数可以将传递函数转化到状态方程，进而求出输出方程，通过分析其零极点分布可以得出系统的稳定性和其他的性质，单位冲击响应可以由状态方程求取，也可以由传递函数求取其单位冲击响应，并且绘制出函数曲线，根据曲线可以求出其稳定性。由单位脉冲响应也可求其函数曲线，同样可以判断其稳定性。
对系统函数的零极图而言：①极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。②当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。③系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。
二、计算过程
(一)状态变量及状态空间表达式
1.状态变量
足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无疑了。因此，可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。
因此状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。综上所述，状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定错误！未找到引用源。时刻的输入作用下，便能完全确定系统在任何错误！未找到引用源。时刻的输入作用下，便能完全确定系统在任何错误！未找到引用源。时刻的行为。
2.状态矢量
如果n个状态变量用错误！未找到引用源。(t)，错误！未找到引用源。(t)，…错误！未找到引用源。(t)表示，并把这些状态变量看作是矢量x(t)，的分量，则x(t)就称为状态矢量，记作：
或
3.状态空间
以状态变量错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，…，错误！未找到引用源。为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。在特定时刻t，状态矢量x(t)在状态空间中是一点。已知初始时刻错误！未找到引用源。的状态x(错误！未找到引用源。)，就得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。
4.状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组成为系统的状态方程。
如常见的R-L-C网络，系统中有两个储能元件即电容C和电感L，所以应有两个状态变量。根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：
错误！未找到引用源。= i
L错误！未找到引用源。+Ri+错误！未找到引用源。
亦即
错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。
(1.1)
式（1.1）就是系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号错误！未找到引用源。表示，即令错误！未找到引用源。；并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用
源。u
或
错误！未找到引用源。=Ax+bu
式中
错误！未找到引用源。，A=错误！未找到引用源。，b=错误！未找到
引用源。
5.输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。在1.的系统中，指定错误！未找到引用源。作为输出，输出一般用y表示，则有：
y=错误！未找到引用源。
或
y=错误！未找到引用源。
(1.3)
式1.3就是1.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为：
y=错误！未找到引用源。
或
y=cx (1.4) 式中
c=错误！未找到引用源。
6.状态空间表达式
状态方程和输出方程总和起来，构成对一个系统完整的动态描述称为系统的状态空间表达式。如式（1.1）和式（1.3）所示，而式（1.2）和式（1.4）就是1.1系统的状态空间表达式。
设单输入单输出定常系统，其状态变量为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。…错误！未找到引用源。，则状态方程的一般形式为：
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。u
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。u
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。u
输出方程式则有如下形式：
y=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…错误！未找
到引用源。
用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：
式中，x=错误！未找到引用源。为n维状态矢量；
A=错误！未找到引用源。为系统内部状态的联系，称为系统矩阵，为n错误！未找到引用源。方阵；
b=错误！未找到引用源。为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为错误！未找到引用源。的列阵；
c=错误！未找到引用源。为输出矩阵，这里为错误！未找到引用源。的行阵。对于一个复杂系统，具有r个输入，m个输出，此时状态方程变为：
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…错误！未找到引用源。
因而多输入多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：
错误！未找到引用源。=Ax+Bu
y=Cx+Du
式中，x和A为同单输入系统，分别为n维状态矢量和错误！未找到引用源。系统矩阵；
u=错误！未找到引用源。为r维输入（或控制）矢量；
错误！未找到引用源。为m维输出矢量；
B=错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。输入（或控制）矩阵；C=错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。输出矩阵；
D=错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。直接传递矩阵。
(二)M atlab语句分析
1.用到的MATLAB函数
MATLAB的工具箱，为同一离散系统的不同系统模型间的多种表达方式的变换，提供了很多功能丰富快捷的MATLAB函数，如表1所示
表1 离散系统模型变换MATLAB函数
2.Tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型
调用方式：
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)：向量num为系统传递函数模型的分子所组成的向量，而向量den则为系统传递函数模型的分母所组成的向量。需要注意的是：系统传递函数模型的分子多项式和分母多项式的长度必须相等，否则需进行补零。
应用说明
例：将系统
H(z)=错误！未找到引用源。
变换成状态空间模型。
>>num=[1 3 5 0]; %进行补零；
>>den=[1 8 1 3];
>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
运行结果
A =
B =
C =
D =
而对于题目要求的
H（z）=错误！未找到引用源。
在MATLAB中输入下列语句：
>> num=[1 0.8 -1 -0.8];
den=[1 -1.7 1.53 -0.684];
>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
可以将其转化为状态空间表达式各项系数矩阵：
A =
1.7000 -1.5300 0.6840
1.0000 0 0
0 1.0000 0
B =
1
C =
2.5000 -2.5300 -0.1160
D =
1
即系统的状态方程为：
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
y(k)=Cx(k)+Du(k)
系数如上所示，
接下来运行如下程序：
>> sys=ss(A,B,C,D,0.01) %创建离散时间模型，采样间隔0.01秒；可得到如下运行结果：
a =
x1 x2 x3
x1 1.7 -1.53 0.684
x2 1 0 0
x3 0 1 0
b =
u1
x1 1
x2 0
x3 0
c =
x1 x2 x3
y1 2.5 -2.53 -0.116
d =
u1
y1 1
即状态空间模型。
然后运行以下程序：
>> bode(sys)； %画出离散模型的伯德图；
3.转换为零极点增益模型：
>> num=[1 0.8 -1 -0.8];
den=[1 -1.7 1.53 -0.684];
>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)
z =
1.0000
-1.0000
-0.8000
p =
0.4265 + 0.7910i
0.4265 - 0.7910i
0.8470
k =
1
很显然系统的增益为1，则零极点增益的表达式为：
H(z)= 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,k=1
由表达式可知，其极点全部位于单位圆之内，且收敛域包括单位圆，所以可知这个系统是稳定的，下面由MATLAB给出系统的图象：
4.用传递函数求冲击响应：
在MATLAB中运行如下程序：
>>num=[1 0.8 -1 -0.8]; %分子系数
>>den=[1 -1.7 1.53 -0.684]; %分母系数
>>n=100 %取样区间
>>impz(num,den,n) %绘制单位冲击响应图形
n = 100单位冲击响应的图形如图2：
图2 n=100单位冲击响应n=200时的单位冲击响应如图3所示：
图3 n=200单位冲击响应
5.状态空间模型求冲击响应
以上为利用传递函数求其单位冲击响应所得到的图像，当利用sys模型求冲击响应时运行一下程序：
〉〉num=[1 0.8 -1 -0.8]; %分子系数；
〉〉den=[1 -1.7 1.53 -0.684]; %分母系数；
〉〉[A,B,C,D]=tf2ss(num,den); %转换为状态方程；
〉〉sys=ss(A,B,C,D,0.1); %构建状态空间模型；
>> impulse(sys) %画出单位冲击响应图像；
如图4所示：
图4 由状态方程得到的冲击响应图像
再运行一下程序求出其响应：
>> y=impulse(sys) %求其单位冲击响应；
y =
1.0000
2.5000 1.7200 -1.0170 -2.6505 -1.7734 0.3449 1.4867 0.7866
-0.7014 -1.3791 -0.7332 0.3838 0.8309 0.3239 -0.4582 -0.7061 -0.2778 0.2946 0.4430 0.1122 -0.2854 -0.3540 -0.0882 0.1963
0.2266 0.0246 -0.1707 -0.1728 -0.0157 0.1208 0.1113 -0.0064
-0.0986 -0.0816 0.0077 0.0705 0.0523 -0.0137 -0.0551 -0.0369
0.0122 0.0395 0.0232 -0.0126 -0.0299 -0.0157 0.0104 0.0213
0.0096 -0.0093 -0.0158 -0.0061 0.0074 0.0112 0.0035 -0.0061 -0.0081 %得到响应；
三、心得体会
通过本次的课程设计，更进一步的深化了数字信号处理得知识，在使用matlab的过程中，也学到了许多新的知识，通过具体的图形，了解本质，算是对之前学习知识的一次总结实践。本次课程设计锻炼了个人思考能力，发觉了新方法新思维，以后要自己多多实践，在使用中学的更多的知识。对于题目给出的系统模型，可以用MATLAB求出其各项性能参数，通过本次课设我实际操作了Matlab应用软件，加深了对数字信号科目的理解与应用，对课堂中所学的知识进行了实际应用，理论与实际的结合使我更深刻的理解了理论，加深了对数字信号应用技术的理解，为将来更好的应用打下了良好的基础。王老师很负责任，无论在授课方面还是实践课程设计方面，都对我们悉心教导，传授知识经验，在此对王老师深表感谢。
四、参考文献
1.《现代控制理论第3版》刘豹唐万生主编机械工业出版社
2.《信号处理原理及应用》谢平王娜林宏彬编著机械工业出版社
3.《MATLAB从入门到精通》胡晓冬董辰辉编著人民邮电出版社
燕山大学课程设计评审意见表
离散系统的Simulink仿真
电子科技大学中山学院学生实验报告 院别：电子信息学院课程名称：信号与系统实验 一、实验目的 1.掌握离散系统Simulink的建模方法。 2.掌握离散系统时域响应、频域响应的Simulink仿真方法。 二、实验原理 离散系统的Simulink建模、仿真方法与连续系统相似，其系统模型主要有z域模型、传输函数模型和状态空间模型等形式。 现采用图1的形式建立系统仿真模型，结合如下仿真的命令，可得到系统的状态空间变量、频率响应曲线、单位阶跃响应和单位冲激响应的波形。 图1 系统响应Simulink仿真的综合模型 仿真命令： [A,B,C,D]=dlinmod（‘模型文件名’）%求状态空间矩阵，注意：‘模型文件名’不含扩展名 dimpulse(A,B,C,D) %求冲激响应 dimpulse(A,B,C,D,1,N 1:N 2 ) %求k=N 1 ~N 2 区间（步长为1）的冲激响应 dimpulse(A,B,C,D,1,N 1:△N: N 2 ) %求冲激响应在k=N 1 ~N 2 区间（步长为△N） 的部分样值 dstep(A,B,C,D) %求阶跃响应 dstep(A,B,C,D,1,N 1:△N:N 2 ) dbode(A,B,C,D,T s )%求频率响应（频率范围： Ts ~ π ω=，即π ~ 0=）。T s 为 取样周期，一般去T s =1. dbode(A,B,C,D, T s ,i u ,w :△w:w 1 ) %求频率响应（频率=范围：ω=w ~w 1 ， 即θ=（w0~w1）T s，△w为频率步长）；i u为系统输入端口的编号，系统只有一个输入端
7状态空间设计法极点配置观测器解析
第7章线性定常离散时间状态空间设计法 7.1引言 7.2状态反馈配置极点 7.3状态估值和状态观测器 7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点 7.5扰动调节 7.6无差调节
7.1 引言 一个被控对象： (1)()()()() ():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n +=+?? =?????? 7.1 当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声 ● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。 给d L (k )扰动 图7.1 控制系统示意图 根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。 伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。 7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。
7.2 状态反馈配置极点 工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈 ()()()u k v k Lx k =+ 7.2 如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得 (1)()()()() ()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+?? =??=+? 7.3 整理得 ()(1)()() ()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++?? =? 7.4 (k ) v (k ) 图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点 闭环系统的特征方程为 []det ()0zI F GL -+= 7.5 问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有 []1det ()()0n i i zI F GL z λ=-+=-=∏ 7.6 定理：状态反馈配置极点
离散时间系统的状态空间描述
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目录 摘要 (4) 一、课题总体描述 (5) 二、计算过程 (一)状态变量及状态空间表达式 (6) 1.状态变量 (6) 2.状态矢量 (6) 3.状态空间 (6) 4.状态方程 (6) 5.输出方程 (6) 6.状态空间表达式 (7) (二)MATLAB语句分析 1.用到的MATLAB函数 (8) 2.Tf2ss：传递函数到状态空间模型 (9) 3.转换为零极点增益模型 (12) 4.用传递函数求冲击响应 (13) 5.状态空间模型求冲击响应 (15) 三、心得体会 (17) 四、参考文献 (18)
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答案-控制系统的状态空间描述-习题解答
` 第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器 的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α ②： 3222x x x +=α ③：u x x +=333α 输出y 为1y x du =+，得 { 11 12223331000100 1x a x x a x u x a x ???????? ????????=+???????????????????????? []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++ ；(2) u u y y -=+ 32；
(3) u u y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =，3y x =，则有： 12 23 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=? 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 《 3222332()3()()() 11()1223()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---== ++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????- ???? 123110 2 2x y x x ?????? =- ??????????
实验一 MATLAB系统的传递函数和状态空间表达式的转换
实验一 MATLAB 系统的传递函数和状态空间表达式的转换 一、 实验目的 1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法； 2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法； 3、掌握相应的MATLAB 函数。 二、 实验原理 设系统的模型如式（1.1）所示： ?? ?+=+=D Cx y Bu Ax x ' x ''R ∈ u ∈R ’’’ y ∈R P (1.1) 其中A 为nXn 维系统矩阵、B 为nXm 维输入矩阵、C 为pXn 维输出矩阵，D 为直接传递函数。系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式（1.2）所示 G(s)=num(s)/den(s)=C (SI-A)-1 B+D (1.2) 式（1.2）中，num(s)表示传递函数的分子阵，其维数是pXm ，den(s)表示传递函数的按s 降幂排列的分母。 表示状态空间模型和传递函数的MATLAB 函数如下： 函数ss （state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是: sys=ss(A,B,C,D) 函数tf （transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是: G=tf(num ，den) 其中num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传递函数中分母多项式的系数向量。 函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
状态空间分析法
第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：
i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1 t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ΛΛ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述
第八章 控制系统的状态空间分析
第八章 控制系统的状态空间分析 一、状态空间的基本概念 1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。 2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻 这组变量的值())()() (00201t x t x t x n Λ 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系 统在0t t ≥任何时刻())()() (21t x t x t x n Λ 的行为就可完全确定。 3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n Λ =。 4. 状态空间 以状态变量())()() (21t x t x t x n Λ 为坐标的n 维空间。系统在某时 刻的状态，可用状态空间上的点来表示。 5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。 6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。 二、状态空间描述（状态空间表达式） 1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状 态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有 ? ? ?+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x & （8-1） 对于线性定常离散系统有 ?? ?+=+=+) ()()() ()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2） 2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框 图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。 3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型） 系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
答案控制系统的状态空间描述习题解答
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 3 x 2 x 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α& ②： 3222x x x +=α&③：u x x +=333α& 输出y 为1y x du =+，得 1112223331000100 1x a x x a x u x a x ?? ?????? ????????=+???????????????????????? &&& []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++&&&&&& ；(2) u u y y -=+&&&&&&32； (3) u u y y y y 75532+=+++&&&&&&&&& 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =&，3y x =&&，则有：
1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=?&&& 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? &&& (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 3222332()3()()() 11()12 23()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---==++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? &&& 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得： 323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+
离散时间系统的状态空间描述
燕山大学 课程设计说明书题目：离散时间系统的状态空间描述 学院(系）：电气工程学院 年级专业：_11级精仪1班 学号： 110103020058 学生姓名： 指导教师： 教师职称：
电气工程学院《课程设计》任务书 课程名称：数字信号处理课程设计 说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。 2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。 电气工程学院教务科
摘要 摘要：线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举了MATLAB实现程序。 关键词：MATLAB；离散时间系统；系统分析；传输函数
目录 第一章离散时间系统与状态空间描述 (1) 1.1 离散时间系统 (1) 1.2 状态空间描述 (3) 1.3 LSI系统的求解方法 (5) 第二章软件仿真设计 (5) 2.1状态方程 (5) 2.2输出方程 (6) 2.3 LSI系统的单位冲击响应 (7) 第三章仿真结果分析 (10) 3.1状态方程 (10) 3.2 输出方程 (10) 3.3 LSI系统的单位冲击响应 (11) 第四章学习心得 (11) 第五章设计与实验过程中遇到的问题和分析 (12)
第一章相关离散时间系统的知识 1.1离散时间系统 离散时间系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用。分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频率特性。下面从系统分析流程、系统模型创建、系统时域分析、系统频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举MATLAB在系统分析过程中的具体应用。 二、单位脉冲响应的计算根据差分方程求解单位脉冲激励下系统的零状态响应，或将系统函数进行Z反变换都可算出系统的单位脉冲响应，具体算法可参见参考文献[3]。在MATLAB中描述系统的差分方程或系统函数都是用系数向量表示，调用impz函数就可直接算出系统的单位脉冲响应。如实例1描述的系统，其单位脉冲响应的计算及显示程序如下：b=[0.3,0.06,0,0]; %系数向量不齐后面补0 a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; %系数向量不齐后面补0 [hn,n]=impz(b,a,16), %列向求出16点单位脉冲响应 stem(n,hn,'.'); grid; %绘制点状图并加网格 xlabel('n');ylabel('hn');title('单位脉冲响应'); 若要写出闭环形式，可调用residuez函数将系统函数展开成部分分式形式，再通过查表求Z反变换即可。 三、系统输出的时域计算 在时域上计算离散时间系统的输出，实际上就是直接求解差分方程或作卷积运算。参考文献[3]列举了迭代法、时域经典法、卷积法等常用方法及应用实例。考虑到分析系统的目的在于综合，系统设计时不存在初始问题，因此，分析系统响应重点分析零状态响应。只要掌握了分析系统的概念、原理和方法，繁杂的计算可由MATLAB完成。 实例2：试计算实例1中，当输入序列分别为单位脉冲、单位阶跃和一般序列时，系统的输出响应。 方法1：调用filter函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125];