函数中存在与恒成立问题
函数中存在与恒成立问题
一、考情分析
函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.
二、经验分享
(1) 设)0()(2
≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00
??
?<>?>0
)(0
)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:
①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围.
(5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.
(6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.
三、知识拓展
(1)恒成立问题
①. ?x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；
②. ?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma x ③. ?x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0； ④. ?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) ma x <0； ⑤. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)ma x； ⑥. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) (2)存在性问题 ①. ?x0∈D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A； ②. ?x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min ③. ?x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴F(x) ma x >0； ④. ?x0∈D,使得f(x0) ⑤. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min； ⑥. ?x1∈D, ?x2∈E,均使得f(x1) (3)相等问题 若f(x)的值域分别为A,B,则 ?； ①. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则A B I. ②?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则A B≠? (4)恒成立与存在性的综合性问题 ①?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in> g(x)m in； ②?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) 四、题型分析 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等. (一) 函数性质法 【例1】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围． 【分析】本题实质是存在性问题 当2 3 a ≥2,即a ≥3时,f ′(x )≤0,f (x )在[1,2]上为减函数,所以f (x )m in ＝f (2)＝18－4a ,所以18－4a <0,解得a >9 2 ,这符合a ≥3. 综上所述,a 的取值范围为a >9 2. 解法二：由已知得：a >x 3＋10x 2＝x ＋10 x 2, 设g (x )＝x ＋ 10x 2(1≤x ≤2),g ′(x )＝1－20 x 3, ∵1≤x ≤2,∴g ′(x )<0,所以g (x )在[1,2]上是减函数． g (x )m in ＝g (2),所以a >9 2 . 【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于ax 2>x 3＋10中x 2∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论． 【牛刀小试】设函数()()21x f x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数t ,使得 ()0f t <,则a 的取值范围是 . 【答案】3,12m e ?? ∈?? ?? 【解析】令()()()21,x g x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ,使得()g t 在直线 ()h x 的下方.()()'21x g x e x =+,当12x <-时,函数单调递减,当1 2 x >-,函数单调递增,当 1 2 x =-时,函数取得最小值为1 22e --.当0x =时,(0)1g =-,当1x =时,(1)0g e =>,直线 ()h x ax a =-过定点()1,0,斜率为a ,故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--,解得 3,12m e ??∈???? . (二)分离参数法 【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数a 的值； (2)若2 ()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围. 【分析】（1）由'()ln 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =处的切线的斜率为3,可知'(e)3f =,可建立关于a 的方程：lne 13a ++=,从而解得1a =；（2）要使2 ()f x kx ≤对任意0x >恒成立,只需max 2() [ ]f x k x ≥即可,而由（1）可知()ln f x x x x =+,∴问题即等价于求函数1ln ()x g x x +=的最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：22 1 (1ln ) ln '()x x x x g x x x ?-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在 (1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求. 【解析】(1)∵()ln f x ax x x =+,∴'()ln 1f x a x =++, 又∵()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为3,∴'(e)3f =, 即lne 13a ++=,∴1a =； 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题. 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（,x D λ∈为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: (1)将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； (2)求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； (3)解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. 【牛刀小试】已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈． (1)若4t =,且1 [,2]4 x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； (2)若01a <<,且1[,2]4 x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】(1) 1 5 ；(2)[2,)+∞. (2)∵()()f x g x ≥恒成立,即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立, ∴ 1 log log (22)2 a a x x t ≥+-. 又∵01a <<,1 [,2]4 x ∈,22x x t ≤+-, 22t x x ≥-∴恒成立, ∴max (22)t x x ≥-. 令21171 222()([,2])484 y x x x x =-=-+∈, ∴max 2y =.故实数t 的取值范围为[2,)+∞. (三)主参换位法 【例3】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区 间[]1,1-上的减函数,(1)求a 的值；(2)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立,求t 的取值范围. 【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t ,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变 量,则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可 求解. 【解析】(1)1a = (2)由(1)知：()f x x =,()sin g x x x λ∴=+, ()g x Q 在[]11 -，上单调递减, ()cos 0g x x λ'∴=+≤ cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立, 1λ∴≤-， []max ()(1)sin1g x g λ=-=--, ∴只需2 sin11t t λλ--≤++, 2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立, 由上述②结论：可令 ()2(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-） , 则2 t 101sin110t t +≤? ?--+++≥?, 2 1sin10t t t ≤-? ∴?-+≥?,而2sin10t t -+≥恒成立,1t ∴≤-. 【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x 为参数,以 为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样问 题就轻而易举的得到解决了. 【牛刀小试】若不等式() 2 211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,求实数x 的取值范围. 312x << (四)数形结合法 【例4】已知函数 ()222 f x x kx =-+,在1x ≥-恒有 ()f x k ≥,求实数k 的取值范围. 【分析】为了使题中的条件()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立,应能想到构造出一个新的函数 ()()F x f x k =-,则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题,再 利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决. 【解析】令()()2 22F x f x k x kx k =-=-+-, 则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立,而()F x 是开口向上的抛物线. 当图象与x 轴无交点满足0?<,即()2 4220k k ?=--<, 解得21k -<<. 当图象与x 轴有交点,且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥, 则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： ()010212 F k ? ??≥?? -≥??-?-≤-?? 解得32k -≤≤-, 故由①②知31k -≤<. 【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关 键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于 0恒成立,则有00a >?? ? 0y ax bx c a =++≠小于0恒成立,则有00 a 足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式()() 242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】() ,2-∞- 【解析】当0x <时,()33()()()()f x f x x f x x x R f x =--=?=∈?在R 上是增函数 242t m mt ?->+对任意实数t 恒成立2442t mt t m ?->++对任意实数t 恒成立,结合 二次函数图象可得 2 01680 m m m ,2-∞-,故选A. (五)存在性之常用模型及方法 【例5】设函数()2 1ln 2 a f x a x x bx -=+-,a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0. （1）求 b 的值； （2）若存在[)1,x ∈+∞,使得()1 a f x a < -,求a 的取值范围. 【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线的斜率为0,可以将其转化为关 于 a , b 的方程,进而求得 b 的值： ()()1a f x a x b x '= +--,()10f '=?()101a a b b +--=?=； （2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞,使得不等式()1a f x a <-成立,只需min ()1a f x a >-即可,因此可通过探 求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于a 的不等式即可,而由（1）可知 ()21ln 2 a f x a x x x -=+-,则() ()()11x a x a f x x ---????'=,因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性,从而可以解得a 的取值范围是() ()2211,-+∞U . 【解析】（1）()()1a f x a x b x '= +--, 由曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线的斜率为0,得()10f '=, 即()10a a b +--=,1b =； 4分（2）由（1）可得,()2 1ln 2 a f x a x x x -=+ -, ()()()()()2 11111x a x a a x x a a f x a x x x x ---??--+??'=+--= =, 令()0f x '=,得11x =,21a x a =-,而21 111a a a a --=--, ①当12a ≤ 时,11a a ≤-, 在[)1,+∞上,()0f x '≥,()f x 为增函数,()() ()min 11 1122 a a f x f ---== -= , 令 121 a a a --< -,即2210a a +-<,解得11a <<. ②当1 1a <<时,1a >, ()() ()2min ln 112111a a a a a f x f a a a a a a ?? ==++> ? -----?? , 不合题意,无解,10分 ③当1a >时,显然有()0f x <, 01a a >-,∴不等式()1 a f x a < -恒成立,符合题意, 综上,a 的取值范围是() ()11,+∞U . 【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为 ",()"x M P x ?∈的否定为",()"x M P x ?∈?；原命题为",()"x M P x ?∈的否定为 “,()"x M P x ?∈?.处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知= )(x f x x +2 2 1,=)(x g a x -+)1ln(, (1)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围； (2)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围. 【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域 ]3ln ,[a a B --=. (1) 若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,则min max )()(x g x f >,即4>a -,所以4->a . (2)若存在21,x x 使得)()(21x g x f =,则A B ≠?I ,∴4a -≤且ln30a -≥,∴实数a 的取值围是[]4,ln3-. 五、迁移运用 1．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知定义在R 上的偶函数()f x ,当0x ≥时,()()2log 1f x x =+,则使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围为__________． 【答案】1 13 x -<< 2．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数 ,若对任意实数都有 ,则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】构造函数,函数 为奇函数且在上递减, 即,即,即 ,所以 即 恒成立,所以 ,所以 ,故实数的取值范围是 ． 3．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数()3 1f x x x =++,若对任意的x ,都有 () ()22f x a f ax ++>,则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()0,4 【解析】构造函数()()1g x f x =-,则()g x 是奇函数,是R 上的增函数,所以原不等式变为 ()()20g x a g ax ++>,所以() ()2g x a g ax +>-,即20x ax a ++>恒成立, 所以240a a ?=-<,解得：04a <<,故填()0,4. 4．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数 ()22,0{ 313,0 x x f x x x ≤=--+>,若存在唯一的整数x ,使得 ()0f x a x ->成立,则实数a 的取 值范围为__________． 【答案】[]0,2[] 3,8? 5．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】若存在x ∈R,使得34x a ﹣ ≥22x x - （a ＞0且 a≠1）成立,则实数a 的取值范围是_____． 【答案】2a ≥或9 02a <<且 1.a ≠ . 【解析】2 34 2212 2x x x log a log x x -≥=-﹣, ∴（3x ﹣4）2 2log a x x ≥-, 当3x ﹣4=0即4x 3=时,2 444 0339 ??≥-= ??? 故舍去 当3x ﹣4>0即 4x 3>时,2234x x log a x -≥-,令t=3x ﹣4＞0,14y 59t t ?? =++ ??? ,所以2log a ≥1．所以a≥2． 当3x ﹣4<0即4x 3< 时,令t=3x ﹣4<0,21 9 log a ≤，所以a 92≤ 综上,a≥2或0＜ a 9 2≤且a≠1． 6. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()() 2 x a f x x a -= +,若对于定 义域内的任意1x ,总存在2x 使得()()21f x f x <,则满足条件的实数a 的取值范围是____________． 【答案】0a ≥ 7. 若关于x 的不等式x 2＋12x －12n ?? ??? ≥0对任意n ∈N *在x ∈（－∞,λ]上恒成立,则实常数λ 的取值范围是________． 【答案】（－∞,－1] 【解析】 试题分析：不等式可化为x 2＋12x≥12n ?? ???,由n ∈N *,得12n ?? ??? 的最大值为12,则x 2＋12x≥12, 解得x≥ 1 2 或x≤－1,又x ∈（－∞,λ],故实常数λ的取值范围是（－∞,－1]． 【名师点晴】不等式恒成立问题是历年高考的热点问题,经久不衰,问题常常在知识网络交汇处设置,它可以与主干知识如函数、导数、数列、三角函数、解析几何等整合在一起,里面又可以涉及到不等式证明问题和参数取值范围问题,渗透着转化与化归、数形结合等重要数学思想,本题采用分离参数法,1()(*)2n n N ∈的最大值为12,原不等式转化为211 22 x x +≥,解此不等式分析可得结论． 8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时,()21x f x x -= +,若对任意实数1,22t ?? ∈???? ,都有()()10f t a f t +-->恒成立,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()(),30,-∞-+∞U 【解析】 试题分析：23 ()111 x f x x x -= =- ++,所以()f x 在(1,)-+∞上,也即在[0,)+∞上单调递增,由()(1)0f t a f t +-->得()(1)f t a f t +>-,又()f x 是偶函数,所以()(1)f t a f t +>-, 所以1t a t +>-,2 2 ()(1)t a t +>-,2 (22)10a t a ++->,此不等式在1 [,2]2 t ∈时恒成立, 则22 2(22)101(22)102 a a a a ?++->??++->??,解得30a a <->或． 【名师点晴】函数不等式12()()f x f x <的解法是根据函数的单调性去函数符号“f ”,化为一般的不等式12x x <（或12x x >）,这就要求1x 与2x 在同一个单调区间内,对偶函数()f x ,由于在关于原点的对称区间上单调性相反,因此都是把不等式12()()f x f x <化为 12()()f x f x <． 9．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】函数( )f x =义域为___________ 【答案】( 【解析】由已知可得212log 0 {00 x x x -≥?<≤> 故答案为( . 10．【2018届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式2150x e nx -+>在实数集R 上恒 成立,则正整数n 的最大值是_____． [参考数据： 215 72 e <<] 【答案】14n = 【解析】 不等式2150x e nx -+>在实数集R 上恒成立,等价于y 2x e =的图象恒在y 15nx =- 上方, y 15nx =-与y 2x e =的图象相切时斜率n 最大,设y 15nx =-与y 2x e =的图象相切时切点坐标为0x ,则n = 02x e ,切线方程为()00 022x x y e e x x -=- ,将点()0,15- 代入 切线方程可得()()0 0021150x g x e x =--=, ()g x 在()1,+∞ 上递增, () ()20,30g g , ()02,3x ∈ , n = ()0 2322,2x e e e ∈, y 2x e =的图象恒在y 15nx =-上方,所以n ≤ 0222x e e ≤,而()2214,15e ∈ ,所以正整数n 的最大值是14,故答案为14n =. 11．已知()212b f x x c x = ++（b , c 为常数）和()11 4g x x x =+是定义在{}=|14M x x ≤≤上的函数,对于任意的x M ∈,存在0x M ∈使得()()0f x f x ≥, ()()0g x g x ≥,且()()00=f x g x ,则()f x 在M 上的最大值为__________. 【答案】5 【解析】∵()11112144g x x x x x =+≥?=,(当且仅当x=2时,等号成立), ∴()()22212b f c g =+ +==,∴12b c =--,∴()22111222 b b b f x x c x x x =++=+--, ∴()322 'b x b f x x x x -=-=,∵f(x)在x=2处有最小值,∴()'20f =,即b=8,故c=?5, 故()()322 188 5,'2x f x x f x x x -=+-=,故f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,4]上是增函数, 而()()17 185,4825522 f f = +-==+-=,故f(x)的最大值为5. 12.设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ,B ,使得曲线y ＝f (x )在点A ,B 处的切线互相垂直,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】]1,1[- 13.【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数 ()()33x x f x R λλ-=+∈g ．（1）若()f x 为奇函数,求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[]0,2x ∈恒成立,求实数λ的取值范围． 【答案】（1）1λ=-,解集为315|x log x ?+?>????? ； （2）27λ≤-． 【解析】 试题分析：（1）函数为奇函数,根据奇函数的定义()()0f x f x -+=恒成立可求得参数λ的值,也可由(0)0f =求出λ,然后再检验即可（本题中(0)f 存在）,解不等式()1f x >只要把 3x 作为整体（可用换元法）,利用一元二次不等式的解法求得,注意30x >；（2）不等式()6f x ≤即为336x x λ-+≤g ,也即263(3)x x λ≤?-,因此只要求得263(3)x x ?-在[0,2]x ∈的最小值即可． 试题解析：解：（1）函数()33x x f x λ-=+ g 的定义域为R , ∵()f x 为奇函数,∴()()0f x f x -+=对x R ?∈恒成立, 即()() 33331330x x x x x x λλλ---+++=++=g g 对x R ?∈恒成立, ∴1λ=-． 此时()33 1x x f x -=->,即()2 3310x x -->, 解得1532x +> 或1532 x <（舍去）． ∴解集为3 1|x log 2x ?+?>??? ??, （2）由()6f x ≤得336x x λ-+≤g ,即363 x x λ +≤, 令[]31,9x t =∈,原问题等价于6t t λ + ≤对[]1,9t ∈恒成立, 亦即26t t λ≤-+对[]1,9t ∈恒成立, 令()[]2 6,1,9g t t t t =-+∈, ∵()g t 在[]1,3上单调递增,在[]3,9上单调递减． ∴当9t =时,()g t 有最小值()927g =-,∴27λ≤-. 14．【2016届山东师大附中高三上学期二模】已知函数()(),ln ln x f x e g x x a ==-（a 为 常数,e=2．718…）,且函数()0y f x x ==在处的切线和()y g x x a ==在处的切线互相平行． （1）求常数a 的值； （2）若存在x 使不等式()x m f x -成立,求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）(,0)-∞． 【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化 能力、计算能力．第一问,先利用导数求出函数()y f x =在0x =处的切线的斜率0 11k e ==, 再求出函数函数()y g x =在x a =处的切线的斜率21 k a =, 根据题意列出等式,解出a 的值； 第二问,先将()x m f x -> 转化为x m x <, 构造函数()x h x x =, 利用导 数判断函数的单调性,求出函数的最值,从而得到m 的取值范围． 试题解析：（1）因为()x f x e '=, 所以函数()y f x =在0x =处的切线的斜率0 11k e ==, 又因为1()g x x '= , 所以函数()y g x =在x a =处的切线的斜率21k a =, 所以,由 1 1a =,得1a =； （2）()x m x f x ->?可化为x m x xe <-, 令()x h x x xe =- ,则()1( )2x h x x e x '=-+, 因为0x >,所以 22x x +≥, 1( )12x x e x e x >?+>, 故()0h x '<, 所以()h x 在(0,)+∞上是减函数,因此()(0)0h x h <=, 所以,实数m 的取值范围是(,0)-∞； 15．已知函数()2 ln f x x x x =-+ （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若对于任意的0x >,不等式()2 112a f x x ax ??≤-+- ??? 的恒成立,求整数a 的最小值． 【答案】（1）(1,)+∞；（2）2． 【解析】 试题解析：（Ⅰ）解：（Ⅰ）2121 ()21(0)x x f x x x x x -++'=-+=> , 由()0f x '<,得2210x x -->, 又0x >,所以1x >． 所以()f x 的()f x 的单调减区间为(1,)+∞． （Ⅱ）令221()()[(1)1]ln (1)122 a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+, 所以21(1)1 ()(1)ax a x g x ax a x x -+-+'=-+-=． 当0a ≤时,因为0x >,所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数, 又因为213 (1)ln11(1)12022 g a a a =- ?+-+=-+>, 所以关于x 的不等式()f x ≤2(1)12 a x ax -+-不能恒成立． 当0a >时,2 1 ()(1) (1)1()a x x ax a x a g x x x -+-+-+'==- , 令()0g x '=,得1x a = ． 所以当1(0,)x a ∈时,()0g x '>；当1(,)x a ∈+∞时,()0g x '<, 因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数,在1(,)x a ∈+∞是减函数． 故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a =-?+-?+=-． 令1 ()ln 2h a a a = -, 因为1(1)02h = >,1 (2)ln 204 h =-<,又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时,()0h a <． 所以整数a 的最小值为2． 解法二：()()2 0,,112a x f x x ax ??∈+∞≤-+- ??? 恒成立 所以()3 42231≥∴-≤ a a f 又2,≥∴∈a Z a （必要性）, 下面证明充分性,当2≥a 时, 设()()()2 211ln 1122a a g x f x x ax x x a x ??=---+=-+-+ ??? ()() 111'1a x x a g x ax a x x ? ?--+ ???=-+-= ()()10,,'0,x g x g x a ??∈> ???递增；()()1,,'0,x g x g x a ?? ∈+∞< ???递减 ()()0ln 2111211ln 1max <-=+-+-=?? ? ??=≤a a a a a a a g x g x g 所以不等式成立 16.设函数2 ()ln f x ax a x =--,1()x e g x x e =-,其中a R ∈,e 2.718=L L 为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当1x >时,()0g x >； （3）确定a 的所有可能取值,使得()()f x g x >在(1,)+∞区间内恒成立. “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则; 5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???0< 专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想． 恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(-- 求解恒成立问题的常见方法 摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词：恒成立；参数；解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。 解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。 解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴0 ≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。 二、在给定区间上恒成立问题 例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。 解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ） 令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5 ∴-（x+ ）<-5∴a≥-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。 分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围 解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调 ∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立， 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0） ∴a≥0或a≤-4 方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等 恒成立与存在性问题 基本方法： 恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离： 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值围。 3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 数a 的取值围. 4．（2016届二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，数k 的取值围． 5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，数m 的取值围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，数a 的取值围． 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0< 恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n +恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立， 设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0， 故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)． 2、二次函数型 例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+，适合； 存在性与恒成立问题 1.已知函数f(x)=? ??ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 ,若存在x 0,使得f(x 0) 恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 １、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >;()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为Ｍ ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在Ｄ上恰成立，等价于)(x f 在Ｄ上的最小值 A x f =)(min ,若 ,D x ∈B x f ≤)(在Ｄ上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . ４、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则 ()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方; 9、若不等式()()f x g x <在区间Ｄ上恒成立,等价于在区间Ｄ上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方; ?二、经典题型解析 题型一、简单型 函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时， ] ,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 专题一：恒成立与存在性（精简型） 一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------ 模型------ αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二 间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可 例5已知322)(2 +-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f 函数中存在与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； ③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 恒成立和存在性问题 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 例1已知函数f (x )＝ax 2－ln x (a 为常数)． (1) 当a ＝12 时，求f (x )的单调减区间； (2) 若a <0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 例2已知函数f (x )＝mx －a ln x －m ，g (x )＝e x e x ，其中m ，a 均为实数． (1) 求g (x )的极值； (2) 设m ＝1，a <0，若对任意的x 1，x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)| 思维变式题组训练 1. 已知函数(x ＋1)ln x －ax ＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 2. 已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32 ax 上方，求实数a 的取值范围． 3. 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2 ＋1. (1) 试讨论函数f (x )的单调性； (2) 设a <－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围． 强化训练 一、 填空题 1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．恒成立与存在性问题的基本解题策略
函数不等式恒成立问题经典总结
高中数学恒成立与存在性问题
(完整版)恒成立存在性问题
关于函数恒成立问题的解题策略
恒成立问题与存在性问题(最新精华)
求解恒成立问题的常见方法
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用导数研究函数的恒成立与存在性问题答案
存在性与恒成立
关于函数恒成立问题的解题
存在性与恒成立问题
函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)
函数、不等式恒成立问题完整解法
专题一：恒成立与存在性问题(精简型)
函数中存在与恒成立问题
专题 恒成立和存在性问题