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基本不等式教师版

2016-2017普集高中10月月考卷3

考试范围：基本不等式；考试时间：100分钟；命题人：张老师

一、选择题

1．下列函数中，最小值是2的是（）

A ．1

y x

x =+ B ．2y =

C ．

y =

D ．3log log 3

(0,1)x y x x x =+>≠

【答案】B 【解析】

试题分析：A ．对于函数1

y x x

=+，当0

111

2≥++

+=+++=

++=

x x x x x x y ，当且仅当

112

2+=

+x x ，即0=x 时等号成立，故其最小值为2；C ．对于函数

y =42

+x 和

+x 不能相等，故有2>y ，故排除C ；

D ．对于函数3log log 3

(0,1)x y x x x =+>≠，当10<

的最小值等于2，排除D.故选B ．考点：基本不等式.

2．函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线

()100,0mx ny m n +-=>>上，则

m n

+的最小值是（） A.12 B.13 C.24 D.25

【答案】D 【解析】

试题分析：因为函数()1

3x f x a -=+得图象过一个定点P ，所以P 的坐标为()1,4，又

因

为

点

在直线

mx ny +-=上

，

所

以

41m n +=，

()141444

417n m m n m n m n m n ??

∴

+=++=++

???

1725≥+=，14m n ∴+得最小值是25，故选D.

考点：1、指数函数的性质；2、基本不等式求最值. 3．如果，4log log 33=+n m 那么m+n 的最小值是（） A.4 B.34 C ．9 D ．18 【答案】D 【解析】

试题分析：4log log log 333==+mn n m ，所以4

3=mn ，而182=≥+mn n m ，

故选D.

考点：基本不等式 4．若直线

1x y

a b

+=（a>0,b>0）过点（1,1）,则a+b 的最小值等于（） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】

试题分析：∵直线

1x y a b +=（0>a ，0>b ）过点()1,1，∴11

1=+b

a ．则

()11a b a b a b ??

+=++ ???

224b a a b =++≥+=，当且仅当2==b a 时取等

号．故答案为：C ．考点：基本不等式.

5．已知0a >，0b >.3a 与3b

的等比中项，则

a b

+的最小值为（）

A ．8

B ．4

C ．1

D ．2 【答案】B 【解析】

试题分析：由题意

33a b ?=，所以

1a b +=，则

1111()()2a b

a b a b a b b a

+=++=++24≥+=（当且仅当a b =时等号成立），即最小值为4．故选B ．考点：基本不等式．

【名师点睛】求二元函数的最值问题，基本方法是应用基本不等式，但要注意基本不等式的条件，本题应用“1”的代换法，把

11a b +变为11

()()a b a b

++展开后，凑出了基本不等式的条件：定值，然后才可应用它得出结论，在应用基本不等式时一定要注意． 6．已知1>x ，则函数1

)(-+=x x x f 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，因为

1>x ，所以10x ->，则

)(-+

=x x x f 1(1)11x x =-++-13≥=，当且仅当111

x x -=-时，即2x =时等号的是成立的，故选C ．考点：基本不等式的应用．

7．若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +取最小值时y 的值为（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A 【解析】

试题分析：∵正数,x y 满足35x y xy +=，∴

331

1555x y xy y x

+=+=，∴

()31434355x y x y y x ??+=++ ???

131231355555x y y x =++≥+=，当且仅当

12355x y y x =即1

x =且1y =时取等号，∴43x y +取最小值时y 的值为1，故选A ．考点：基本不等式的应用．

8．已知0,0a b >>且21a b +=，若不等式21

m a b

+≥恒成立，则m 的最大值等于（）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7 【答案】B 【解析】

试题分析：

212122()(2)559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=,当且仅当22b a a b =

，即13a b ==时等号成立，所以21a b +的最小值为9，又因为21

m a b

+≥恒成立，所以9m ≤，即m 的最大值为9，故选B. 考点：基本不等式.

【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，中档题；就用基本不等式求最值时要保证所用的两个数均为正数、和或积为定值、且两个数相等，才能取到最大值或最小值，三者缺一不可，在求最值过程中，有时还需要配凑系数或进行适当变形，如本题中的变形

212122()(2)5b a

a b a b a b a b

+=++=++

. 9．设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为 A.2

2 B.22+1 C.22+2 D.22+3

【答案】D 【解析】试

题

分

析

：

()21212

2133b a ab a b a b a b b a b a a b ??

∴=+∴+=∴+=++=++≥+ ???

，当且仅

当

2b a

a b

=时等号成立，所以最小值为3+ 考点：不等式性质

10．函数()04

)(2>+=x x

x x f 的最小值为（）

A.2

B.3

D.4 【答案】D 【解析】

试题分析：()4424=?≥+

=x x x x x f ，等号成立的条件为()04>=x x

x ，即当2=x 时，函数的最小值为4，故选D. 考点:基本不等式

11．如果实数,x y 满足4x y +=，则2

x y +的最小值是（）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10 【答案】C 【解析】

试题分析：因

4)2

(2222=+≥+y x y x ，故22x y +8≥，所以应选C. 考点：基本不等式及运用．

12．已知3x+y=10,则的最小值2

y x +为（）

A ．

B ．10

C ．1

D ．100 【答案】B 【解析】

试题分析：()2

22221031060100x y x x x x +=+-=-+,结合二次函数性质可知函数最

小值为10

考点：函数求最值

13．设,,a b c R +

∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c

=---，则必有（）

A ．8M ≥

B ．118M ≤<

C ．18M ≤<

D ．108

M ≤< 【答案】A 【解析】

试题分析：因为1a b c ++=，所以111111M a b c ??????

=---

???????????

＝(

1)(1)a b c a b c

a b

++++--（

1a b c

++-）

＝

()()()88b c a c a b ab bc ac abc +++≥=，当且仅当1

a b c ===时等号成立，故选

考点：基本不等式．

二、填空题 14．当时，函数224

x x y x

++=的最小值为_____________。

【答案】6. 【解析】

试题分析：由已知0x >得，函数22444

226x x y x x x x x ++=

=++≥=g ，所以函数224

x x y x

++=的最小值为6.

故答案为：6. 考点：均值不等式.

15．已知0x <，求2

1x y x

+=的最大值= .

【答案】-2. 【解析】

试题分析：由0x <，则2112x y x x x +==+≤-=-. 故答案为：-2. 考点：均值不等式.

16．已知正数y x ,满足22=+y x ，则xy

x 8+的最小值为______. 【答案】9 【解析】

试题分析：因为y x ,为正数，且22=+y x ，

95822582)2)(81(8=+?≥++=++=+x

y x x y y x y x x y xy y x ，当且仅当3

=y x 时，等号成立，所以xy y x 8+的最小值为9.

考点：基本不等式 17．设01x <<，则14

1x x

-的最小值为______________. 【答案】9 【解析】试

题

分

析

：

因

为

x <<，所以

011

x <-<，则

141414()[(1)]14111x x

x x x x x x x x

-+=+--=+++

---

59≥+=，当且仅当14113x x x x x -=?=-时，等号成立，故14

1x x

+-的最小值为9.

考点：基本不等式的应用.

【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题

解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中把

141414()[(1)]14111x x

x x x x x x x x

-+=+--=+++

---，在利用基本不等式求得最小值，其中灵活利用011x <-<是解答本题的关键. 18．若对0,0x y >>，有2

(2)()x y m x y

++≥恒成立，则m 的最大值为 . 【答案】8 【解析】

试题分析：21(2)()x y m x

y ++

≥恒成立min

(2)()0,0x y m x y x y ?++≥>>Q

214(2)()448y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当20x y =>时取等号

8m ∴≤

考点：基本不等式 19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234

x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是．【答案】()(),14,-∞-?+∞ 【解析】

试题分析：因为不等式234y x m m +

<-有解，所以2min ()34

x m m +<-，因为0,0x y >>，

且

1x y

+=，所

以

144()()224444y y x y x x x y y x +

=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44y

x +=，所以234m m ->，即

(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.

考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.

【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用

基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.

三、解答题

20．求证：（1）222a b c ab ac bc ++≥++;

（2）

【答案】详见解析【解析】

试题分析：证明不等式可用综合法和分析法，结合特点可知（1）中证明时可利用不等式性质利用综合法证明，（2）中不等式证明时可采用分析法

试题解析：（1） ∵222a b ab +≥,222a c ac +≥，222b c bc +≥将此三式相加得

2222()222a b c ab ac bc ++≥++,∴原式成立

（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2

即证402422>。∵上式显然成立, ∴原不等式成立. 考点：不等式证明

21．已知正实数,x y ，满足等式13

2x y

+=. （1）求xy 的最小值；

（2）若2

3x y m m +≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3；（2）23m -≤≤．【解析】

试题分析：（1

（2）由已知利用基本不等式求出3x y +的最小值，代入26m m ≥-，即可求出m 的范围．

试题解析：（1）3xy ≥，所以最小值为3；

（2）()min 36x y +=，∴26m m -≤，∴23m -≤≤．考点：基本不等式的应用． 22．设x ＞—1,求=y (5)(2)

x x x +++的最小值。

【答案】9 【解析】

试题分析：以1x +为整体,令10x t +=>,将原函数转化为关于t 的函数,用基本不等式求最值．

试题解析：解：1x >-Q ，10x ∴+>，设10x t +=>,则1x t =-,于是有

2(4)(1)544559t t t t y t t t t ++++===++≥=

当且仅当4

t t

，即2t =时取等号，此时1x =． ∴当1x =时，函数取得最小值是9．考点：基本不等式．

23．（本小题12分）设2

【解析】

试题分析：本题主要利用不等式性质2

2a b ab +??

≤ ???

求最值，求解时配凑系数满足之和

为定值时乘积取得最大值，最后要验证等号成立的条件试题解析：∵2

-x 2922322)23(22)23(42

=??

??-+≤-?=-=x x x x x x y

当且仅当,232x x -=即??

??∈=

23,043x 时等号成立

考点：均值不等式求最值

24．（本小题满分12分）已知,x y 都是正数．（1）若3212x y +=，求xy 的最大值；（2）若23x y +=，求

x y +的最小值．

【答案】（1）6（2）13

+．【解析】

试题分析：（1）本题中主要利用不等式关系a b +≥求解xy 的最大值，注意验证等号成立条件；（2）将所求的式子与已知条件关系式做乘积可转化为利用均值不等式来求最值

试题解析：（1）3212x y +=≥，化简得6xy ≤，当且仅当32x y =时等号成立，取得最值，所以xy 的最大值为6

（2）()(1

111112123313333

x y x y x

y x y y x ????+

=++=++≥+=+ ? ?

????，当且仅

当

2x y y x

=时等号成立，此时函数最小值为13+

考点：不等式性质求最值

(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)

初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2．已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3．若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4．若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5．已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7．不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共有（）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 2222222二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域（1）22 21 3x x y += （2）)4(x x y -=

基本不等式练习题及答案解析

1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____．答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83，当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

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创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 基本不等式专题辅导一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若 R b a ∈,，则 2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （ 5 ）若 * ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab +≤+≤≤+ （ 1 ）若 ,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+) 22212) n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等

高考不等式经典例题

高考不等式经典例题【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)，当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ；当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ；综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1；当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0，

基本不等式及其应用-沪教版必修1教案

基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。考察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。教学目标 1. 知识与技能理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。重点：运用基本不等式求最值难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件教学过程：一、要点梳理 1、基本不等式若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一一 1，求x+y 的最小值 x y 2、若 a 、b € R',则常用变形形式：宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

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双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．

基本不等式经典例题精讲

新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.

基本不等式的使用

均值不等式的使用一、公式的意义和使用条件： 1、 a 2+b 2≥2ab ,a ∈R ,b ∈R ,当a=b 时取“＝”。逆运用公式：ab ≤ a 2+ b 22 ,a ∈R ,b ∈R ,当a=b 时取“＝”。例：求y=sin x cos x的最大值。[1 2] (使用三角函数和均值不等式两种解法) 结论：积为常数时，平方和有最小值；平方和为常数时，积有最大值。 2、 a+b ≥2√ab , a ∈R +,b ∈R +, 当a=b 时取“＝”。[带同学们分析两个公式的使用差别] 逆运用公式：ab ≤( a + b 2 )2 , a ∈R +,b ∈R +, 当a=b 时取“＝”。例：求y=x(5-x)的最大值。[254 ] 例：设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋ab c ≥a ＋b ＋c. 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab c 都是正数． ∴ bc a ＋ca b ≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋ab c ≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bc a ≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立．三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋ab c )≥2(a ＋b ＋c)，即 bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 3、 a 2+ b 22≥( a + b 2 )2 a ∈R , b ∈R ,当a =b 时取“＝”[可通过求差比较法得到]，化简后：a 2 +b 2 ≥ (a +b )2 2 逆运用公式：a+b ≤2√a 2+b 2 注：直接建立和与平方和的运算关系例：已知√x +√y =1,求x +y 的最小值。解法一：（√x +√y）2 ＝x +y +2√xy ? x +y =1-2√xy 所以求x +y 的最小值，只需当√xy取最大时即可。 √x +√y ≥2√√xy 2√√xy ≤1?√xy ≤14,此时x +y 的最小值为12，当x=y=1 4取＝。解法二：x +y ≥ （√x +√y） 2 2 =12, 当x=y=1 4取＝。例：已知：a >0,b >0,b +b =1,求证：√a +1 2+√b +1 2≤2 解法一：（√a +1 2+√b +1 2）2 ＝a+b+1+2√(a +1 2)(b +1 2)=2+2√ab +3 4

广东高考数学(理)一轮题库：7.4-基本不等式(含答案)

第4讲基本不等式一、选择题 1．若x＞0，则x＋4 x 的最小值为( )． A．2 B．3 C．2 2 D．4 解析∵x＞0，∴x＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1 a ＋ 4 b 的最小值是( )． A.7 2 B．4 C. 9 2 D．5 解析依题意得1 a ＋ 4 b ＝ 1 2? ? ? ? ? 1 a ＋ 4 b( a＋b)＝ 1 2? ? ? ? ? ? 5＋ ? ? ? ? ? b a ＋ 4a b≥ 1 2? ? ? ? ? 5＋2 b a × 4a b ＝9 2 ，当且仅当 ?? ? ?? a＋b＝2 b a ＝ 4a b a＞0，b＞0 ，即a＝ 2 3 ， b＝4 3 时取等号，即 1 a ＋ 4 b 的最小值是 9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a

又v －a ＝2ab a ＋ b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值 22 解析由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 2 2 ＝ a ＋b 2 －2ab 2 ，所以ab ≤1 4 ，故B 错； 1 a ＋1 b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2 ≤ a ＋b 2 ＝ 1 2 ，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1 2，故D 错．答案 C 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) 解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x