27二次根式(1)

第课时课题:二次根式（1）

学习目标：

1.理解二次根式的概念，理解a(a≥o)的意义；

2.理解二次根式的性质，并能利用性质进行计算；

3.理解最简二次根式的概念，并能利用最简二次根式进行二次根式

的化简计算；

重点：二次根式的运算

难点：最简二次根式的化简计算

自主学习，思考问题

一．探究新知：备注

活动1：忆一忆

1.一个正数的平方是________;一个负数

的平方是_______;0的平方是______；所

以正数和______平方根；

2.

81

16的平方根是_________；算术平方根

是_______；16的算术平方根是_______；

活动2：算一算

1.在Rt⊿ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2,

那么AB边的长是________；2.面积为S的正方形的边长为________；

3.要修建一个面积为6.28平方米的圆形

喷水池，它的半径为_______米；

活动3：说一说

填空：

(1)______;

9

4

_______,

9

4=

?

=

?

(2)__;

__________

25

16

,

__________

25

16=

?

=

?

(3);

__________

36

100

________,

36

100=

?

=

?

参考上面的结果，用“﹥，﹤或=”填空

(1);9

4

_______

9

4?

?

(2);25

16

________

25

16?

?

(3);36

100

________

36

100?

?

我的疑惑？

二．新知梳理：备注知识点一：二次根式的定义

一般地，形如a（a≥0）的式子叫做

二次根式，a叫做被开方数；

知识点二：二次根式的性质

1. 积的算术平方根等于每个因式 __________的积，即

ab =________________;

2. 商的算术平方根等于被除式的___________ 除以除式的__________，即

b

a

=___________;

知识点三：最简二次根式

一般地，被开方数中不含______，也不含 ____________________，这样的二次根式叫做 最简二次根式；化简时，要求最终结果中分母 不含有______，而且各个二次根式是________；

重难探究，解决问题 备 注 探究问题一：二次根式的判别

例1：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二 次根式：

y x y

x x x x

++-?,1

,

2,2,0),

0(,1,

3,243

(x ≥0,y ≥0)

探究问题二：二次根式的化简

例2：将下列根式化简成最简二次根式 （1）

12

；（2）5.0；（3）2

13

；

当堂检测

1.在下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A

D

2

）

A ．

B ．

C ．6

D ．12

3.若│a-2│+b 2

=0

·

）

A ．4

B ．2

C ．-2

D ．1 4

________．

5.化简： （1）20

； （2）

18； （3）24

；

（4）

54；

（5）

2

212b a

我的收获（反思静悟、体验成功）

第一讲 二次根式的应用

地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁） 第一讲 二次根式的应用 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

二次根式教案第一课时.doc

二次根式教案第一课时 【篇一：二次根式第一课时教案】 16.1 二次根式（一） 骆诗龙 学习目标：1、知道什么叫二次根式，理解被开方数是非负数； 2、掌握二次根式在实数范围内有、无意义的条件。 学习重点：二次根式的概念 学习难点：确定二次根式中字母的取值范围． 学习过程 一、引入新课： 提问：（1）、3 的算术平方根是多少？ （2）、面积为 a 的正方形的边长是多少？ （3）、直角三角形的两直角边是 1 和2，则斜边是多少？ 大家很容易知道答案分别是、 a 和，像这样的式子就是我们本章要 学习的二次根式。今天我们先来认识一下什么是二次根式。 二、展示目标，自主学习： 自学指导认真阅读课本第 2 页——3 页内容，完成下列任务： 1、用带有根号的式子完成第 2 页“思考”填空，看看写出的结果有什 么特点。 2、开平方时，被开方数只能是和，为什么？ 3、一般的，我们把形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号。 4、结合例 1 回答： 二次根式在实数范围内有意义的条件是。 二次根式在实数范围内无意义的条件是。 5 、完成第 3 页的“思考”和练习并和同伴互相找毛病。（11 分钟） 三、检测反馈 1、师生共同解决“自学指导”中的问题。 2、找同学演板 3 页练习1、2. 四、课堂小结： 本节课你有哪些收获？ （1）什么叫二次根式？ （2）二次根式在实数范围内有、无意义的条件是什么？ 五、布置作业： 1、正式作业：课本第 5 页习题第1 题

外延伸 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） a ．-x-2 b ．x c ．x2+2 d ．x2-2 2．在 a ，a2，4，x+2 ，2，x2-1 中，一定是二次根式的有： 。 3．若2二次根m ） a ．m ≤ 2b ．m ＜2c ．m ≥ 2 d ．m ＞2 4 x 是 ______________________ 。 5．当x ______，式子 x-3+1 -x 。 6．求使下列各式的字母： （1）x-4（2）m2+4 （3）- （4） 1 x-x2 （5）32x+1 （6）x-1 2x+1 【篇二： 16.1 二次根式时教案】 数学教案 序号： 1 ： 16.1 二次根式（型：执桂琴 ： 月 日： 教程 16.1 二次根式二次根： 课后反思： 【篇三：二次根式时教案】 26.1 二次根式（第 一、教与技能 1、了解二次根式的概念； 2、掌握二次根式中被开方数和二次根 式 . 过程与方法 使学生理解二次根式被开方数的重要性 度观 培养学生根据题的能力二、点 重 点 1、二次根式的概念； 2、二次根式的字论 . 确定二次根式中字 母。

初二第1讲---二次根式练习

二次根式练习 一、基础知识： 1、二次根式的概念： 2、二次根式的性质： 1） 2） 3） 4） 注意：下列式子什么时候有意义 a 2a - a - a a -+ 2a 巩固： 1：设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ 1）12-x ； 2）x -2； 3）x 1 ； 4）21x + 2：求下列二次根式的值： 1）2)3(π- 2）122+-x x ，其中3-=x . 3：设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++- 4：当x +1 1 x +在实数范围内有意义？ 5：(1)已知，求x y 的值． (2) ，求a 2007+b 2008 的值． （3）已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．

二、最简二次根式 定义： 化简： 巩固： 1：判断下列二次根式是不是最简二次根式： 1） 3 5a 2）a 42 3）324x 4）)1()12(32-≥++a a a 2：将下列二次根式化成最简二次根式： 1）)0(423>y y x 2）)0())((22≥≥+-b a b a b a 3）)0(>>-+n m n m n m 3. 把a 8和a 21化成最简二次根式： a a 228=； a a a 221 21=. 三、同类二次根式： 定义： 合并同类二次根式： 巩固： 1.下列二次根式，那些是同类二次根式： 12， 24， 27 1 ， b a 4， )0(23>a b a ， )0(3>-a ab 2.合并下列各式中的同类二次根式： 1）323 132122++-； 2）xy b xy a xy +-3 课堂巩固1： 一、填空题 1、计算：=?2536× ＝ ，计算：=?6416 . 2、直接写出结果： =8 ， =12 ，=18 ， =20 ， =27 ，=48 ，=32 ， =50 .

二次根式第一课时教学设计

第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、学情分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． 第二环节：探究性质

二次根式(第1课时)

21.1二次根式（第1课时） 教学任务分析 教学目标知识技能 1．了解二次根式的概念． 2．了解二次根式的基本性质． 数学思考 经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的 归纳概括能力． 解决问题 通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳 表达能力． 情感态度 学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充 满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识． 重点二次根式的概念和基本性质． 难点二次根式的基本性质的灵活运用． 教学流程安排 活动流程图活动内容和目的活动1 二次根式的概念 活动 2 探究0) a≥是一个非 负数 活动3 探究2(0) a a =≥ 活动4 (0) a a =≥ 活动5 小结，课后作业 由一组式子观察、归纳二次根式的概念． 通过计算、抽象、概括得出二次根式的基本性质． 回顾梳理，进一步认识理解二次根式的概念和基本性质．学生巩固、提高、发展．

教学过程设计 问题与情境师生行为设计意图活动1 问题 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？ （2）平方根的性质是什么？ （3）如果把上面所填式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次根式吗？ 例1当x是怎样的实数 时， 义？ 例 2 当x是怎样的实数 教师演示课件，给出题 目． 学生根据所学知识回 答问题． 教师提出问题（1），注 意学生是否能深入地观察， 并发现和总结这组式子的 特点； 教师提出问题（2），检 查学生对所学知识的掌握 情况，并引导学生将所学知 识与新知识相联系； 教师提出问题（3），不 同层次的学生会有不同的 回答，学生可能遇到的困 难：是否能够想到用字母表 示数；是否能总结出0 a≥ 这一条件．教师帮助学生解 决这些困难． 学生总结出二次根式的 概念． 在本次活动中，教师应 重点关注： （1）学生是否掌握了二 次根式有意义的条件； 由实际问题入 手，设置情境问题， 激发学生的兴趣，让 学生从不同的式子中 探寻规律，为二次根 式的引入作好铺垫． 注重新旧知识的 连贯性，使学生有一 个由浅入深的学习过 程，并体会到学习的 内容是融会贯通的． 为学生提供练习 的时间和空间，调动 学生的主观能动性， 激发好奇心和求知 欲． 通过题目的练

《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计案例

《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计案例 湖北省通山县教育局教研室袁观六 一、内容和内容解析 1．内容 二次根式的概念. 2．内容解析 本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础. 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解. 本节课的教学重点是：了解二次根式的概念； 二、目标和目标解析 1.教学目标 （1）体会研究二次根式是实际的需要． （2）了解二次根式的概念． 2. 教学目标解析 （1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性． （2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围． 三、教学问题诊断分析

对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断. 本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性. 四、教学过程设计 1．创设情境，提出问题 问题1你能用带有根号的的式子填空吗？ （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____． 师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价. 【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性． 问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． 【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫． 2．抽象概括，形成概念

1.2二次根式的性质第2课时同步练习

1.2 二次根式的性质（第2课时） 课堂笔记 1. 二次根式的性质：ab = （a ≥0，b ≥0）；b a = （a ≥0，b ＞0）. 2. 在根号内不含 ，不含 . 这样的二次根式称为最简二次根式. 课时训练 A 组 基础训练 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. 9 B. 7 C. 20 D. 31 2. 下列化简错误的是（ ） A. 97=97=37 B. 49.001.0?=01.0×49.0=0.1×0.7=0.07 C. 361 1=1×361 =1×61=61 D. 112=1111112??=111 22 3. 下列二次根式中，化简后能与3进行合并的是（ ） A. 8 B. 18 C. 23 D. 12 4. 等式21 -+x x =21 -+x x 成立的条件是（ ） A. x ≥-1 B. x ＜2 C. x ＞2 D. x ≥-1且x ≠2 5. 设2=a ，3=b ，若用含a ，b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ） A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b

6. 已知n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 7. 化简：（1）48= ； （2）12 5= ； （3）2236+= ； （4）)25()10(-?-= . 8. 已知等边三角形的边长为42cm ，则它的高为 cm. 9. 若)2)(1(--x x =1-x ×2-x ，则x 的取值范围是 . 10. 已知：322=23 2；833=383；1544=4154；2455=5245…如果n 是大于1的正整数，那么请用含n 的式子表示你发现的规律 ． 11. 化简： （1）2416?； （2）)75()3(-?-； （3）3 11； （4）3532?. 12. 化简：

八年级数学上册27二次根式试题新题新版北师大版96

2.7二次根式 专题一 与二次根式有关的规律探究题 1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列. 若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ） ** B.2 C. D.6 2. 观察下列各式及其验证过程： 322322=+，验证：228222223333 ?+===． 333388+=，验证：2327333338888 ?+===． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想15 44+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证； （3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证． 3. 阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2 +2mn 2, ∴a=m 2+2n 2 ,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、 b ，得：a = ，b = ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + 3 =（ ＋ 3）2； （3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值. 专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式2 2a a a 的结果是（ ） A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a 5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：222)(b a b a -+-． 答案：

第1讲二次根式与勾股进阶(word版)

第1讲二次根式与勾股进阶 模块一二次根式计算巩固 1．二次根式的三大性质 0且a≥0 2＝a(a≥0) (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? 2．二次根式的运算法则 3．最简二次根式 a≥0）中的a称为被开方数，满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式， (1)被开方数不含分母：） (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．() 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，井且分母中不含二次根式． 4．分母有理化 如果计算结果的分母中含有二次根式，需要把分母中的根号去掉，这个过程叫做分目有理化．例 如 = 2 1 1 === - ． 5．同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫 做同类二次根式． 同类次根式可以合并，例如:(a b =+

例1 (1)已知实数a 满足|2006－a |a ，求a －20062 的值． (2)已知实数m ，n ，p p 的值． 练习 (x ＋y )2 ，求x －y 的值． 例2 (1)化简下列式子: (2)计算 ② ③- ④-÷ 练习 (1) (2)2(其中a ＞0，b ＞0) (3)若a ＋b ＝3，ab ＝1+ (4)若a ＋b ＝2，ab ＝ 1 2 模块二 二次根式的进阶 知识导航 我们知道，21)＝2＋2×1＋12 ＝3＋3＋，我们也可 以把它转化成21)的形式，从而就可以进一步化简； 1． 同样的，类比a 2＋6ab ＋9b 2＝(a ＋3b )2 ，当m ≥0且n ≥0时，有时我们也会根据解题需求进行这样的配方构造； m ＋9n ＝2＋22＝2．

二次根式教学设计新部编版(第一课时)

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

二次根式（第一课时）教学设计 执教者-------陈利华（株洲市十六中） 教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时 一、教学目标 （1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 （2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 （3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。 二、教学重点 1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数 3、2＝a（a≥0）4a ?及其运用． 三、教学难点 a≥0）是一个非负数的理解 1 22＝a的推导及应用。 四、教学设想： 过去老师教，学生被动听。新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能

力。让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。只有这样学生才 有可能成为课堂真正的主人。 五、教学环节分析： 本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。2、利 用学案，学生分小组在课堂上进行展示。教师引导学生突破本节课 的重点、难点。 六、教学过程： （一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容 问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些? 2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°， 那么AC 边的长是__________． 问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____. 归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根。 （二）探索新知： 知识点一: 二次根式的定义 师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什 么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示 生1：一般地，a ≥0）?的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。 师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？

27.平方根和二次根式

1 （一）平方根 知识点1：平方根的认识 1、先填写下面的空： ______的平方等于9，______的平方等于169 ，_____的平方等于0，______的平方等于9-， _______的平方等于2 5，______的平方等于()25-，______的平方等于2 316。 例1：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有说明理由。 ()()()2322322973634,,259a a - ---，，，1，-5，4，，-a , 0 总结：1、________有平方跟，________没有平方根； 的平方根是0； 2、2a a == 举例：25= ()25-= 3、只要找到一个数的平方根，肯定是一个正一个负成双成对出现的，切记； 练习4： 2a 等于（ ） A ．a B ．－a C ．±a D ．以上答案都不对 知识点2、算术平方根的认识： 算术平方根的概念：一般地，一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a,那么这个正数x 就叫作a 的算术 平方根，特别的0的平方根是0.非负数a 的算术平方根表示为 a ，读作根号 a ，例如：42=16,16的算术平方根是4，表示为 16=4 算术平方根的性质：1、正数a 的算术平方根为 ； 0的算术平方根为 ； 负数的算术平方根为 ； 2、算术平方根具有双重非负性 (1) ;(2) . 例2：求下列各数的算术平方根：()22257121 31449-，1，，2，15，，a 练习5：下列说法正确的是（ ） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根 练习6：36的算术平方根是（ ） A ．±6 B ．6 C ．±6 D ．6 计算规律大总结： 1、 25= 26= 28= 2a =

二次根式的乘除(第2课时)教案

二次根式的乘除教案 第二课时 教学内容 a b = a b （a≥0，b>0），反过来 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解a b = a b （a≥0，b>0）， a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 9 16 =________， 9 16 =_________； （216 36 =________ 16 36 ； （3 4 16 =________ 4 16 ； （436 81 =________ 36 81 ． 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 8136 81 3．利用计算器计算填空:

（1）3 4 =_________，（2） 2 3 =_________，（3） 2 5 =______，（4） 7 8 =________． 规律：3 4 ______ 3 4 ； 2 3 _______ 2 3 ； 2 5 _____ 2 5 ； 7 8 _____ 7 8 。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： a b = a b （a≥0，b>0）， 反过来，a b = a b （a≥0，b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（112 3 （2 31 28 （3 11 416 （4 64 8 分析：上面4a b a b a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（112 3 12 3 4=2 （231 28 313 834 282 ÷=?=?33 （311 416 111 16 4164 ÷=?4=2 （464 8 64 8 82 例2．化简： （13 64 （2 2 2 64 9 b a （3 2 9 64 x y （4 2 5 169 x y a b a b a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

27二次根式(1)

第课时课题:二次根式（1） 学习目标： 1.理解二次根式的概念，理解a(a≥o)的意义； 2.理解二次根式的性质，并能利用性质进行计算； 3.理解最简二次根式的概念，并能利用最简二次根式进行二次根式 的化简计算； 重点：二次根式的运算 难点：最简二次根式的化简计算 自主学习，思考问题 一．探究新知：备注 活动1：忆一忆 1.一个正数的平方是________;一个负数 的平方是_______;0的平方是______；所 以正数和______平方根； 2. 81 16的平方根是_________；算术平方根 是_______；16的算术平方根是_______； 活动2：算一算 1.在Rt⊿ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2, 那么AB边的长是________；2.面积为S的正方形的边长为________； 3.要修建一个面积为6.28平方米的圆形 喷水池，它的半径为_______米； 活动3：说一说 填空： (1)______; 9 4 _______, 9 4= ? = ? (2)__; __________ 25 16 , __________ 25 16= ? = ? (3); __________ 36 100 ________, 36 100= ? = ? 参考上面的结果，用“﹥，﹤或=”填空 (1);9 4 _______ 9 4? ? (2);25 16 ________ 25 16? ? (3);36 100 ________ 36 100? ? 我的疑惑？ 二．新知梳理：备注知识点一：二次根式的定义 一般地，形如a（a≥0）的式子叫做 二次根式，a叫做被开方数； 知识点二：二次根式的性质

甘肃省金昌市数学八年级下册：第1讲 二次根式

甘肃省金昌市数学八年级下册：第 1 讲 二次根式
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)
1. （2 分） (2017 八下·潮阳期中) 下列式子总，属于最简二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
D. 2. （2 分） (2020·高邮模拟) 下列式子中的最简二次根式是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. （2 分） (2020·黄石模拟)
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. （2 分） (2019·常德模拟) 下列计算正确的是（ ）
A . a2+a2=2a4
B . （2a）2=4a
C.
D.
5. （2 分） (2018 九上·邓州期中) 若 A . a≥0，b≥0 B . a≥0，b≤0 C . ab≥0 D . ab≤0
成立，则（ ）
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6. （2 分） (2020 九上·米易期末) 下列计算错误的是（ ） A.
B.
C. D.
7. （2 分） (2020 八下·滨州月考) 若 1的值为（ ）
C.
=﹣4
D . a?a=a2
9. （2 分） (2016 八上·扬州期末) 下列各式中，与
是同类二次根式的是（ ）
A.
B.
（ ＞0）
C.
D.
10. （2 分） 若
，则
A.0
B.1
C . -1
D.2
二、 填空题 (共 10 题；共 30 分)
的值为： （ ）
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第2课时—二次根式的性质

第十六章二次根式 第2课时二次根式的性质知识点1：（√a）2=a（a≥0） 【例1】计算： （1）（√5）2=____； （2）（√1.2）2=____； （32=____； （4）（2√2）2=____. 同步练习 1.计算： （1）（√3）2=____； （2）（√3.6）2=____； （32=____； （4）（3√7）2=____. 知识点2：√a2=|a| 【例2】利用√a2=|a|的性质化简： （1）√82=_____； （2）√（?2）2 =_____； （3； （4）√（x2+1）2 =_____.

同步练习 2.化简： （1）√22=_____； （2）√（?0.5）2 =_____； （3）√（3?π）2 =_____. 【例3】使√（x?1）2=1-x成立的x的取值范围是______. 同步练习 3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√a2?|a-b|的结果为_____. 【课时过关】 4.计算：（1）（√7）2=_____； （2） 2 7 3 ?? ? ?? =_____； （3）√（?4）2 =_____. 5. 利用a=(√a)2(a≥0),把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式:（1）9=____； （2）5=____； （3）2.5=____； （4）0.25=____； （5）1 2 =____；

（6）0=____. 6.若a ＜2,化简√（a ?2）2-3=___________. 7.若√a +1+√b ?1=0，a 2021+b 2022的值. 8.化简：√1?2a +a 2（a ＜1）. 【课时提升】 9. 若a 为正数，则有（ ） A.a ＞√a B.a ＜√a C.a=√a D.a 与√a 的大小无法确定 10. 已知a 为实数，若√?a 2在实数范围内有意义，那么√?a 2=_____. 11. 实数a 、b 在数轴上对应的如图所示，化简：√a 2-√b 2+√（a ?b ）2 . 12.若|b-1|+√b 2?10b +25=4，求b 的取值范围.

新-21.二次根式的运算及化简求值

二次根式的运算及化简求值 一、最简二次根式 二、同类二次根式 三、二次根式的运算 题型一：加减运算 题型二：乘除运算 题型三：混合运算 题型四：巧算 四、二次根式的化简求值 五、二次根式的应用 六、比较大小 一、最简二次根式 1.【易】（广州市育才中学2011学年第一学期）下列根式中不是最简二次根式的是 （） B C D A 2.【易】（2013年上海市中考数学试卷）下列式子中，属于最简二次根式的是（） 【答案】B 3.【易】（北京市西城区南区2012学年度第一学期期末）下列二次根式中，最简二次根 式是（） A B C D 【答案】A 4.【易】（北大附中2012 式，结果为（） A B C D 【答案】C 5.【易】（天津市河西区2010学年度第二学期八年级期末阶段性质量调查数学试卷）下 列根式中属于最简二次根式的是（） A B C D 【答案】A 6.【易】（2010广州天河期中考试）下列各式中是最简二次根式的是（）

B C D A 7.【易】（2010年北京五中期中）下列各式不是最简二次根式的是（） A B C D 【答案】B 8.【易】（2010年北京北师大期中）下列二次根式中，最简二次根式是（） B C D A 9.【易】（2010年北京怀柔区期末）下列各式中属于最简二次根式的是（） A B C D 10.【易】（北京市朝阳区2013年初二期末统考数学）下列二次根式中，最简二次根式是 （） A B C D 【答案】B 11.【易】（2010 中，是最 12.【中】 最简二次根式有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 13.【中】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（） ．A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 二、同类二次根式 14.【易】（2013年广西崇左市中考数学试卷）下列根式中，与是同类二次根式的是 （） 【答案】B 15.【易】（清华附中2013 （）

7.1二次根式(第1课时)教学设计

7．二次根式（第1课时） 教学目标： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2. 会用计算器求平方根和立方根． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 教学重点：认识二次根式和最简二次根式的概念. 教学难点：利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 教学过程 ： 一：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7， 12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子 )0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 二：探究性质 （一）内容：通过探究得出b a b a ?=?， b a b a =． 具体过程如下： （1）94?＝ ，94?＝ ； 2516?＝ ，2516?＝ ； 94 ＝ ，94＝ ； 2516＝ ，25 16＝ ．

（2）用计算器计算： 76?＝ ，76?＝ ；76 ＝ ，7 6＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？ 问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 三：知识巩固 例1 化简（1）6481?；（2）625?；（3）9 5。 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？ 例2.化简：（1）45；（2）27；（3） 31；（4）98；（5）16 125． 问题： （1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。 四：知识拓展 随堂练习 五：课堂小结 （1）掌握并会运用公式：b a b a ?=? b a b a =

《二次根式》(第一课时)说课稿

课题：二次根式（第一课时） 尊敬的各位评委老师： 大家好！ 我是中学的数学老师，很高兴有机会参加这次活动，请大家多多指教！ 今天，我说课的课题是《二次根式》（第一课时），此课题选自义务教育课程标准实验教科书九年级上册第二十一章第一节。 下面，我分别从教学内容的地位，教学对象的特点，教学目标的确定，教学重点、难点、关键的分析，教学方法与手段的选择及教学过程的设计等六方面一一说明。 一、教学内容的地位 本节课的主要内容是二次根式的概念，重点在于明确被开方数只有在非负数的情况下才有意义。二次根式是《数学课程标准》“数与代数”的重要内容，同时也是“数与式”的主要内容。本节课开始，我通过设置四个结果与二次根式形式相关的实际问题，引出二次根式的概念。在这四个实际问题中，前三个是几何问题，最后一个是物理问题，设置这些实际问题的目的是让学生初步感受二次根式的实用性，了解二次根式与实际生活之间的密切联系，并尝试用学到的知识去解决问题。在四个实际问题的探究中，不仅须要求学生“知其然”，懂得二次根式的概念，更要让学生知其“所以然”，懂得用二次根式的知识去解决生活中的问题，从而对二次根式的概念有更深刻地认识。 二、教学对象的特点 本节课的教学对象是九年级学生。此前，学生已在八年级时期学习了实数、一元一次不等式、勾股定理等内容，这对教师在设置探究性问题方面起到关键作用。学生能够利用已有的知识去思考并解决教师提出的问题，进而借助算术平方根的意义把每个问题的结果用带有根号的式子表示出来。在对问题的结果进行探讨的过程中，我主要采取分组形式进行讨论，每四人学生为一组，每组由优秀生和后进生共同组成，以期取得全体学生共同投入讨论的课堂效果。通过合作、交流的学习方法，让学生对二次根式的概念有更深层次的认识，这为今后学习一元二次方程，二次函数等重要内容

二次根式第1课时二次根式的概念教案

16．1 二次根式 第1课时二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要 性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题1：你能用带有根号的式子填空 吗？ (1)面积为3的正方形的边长为 ________，面积为S的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地 面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单 位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式 子表示t，则t＝______． 问题2：上面得到的式子3，S，65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同 特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6)3－x (x≤3)； (7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2； (9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数． 解：因为11，（－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是2，－5，－x (x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜ 4 3 .当x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 ?? ? ??3－x≥0， x－2≠0， 解得x≤3且

二次根式的性质(第2课时)

二次根式的性质（第2课时） 学生姓名： 教学目标1 a ≥0）是一个非负数2 2=a （a ≥0 （a ≥0）。3、会运用上述两个性质进行有关计算和化简。 重点：理解二次根式的上述两个性质；难点：灵活运用上述两个性质进行有关计算。 学习过程 一、知识准备 二次根式的概念： 二、探究 探究（—）当a>0 a 0; 当a=0 0. 概括: 探究（二） 根据算术平方根的意义填空： 2=_______； 4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 2=4． 2=_______；2=______；2=_______． 概括: 例题与练习： 计算 （1） ）2 （2） （ 2 （3） （2 ）2 ；)3(2-= ； )21(2-= ；=_____。 例题与练习： 化简

（1） 22 （2 三、课堂小结 二次根式的性质： 四、课后作业 1、数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A 、a>0 B 、a ≥0 C 、a<0 D 、a=0 2x 的取值范围为 A 、x>3 B 、x ≥3 C 、x<3 D ．x=3 3、（）2=________； 4x 的取值范围是_______ 5m 的最小值是________． 6、计算 （1）2 （2）-）2 （3）（ 122 7，求x y 的值． 8、在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 2 x+3 9、先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

第1讲 二次根式

第1讲 二次根式的性质 【知识要点】 1.定义: 一般地，形如a 的式子（a ≥0）叫做二次根式 ．．．． ，a 叫做___________,“”称为二次根号．二次根式应满足两个条件：① ；② ． 2.二次根式的性质： （1）)0()(2≥=a a a ； （2）{) 0()0(2||≥<-==a a a a a a （3）).0,0(≥≥?=b a b a ab （4） ).0,0(>≥=b a b a b a 注：1.目前学过的)0(|,|,2≥a a a a 均为非负数。若这三个任意组合的和为0，则每一个均为0. 2.－□2= (当□= 时)；□±－□= (当□= 时) 【例题解析】 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ 2、3 3、1x 、x (x ＞0)、－12、0、a 2＋5、－5、1x ＋y 、x ＋y (x ≥0，y ≥0)、xy ． 例2．a 取何值时,下列二次根式有意义. (1)a ＋1 (2) 1－10a (3)1a －3 （4）a 2＋1错误！未指定书签。 （5）－(3－a )2 （6）x －1＋1－x 例3.已知y =2x －5＋5－2x －3． 试求2xy 的值． 例4.① 当x ＞2，化简(x －2)2－(1－2x )2； ②当1＜x ＜3，则化简：1－2x ＋x 2－ x 2－8x ＋16. ③小明化简式子(3－a )2＋(a －5)2，所得的结果为2，试求实数a 的取值范围

例5.已知－1