关于函数恒成立问题的解题
恒成立问题
二、恒成立问题解决的基本策略
A 、两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥；
思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤．
如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值．
此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．
C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略
1、一次函数型
若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．
给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n
． 例3．对于满足2a ≤的所有实数a ，求使不等式212x ax a x ++>+恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立，
设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0，
故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010
x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)．
2、二次函数型
例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01
a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+
=≥+，适合；
②当210a -≠时，有222102(1)4(1)01a a a a ?->???=---≤?+?
即有221191090a a a a ?>??<≤?-+≤??； 综上所述，()f x 的定义域为R 时，[1, 9]a ∈．
例5．已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值围．
分析：()y f x =的函数图像都在x 轴及其上方，如右图所示：
略解：()22434120a a a a ?=--=+-≤，62a ∴-≤≤．
变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值围．
分析：要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，
只需()f x 的最小值()0g a ≥即可． 解：2
2()()324
a a f x x a =+--+，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a ； ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥；73
a ∴≤，而4a >Q ，a ∴不存在； ②当222
a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥，62a ∴-≤≤； 又44a -≤≤Q ，42a ∴-≤≤； ③当22
a ->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥，7a ∴≥-； 又4a <-Q ，74a ∴-≤<-；
综上所述，72a -≤≤．
变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值围．
法一：分析：题目中要证明()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转
化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题．
略解：2
()320f x x ax a =++--≥，
即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立；
①()2410a a ?=--≤， 222222a ∴--≤-+
2 —2
②24(1)0(2)0(2)0222
2a a f f a a ??=-->?≥???-≥??-≥-≤-??或
；52a ∴-≤≤-；
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的围已知，另一个变量的围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值围的任何一个数都有：()()f x g a >恒成立，则min ()()g a f x <；若对于x 取值围的任何一个数，都有：()()f x g a <恒成立，则max ()()g a f x >．
例6．已知三个不等式：①2430x x -+<，②2680x x -+<，③2290x x m -+<．要使同时满
足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值围．
略解：由①②得23x <<，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，
即不等式2290x x m -+<在(2, 3)x ∈上恒成立，
即229m x x <-+在(2,3)x ∈上恒成立，又229x x -+在(2,3)x ∈上大于9；
所以：9m ≤．
例7．函数()f x 是奇函数，且在[1, 1]-上单调递增，又(1)1f -=-，若2()21f x t at ≤-+对所
有的[1, 1]a ∈-都成立，求t 的取值围．
解：据奇函数关于原点对称，(1)1f =；
又因为()f x 在[1, 1]-是单调递增，所以max ()(1)1f x f ==；
2()21f x t at ≤-+Q 对所有的[1,1]a ∈-都成立；
因此，只需221t at -+大于或等于()f x 在[1, 1]-上的最大值1，
2221120t at t at ∴-+≥?-≥；又∵对所有的[1, 1]a ∈-都成立，
即关于a 的一次函数在[1, 1]-上大于或等于0恒成立，
222020220
t t t t t t t ?-≥?∴?≥=≤-?+≥??或或即：(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞U U ． 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．
4、根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数()f x 是奇（偶）函数，则对一切定义域中的x ：()()f x f x -=-（()()f x f x -=）恒成立；若函数()f x 的周期为T ，则对一切定义域中的x ：()()f x f x T =+恒成立．
5、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷．
例8．对任意实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立，数a 的取值围．
分析：转化为求函数|1||2|y x x =+--的最小值，画出此函数的图像即可求得a 的取值围． 解：令3, 11221, 123, 2x y x x x x x -<-??=+--=--≤≤??>?
；
在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，
要使对任意实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立，
只需3a <-；故实数a 的取值围是3-∞-（，）
． 本题中若将“|1||2|x x a +-->”改为“|1||2|x x a +--<”；同样由图象可得3a >． 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的围．
三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策
略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法．
（一）换元引参，显露问题实质
例9．对于所有实数x ，不等式：2
2
22224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+恒成立， 求a 的取值围． 解：因为22log 1a a +的值随着参数a 的变化而变化，若设22log 1
a t a =+， 则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式2(3)220t x tx t -+->恒成立”；
这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：
求解关于t 的不等式组：230
(2)8(3)0t t t t ->???=+-
解得0t <，即有22log 01
a a <+，易得01a <<． （二）分离参数，化归值域问题
例10．若对于任意角θ总有2sin 2cos 410m m θθ++-<成立，求m 的围．
解：此式是可分离变量型，由原不等式得2(2cos 4)cos m θθ+<，
又cos 20θ+>，则原不等式等价变形为2cos 2cos 2
m θθ<+恒成立． 故2m 必须小于2cos ()cos 2f θθθ=+的最小值，这样问题化归为怎样求2cos cos 2
θθ+的最小值． 由2cos ()cos 2f θθθ=+2(cos 2)4(cos 2)4cos 2θθθ+-++=+4cos 24cos 2
θθ=++-+440≥-=； 即cos 0θ=时，有最小值为0，故0m <．
（三）变更主元，简化解题过程 例11．若对于01m ≤≤，方程2210x mx m
+--=都有实根，根的围．
解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的围来确定根x 的围，但这样会遇
到很多麻烦，若以m 为主元，则
2(2)(1)m x x -=-，
由原方程知2x ≠，得2
12
x m x -=
-； 又01m ≤≤，即2
1012
x x -
≤≤-；解之得112x -≤≤-或112x -+≤≤． （四）图象解题，用好数形结合
例12．设(0 4]x ∈，ax >恒成立，求a 的取值围．
解：若设1y =2211(2) 4 (0)x y y -+=≥表示为上半圆．
设2y ax =，为过原点，a 为斜率的直线． 在同一坐标系 作出函数图像；
依题意，半圆恒在直线上方时，只有0a <时成立，
即a 的取值围为0a <． 例13．当(1, 2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 解：设21(1)y x =-，2log a y x =，则1y 的图像为右图是抛物线；
要使对一切(1, 2)x ∈，12y y <恒成立，显然1a >，
并且必须也只需当2x =时，2y 的函数值大于等于1y 的函数值；故log 21a >，∴12a <<．
（五）合理联想，运用平几性质
例14．不论k 为何实数，直线1y kx =+与曲线2222240x y ax a a +-+--=恒有交点，
求a 的围．
解：22()42x a y a -+=+，C （a ，0），
当2a >-时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A （0，1）必在圆上或圆，
即点A （0，1）到圆心距离不大于半径，则有2124(2)a a a +≤+>-，得13a -≤≤． 评析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，
用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A （0，1），曲线为圆．
（六）分类讨论，避免重复遗漏
例15．当||2m ≤时，不等式221(1)x m x ->-恒成立，求x 的围．
解：使用||2m ≤的条件，必须将m 分离出来，此时应对21x -进行讨论．
①当210x ->时，要使不等式
2211x m x ->-恒成立，只要22121x x ->-，解得1x <<；
②当210x -<时，要使不等式2211x m x -<-恒成立，只要22121
x x -<--1x <<； ③当210x -=时，要使210x ->恒成立，只有1x =；
综上①②③x <<． 解法2：可设2()(1)(21)f m x m x =---，用一次函数知识来解，则较为简单．
（七）构造函数，体现函数思想
例16．设123(1)()lg x x x x x n n a f x n
++++-+=L ，其中a 为实数，n 为任意给定的自然数， 且2n ≥，如果()f x 当(1]x ∈-∞，时有意义，求a 的取值围．
解：本题即为对于(1]x ∈-∞，，有12(1)0x x x x n n a ++-+>L 恒成立．
这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手；若考虑到求a 的围，
可先将a 分离出来，得121[()()(
)](2)x x x n a n n n n ->-+++≥L ，对于(1]x ∈-∞，恒成立． 构造函数：1
21()[()()()]x x x n g x n n n
-=-+++L ， 则问题转化为求函数()g x 在(1]x ∈-∞，上的值域．
由于函数()()(121)x k u x k n n =-=-L ，，，在(1]x ∈-∞，
上是单调增函数， 则()g x 在(1]-∞，上为单调增函数；
于是有()g x 的最大值为：1(1)(1)2g n =--，从而可得1(1)2a n >--．
四、巩固练习
1．对任意的实数x ，若不等式12x x a +-->恒成立，数a 的取值围．
2．已知函数21() ()lg(22)
x x f x m R m -=∈+-，对任意x R ∈都有意义，数m 的取值围． 3．已知()f x 是定义在(, 3]-∞的单调减函数，且22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对一切实数x 成
立，数a 的取值围．
4．当a 、b 满足什么条件时，关于x 的不等式22(1)(5)311
x a x a b x x +--+>--+对一切实数x 恒成立？ 5．已知32()f x x ax bx c =+++，在1x =与2x =-时，都取得极值；
（1）求a 、b 的值；（2）若[3, 2]x ∈-都有11()2f x c >
-恒成立，数c 的取值围．
答案：（1）32
a =，6
b =-；（20
c <<或c >． 6．定义在定义域D 的函数()y f x =，若任意的12,x x D ∈，都有12|()()|1f x f x -<，则称函数
()y f x =为
“接近函数”，否则称“非接近函数”，函数3() ([1,1]f x x x a x =-+∈-,)a R ∈是 否为“接近函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．
解：因为12max min |()()|||f x f x f f -<-；
函数3() ([1,1]f x x x a x =-+∈-,)a R ∈的导数是：2()31f x x '=-；
当2310x -=即x =
在(0,x ∈时，2()310f x x '=-<，在x ∈时2()310f x x '=->；
故()f x 在[0, 1]x ∈有极小值是f a =；
同理，()f x 在[1, 0]x ∈-有极大值是(f a =； 因为(1)(1)f f a =-=，
所以函数3() ([1,1]f x x x a x =-+∈-,)a R ∈的最大值是9a +，最小值是9a -；
故有：12max min |()()|||1f x f x f f -<-=； 所以函数3() ([1,1]f x x x a x =-+∈-,)a R ∈是“接近函数”．
利用函数的最值求不等式恒成立问题
考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题 例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3． （1）求b a ,的值； （2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立； 【解析】（1）()x f '=ax x 232+ 依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k ()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a （2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+?-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f 17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x 要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A 变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a . （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为 自然对数的底数）. 【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x -=-+=-+-￠ 因为x e =是()f x 的极值点，所以()0f e =￠ 解得a e =或3a e =． 经检验，符合题意，所以a e =，或3a e = （II ）①当031a 时即1 3 a > 时，由①知，(0,1]x ?时，不等式恒成立，故下 研究函数在(1,3]a 上的最大值， 首先有22(3)(3)ln34ln3f a a a a a a =-=此值随着a 的增大而增大，故应
函数不等式恒成立问题经典总结
函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒 有解无解恒成立与双变量问题的处理 宜章一中 吴 斌 “有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法： 一．“有解”问题： 1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域； 例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围； ②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2 5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2 5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题： 1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f ?x x a ；即：2 5>a ． 三．“恒成立”问题： ()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ； 例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立； 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。 3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围. 4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围． 5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围． 关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想． 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量） 求解恒成立问题的常见方法 摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词：恒成立；参数；解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。 解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。 解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴0 ≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。 二、在给定区间上恒成立问题 例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。 解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ） 令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5 ∴-（x+ ）<-5∴a≥-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。 分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围 解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调 ∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立， 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0） ∴a≥0或a≤-4 方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等 函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 例题讲解： 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 2.8 函数图象高与低差值正负恒成立 【题型综述】 函数恒成立 专题01：可求最值型 基础知识：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立，等价于()0≥min x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立，等价于()0≤max x f 。 【例1】【重庆文】若对任意的0>x ，24423ln 12)(c c x x x x f ->--=恒成立，求c 的取值范 围。 【例2】函数1)1ln()1()(+-++=kx x x x f 在区间),1(+∞-上恒有0)(>x f ，求k 可以取到的最 大整数。 【变式1】函数)0(ln )(,42)(2>=+-=a x a x g x x x f ，若)(4)(x g x x f -≤恒成立，求a 的取值 范围。 【变式2】【2012新课标文】设函数()2--=ax e x f x Ⅰ 求)(x f 的单调区间； Ⅱ 若1=a ，k 为整数，且当0>x 时，01)()(>++'-x x f k x ，求k 的最大值。 【变式3】【2012新课标理】已知函数)(x f 满足212 1)0()1()(x x f e f x f x +-'=- Ⅰ 求)(x f 的解析式及单调区间； Ⅱ 若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的值。 专题02：分离变量型 基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟 【例1】【2010天津】函数1)(2-=x x f ，对任意 )(4)1()(4)(,,232m f x f x f m m x f x +-≤-?? ? ???+∞∈ 恒成立，求实数m 的取值范围。 【变式1】【2010安徽】若不等式0)1)((22≤++-x x a a 对一切(]2,0∈x 恒成立，求a 的取值范 围。 【例2】若函数x ax x x f 1)(2++=在?? ? ???+∞,21上单调递增，求a 的取值范围。 【变式2】【2012湖北】若)2ln(2 1 )(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，求b 的取值范围。 【变式3】【2014江西】已知函数)(21)()(2R b x b bx x x f ∈-++=，若)(x f 在区间)3 1 ,0(上单 调递增，求b 的取值范围。 恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n +恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立， 设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0， 故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)． 2、二次函数型 例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+，适合； 【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ?? ∈+∞???? ，，2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??--+ ??? ≤恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 典例分析 恒成立与有解问题 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．1 8 a >- C ．18a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112log 1122123 a a n n n +++>-+++L 对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(][)14-∞-+∞U ，， B ．(][)25-∞-+∞U ，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞U ， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ． 恒成立问题——最值分析法 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。 一、基础知识： 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设()f x 的定义域为D （1）若x D ?∈，均有()f x C ≤（其中C 为常数），则()max f x C ≤ （2）若x D ?∈，均有()f x C ≥（其中C 为常数），则()min f x C ≥ 3、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： ① 观察函数()f x 的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析） 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。 （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。 二、典型例题： 例1：设()222f x x mx =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围 思路：恒成立不等式为2220x mx m -+-≥，只需()2min 220x mx m -+-≥，由于左端是关于x 的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法 解：恒成立不等式为2220x mx m -+-≥，令()222g x x mx m =-+-则对称轴为x m = （1）当1m ≤-时，()g x 在[)1,-+∞单调递增， ()()m i n 11220g x g m m ∴=-=++-≥ 3m ∴≥-即[]3,1m ∈-- （2）当1m >-时，()g x 在()1,m -单调递减，在(),m +∞单调递增 ()()22min 22021g x g m m m m m ∴==-+-≥?-≤≤ (]1,1m ∴∈- 终上所述：[]3,1m ∈- 小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在 函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时， ] ,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 １、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >;()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为Ｍ ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在Ｄ上恰成立，等价于)(x f 在Ｄ上的最小值 A x f =)(min ,若 ,D x ∈B x f ≤)(在Ｄ上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . ４、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则 ()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方; 9、若不等式()()f x g x <在区间Ｄ上恒成立,等价于在区间Ｄ上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方; ?二、经典题型解析 题型一、简单型 函数中存在与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； ③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 第四课时函数当中的恒成立问题 1:2log (1)a a y x ax =-+若函数有最小值，则的取值范围是（ ） A ：0 若a 、b ∈［－1，1］，a+b ≠0，有0b a )b (f )a (f >++。 （1）判断函数)x (f 在［－1，1］上是增函数还是减函数。 （2）解不等式??? ? ?->??? ??+21x 2f 21x f 。 （3）若1am 2m )x (f 2+-≤对所有]1， 1[x -∈、a ∈［－1，1］恒成立，求实数m 的取值范围。 解：（1）设1x x 121≤<≤-，则0)x x (x x )x (f )x (f )x (f )x (f )x (f )x (f 2121212121<---+=-+=-， 可知)x (f )x (f 21<，所以)x (f 在［－1，1］上是增函数。 （2）由)x (f 在［－1，1］上是增函数知???? ?????->+≤-≤-≤+≤-21x 221x 121x 21121x 1 解得21x 4 1≤≤-，故不等式的解集??????≤≤-21x 41|x （3）因为)x (f 在［－1，1］上是增函数，所以1)1(f )x (f =≤，即1是)x (f 的最大值。依题意 有11am 2m 2≥+-，对a ∈［－1，1］恒成立，即0am 2m 2≥-恒成立。令2 m ma 2)a (g +-=，它的图象是一条线段，那么??? ???≥-=≥+=-0m 2m )1(g 0m 2m )1(g 22)2[}0{]2，(m ∞+--∞∈， 。 函数和不等式结的恒成立问题的解法 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型： 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2 R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立????0 0a ; 2）0)( 例2．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取 值范围。 巩固．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x x a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。 练习2 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g 恒成立，求a 的取值范围。 巩固 已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(导数中恒成立问题(最值问题)
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数形结合好方法：
对于函数 f (x) 与 g(x) 的函数值大小问题，常常转化为函数 y f x 的图象在 y g x 上方（或下
方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数 y f (x) g(x) ，即利用作差法，转化为论证恒成
立问题. 【典例指引】
例 1．设函数 f x 1 mxln 1 x .
（1）若当 0 x 1时，函数 f x 的图象恒在直线 y x 上方，求实数 m 的取值范围；
（2）求证：
e
1001 1000
1000.4
.
【思路引导】
（1）将问题转化为不等式 1 mx ln 1 x x 在 0 x 1上恒成立，求实数 m 的取值范围的问题。可构
造函数 F x f x x 1 mx ln 1 x x ，经分类讨论得到 F x 0 恒成立时 m 的取值范围即可。
（2）先证明对于任意的正整数 n ，不等式 1
1 n
n 2 5
e
恒成立，即
n
2 5
ln
1
1 n
1
0 恒成立，也
即
1
2 5n
ln 1
1 n
1 n
0
恒成立，结合（1）③的结论，当
m2 5
，
1 x0 2
时
F
x
1
2 5
x
ln
1
x
x
0
在
x
0,
1 2
上成立，然后令
x 1 n 2
n
可得
n
2 5
ln
1
1 n
1
0
成立，再令
n
1000
即可得不等式成立。
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